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平方差公式课件

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平方差公式(共10张PPT)

平方差公式(共10张PPT)

遵义学练考 数学 8上【R】
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
第1页，共10页。
第2页，共10页。
第3页，共10页。
第4页，共，共10页。
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第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解
第9页，共10页。
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第10页，共10页。
《平方差公式》PPT课件

《平方差公式》PPT课件

= y2 - 22 - (y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -4y+1
完整版ppt
20
1、 口答随：堂练习
(1)(a+3)(a−3)； (2)(2a +3b)(2a−3b) ;
(3)(1+2c)(1−2c) ; (4)(−1+5m)(−1−5m)
(5)(−2x+3y)(2x+3y) ; (6)(a−2b)(a−2b) .
第二数b
平方
=25− 36x2 ;
(2) (x+22yy) (x−22yy)
= x2− ( 2y )2
= x2 −4y2 ;
(3) (−m+nn)(−−mm−n )n = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 .
完整版ppt
注意 当“第
一(二)数”是一分数 或是数与字母的乘积 要时用, 括号把这个数整 个括起来，再平方;
(3)(a+b)(a-c) 否 (4)(2+a)(a-2) 是
（5）(1x2y) (1x2y)
4
4
是
（6） (1-x)(-x-1) 是
（7 ）(-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 是
完整版ppt
10
【例1】运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b) (3) (-x+2y)(-x-2y) (4) (a-b+c)(a-b-c)
猜想:(a+b)(a-b)= a2-b2 ?
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2
=a -b 2 2完整版ppt
八年级数学《平方差公式》课件图文详解

八年级数学《平方差公式》课件图文详解


知2－导
利用这个公式， 可以直接计算 两数和乘以这 两数的差.
这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁:
(a + b) (a－b)=a2 －b2.
这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称 为平方差公式.
知2－讲
平方差公式： 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差． 用式子表示为：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
-2 0192 =2 0192-1-2 0192=-1.
总结
知3－讲
本题运用转化思想求解．运用平方差公式计算两数乘 积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个 数与这个平均数进行比较，变形成两数的和与这两数 的差的积的形式，利用平方差公式可求解．
知3－练
1 计算2 0162－2 015×2 017的结果是( )
项的平方 减去相反项的平方 . 3. 理解字母a,b的意义，平 方差公式中的a,b既
可代 表一个单项式，也可代表 一个多项式 .
知1－讲
知1－练
1 下列计算能运用平方差公式的是( )
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)
D.
2 3
m2
3 4
解: (1) (a+3)(a-3)=a2-32=a2-9. (2)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (3) (1+2c)(1-2c)=12-(2c)2=1-4c2. (4)(-2x-y)(2x-y)=(-y-2x)(-y+2x)=(-y)2-(2x)2=y2-4x2.
n3
《14.2.1平方差公式》课件(3套)

《14.2.1平方差公式》课件(3套)

(4)(－3x＋2y)(－3x－2y)＝_9_x_2_－__4_y_2_.
4．填空：(－12x＋2y)(__－__12_x_－__2_y__)＝14x2－4y2； (－4a－1)(_－_1_＋__4_a__)＝1－16a2.
5．运用平方差公式计算： (1)(9s＋11t)(11t－9s)； 解：121t2－81s2
14．2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运 算．
重点 平方差公式的推导和应用． 难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
一、设问引入 探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与 结果有什么规律吗？ (1)(x＋1)(x－1)； (2)(m＋2)(m－2)； (3)(2x＋1)(2x－1)． 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间 互相补充，教师不急于概括． 二、举例分析 再举几个这样的运算例子． 让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)， 然后由其中一个小组的代表来汇报．
项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列
多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x+1）（x-1）=
x2 -1 ；
（2）（m+2）（m-2）= m2-4 ；
（3）（2x+1）（2x-1）= 4x2 -1 ．
你能将发现的规律用式子表示出来吗？ （a+b）（a-b）=a 2 -b2
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗？
（a+b）（a-b） =a2 -ab+ab-b2 =a2 -b2
理解平方差公式
前面探究所得的式子（a+b）（a-b）=a2-b2 为乘法 的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)

平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)

2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
平方差公式因式分解课件

平方差公式因式分解课件


平方差公式的证明
以几何解释和代数推导的方式，详细介绍平方差公式的证明，并提供一些实例来巩固理解。
平方差公式的应用
展示平方差公式在解决实际数学问题中的应用，包括面积计算、数列求和和方程式的变形等。
因式分解实例1：4x^2 - 9y^2
通过实际例子演示如何应用平方差公式进行因式分解，帮助学生更好地理解 和掌握这一概念。
平方差公式的探究
发掘更深层次的平方差公式相关概念，讨论剩余和约分等概念，并展示它们 是如何相互影响的。
平方差公式的历史背景
介绍平方差公式的历史渊源和相关数学家，帮助学生了解数学知识的发展和演变。
平方差公式在实际生活中的应用
探索平方差公式在实际生活中的实际应用，如建筑设计、物理力学和经济分析等领域。
平方差公式因式分解ppt 课件
本课件将带您了解平方差公式因式分解的概念、应用和推广。深入浅出，轻 松掌握这一数学难题，让您的数学技巧更上一层楼！
平方差公式介绍
通过直观的示意图，了解平方差公式是什么，并掌握其重要性以及在因式分解中的作用。
பைடு நூலகம்
什么是因式分解？
深入分析因式分解的定义，展示因式分解在数学中的重要性，以及为什么它 是数学解决难题的基础。
因式分解实例5：9a^2 - 16b^2
最后一个实例将帮助学生巩固平方差公式因式分解的知识，并解决更具挑战 性的方程式问题。
平方差公式的推广
探讨平方差公式的推广应用，如立方差公式和高次幂差公式，并帮助学生扩 展他们的数学思维。
平方差公式的变形1：(a+b)^3
了解如何将平方差公式应用于(a+b)^ 3的展开，并解决更复杂的代数问题。
平方差公式的变形2：(a+b)^4
《平方差公式》PPT优质课件

《平方差公式》PPT优质课件

= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
1.平方差公式课件

1.平方差公式课件


能力提升
1.已知a＋b＝3，a－b＝1，则a2－b2的值为___．
2.若x，y满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x2－y2的值
为( )
A．14 B．－14
C．45
D．－45
3.已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值．
4.计算 3 (22 1)(24 1)...( 232 1) 1 ．
例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) .
解：(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2； (2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ； (3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 .
4.下列运算正确的是( C ) A．3x＋2y＝5xy B．(m2)3＝m5 C．(a＋1)(a－1)＝a2－1
b2 D. b ＝2
5.若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则( B ) A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3 C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3
6.如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方 形(a＞b)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图②)，利 用这两个图形的面积，可以验证的公式是( B ) A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b) B．a2－b2＝(a＋b)(a－b) C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
注：利用平方差公式的关键是，认准公式里的a和b; 符号相同的为a,符号相反的为b.
例2 视察下面两幅图，你能根据此图从几何 的角度推导出平方差公式吗？
平方差公式课件(市一等奖)

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平方差公式的特点
形式特点：形如a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 结构特点：左边是两个相同的二项式相减，右边是两个相同的二项式相加 符号特点：当a、b同号时，结果为正；当a、b异号时，结果为负 代数式特点：左边是两个相同的代数式相减，右边是两个相同的代数式相加
平方差公式的应用
第四章
练习与巩固
第六章
基础练习题
计算(a+b)^2的值
计算(a^2-b^2)^2的值
计算(a-b)^2的值 计算(a^2+b^2)^2的值
提升练习题
计算(a+b)(a-b)的值 计算(2x+y)(2x-y)的值 计算(3a+2b)(3a-2b)的值 计算(-5m+6n)(-5m-6n)的值
综合练习题
文字，以便观者准确地理解您传达的思想
归纳法证明法：通过归纳法，从特殊到一般，逐步推导出平方差公式的结论。 以上是几种常见
04
的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选择合适的方法进行证明。
以上是几种常见的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选
择合适的方法进行证明。
证明过程演示
平方差公式的应用范围
代数式变形：利用 平方差公式对代数 式进行变形和化简
计算：利用平方差 公式计算一些数学 表达式的结果
证明：利用平方差 公式证明一些数学 命题
应用题：利用平方 差公式解决一些实 际问题
平方差公式的应用实例
计算平方差公式 中的a和b的值
计算平方差公式 中的c的值
计算平方差公式 中的d的值
计算平方差公式 中的e的值
平方差公式的应用技巧
识别平方差公式形式：首先需要识别题目中的平方差公式形式，以便正确应用。
平方差公式ppt课件

平方差公式ppt课件

平方差公式ppt课件
目录
• 引言 • 平方差公式的定义与形式 • 平方差公式的证明方法 • 平方差公式的扩展形式 • 平方差公式的应用举例 • 总结与回顾
01
引言
课程背景与目标
01
课程背景
02
课程目标
本课程是面向初中学生的数学课程，旨在帮助他们理解并掌握平方差 公式及其应用。
通过本课程，学生将能够理解平方差公式的推导过程，掌握其结构特 点，并能够在计算中运用该公式。
02
01
其中，a和b是任意实数，可以是 整数、有理数或无理数。
平方差公式的应用范围
平方差公式在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决 各种与平方差有关的问题。
例如，在代数、几何、三角函数等领域中，平方差公式 都可以发挥重要的作用。
此外，在物理、化学等其他学科中，平方差公式也有着 广泛的应用。
03
平方差公式的证明方法
平方差公式的应用前景展望
01
在代数运算中的应用
02
在几何图形中的应用
03
在实际生活中的应用
04
在数学竞赛中的应用
THANKS
平方差公式的重要性
01
0203基础数来自概念提高计算效率培养逻辑思维
平方差公式是初中数学中的一个基础概念 ，是后续学习多项式、因式分解等知识的 基础。
掌握了平方差公式，可以大大提高学生的 计算效率，特别是在处理一些多项式的乘 法或乘方运算时。
学习平方差公式的过程，也是培养学生逻 辑思维和推理能力的过程，对于学生数学 素养的提高非常有帮助。
归纳法证明
总结词
归纳法证明是平方差公式证明中 最为直观和简洁的方法。
详细描述
通过将平方差公式左边展开，与 右边进行比较，发现两者相等， 从而证明了平方差公式的正确性 。
七年级数学上册 9.11《平方差公式》课件

七年级数学上册 9.11《平方差公式》课件

、(2)满足(mǎnzú) (3)、(4)不满足
第七页，共十四页。
三、启发(qǐfā)诱导,初步运用
例题(lìtí)1 计算:
(1) (2x+y)(2x-y);
(2) (2 1x3 1y)(2 1x3 1y)
(3) (-x+3y)(-x-3y)
(4) ( m 2 n1)( m 2 n1)
注： （1）添加必要(bìyào)的括号; （2）分清“a” 与“ b”.
例题(lìtí)3 计算:
ababab (1) ( 2 ) ( 2 ) ( 4 2 2 )
(2) (1a2)(1a)(1a)
4
22
练习(liànxí) p35
第十页，共十四页。
六、归纳(guīnà)小结
本节课你学到了什么(shén ? me)
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。
第八页，共十四页。
三、启发诱导(yòudǎo),初步运用
例题(lìtí)2 计算:
(1) (2 3x7y)(7y2 3x) (2) (2 1x2y)(2 1x2y)
(3) ( 1 3 a2 b)(3 a2 b 1 )
注：
（1）符号(fúhào)的变化; （2）位置的变化.
第九页，共十四页。
三、启发诱导(yòudǎo),初步运用
9.11 平方差公式(gōngshì)
第一页，共十四页。
一、复习(fùxí)引入、温故知新
• 温故: 多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个(yī ɡè)多项
式的每一项乘以另一个(yī ɡè)多项式的每一项， 再把所得的积相加。
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn

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= x2− ( 2y )2
= x2 −4y2 ;
(3) (−m+nn)(−−mm−n )n = ( −m )2 − n2 = n2 −n2 .
阅读
p59例2.
注意 当“第
一(二)数”是一分数 或是数与字母乘积时, 要用括号把这个数整 个括起来，再平方;
最终结果又 要去掉括号。
第7页
随堂练习
随堂练习
(a+b+c)(a—b—c)。
第13页
本题是公式变式训练，以加 深对公式本质特征了解．
(4a−1)(4a−1)
利用加法交换律， =( −14a−−41a ) ( 4−a1 −+14a )
法一 变成公式标准形式。 =(1)2 −(4a)2 = 1−16a2。
提取两“−”号中“−”号 法二，
变成公式标准形式。
(4a−1)(4a−1) =−(4a+1)(4a−1) = [ (4a)2 −1]
这两个数平方差．
第5页
初识平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2
特征 结构
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数和与差相乘； 且左边两括号内第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];
(2) 公式右边是这两个数平方差； 即右边是左边括号内第一项平方 减去第二项平方.
(3) 公式中 a和b 能够代表数， 也能够是代数式．
假如 (x+a)(x+b)中a、b再有某种特殊关系， 又将得到什么特殊结果呢? 这就是从本课起要学习内容．
第2页
a
试一试
a
a-b 将图中纸片只剪一刀，
再拼成一个长方形．
b
a-b b

平方差公式课件1

理等。
平方差公式的定义：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 平方和公式的定义：a^2 + b^2 无法通过其他形式表示 平方和与平方差的关系：无法直接通过平方差公式推导得到 平方和与平方差的应用场景：在数学、物理等领域有广泛的应用
二项式定理：平方差公式的扩展，适用于任意两个二项式相乘的情况
平方差公式在代数表达式中可以用 于简化计算
平方差公式可以用于解决一些代数 方程的求解问题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
平方差公式可以用于因式分解，将 多项式化为两个因式的乘积
平方差公式在代数表达式中可以用 于证明一些恒等式
计算面积：利用平方差公式计算各种几何图形的面积 计算周长：利用平方差公式计算各种几何图形的周长 证明定理：利用平方差公式证明几何定理，如勾股定理等 解决实际问题：利用平方差公式解决几何图形中的实际问题，如土地测量、建筑测量等
利用多项式乘法展 开验证公式
证明公式正确性
总结推导过程
将原式拆分成两个二项式相减的形 式
利用平方差公式进行因式分解
展开并简化得到平方差公式
平方差公式的推导 基于多项式乘法与 因式分解的结合
通过将左边的式子 进行因式分解，得 到两个二项式的乘 积
利用多项式乘法的 分配律，将右边的 式子展开
最终得到平方差公 式的形式
完全平方公式：平方差公式的特殊形式，适用于两个完全平方项相乘的情况
平方差公式的几何意义：将平方差公式与几何图形相结合，有助于理解公式的意义和性 质
平方差公式的应用：介绍平方差公式在数学、物理等学科中的应用，以及在解决实际问 题中的应用
公式形式：a^2 b^2 = (a+b)(a-b)
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（2）(3+2a)(－3+2a)= (2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4 a2－9；
=(9x2－16) - (6x2+5x -6) =3x2－5x+10
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（1）(a+3b)(a - 3b)= (a)2－(3b)2 =a2－9b2 ； （3）(－2x2－y)(－2x2+y)= (-2x2 )2－y2 =4x4－y2.
（4）51×49= (50+1)(50-1) =502－12 =2500-1 =2499 （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
§15.2 乘法公式
平方差公式
某同学去商店买了单价是9.8元/千克的 糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，他就 说出应付99.96元，结果与售货员计算出的 结果相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象 是个神童，怎么算得这么快？”王敏捷同学 说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的 一个公式。”
你知道他是怎么计算的吗?
例1 运用平方差公式计算： (3) (-x+2y)(-x-2y). 解：原式= (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
检验成果:
1.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) ；
(3) (1+2c)(1-2c).
挑战自我
3、利用平方差公式计算： 1998×2002；
（1）解：1998×2002 =（2000－2）（2000+2） =2000 －22 =4000000-4 =3999996
2
1、计算：1996×2004 解：原式=（2000-4）×（2000+4）
=2000 2 - 4 2 =4000000-16 = 3999984
4a 1 (4a 原式 变成公式的形式 1) 4a 1 4a 1
16 a 1
4a 1
2 2
2
= 1−16a2
注意
①计算时千万别忘了你提出的“”号、添括号； ②运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”， 然后应用公式．
拓 展 练 习
计算：(4a1)(4a1)．
方法一：利用加法交换律， 变成公式的形式
解：原式= ( 4a−1 ) ×( 4a −1 ) = （−1 −4a） ×（−1 +4a = =
(1)2 −(4a)2 1−16a2
）
计算：(4a1)(4a1)．
方法二：提取两“−”号中的“−” 号
(不能)
(2) (a−b)(b−a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(不能)
(不能) (能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (不能)
(4) (a−b)(a+b) ;
(5) (2x+y)(y−2x).
2、计算：
(1)(a+3)(a−3)； (2)(2a +3b)(2a −3b ) ;
a
b
a
b
如图：在边长为a的大正方形的一角剪去
一个边长为b的小正方形。
a b （1）图中的红色部分部分面积是__________ （2）你能否将红色部分拼成一个完整的长方形图案吗？ (a b )( a b) 你拼出的长方形的面积是________________
2 2
平方元/千克的 糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，他就 说出应付99.96元，结果与售货员计算出的 结果相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象 是个神童，怎么算得这么快？”王敏捷同学 说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的 一个公式。”
你知道他是怎么计算的吗?
利用平方差公式计算：
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b);
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b) =(2a+b)(2a－b) 2－22 =(3x) =(2a)2－b2 2－4； =9x =4a2－b2.
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