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计数的基本原理
排列
组合
排列数
Pnm公式
组合数
Cnm公式
应用
组合数的 两个性质
本章知识结构
一、两个原理
1.分类加法计数原理 的n①类方m办法完1+法成,m在中2一+第有m件23m类 ＋事n办…种,有法+不mn中同类n种有的办不方m法同2法种,的在不方,第那同法1么类的.完办方成法法这中，件有…事m…共1种，有不在N同第=
少种不同的取法？
N=3×5＋3×6＋
5×6=63．
一、两个原理
练习2： 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三
位整数（各位上的数字允许重复）？
解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤： 第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数 字，有4种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有 5种选 法； 第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理， 得到可以组成的三位整数的个数是 N=4×5×5=100．
题型二 排列、组合数方程问题
例2 解下列方程：
(1)
P4 2x?1
=140
Px3;
(2)
C
x?1 x? 3
=
+ C x?1 x?1
+ C C x
x? 2
x?1
x? 2
.
(1)根据排列的意义及公式得 4≤2x+1 3≤x (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),
x≥３ 则有
2.分步乘法计数原理 的种方 不法 同完的成,做方一第法件2步事,那有,么需m完要2种成分不这成同件n的个事方步共法骤有，,做…第…1步,做有第mn1步种有不m同n
N=② m1·m2·…·mn 种不同的方法 .
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在 n 类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关 .分步：完成一 件事须按先后顺序分 n 步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成 .
二、 排列与排列数
(3)排列数计算公式 .
Anm =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤
n!
(n ? m()其! 中m≤n).
(ⅰ)若m=n，排列称为 全排列，记
=1·2·3·…·(n -1)·n =n !(称为n 的阶乘 )；
Ann (ⅱ)规定0!＝1.
组合与组合数
从n个不同元素中，取出 m(m≤n)个不同元素组 成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个组合.
答：可以组成100个三位整数．
一、两个原理
题型一 利用两个计数原理求方法 数 例1（1）现要排一份５天的值班表，每天
有一人值班，共有５人，每人可以多天值班 或不值班，但相邻两天不准由同一人值班， 问此值班表共有 1280 种不同排法.
一、两个原理
(1)值班表须依题设一天一天的分步 完成.第一天有5人可选，有 5种排法，第二 天不能用第一天的人，有4种排法，同理， 第三天、第四天、第五天也有4种，故由分 步计数原理排值班表共有 5×4×4×4×4=1280种，应填1280.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
取法？
答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语 书各一本，有多少种不同的取法？
N=m 1×m 2×m 3=90．
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多
选C. 点评（1）是分步问题，用分步计数原
理;(2)是分类问题，用分类计数原理.
二、排列与排列数
从n个不同的元素中，任取M个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
不同的元素中取出M个元素的一个 排
列。
所有排列的个数叫做 排列数 ，用 Pnm
表示。
Pnm ? n(n?1)(n? 2)
(n? m?1)? n! (n? m)!
2
,
即
C1 x? 2
+
C2 x? 2
=
C2 x? 2
+
Cx4?
,
2
所以
C
1 x?
2
=C4 x?2源自，所以5=x+2,x=3,经检验知x=3.
点评 凡遇到解排列、组合的方程 ,
不等式问题时，应首先应用性质和 排列、组合的计算公式进行变形与 化简，并注意有关解排列、组合的 方程、不等式问题，最后结果都需 要检验.
所有组合的个数叫做 组合数,用符号 Cnm表示.
组合与组合数
(3)组合数计数公式.
Cnm =⑥
Anm Amm
=⑦ n(n ? 1)(n ? 2) ???(n ? m ? 1) .
m!
n!
=⑧ m!(n ? m)! .
规定 Cn0 =1. (4)组合数的两个性质.
(ⅰ)
Cnm
= Cn?m n
;
(ⅱ)
(4x-23)(x-3)=0, 解之并检验得x =3.
(2)由组合数的性质可得
+ + = + + C C C C C C x?1
x
x? 2
2
1
4
x?1
x?1
x? 2
x?1
x?1
x? 2
=
+ C C 2
4
x? 2
x? 2
.
又C x?1 x? 3
=
C
2 x?
3
,
所以Cx2? 3
=
C2 x? 2
+
C
4 x?
Cm n?1
=
Cnm
+ Cm?1 n
.
排列与组合的区别
排列与组合的共同点是“从 n个不同元
素中，任取 m 个不同元素”；而不同点是
排列要“按照一定的顺序排成一列”，而
组合却是“只需组成一组（与顺序无
关）” .因此，“有序”与“无序”是排列
与组合的重有要序标志.⑨“
”为无排序列问题,
⑩“ ”为组合问题.
题型三 结合两个计数原理 求排列、组合问题的方法数
例3用0,1,2,3,4 这五个数字，可以组
成多少个满足下列条件的没有重复数 字的五位数： (1)比21034大的偶数； (2)左起第二位、第四位是奇数的偶数.
(1)（方法一）可分五类:
当末位数字是0,而首位数字是2, A21 A22+ A22=6(个); 当末位数字是0,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是2,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是４,而首位数字是2,有 A22 +A11 =3(个); 当末位数字是4,而首位数字是3，有 A33 =6(个).
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数 ,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x 、 y∈Z) ， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12 ， 当 y 取 11 时 ， x=1,2,3,…,11,有11个;当y取10时，x=2,3,…,10,有９个;当y取 9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为 6，有1 个，故满足题设的三角形共有： 11+9+7+5+3+1=36个，故
