海伦公式(课堂PPT)

海伦公式'海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，在数学学习中可有着不小的作用呢！先来说说海伦公式到底是啥。

它的表达式是：$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，其中$S$表示三角形的面积，$a$、$b$、$c$分别是三角形的三条边长，而$p$则是半周长，即$p = \frac{a + b + c}{2}$。

这个公式看起来有点复杂，是不是？但其实只要掌握了，用起来还是挺方便的。

我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

当时我在黑板上画了一个三角形，标好了三条边的长度，然后就开始引导学生们一起用海伦公式来计算面积。

有个小同学特别积极，把手举得高高的，嘴里还喊着：“老师，我会，我会！”我就让他到黑板前来试试。

结果这小家伙一紧张，把公式给记错了，算出了一个特别离谱的答案。

其他同学都忍不住笑了起来，他自己也不好意思地挠挠头。

我笑着鼓励他别灰心，重新再算一次。

最后，在大家的帮助下，他终于算出了正确的结果，那高兴劲儿就别提了。

咱们继续说海伦公式啊。

为什么要有这个公式呢？其实就是为了在只知道三角形三条边长度的时候，能够方便地算出面积。

比如说，在实际生活中，工程师要计算一块三角形土地的面积，或者设计师要计算一个三角形零件的面积，用海伦公式就能轻松搞定。

那怎么用海伦公式来解题呢？咱们来举个例子。

假设一个三角形的三条边分别是 3、4、5，那首先我们来算半周长$p$，$p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$。

然后把$p$和三条边的值代入公式，$S = \sqrt{6×(6 - 3)×(6- 4)×(6 - 5)} = \sqrt{6×3×2×1} = \sqrt{36} = 6$ ，所以这个三角形的面积就是 6。

再比如，如果三角形的三条边是 5、12、13，那$p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15$，面积$S = \sqrt{15×(15 - 5)×(15 - 12)×(15 - 13)} =\sqrt{15×10×3×2} = \sqrt{900} = 30$ 。

三角形海伦公式海伦公式（Heron's formula），也被称为三角形面积公式，是用来计算任意三角形面积的一种公式。

它是由古希腊数学家海伦提出的。

海伦公式的形式如下：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，S表示三角形的面积，a、b、c表示三角形的三边长度，s表示半周长，即s = (a+b+c)/2。

海伦公式的推导和应用可以帮助我们更好地理解三角形的性质和计算方法。

下面将通过一些实际问题来说明海伦公式的应用。

1. 问题一：已知一个三角形的三边分别为5cm、7cm和9cm，求其面积。

根据海伦公式，我们可以先计算半周长s：s = (5+7+9)/2 = 10.5cm然后代入公式计算面积：S = √(10.5(10.5-5)(10.5-7)(10.5-9))= √(10.5*5.5*3.5*1.5)≈ √(495.375)≈ 22.25cm²所以，该三角形的面积约为22.25平方厘米。

2. 问题二：已知一个三角形的两边分别为6cm和8cm，夹角为60°，求其面积。

我们可以利用余弦定理计算出第三边的长度：c² = a² + b² - 2ab*cosC= 6² + 8² - 2*6*8*cos60°= 36 + 64 - 48= 52然后，我们可以根据海伦公式计算面积：s = (6+8+√52)/2= (14+√52)/2≈ (14+7.211)/2≈ 10.605S = √(10.605(10.605-6)(10.605-8)(10.605-√52))≈ √(10.605*4.605*2.605*0.605)≈ √(59.027)≈ 7.68cm²因此，该三角形的面积约为7.68平方厘米。

3. 问题三：已知一个三角形的三个顶点坐标分别为A(0, 0)，B(3, 0)，C(0, 4)，求其面积。

海伦公式展开式海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它的展开式可是相当有趣呢！咱们先来说说海伦公式本身哈，它的表达式是：S = √[p(p - a)(p -b)(p - c)] ，其中 S 表示三角形的面积，a、b、c 分别是三角形的三条边，而 p 则是半周长，也就是 p = (a + b + c) / 2 。

那海伦公式的展开式到底是啥样呢？咱们来一步步推导推导。

假设三角形的三条边分别是 a、b、c ，半周长 p = (a + b + c) / 2 ，那咱们就从 p 开始动手。

p = (a + b + c) / 2 ，两边同时乘以 2 ，得到 2p = a + b + c 。

接下来，我们把海伦公式里的S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)] 中的 (p -a)(p - b)(p - c) 乘开。

先看 (p - a)(p - b) ，乘出来就是 p² - pb - pa + ab 。

然后再乘以 (p - c) ，得到：(p² - pb - pa + ab)(p - c) = p³ - p²c - p²b + pbc - p²a + pac + pab - abc把这个式子代入到海伦公式里，就有S = √[p(p³ - p²c - p²b + pbc - p²a + pac + pab - abc)]这式子看起来挺复杂，是吧？但咱们别怕，数学就是这样，一步一步来，总能理清楚。

我想起之前给学生们讲这个的时候，有个小同学皱着眉头问我：“老师，这公式这么麻烦，有啥用啊？”我笑着告诉他：“就像你搭积木，每一块积木看起来不起眼，但是组合在一起就能搭出漂亮的城堡。

这个公式也是，虽然复杂，但是在解决一些三角形面积问题的时候，可管用啦！”咱们接着说这个展开式。

为了让它更简洁一点，咱们再做进一步的变形和化简。

海伦公式的推导和应用(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。

但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。

海伦公式的几种证明与推广高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula 〕：假设有一个三角形，边长分别为,,,c b a ，三角形的面积S 可由以下公式求得：))()((c p b p a p s ---=，而公式里的)(21c b a p ++=，称为半周长。

图1C海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。

但根据Morris Kline 在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。

由于任何n 边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=))()((c p b p a p p ---=))()()((41a c b b c a c b a c b a -+-+-+++=])(][)[(412222b a c c b a ---+ =)]2()[2(41222222ab c b a ab c b a --+-+-+=222222)(441c b a b a -+- =44422222222241c b a c b c a b a ---++ 教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式C ab s sin 21=和余弦定理C ab b a c cos 2222-+=的证明过程：C ab s sin 21==C n ab 2cos 121-=2222)2(121abc b a ab -+-下略。

我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 21=∆入手，利用勾股定理，布列方程组求高。

海伦公式及其证明方法海伦公式是三角形的重要结论之一，它描述了三角形的边长和面积之间的关系。

具体地说，海伦公式给出了三角形的面积可以通过其三条边的长度来计算。

假设我们有一个三角形ABC，其三个边的长度分别为a，b和c。

令s 为半周长，则s=(a+b+c)/2、海伦公式可以表示为：面积=√(s(s-a)(s-b)(s-c))下面我将介绍两种常见的证明方法，一种基于面积的计算，另一种基于三角函数的计算。

1.基于面积的证明方法：C/\h1/\h2/\/_______\AbB----a-----我们可以通过计算这些小三角形的面积来求解整个三角形的面积。

令s1、s2和s3分别表示三个小三角形的半周长，即s1=(a+h1+h2)/2，s2=(b+h2+h3)/2，s3=(c+h1+h3)/2分别应用海伦公式到s1、s2和s3得到小三角形的面积：S1=√(s1(s1-a)(s1-h1)(s1-h2))S2=√(s2(s2-b)(s2-h2)(s2-h3))S3=√(s3(s3-c)(s3-h1)(s3-h3))然后，我们将这些小三角形的面积相加，得到整个三角形ABC的面积：面积=S1+S2+S3=√(s1(s1-a)(s1-h1)(s1-h2))+√(s2(s2-b)(s2-h2)(s2-h3))+√(s3(s3-c)(s3-h1)(s3-h3))接下来，我们需要证明上式等于√(s(s-a)(s-b)(s-c))。

通过一系列代换和简化，可以证明上述等式成立。

这个证明过程相对复杂，涉及到较多的代数和几何计算，超出了本回答的范围。

感兴趣的读者可以参考相关数学教材或其他资料进行学习和探索。

2.基于三角函数的证明方法：另一种证明海伦公式的方法是基于三角函数。

这种方法使用三角函数的性质，将三角形的面积表达为三个边长和角度的函数，然后进行推导得到海伦公式。

我们首先假设三个边的正弦值为三个角度的函数，即sinA = a/2R，sinB = b/2R，sinC = c/2R，其中R为三角形的外接圆半径。

八年级数学-张美玲-海伦公式C1407班的李镜楠有一天拦住我，说：“老师，我觉得海伦公式很重要，你可以讲一下吗？”海伦公式一、什么是海伦公式？如图1，在三角形ABC中，A=15，B=14，C=13，求三角形ABC的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？图1像这样的题目，用海伦公式很容易解决，那么，什么是海伦公式呢？海伦公式：三角形的面积()()()cS-p=--apbpp1其中：a、b、c分别是三角形的三边长，()c=+ap+b2海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。

此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica 》中找到其证明。

亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica 》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。

亚历山大里亚的海伦（希腊语： Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς）（公元10年－70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。

他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization ）科学传统方面享负盛名。

我国南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。

“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。

”若以大斜记为 a ，中斜记为 b ，小斜记为 c ，用现代公式表示即为：〉-+-〈=222222)2(41b a c a c s能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？ 二、秦九韶公式推导出海伦公式 详见人教版教材八年级下册三、秦九韶公式的证明中国古代的天元术发展水平非常高，猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 21=∆入手，利用勾股定理，布列方程组求高。

八年级数学-张美玲-海伦公式C1407班的李镜楠有一天拦住我，说：“老师，我觉得海伦公式很重要，你可以讲一下吗？”海伦公式一、什么是海伦公式？如图1，在三角形ABC中，A=15，B=14，C=13，求三角形ABC的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？图1像这样的题目，用海伦公式很容易解决，那么，什么是海伦公式呢？海伦公式：三角形的面积()()()cS-p=--apbpp1其中：a、b、c分别是三角形的三边长，()c=+ap+b2海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。

此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica 》中找到其证明。

亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica 》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。

亚历山大里亚的海伦（希腊语： Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς）（公元10年－70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。

他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization ）科学传统方面享负盛名。

我国南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。

“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。

”若以大斜记为 a ，中斜记为 b ，小斜记为 c ，用现代公式表示即为：〉-+-〈=222222)2(41b a c a c s能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？ 二、秦九韶公式推导出海伦公式 详见人教版教材八年级下册三、秦九韶公式的证明中国古代的天元术发展水平非常高，猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 21=∆入手，利用勾股定理，布列方程组求高。

海伦公式是一种用于计算三角形面积的公式，它可以通过已知三个边长来计算三角形的面积。

人教A版必修二中海伦公式是用来解决这个问题的一个重要工具。

首先，我们来了解一下海伦公式的数学背景。

在三角形中，已知三边长a、b、c，可以使用海伦公式计算三角形的面积。

具体来说，三角形的面积可以通过以下公式计算：S = sqrt[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]其中，p是半周长，即p = (a + b + c) / 2。

通过这个公式，我们可以得到三角形的面积。

那么，如何将海伦公式应用到实际问题中呢？人教A版必修二为我们提供了一种方法。

具体来说，我们需要测量三角形三个顶点的坐标，分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)。

根据题目所给条件，我们可以得到三角形的三边长a、b、c，进而使用海伦公式求出三角形的面积。

在具体应用中，我们需要用到两点间的距离公式，即d = sqrt[(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2]。

根据这个公式，我们可以求出三角形各个顶点之间的距离，进而得到半周长和各个顶点的坐标。

通过这些信息，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。

在实际操作中，我们需要注意一些细节问题。

首先，我们需要确保测量数据的准确性，避免误差对结果产生影响。

其次，我们需要根据题目所给条件来确定三角形的形状和类型，以便选择合适的计算方法。

最后，我们还需要注意公式的适用范围和限制条件，以确保结果的正确性和可靠性。

总之，人教A版必修二中的海伦公式是一种非常实用的工具，可以帮助我们快速计算三角形的面积。

通过了解公式的数学背景和应用方法，我们可以更好地掌握这个工具，并将其应用到实际问题中。

同时，我们还需要注意一些细节问题，以确保结果的正确性和可靠性。

C1407班的李镜楠有一天拦住我，说：“老师，我觉得海伦公式很重要，你可以讲一下吗？”海伦公式一、什么是海伦公式？如图1，在三角形ABC中，A=15，B=14，C=13，求三角形ABC 的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？图1像这样的题目，用海伦公式很容易解决，那么，什么是海伦公式呢？海伦公式：三角形的面积()()()cS--=-ppbppa1其中：a、b、c分别是三角形的三边长，()c+=p+ab2海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。

此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。

亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。

亚历山大里亚的海伦（希腊语： Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς）（公元10年－70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。

他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization ）科学传统方面享负盛名。

我国南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。

“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。

”若以大斜记为 a ，中斜记为 b ，小斜记为 c ，用现代公式表示即为：〉-+-〈=222222)2(41b a c a c s能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？ 二、秦九韶公式推导出海伦公式 详见人教版教材八年级下册 三、秦九韶公式的证明中国古代的天元术发展水平非常高，猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 21=∆入手，利用勾股定理，布列方程组求高。