2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛
题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测
摘要
本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。
首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。
针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。
针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。
针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。
关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab
一问题重述
数学建模竞赛培养了利用数学知识和计算机技术解决实际问题的能力，激发和训练学生们的创新意识和动手。为了使我国各大高校在2012年的建模竞赛中总体成绩得到进一步提升、获得更好的成绩，有必要对以往的数学建模工作进行总结及对未来的发展进行预测。为此我们需要完成以下任务：
1、利用附件1中的数据，我们建立适当的评价模型，给出了广东赛区各校建模成绩的科学、合理的排序；并对广东赛区各院校2012年建模成绩进行了较为科学的预测；
2、利用附件2中的数据，我们给出了全国各院校的自数学建模竞赛活动开展以来建模成绩的科学、合理的排序；
3、我们给出了今后我们在进行科学、合理的评价及预测之时，除全国竞赛成绩、赛区成绩外，还需要考虑的一些因素。
二问题分析
关于问题一，要对广东省各大高校数学建模成绩进行评价和排序，我们首先需要明确的是影响各校水平的因素及其影响程度的大小，通过分析我们得出影响各校水平的主要因素有：获奖数量（国家一、二等奖，省级一、二、三等奖的数量）、获奖比例两个方面，对于获奖比例我们通过成功参赛奖的比例来估计。
获奖数量与获奖比例对一所学校成绩优异与否关系密切，同时他们在评价标准中所占的比重也有相对的重要性，但当获奖率的具体值比较小，即便是赋予权重也很难体现获奖比例这个评价指标。所以我们把评判指标分为国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖和没有获奖（成功参赛奖）这六个指标，所以我们可以用层次分析法模型来做评价模型，我们可以通过构造判断矩阵来确定其各因素对整体影响的权重，进而根据已知数据进行加权求和，最终给出一种合理的排序。
三问题假设
（1）假设对各高校数学建模成绩评价的影响因素只有给出的两种；
（2）假设个评价指标之间互不影响；
（3）假设能报到全国的在省内为省一等奖；
（4）假设数学建模比赛中，获奖等级以外因素对学校建模评价构成的影响小，可以不考虑；
四符号说明
A：高校数学建模水平；
B1：获奖情况；
B2：获奖比例；
C1：国家一等奖；
C2： 国家二等奖；
C3： 省一等奖；
C4： 省二等奖；
C5： 省三等奖；
C6： 未获奖；
CI ： 一致性指标；
RI ： 同阶的随机一致性指标；
CR ： 一致性比率；
max ：A 的最大特征根；
W ： λmax 对应的正规划特征向量；
()i w ： 第i 层对第1层的权向量；
()i W ： 是以第k 层对第k −1层的权向量为列向量组成的矩阵；
五 评价模型的建立
5.1 建立层次结构模型
图5-1层次结构图
5.2 构造判断矩阵
判断矩阵的定义：
设某层有n 个因素，X =12{,,...,}n x x x ，要比较它们对上一层某一准则（或目标） 的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把n 个因素对上层某一目标的影响程度排序）上述比较时两两因素之间进行比较，比较时取
1 ～ 9尺度。用ij a 表示第i 个因素相对于第j 个因素的比较结果，则
()ij m n A a ⨯==111212122212
n n m m mm a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 称为判断矩阵。
5.2.2 判断矩阵的元素尺度标准
判断尺度的标准及含义见下表
5.3 计算层次单排序及其一致性检验
5.3.1 层次单排序定义
所谓单排序是指本层各因素对上层某一因素的重要性次序。它由判断矩阵的特征向量表示。例如，判断矩阵A 的特征问题AW=λmaxW 的解向量W ，经规一化后即为同一层次相应因素对于上一层某因素相对重要性的排序权值，这一过程就称为层次单排序。
式中，λmax 为A 的最大特征根；W 为λmax 对应的正规划特征向量；W 的分量w i 即是相应因素单排序的权值。
为保证层次单排序的可信性，需要对判断矩阵一致性进行检验，亦即要计算随机一致性比率。
5.3.2 计算一致性指标：CI
max 1n
CI n λ-=- （1）
显然当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0，λmax-n 越大，CI 越大，矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵是否具有一致性，需要将CI 与平均一致性指
