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2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）D 题 赛程安排 参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。
各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
1) 多种方法 (甚至凑的方法) 都能给出一个达到要求的赛程, 如表1.2) 当n 支球队比赛时, 各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r . 证明如下:1. 设n 为奇数, n = 2k + 1. 共比赛 N = k (2k + 1)场. 考察前k + 1场, 有2k +2个队参赛, 于是至少有1个队两次参赛, 这个队在这两场比赛间相隔场次数r 不超过⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--+23111)1(n k k . 2. 设n 为偶数, n = 2k . 共比赛 N = k (2k - 1)场. 同上, 在前k + 1场中至少有1个队(记这样的一个队为A)两次参赛, 记A 第j 场比赛在赛程中是第a j 场, 于是1,121+≤≥k a a .若12+<k a , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-≤--=232112n k a a r ; 若12+=k a , 但11>a , 同样有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-≤--=232112n k a a r ; 若1,121+==k a a , 在前k + 1场中除A 外有2k 个队参赛, 于是至少又有1个队(记这样的一个队为B)两次参赛, 记B 第j 场比赛在赛程中是第b j 场, 则必有1,121+<≥k b b , 或1,121+≤>k b b (即不可能1,121+==k b b ), 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-≤--=232112n k b b r . 3) n =8, 相隔场次数的上限为r =2. 记8支球队为1,2, ⋯8, 共28场比赛. 一种编制赛 程的办法是将赛程分为7轮, 每轮4场, 各队在每轮中相遇, 具体如下:1. 构造⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=864275311M 为第1轮, 即第1场1对2, 第2场3对4, ⋯, 第4场7对8. 2. 构造⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=642387512M 为第2轮, 方法是: M 1的1不动, 其余7个数字按逆时针转动, 换一个位置.3. 依此构造M 3, ⋯, M 7, 将M 1, ⋯, M 7接起来, 就得到整个赛程M :))78645786357823532132412461465742356423864281687187517531 ⎝⎛=M即第1场1对2, 第2场3对4, ⋯, 第28场5对7. 4. 容易得到赛程M 各队每两场比赛中间相隔的场次数及其总数, 如表2.n =9, 相隔场次数的上限为r =3. 记9支球队为1,2, ⋯9, 共36场比赛. 一种编制赛 程的办法是1. 画一4⨯9的表格, 如表3. 第i 行第j 列的格子记作(i ,j ), 在每格左侧先按行依次填1, 3, 5, 7 ( 第1行1个1, 第2行3个3, ⋯, 第4行7个7), 后按行依次填8, 6, 4, 2 , 构成每场比赛的第1支队.表3.2. (1,6)至(4,9)填1, 使1 的总数(包括格子左侧的)为8, 自(3,4)至(4,5), 跳过一列再自(1,7)至(3,9)填3, 使3 的总数(包括格子左侧的)为8, ⋯.表43. 在格的右侧沿各对角线填2, 4, 6, 方法与上类似. 最后在未满的8个格中填9,得到表5. 按照表5先列后行的顺序排列得到赛程M *, 即第1场1对9, 第2场3对2, ⋯, 第36场2对1.4. 如表6. 以上方法可以推广用于n 为奇数的情况.4) 除每两场比赛间相隔场次数外, 还可给出以下指标:1. 平均相隔场次数.记第i 队第j 个间隔场次数为c ij , i=1,2, ⋯.,n , j =1,2, ⋯.,n -2, 则平均相隔场次数为∑∑=-=-=n i n j ij c n n r 121)2(1, r 是赛程整体意义下的指标, 它越大越好. 检查n =8的赛程M , 得r =3; n =9的赛程M *, 得r =220/63=3.49.实际上, 可以得到r 的上限: ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=k n k k n k k k r 2,112,14222max , 上述结果表明, 赛程M 和M *都已达到了这个上限.2. 相隔场次的最大偏差.定义r c f ij j i -=.max 为总体最大偏差, ∑-=--=21)2(max n j ij i r n c g 为球队最大偏差, 它们都越小越好.检查n =8的赛程M , 得f =1, g =1; n =9的赛程M *, 得f =0.5, g =5.5.实际上, 可以得到f 的下限: ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=k n k n k k f 2,112,14222min , 以及n=2k时g 的下限: 1min =g .结果表明, 赛程M 达到了f 和 g 下限, M *也达到了f 的下限.。
2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（大专组：C题）
●答卷用白色A4纸，第一页为空白页（用于赛区或全国组委会对论文进行编号）。
●论文题目和摘要写在第二页上，从第三页开始是论文正文。
●论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。
●提请大家注意：从去年起，提高了摘要在整篇论文评阅中所占的权重。
●全部题目可以从以下网址之一下载：
C题车灯线光源的计算
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置长度为4毫米的线光源，线光源均匀分布。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直。
请解决下列问题：
1.计算直射光总功率与反射光总功率之比。
2.计算测试屏上直射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形。
3.计算测试屏上反射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形（只须考虑一次反射）。
第1页，共1页。
2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题车灯线光源的优化设计参考答案A题车灯线光源的优化设计安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。
要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
请解决下列问题：（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。
各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
四. 反射光亮区的计算分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。
所有这些亮点的集合即为反射光亮区。
亮区的上半部分由下图所示(横坐标为x轴，纵坐标为y轴，单位为mm),下半部分与上半部分是关于x轴对称的。
汽车前照灯线光源的优化设计（2）汽车前照灯分为"近"和"远"两个档位，"近光"的距离取的是汽车前照灯正前方的一恒定距离（国际通用的标准为25米远）。
汽车的配光性能可以通过在接收屏上测光强等手段来衡量。
针对一个已经提出配光性能要求的汽车前照灯光源设计问题，本文提出了"双向蒙特卡罗方法"，此方法能够大大节省计算量，使计算量至少降低了一个数量级（具体数据见正文中第五部分的表格）；同时，在具体求解时还根据题目特点，使用了进一步优化计算的逆向蒙特卡罗法。
目录1996年全国大学生数学建模竞赛题目 (2)A题最优捕鱼策略 (2)B题节水洗衣机 (2)1997年全国大学生数学建模竞赛题目 (3)A题零件的参数设计 (3)B题截断切割 (4)1998年全国大学生数学建模竞赛题目 (5)A题投资的收益和风险 (5)B题灾情巡视路线 (6)1999创维杯全国大学生数学建模竞赛题目 (7)A题自动化车床管理 (7)B题钻井布局 (8)C题煤矸石堆积 (9)D题钻井布局（同 B 题） (9)2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题目 (10)A题 DNA分子排序 (10)B题钢管订购和运输 (12)C题飞越北极 (15)D题空洞探测 (15)2001年全国大学生数学建模竞赛题目 (17)A题血管的三维重建 (17)B题公交车调度 (18)C题基金使用计划 (20)D题公交车调度 (20)2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (21)A题车灯线光源的优化设计 (21)B题彩票中的数学 (21)C题车灯线光源的计算 (23)D题赛程安排 (23)2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (24)A题 SARS的传播 (24)B题露天矿生产的车辆安排 (28)C题 SARS的传播 (29)D题抢渡长江 (30)2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (31)A题奥运会临时超市网点设计 (31)B题电力市场的输电阻塞管理 (35)C题饮酒驾车 (39)D题公务员招聘 (39)2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (42)A题: 长江水质的评价和预测 (42)B题： DVD在线租赁 (43)C题雨量预报方法的评价 (44)D题： DVD在线租赁 (45)2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (46)A题:出版社的资源配置 (46)B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 (46)C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 (47)D题: 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 (48)2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (53)A题：中国人口增长预测 (53)2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (56)A题数码相机定位 (56)B题高等教育学费标准探讨 (57)C题地面搜索 (57)2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (59)A题制动器试验台的控制方法分析 (59)B题眼科病床的合理安排 (60)C题卫星和飞船的跟踪测控 (61)D题会议筹备 (61)2010全国高教社杯数学建模题目 (65)A题储油罐的变位识别与罐容表标定 (65)B题 2010年上海世博会影响力的定量评估 (66)A题最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度.一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益.考虑对某种鱼(鳀鱼)的最优捕捞策略:假设这种鱼分四个年龄组,称1龄鱼,…,4龄鱼,各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07,11.55,17.86,22.99(g),各年龄组鱼的自然死亡率为0.8(1/年),这种鱼为季节性集产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109× (个),3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n之比)为1.22× /(1.22× +n).渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数﹑下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm网眼的拉网,这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时鱼场中各年龄组鱼群不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏. 已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:122,29.7,10.1,3.29(×条),如果任用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.(北京师范大学刘来福提供)B题节水洗衣机我国淡水资源有限,节约用水人人又责,洗衣在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣机已相当普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣服和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:加水-漂水-脱水-加水-漂洗-脱水-…-加水-漂洗-脱水(称"加水-漂洗-脱水"为运行一轮).请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮﹑每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下,总用水量最少.选用合理的数据进行计算,对照目前常用的洗衣机的运行情况,对你的模型和结果做出评价.A题零件的参数设计一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。
2002年全国大学生数学建模竞赛（封面）选择题号：（根据所选竞赛题目在方框内打√）学校名称温州大学学生名称黄凤鸣、苏仁杰、杨贤静指导教师徐徐全国大学生数学建模竞赛浙江赛区组委会二○○二年九月编号：车灯线光源的计算摘要：本文针对车灯线光源的有关问题作了详尽、仔细、深入的分析。
在问题一中借助光学原理将光功率之比转化为空间角之比，近而转化为所对应的球冠面积之比，利用了一重微积分求得线光源的直射光功率与反射光功率之比。
在问题二中，利用立体几何和空间解析几何两种方法分别论证了线光源上点光源在测试屏上形成一系列等圆。
该证明过程严谨，结论吻合。
在问题三中，构造了两个模型，模型一给出了反射光亮区上点的隐式解析表达式。
理论上证明算法的可行性。
模型二利用光学原理与向量解析几何的概念，构造了测试屏上反射光亮区上点的显式解析表达式，使解析式简化，从而可利用Matlab进行计算机仿真模拟，最终得到反射光在测试屏上的亮区。
一、问题的提出：汽车头部的车灯的形状可近似为旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置长度为4毫米的线光源，线光源均匀分布。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直。
现按照上述的情况，需解决以下问题问题一：求直射光总功率与反射光总功率之比问题二：在有标尺的坐标系中画出测试屏上直射光的亮区问题三：在有标尺的坐标系中，只考虑一次反射的情况下，画出测试屏上反射光的亮区二、问题的分析：图 A 图B根据上述问题，为了方便对模型的阐述，按所给的数据，用Matlab软件预先模拟出其三维图如图A，又为便于模型的直观分析，在不影响结果的前提下，经过一定的纵横比放缩将其转换为易于观察的立体图B。
（凡后文所涉及的例图均采取类似的方法，即深度比实际图形有所拉长）由于线光源均匀分布，故可以视之为点光源的集合，该集合为空间的一条线段上的点，从而问题可以分解集合I的逐点对照射面的光强的积分效果。
历年数学建模题目
以下是部分历年的数学建模题目：
1. 1992年：施肥效果分析问题、实验数据分解问题。
2. 1993年：非线性交调的频率设计问题、足球排名次问题。
3. 1994年：逢山开路问题、锁具装箱问题。
4. 2002年：车灯线光源的优化设计、彩票中的数学、车灯线光源的计算（大专组）、赛程安排（大专组）。
5. 2003年：SARS的传播、露天矿生产的车辆安排、奥运会临时超市网点设计、电力市场的输电阻塞管理、饮酒驾车、公务员招聘。
6. 2005年：出版社的资源配置、艾滋病疗法的评价及疗效的预测、易拉罐形状和尺寸的最优设计、煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制。
7. 2008年：数码相机定位、高等教育学费标准探讨、地面搜索、NBA赛程的分析与评价。
8. 2009年：制动器试验台的控制方法分析、眼科病床的合理安排、卫星和飞船的跟踪测控、会议筹备。
以上信息仅供参考，如需历年数学建模题目，建议查阅数学建模论坛或相关网站获取。
目录1996年全国大学生数学建模竞赛题目 (2)A题最优捕鱼策略 (2)B题节水洗衣机 (2)1997年全国大学生数学建模竞赛题目 (3)A题零件的参数设计 (3)B题截断切割 (4)1998年全国大学生数学建模竞赛题目 (5)A题投资的收益和风险 (5)B题灾情巡视路线 (6)1999创维杯全国大学生数学建模竞赛题目 (7)A题自动化车床管理 (7)B题钻井布局 (8)C题煤矸石堆积 (9)D题钻井布局（同 B 题） (9)2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题目 (10)A题 DNA分子排序 (10)B题钢管订购和运输 (12)C题飞越北极 (15)D题空洞探测 (15)2001年全国大学生数学建模竞赛题目 (17)A题血管的三维重建 (17)B题公交车调度 (18)C题基金使用计划 (20)D题公交车调度 (20)2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (21)A题车灯线光源的优化设计 (21)B题彩票中的数学 (21)C题车灯线光源的计算 (23)D题赛程安排 (23)2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (24)A题 SARS的传播 (24)B题露天矿生产的车辆安排 (28)C题 SARS的传播 (29)D题抢渡长江 (30)2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (31)A题奥运会临时超市网点设计 (31)B题电力市场的输电阻塞管理 (35)C题饮酒驾车 (39)D题公务员招聘 (39)2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (42)A题: 长江水质的评价和预测 (42)B题： DVD在线租赁 (43)C题雨量预报方法的评价 (44)D题： DVD在线租赁 (45)2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (46)A题: 出版社的资源配置 (46)B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 (46)C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 (47)D题: 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 (48)2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (53)A题：中国人口增长预测 (53)2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (56)A题数码相机定位 (56)B题高等教育学费标准探讨 (57)C题地面搜索 (57)2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (59)A题制动器试验台的控制方法分析 (59)B题眼科病床的合理安排 (60)C题卫星和飞船的跟踪测控 (61)D题会议筹备 (61)2010全国高教社杯数学建模题目 (65)A题储油罐的变位识别与罐容表标定 (65)B题 2010年上海世博会影响力的定量评估 (66)A题最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度.一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益.考虑对某种鱼(鳀鱼)的最优捕捞策略:假设这种鱼分四个年龄组,称1龄鱼,…,4龄鱼,各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07,11.55,17.86,22.99(g),各年龄组鱼的自然死亡率为0.8(1/年),这种鱼为季节性集产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109× (个),3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n之比)为1.22× /(1.22× +n).渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数﹑下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm网眼的拉网,这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时鱼场中各年龄组鱼群不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏. 已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:122,29.7,10.1,3.29(×条),如果任用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.(北京师范大学刘来福提供)B题节水洗衣机我国淡水资源有限,节约用水人人又责,洗衣在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣机已相当普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣服和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:加水-漂水-脱水-加水-漂洗-脱水-…-加水-漂洗-脱水(称"加水-漂洗-脱水"为运行一轮).请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮﹑每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下,总用水量最少.选用合理的数据进行计算,对照目前常用的洗衣机的运行情况,对你的模型和结果做出评价.A题零件的参数设计一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。
问题1：车灯线光源的计算
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置长度为4毫米的线光源，线光源均匀分布。
在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直。
请解决下列问题：
（1） 计算直射光总功率与反射光总功率之比。
（2） 计算测试屏上直射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形。
（3） 计算测试屏上反射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形（只须考虑一
次反射）。
解: 建立坐标系如下图，记线光源长度为l ，功率为W ，B,C 点的光强度分别为)(l h B W 和
)(l h C W ，先求)(l h B 和)(l h C 的表达式，再建立整个问题的数学模型.
以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为60
2
2y x z +=
，焦点坐标为
（0,0,15）。
1) 位于点P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量
设反射点的坐标为Q )60
,
,(2
2y x y x +.记入射向量为a
,该点反射面外法线方向为b ,不难得
到反射向量c
满足
.22b b
b
a a c
⋅-=
记2
22
y x r
+=,由
)
1,30/,30/(),
1560,,(2-=--=y x b r w y x a
从而得),,(z y x c c c c =
的表达式
)
900(60810000
36001800900
)
9002(900
22
2
4
22
2
2
++-+=
+--=
+=
r wy r r c r r y w c r xyw c z y x
注意到反射光通过C 点,应有
60
/25015,
2600,
2
r kc y kc x kc z y x -=-=-=
其中k 为常数. 从上述第一式可解得0=x 或wy
r k 29002
+-=.由此得反射点坐标满足以下两
组方程:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
--±=-=⎪⎩⎪⎨⎧
=--++-+++-=223459005200)2600(133750.021060000001350810000)8100009360000()46800001498200(1800)2600(0y y x w w y w y w y w y y w y x
通过计算可知,存在56.10-≈C w ,当C w w 0>时第一组方程不存在满足2
236≤r 的实根,
即无反射点. 而当C
w w 0<时,有两个反射点2,1),60/,,0(2=i y y Q i i i .
而第二组方程仅当5609.18119.3-<<-w 时存在满足2236≤r 的一对实根,即有两个反射点),60
,
,(2
2
y
x y x +±记为43,Q Q .
若反射点的坐标为),,(z y x Q ,则位于点)15,,0(w P 的单位功率点光源经Q 点反射到C
点的功率密度(单位面积单位时间的能量, 正比于光强度)近似为
2
4cos PQ L πβ
= 其中
2
2
2
2
)1560/()(-+-+=
r w y x PQ
而β为反射向量与z 轴的夹角, .60
/25015cos 2
QC
r -=
β
2))(),(l h l h C B 的表达式
长l 的具有单位功率的线光源位于点)15,,0(w P 的长dw 的微小线光源段反射到C 点的功率密度为
,/)()(4
1
l w f w E i i ∑
==
其中
⎪⎩
⎪⎨⎧=--∉--∈=⎪⎩⎪⎨⎧=-∉-∈=4
,3,]5609.1,8119.3[,0]5609.1,8119.3[,4cos )(2
,1,],30[,0],2/[,4cos )(2
0002
i w w PQ w f i w w w l w PQ w f i
i
i C C
i
i i πβπβ
长l 的具有单位功率的线光源反射到C 点的功率密度为 .)()(2
/2
/⎰-=
l l C dw w E l h
类似可得)(l h B 的表达式.相应的反射点方程为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
--±=-=⎪⎩⎪⎨⎧
=--++-+++-=223459002600)1300(137500.010530000001350810000)8100004680000()23400001498200(1800)1300(0y y x w w y w y w y w y y w y x
相应的,78.00-≈B
w 而第二组方程的有两个反射点的范围为].7800005.0,906.1[--∈w
3） 优化设计的数学模型
设线光源的功率为W , 则它反射到B 点和C 点的功率密度分别为W l h B ⋅)(和W l h C ⋅)(.问题的数学模型为:
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤≤1
)(2)(.
.mi n 00W
l h W l h t s W C B l l
三. 模型的求解
)(),(l h l h C B 可以用数值积分求得. )(l h B 应具备下列性质：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<↓≤≤↑=<<=0
'
'
,,
20,0)(l l l l l l w l l l h B B B B
B B
其中B l 为起亮值，'
B l 为最大值点，0l 为考察的最大范围，例如取为20mm 。
)(l h
C 也有类似的性质，且起亮值和最大值点均相应地右移.数值求解)(2)(l h l h C B =,记其解为*l l =,再求出
'
'
,C B l l ,不难看出'
'
C B l l <且*l 落在),('
'
C B l l 之中。
令)(/2)(/1***l h l h w B C ==现证*w 为问题之最优值。
事实上，对可行域中任一),(w l ，
当,*l l ≥有,)(/2)(/2**w l h H l h H w B B =>≥（用到*l l ≥时↓B h ）。
当*l l <，有**)(/)(/w l h H l h H w C C =>≥，（用到*l l <时↑c h ）。
这就证明了*w 的确是最小值。
事实上数值结果为62.3,22.6,16.3*'
'≈≈≈l l l C B .
四. 反射光亮区的计算
分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。
所有这些亮点的集合即为反射光亮区。
亮区的上半部分由下图所示(横坐标为x 轴，纵坐标为y 轴，单位为mm),下半部分与上半部分是关于x 轴对称的.
五. 注记
(1) 计算))(( ),(l h l h C B 的另一方法是建立问题的数值模型用数值模拟的方法加以解决.具体
的做法是: 在得到反射光线和反射到测试屏上能量的数学模型后, 分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，在测试屏B(或C)点附近取一微小面元.计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，将所有能到达该面元的反射光线的反射能量迭加起来,除以面元的面积即为B(或C)点的反射能量密度.
但用这样的方法必须十分注意结果的检验,注意计算精度(必须考察线光源和反射面的剖分密度和测试屏B(或C)点附近小面元的取法等).
(2) 以上参考答案中没有考虑线光源本身对反射光线的遮挡问题，即假设线光源是透明的。
如果假设线光源是不透明的，似乎更符合现实。
此时需要考虑线光源本身对反射光线的遮挡，计算会更复杂些，计算结果也会有所不同。
