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所以
C
1 x
2
=
C
4 x
2
，
所以5=x+2,x=3,经检验知x=3.
点评 凡遇到解排列、组合的方程,
不等式问题时，应首先应用性质和 排列、组合的计算公式进行变形与 化简，并注意有关解排列、组合的 方程、不等式问题，最后结果都需 要检验.
题型三 结合两个计数原理 求排列、组合问题的方法数
例3用 0,1,2,3,4 这 五 个 数 字 ， 可 以 组
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一 件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x 、 y∈Z) ， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12 ， 当 y 取 11 时 ， x=1,2,3,…,11,有11个;当y取10时，x=2,3,…,10,有９个;当y取 9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为6，有1 个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=36个，故
分类时要做到不重不漏，也就是各类的并集是 全集，任意两类的交集是空集，在合理正确分 类的前提下，在每一类中，依据题目的要求进 行分步，分步要做到步步连续，各步之间相互 独立.
(２)用间接法.
当正面求解较为困难时，也可采用正难则 反的思想，用“间接法”求解，但要注意找准 对立面.
能力提高
球台上有4个黄球，6个红球，击 黄球入袋记2分，击红球入袋记1分.欲将 此１0个球中的4个球击入袋中，但总分 不低于5分，则击球方法有几种？
4.注意排列数公式、组合数公式有连 乘形式与阶乘形式两种，
公式 Anm =n(n-1)·…·(n-m+1),
Cnm =
Hale Waihona Puke n(n 1)(n 2) (n m 1) 常用于计算,
m!
而公式 Anm
=
(n
n! m)!
,Cnm
= n! 常用于
m!(n m)!
证明恒等式.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
成多少个满足下列条件的没有重复数 字的五位数： (1)比21034大的偶数； (2)左起第二位、第四位是奇数的偶数.
(1)（方法一）可分五类:
当末位数字是0,而首位数字是2, A21 A22+ A22=6(个); 当末位数字是0,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是2,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是４,而首位数字是2,有 A22 +A11 =3(个); 当末位数字是4,而首位数字是3，有 A33 =6(个). 故有6+12+12+3+6=39(个).
设击入黄球x个,红球y个符合要求,
x+y=4
则有 2x+y≥5 x,y∈N*,
解得 x=1 x=2 x=3 x=4 y=3, y=2 , y=1 , y=0.
故共有不同击球方法数为
C
1 4
C63
+C42 C62+
C43
C
1 6
+
C
4 4
C60
=195.
点评本题需运用不等式的知识，确
定击入黄球与红球的个数，有时则需 利用集合的运算等知识，确定相关元 素的个数，再利用排列或组合的知识 解决方法种数问题.
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素 占了这两个位置
先排末位共有_C_31_ 然后排首位共有_C_41_
最后排其它位置共有_P4_3_C
1 4
P43
C31
由分步计数原理得
C31
C
1 4
P43
=288
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例2 解下列方程：
(1)
P4 2 x1
=140
Px3;
(2)
C
x 1 x3
=
+ C x1 x 1
C
x x 1
+
C x2 x2
.
(1)根据排列的意义及公式得 4≤2x+1 3≤x (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),
x≥３ 则有 (4x-23)(x-3)=0, 解之并检验得x=3.
=
Cnm
+ Cnm1
.
排列与组合的区别
排列与组合的共同点是“从n个不同元
素中，任取m个不同元素”；而不同点是
排列要“按照一定的顺序排成一列”，而
组合却是“只需组成一组（与顺序无
关）”.因此，“有序”与“无序”是排列
与组合的重有要序标志.⑨“
”为无排序列问题,
⑩“ ”为组合问题.
题型二 排列、组合数方程问题
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为 主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处 理其它位置。若有多个约束条件，往往是考 虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
练习题
1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若
两种花不种在中间，也不种在两端的花
所有组合的个数叫做组合数,用符号 Cnm表示.
组合与组合数
(3)组合数计数公式.
Cnm =⑥
Anm Amm
=⑦ n(n 1)(n 2) (n m 1) .
m!
n!
=⑧ m!(n m)! .
规定 Cn0 =1. (4)组合数的两个性质.
(ⅰ)
Cnm
=
C nm n
;
(ⅱ)
Cm n 1
(方法二)不大于21034的偶数可分为三类： 1为万位数字的偶数，有 A31A33 =18(个); 2为万位数字，而千位数字是0的偶数，有
A21 =2(个); 还有21034本身. 而由0,1,2,3,4组成的五位偶数共有
A44 + A21 A31 A33=60(个). 故满足条件的五位偶数共有
60- A31 A33 - A21 -1=39(个).
(2)由组合数的性质可得
+ C x1 x 1
C
+ x
x 1
= C x2 x2
C
2 x 1
+
C
1 x 1
+
C
4 x
2
=
C
2 x2
+
C x4
2
.
又C x1 x3
=
C2 x3
,
所以
C
2 x3
=
C2 x2
+
C4 x2
,
即
C
1 x
2
+
C2 x2
=
C2 x2
+
C x4 2,
位整数（各位上的数字允许重复）？
解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：
第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数 字，有4种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选 法；
第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理， 得到可以组成的三位整数的个数是 N=4×5×5=100．
方法提炼
1. 解 决 应 用 题 时 ， 应 分 析 ： ① 要 完 成做一件什么事；②这件事怎样做才可 以做好；③需要分类还是分步.运用分类 计数原理和分步计数原理，关键在于① ②两方面，认真分析题意，设计合理的 求解程序是求解问题的关键.
方法提炼
1. 解 决 应 用 题 时 ， 应 分 析 ： ① 要 完 成做一件什么事；②这件事怎样做才可 以做好；③需要分类还是分步.运用分类 计数原理和分步计数原理，关键在于① ②两方面，认真分析题意，设计合理的 求解程序是求解问题的关键.
答：可以组成100个三位整数．
一、两个原理
题型一 利用两个计数原理求方法 数 例1（1）现要排一份５天的值班表，每天
有一人值班，共有５人，每人可以多天值班 或不值班，但相邻两天不准由同一人值班， 问此值班表共有 1280 种不同排法.
一、两个原理
(1)值班表须依题设一天一天的分步 完成.第一天有5人可选，有5种排法，第二 天不能用第一天的人，有4种排法，同理， 第三天、第四天、第五天也有4种，故由分 步计数原理排值班表共有 5×4×4×4×4=1280种，应填1280.
盆里，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成；
第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 有A53种排法
2.如果任何一类办法中的任何一种方 法都能完成这件事，即类与类之间是相互 独立的，即分类完成，则选用分类计数原 理；如果完成一件事要经历几个步骤（即 几步），且只有当这些步骤都做完，这件 事才能完成，即步与步之间是相互依存、 相互连续的，即分步完成，则选用分步计 数原理.
3.排列与组合的本质区别在于排列不 仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取 出一组即可，与顺序无关.
选C.点评（1）是分步问题，用分步计数原
理;(2)是分类问题，用分类计数原理.
二、排列与排列数
从n个不同的元素中，任取M个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
