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第8讲正弦定理余弦定理面积公式教师一、正弦定理正弦定理是三角形中一个非常重要的定理，它表达了三角形中各边与其对应角的正弦值之间的关系。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别是三角形ABC的边长，A、B、C分别是与这些边对应的角。
二、余弦定理余弦定理是另一个关于三角形的定理，它表达了三角形中各边与其对应角的余弦值之间的关系。
余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 2abcosC其中，a、b、c分别是三角形ABC的边长，C是与边c对应的角。
三、面积公式三角形的面积可以通过多种方式计算，其中一种常用的方法是利用海伦公式。
海伦公式可以表示为：Area = √[s(sa)(sb)(sc)]其中，s是三角形的半周长，s = (a + b + c) / 2。
四、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的基本概念和公式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 让学生了解三角形面积的计算方法，并能够灵活运用。
五、教学方法1. 讲授法：通过讲解正弦定理、余弦定理和面积公式的概念和推导过程，帮助学生理解这些定理和公式的原理。
2. 示例法：通过列举具体的例子，展示如何运用正弦定理、余弦定理和面积公式解决实际问题。
3. 练习法：布置相关的练习题，让学生独立思考和解决问题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂提问：通过提问的方式，检查学生对正弦定理、余弦定理和面积公式的理解和掌握程度。
2. 练习题：通过批改练习题，了解学生对这些定理和公式的应用能力。
3. 测试：通过进行测试，全面评估学生对正弦定理、余弦定理和面积公式的掌握情况。
第8讲正弦定理余弦定理面积公式教师七、教学资源1. 教学PPT：制作包含正弦定理、余弦定理和面积公式概念、公式推导及应用例题的PPT，以便于课堂讲解和学生课后复习。
2. 教学视频：录制正弦定理、余弦定理和面积公式的讲解视频，帮助学生更好地理解这些定理和公式的原理。
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C 变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A为钝角或直角时，a ≤b ，无解．2、三角形常用面积公式1．S ＝a •h a （h a 表示边a 上的高）；2．S ＝ab sin C ＝ac sin B ＝bc sin A ．3．S ＝r （a +b +c ）（r 为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1C．2D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B =b sin A ，则a =（）A．B ．C ．1D ．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R 是△ABC 外接圆半径）a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C变形形式①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝；③a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ；④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba≥ba ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A 为钝角或直角时，a ≤b ，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且（a +b ）2=c 2+ab ，B =30°，a =4，则△ABC 的面积为（）A ．4B ．3C ．4D ．6例2.设△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A ．B ．C ．或D ．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；的最大值．（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
正、余弦定理（说课稿）一、教材分析正弦定理是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。
提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。
在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（）已知两角和一边，解三角形：（）已知两边和其中一边的对角，解三角形。
二、学情分析本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。
高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标.知识与技能：()引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；()简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题.过程与方法：通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法..情感、态度与价值观：()通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；()通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.四、教学重点、难点教学重点：.正弦定理的推导. .正弦定理的运用教学难点：.正弦定理的推导. .正弦定理的运用.五、学法与教法学法与教学用具学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
北师大版高中数学 正弦定理和余弦定理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的概念，定义，公式的变形应用教学难点：公式的变形，解直角三角形的应用边与角之间的关系及变形，判断三角形的形状1、 正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即ABC ∆中，若,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c 则sin sin sin a b cA B C== 2、 解三角形一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：（1） 已知三角形的任意两角与一边，求其他边和角，有唯一解； （2） 已知三角形的两边与其中一边的对角，求其他的边和角。
3、 正弦定理的常见公式拓展：①2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆半径） ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（边化角公式）③sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===(角化边公式) ④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤2sin sin sin sin sin sin a b b c c aR A B B C C A+++===+++⑥2sin sin sin a b cRA B C ++=++4、 余弦定理①定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
正弦定理和余弦定理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的概念，定义，公式的变形应用教学难点：公式的变形，解直角三角形的应用边与角之间的关系及变形，判断三角形的形状1、 正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即ABC ∆中，若,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c 则____________2、 解三角形一般地，我们把三角形的三个角及其________分别叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：（1） 已知三角形的任意两角与一边，求其他边和角，有__________解； （2） 已知三角形的两边与其中一边的对角，求其他的边和角。
3、 正弦定理的常见公式拓展：①2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆半径） ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（边化角公式）③sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===(角化边公式) ④::sin :sin :sin a b c A B C =⑤2sin sin sin sin sin sin a b b c c aR A B B C C A +++===+++⑥2sin sin sin a b cRA B C ++=++4、 余弦定理①定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
②定义式： ________________________ 5、 余弦定理的变形式和特例①222222222cos ,cos ,cos 222a b c c a b b c a C B A ab ac bc+-+-+-===②22290C c a b =⇔=+o ③22260C c a b ab =⇔=+-o ④222120C c a b ab =⇔=++o⑤22230C c a b =⇔=+o⑥22245C c a b =⇔=+o 6、 余弦定理可以解决的两类三角形问题（1） 已知三边长，求三个内角；（2） 已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。
类型一：已知三角形两角及任意一边，解三角形；已知三边长，求夹角。
例1：（2015山东潍坊一中月考）在ABC ∆中，已知8,60,75,a B C =∠=∠=oo则b 等于（）A. D.223练习1：在ABC ∆中，若60A ∠=o ,45B ∠=o,BC =则AC =() 练习2：在ABC ∆中，已知2,30,45,a B A ===oo求b例2：在ABC ∆中，若1,2,a b c ===试求A练习3：在ABC ∆中，若1,2,a b c ===试求B练习4：在ABC ∆中，若1,2,a b c ===试求C规律总结：已知边求角时，需运用正弦定理余弦定理公式及公式的变形。
类型二：已知三角形两边及其中一角，解三角形；已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。
例3：(2014北京高考)在ABC ∆中，13,5,sin ,3a b A ===则sin B =（）A.15 B.591练习5：（2015广东六校联盟第三次联考）)在ABC ∆中，45,75,2,A B c ∠===oo则此三角形的最短边的长度是__________练习6：（2014广东深圳模拟）已知ABC ∆,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且42,3,cos 5a b B ===则sin A 的值_________ 例4：设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若2,3sin 5sin ,b c a A B +== 则角C 为（）A.3πB.23πC.34πD.56π练习7：在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( )A. 5B. 4C.3D.10练习8：在△ABC 中，已知222a b c bc =++，则角A 等于( )类型三：判断三角形形状及面积例5：（2015辽宁锦州月考）在ABC ∆中,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若cos ,c A b =则ABC ∆的形状为（）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 以上皆有可能 练习9：在ABC ∆中，如果22sin sin ,a B b A =则ABC ∆的形状为() A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形 练习10：在ABC ∆中，如果22sin sin a C c A =,则ABC ∆的形状为() A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形例6：在ABC ∆中，1,30,AB AC B ===o则ABC ∆的面积为____练习11：在ABC ∆中，60,4,A AC BC ===o则ABC ∆的面积等于多少例7：(2014·江西理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A. 3 B. 932 C. 332D. 3 3练习12：以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)练习13：若2、3、x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为________．规律总结：做这块的类型题，熟练应用正弦定理公式变形，面积的求解时需考虑三角形本身的角度问题。
1.在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则BC 等于( ) A ．3－ 3 B ． 2 C ．2D ．3＋ 32.在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b 若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A ．π12 B ．π6C ．π4 D ．π33.已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边的长为__________．4.在△ABC 中，A ＝30°，C ＝45°，c ＝2，则边a ＝________.5．在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255，求边BC 的长．6. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( ) A. 14 B. 34 C. 24 D. 237. 在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A. 1010B. 105C. 31010D. 55_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A ＝________.2.在ABC ∆中，若5,,4b B π=∠=tan 2A =，则sin A ＝________；a ＝________.3. 在ABC ∆中，3,2a b B A ==∠=∠(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．4．等腰三角形的周长为8，底边为2，则底角的余弦等于（ ）B.135．在△ABC 中，已知8,60,75a B C ===oo，则b 等于（）A. D.3236.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,13A a b π===，则c =（ ）A.1B.21- 7. 在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b能力提升8.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cA b<,则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形 D ．等边三角形 9.在锐角三角形中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，设2B A =，则ba的取值范围是( )A ．()2,2-B ．()0,2C ．()1,2D ．10．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B ∠＝( )A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π11．设,,a b c 分别是△ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ++=与sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直12．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A. 322 B. 332 C. 32 D. 3 313.在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形14. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值；(2)求sin(A －B )的值．15．在△ABC 中，如果60,4,A c a ===o判断三角形解的情况．16. 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．17．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知2cos ,sin 3A B C == (1)求tan C 的值；(2)若a =ABC 的面积．18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积为3，求a、b的值；(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．课程顾问签字： 教学主管签字：。
