清华大学流体力学课件 量纲与相似

¾U 取 为 无穷远方 来流速度
¾P 取 为 与无穷远 方的压差
这些特征量常取在边界处，使相似准数中自然融进边界条件 的相似。
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4
不可压缩流体流动相似准则 粘性相似准则：保证两现象的雷诺数相等 重力相似准则：保证两现象的弗劳德数相等 非恒定相似准则：保证两现象的斯特劳哈尔数相等 压差力相似准则：两现象欧拉数相等
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一. 流动相似概念
本节在量纲分析基础上，先针对不可压缩流体，讨论两个规 模不同的流动相似问题。流动相似问题是进行有关流体力学模 型试验时必须面对的问题。
几几何何相相似似 流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角 度相等。几何相似还应包括流场相应边界性质相同，如固体壁 面，自由液面等。
用流动的时间、 长度、流速和压强 特征量T、L、P、U, 将方程的自变量和 应变量无量纲化：
(x, y, z) = ( L~x , L~y , L~z )
t = T ~t u = Uu~ p = P~p
带‘～’的量成 为无量纲量。
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将无量纲变量代入
连续方程 ∇⋅u=0
N-S方程 ∂u + (u ⋅ ∇ )u = − gk − 1 ∇ p + ν∇ 2u
相同量纲量的比值 如角度，三角函数
几个有量纲量通过乘除组合而成
如压力系数
Cp
=
p − p∞
1 2
ρU
2 ∞
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1
二.量纲和谐原理 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量
纲指数都分别相同。 任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位
制变换而改变形式。 客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。
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根据以上四个无量纲量（有的作了取倒数、开方等改形）得 到流动的相似准数：
¾斯特劳哈尔数 St ≡UT L
¾弗劳德数 Fr ≡ U gL
¾欧拉数
Eu
≡
P ρU
2
¾雷诺数
Re
≡
UL ν
它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。
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¾ 斯特劳哈尔数
St ≡UT
表征
L
位变惯性力 时变惯性力
明渠流动即具有自由液面，且允许液面上下自由变动的各 种流动，如河渠水流、孔口出流及堰顶溢流等等。这些流动 重力起主要作用，所以，明渠流动模型一般都按弗劳德准则 设计。当然，明渠流动也存在有粘滞力作用，所以同时要求 雷诺数达到某一数值，使流动进入自模区（即阻力平方 区）。
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管管道道流流动动模模型型律律的的选选择择
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第七章 量纲分析与相似理论
§7—1 量纲分析 §7—2 相似理论
本章小结
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§7—1 量纲分析
DD量量纲纲、、无无量量纲纲量量 DD量量纲纲和和谐谐原原理理 DDΠΠ 定定理理
一. 量纲、无量纲量
量纲是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示 物理量的类别，是物理量的质的特征。
在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体 的物理量就对应于一个数值，有了比较意义上的大小，这是物 理量的量的特征。
2
令
CD
=
D= 1 ρv2 A
D 1 ρv2 π d 2
=
8 π
Π1
2
24
绕流阻力系数
Re = vd = ρvd = 1 ν μ Π2
雷诺数
无量纲方程 Π1 = f (Π2 )
CD = f (Re)
圆柱绕流阻力系数与雷诺数有关，其值由实验确定。
§7—2 相似理论
DD流流动动相相似似概概念念 DD相相似似准准则则 DD相相似似理理论论的的应应用用
无量纲 N-S 方程对流项前的系数归一，得到
L TU
∂ u~ ∂ ~t
+
(u~ ⋅ ∇~ )u~
=
− gL U2
k
−
P ρU
2
∇~ ~p
+
ν LU
∇~ 2u~
相似流动的无量纲方程和边界条件、初始条件应该完全一
样，所以两个相似流动对应的
L gL P ν TU , U 2 , ρU 2 , LU
必须相等。它们都是无量纲量，分别反映了时变惯性力、重 力、压差力和粘性力在流动的动力平衡中相对于位变惯性力的 重要性。
应用 Π 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物 理量时，既不能遗漏，也不要多列。
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例 7-2
用用ΠΠ定定理理推推求求圆圆球球绕绕流流阻阻力力DD的的表表达达式式
1 首先确定对绕流阻力有关的物理量：根据对已有资料的 分析可知，圆球绕流阻力D与流体物理性质（流体密度 ρ 和 动力粘滞系数 μ ）、流动边界几何特性（圆球直径d）和流 体运动特征（来流速度v）有关，共5个物理量，用函数关系 式表示为：f (D ,ρ ,μ ,d ,v) = 0
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表面张力和弹性力相似准则
表面张力相似准则： 当作用力主要为表面张力时，流动相似
还要保证韦伯数相等。韦伯数为
韦伯数表征流动的 惯性力和表面张力之比
We = ρLU 2 σ
弹性力相似准则： 对 于 高 速 气 流 ， 当 作 用 力 主 要 为 弹 性 力
时，流动相似还要保证马赫数相等。马赫数为
¾雷诺数
Re ≡ UL ν
表征
位变惯性力
¾弗劳德数 Fr ≡ U gL
表征 位变惯性力
¾欧拉数
Eu≡ຫໍສະໝຸດ P ρU2粘性力 表征
压差力
重力
位变惯性力
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流动的特征量一般应取流动中容易测量到的、能显著体现 流动特征，或者对流动起到重要控制作用的量。如
¾ T 取为周期 性运动的周期
¾L 取为绕 流物体的特 征长度或圆 管直径
α ≠ 0 , β ≠ 0 , γ = 0 则 x 为运动学的量 α ≠ 0 , β ≠ 0 , γ ≠ 0 则 x 为动力学的量
运动粘性系数 dimν = L2T−1 动力粘性系数 dimμ = L−1T−1M
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无量纲（量纲为一）量
定定义义：： 物物理理量量的的 所所有有量量纲纲 指指数数为为零零
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例 7-1 初速为零的自由落体运动位移 s s～g,t g , t 选为基本量纲 三个量只能组成一个无量纲量 s/gt2 初速为零的自由落体运动规律 s/gt2 = C
做一次实验测得 C = 1/2 ，就不用再做类似实 验（包括在月球上做实验）。
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从无量纲表达看，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉 及的物理量并未减少，只是这些物理量组合成了若干无量纲量相 互关联。比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之 间规律性联系的实质，也更具普遍性。
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量纲
基本量纲 诱导量纲
基本量纲具有独立性，比 如与温度无关的动力学问题 可选取长度L、时间T和质量 M为基本量纲。
诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出
如 dim x = LαTβ Mγ α , β , γ 称为量纲指数 α ≠ 0 , β = 0 , γ = 0 则 x 为几何学的量
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模模型型律律的的选选择择 选择合适的相似准则来进行模型设计，以保 证对流动起主导作用的力相似，而忽略其他次要力的相似。
明渠流动 液体孔口
出流
潜体绕流 有压管流
重力起 主导作用
用重力相似准则，保证两 现象的弗劳德数相等。
粘滞力起 主导作用
用粘性相似准则，保证 两现象的雷诺数相等。
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明明渠渠流流动动模模型型律律的的选选择择
长度比尺 λ l= lp / lm
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运运动动相相似似 以 几 何 相 似 为前提。流体质点流过相应 的位移所用时间成比例。
长度比尺λ l= lp / lm
在对应瞬时， 流场速度图相 似，即相应点速 度大小成比例， 方向相同。
时间比尺λ t= t p / tm
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动动力力相相似似 在对应位置和对应瞬时，流场中各种成分的力 （时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性力）矢量 图都相似，即相应点力的大小成比例，方向相同。并且五种成 分力的相似比例数也相同，即力多边形相似。
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关关于于雷雷诺诺数数
V7-1
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三. 相似理论的应用
在什么条件 下进行实验?
应该测量哪 些物理量?
实验结果如 何应用?
如如何何进进行行实实验验??
在相似的条件下进行实验。
应该测量实验结果无量纲表 达式包含的所有物理量。
实验结果应整理成以相似准 数和其它无量纲量来表示的 函数关系式或绘制成曲线； 实验结果只能应用于相似现 象之间。
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5
在在相相似似的的条条件件下下进进行行实实验验
完全相似
严格地要求所有相似准数都相同
例如 难于做到
Fr p = Fr m Rep = Rem
gg相相同同 ν相相同同
up = lp
um
lm
u p = lm um lp
λu = λl
λu
=
1 λl
可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和 ν. 而我 们知道改变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航 天飞机上做），改变 ν 的可能性也不大，因为流体力学实验可 供选择的流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证 起决定作用的那个相似准数相等，称为部分相似。
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独立准则和导出准则
根据多边形相似的概念，只要惯性力和其它任意两个同名力 相似（即方向相同、大小成比例），另一个同名力必将相似。 由于压强通常是待求的量，所以只要相应点的惯性力、粘性力 和重力相似，根据力多边形相似概念，压力将自行相似。也就 是说当雷诺准则、弗劳德准则得到满足，欧拉准则则可自行满 足。所以，雷诺准则、弗劳德准则称为独立准则，欧拉准则称 为导出准则。