必修五正弦定理和余弦定理讲义

第六节 正弦定理和余弦定理【考纲下载】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.A 为钝角或直角3.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为△ABC 内切圆半径)．1．在三角形ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的什么条件？“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的什么条件？提示：“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的充要条件．2．在三角形中，“a 2＋b 2＜c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的什么条件？“a 2＋b 2＞c 2”是“△ABC 为锐角三角形”的什么条件？提示：“a 2＋b 2＜c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件；“a 2＋b 2＞c 2”是“△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件．1．(2013·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53 D ．12．在△ABC 中，若a ＝2，c ＝4，B ＝60°，则b 等于( ) A ．2 3 B ．12 C ．27 D ．28 3．(2013·湖南高考)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π3B.π4C.π6D.π124．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．5．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.[例1] (1)(2013·天津高考)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC＝( )A.1010B.105C.31010D.55(2)(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.(3)(2013·浙江高考)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin∠BAC ＝________.1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π62．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5[例2] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．【互动探究】若将本例(2)中的条件改为“(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )”，试判断△ABC 的形状．(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定1．正、余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．2．高考对此类问题的考查主要有以下两个命题角度： (1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形． [例3] (1)(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－1(2)(2013·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.①求角A 的大小；②若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．1．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ； (2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ； (2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．答题模板(三)利用正、余弦定理解三角形[典例] (2013·江西高考)(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．[全盘巩固]1．已知△ABC ，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶2，则此三角形的最大内角的度数是( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．135°2．(2013·山东高考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．13．(2014·沈阳模拟)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332 C.3＋62 D.3＋3944．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶46．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3D.32或34 7．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝________.8．(2014·深圳模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cosB ＝513，b ＝3，则c ＝________.9．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc . (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．11．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．12．(2013·重庆高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2 ＋2ab ＝c 2. (1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25，求tan α的值．[冲击名校]1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan Ctan A＋tan Ctan B＝________.2. (2013·福建高考)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．[高频滚动]1．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )＝( )A.2145 B ．－2145 C ．±2145 D ．±514282．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．。

最新正弦定理余弦定理说课稿优秀5篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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必修五：正弦定理和余弦定理一：正弦定理1：定理内容：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 是三角形外接圆半径） 2：公式变形（1）R Aa C B A cb a 2sin sin sin sin ==++++ （2）⎪⎩⎪⎨⎧C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===或R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === （3）⎪⎩⎪⎨⎧B c C b A c C a A b B a sin sin sin sin sin sin ===（4）Rabc A bc B ac C ab S ABC 4sin 21sin 21sin 21====∆ 以下是ABC ∆内的边角关系：熟记（5）B A B A b a >⇔>⇔>sin sin （大边对大角）（6）B A B A cos cos <⇔>（7）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=)sin(sin )sin(sin )sin(sin B A C C A B C B A 思考A cos 与)cos(C B +的关系（8）2cos 2sin C B A += （9）若AD 是ABC ∆的角平分线，则AC DC AB DB = 思考题：1：若B A sin sin =，则B A ,有什么关系？2：若B A 2sin 2sin =，则B A ,有什么关系？3：若B A cos cos =，则B A ,有什么关系？4：若21sin >A ，则角A 的范围是什么？解三角形：已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.例1：已知ABC ∆，根据下列条件，解三角形.（1）10,45,60=︒=∠︒=∠a B A .（2）︒=∠==120,4,3A b a .（3）︒=∠==30,4,6A b a .（4）︒=∠==30,16,8A b a .（5）︒=∠==30,4,3A b a .思考：在已知“边边角”的情况下，如何判断三角形多解的情况判断方法:（1）用正弦定理：比较正弦值与1的关系（2）作图法：用已知角所对的高与已知角所对的边长比较.练习：（1）若︒=∠==45,12,6A b a ，则符合条件的ABC ∆有几个？（2）若︒=∠==30,12,6A b a ，则符合条件的ABC ∆有几个？（3）若︒=∠==45,12,9A b a ，则符合条件的ABC ∆有几个？例2：根据下列条件，判断三角形形状.（1）C B A 222sin sin sin =+.（2）C B A cos sin 2sin =（3）B b A a cos cos =（4）A b B a tan tan 22=二：余弦定理1：定理内容：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+= 另一种形式：bca cb A 2cos 222-+=. 请写出另两个：例1：根据下列条件，解三角形.（1）在ABC ∆中，︒=∠==120,4,5C b a ，求边c .（2）在ABC ∆中，︒=∠==60,8,5C b a ，求边c .（3）在ABC ∆中，8,7,5===c b a ，求最大角与最小角的和.（4）在ABC ∆中，13:8:7sin :sin :sin =C B A ，求C cos .（5）在ABC ∆中，8,120,34=+︒=∠=b a C c ，求ABC ∆的面积.（6）在ABC ∆中，34,60,4=︒=∠=∆ABC S C c ，求ABC ∆的周长.（7）在ABC ∆中，1)(22=--bcc b a ，求A ∠. （8）在ABC ∆中，4,3,2===c b a ，判断ABC ∆的形状.（9）求证：在ABC ∆中，)cos cos cos (2222C ab B ac A bc c b a ++=++.（10）求证：平行四边形两对角线的平方和等于它各边的平方和.。

正弦定理和余弦定理讲义解三角形的大前提背景：内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，tan A ＝－tan(B ＋C )．sin A 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝sin B ＋C2.考点一：1.正弦定理： ，其中R 是 .2.变形为： (1)a ∶b ∶c ＝ ；（边化角）a ＝_______，b ＝_______，c ＝_____； （角化边）sin A ＝_______， sin B ＝______， sin C ＝_______注：正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.（情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.大边对大角） 3.解三角形时，三角形解的个数的判断 例1.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答。

（1）7,8,105a b A === （2）10,20,80a b A ===（3）10,56,60b c C === （4）23,6,30a b A ===2.在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c .考点二：余弦定理 a 2＝__________，b 2＝_______，c 2＝________.余弦定理可以变形为：cos A ＝__________，cos B ＝________，cos C ＝_________.或者 注：1.已知两边b ，c 与其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A, 求出a ，再由正弦定理，求出角B ，C. 2.已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C. 例.在△ABC 中，a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，求c.考点三：判断三角形的形状解题思路：一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 （思考：如何判断锐、直、钝三角形；结合三角变换判断等腰，等边等）例1.在△ABC 中，bcosA ＝a cosB ，试判断三角形的形状.2.在△ABC 中，若cosA cosB ＝ba ，则△ABC 的形状是.( )3.△ABC 中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈()0，π2，则△ABC 的形状是( )4.已知在△ABC 中，222cosA b cc+=，则△ABC 的形状是考点四：三角形的面积问题例1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AC AB ∙＝3. (1)求△ABC 的 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解个数1sin 2ABC S ab C ∆==: 1sin 2bc A =1sin 2ca B ＝abc 4R (R 为外接圆半径)＝12(a ＋b ＋c )·r (r 内切圆半面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值.2.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积. 考点五：三角形中的三角变换题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.三角变换公式：1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式： 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式： 3.辅助角公式：例1.在ABC △中，已知内角A π=3，边23BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．2.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．３．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB BC ⋅＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.(1)求b ·c 的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的值．考点六：综合问题例.(2005年全国高考卷三试题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos =B （Ⅰ）求cot A +cotC 的值； （Ⅱ）设32BA BC⋅=，求a ＋c 的值. 考点七：实际应用（一.）测量问题例1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。

正弦定理和余弦定理讲义课前双击巩固1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asinA= ==2R (其中R 是△ABC 的外接圆的半径)a 2= ,b 2= , c 2=定理的变形 a=2RsinA ,b= ,c=,a∶b∶c=cos A= , cos B= , cos C=2.在△ABC 中,已知a,b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin A<a<b a ≥ba>b解的个数3.三角形面积公式(1)S=12ah (h 表示边a 上的高);(2)S=12bcsin A=12acsin B=12absin C ; (3)S=12r (a+b+c )(r 为三角形的内切圆半径). 常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC 中,A+B+C=π;变形:A+B 2=π2-C 2.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; (3)sinA+B 2=cos C 2;(4)cosA+B 2=sin C2.3.三角形中的射影定理在△ABC 中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.题组一 常识题1.[教材改编] 在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于 .2.[教材改编] 在△ABC 中,已知a=5,b=2√3,C=30°,则c= .3.[教材改编] 在△ABC 中,已知a 2-c 2+b 2=ab ,则C 等于 .4.[教材改编] 在△ABC 中,已知a=3√2,b=2√3,cos C=13,则△ABC 的面积为 . 题组二 常错题◆索引:在△ABC 中角与角的正弦的关系;正弦定理求角时解的个数;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系.5.在△ABC 中,若sin A=sin B ,则A ,B 的关系为 ;若sin A>sin B ,则A ,B 的关系为 .6.在△ABC 中,若A=60°,a=4√3,b=4√2,则B 等于 .7.在△ABC 中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC 的面积等于 .8.在△ABC 中,角A ,B ,C 满足sin Acos C-sin Bcos C=0,则三角形的形状为 .课堂考点探究探究点一 利用正弦﹑余弦定理解三角形1 △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2c-a=2bcos A. (1)求角B 的大小;(2)若b=2√3,求a+c的最大值.[总结反思](1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.式题(1)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=√3,则b2+c2的取值范围是( )A.(5,6]B.(3,5)C.(3,6]D.[5,6](2)如图3-22-1,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=√3BD,BC=2BD,则sin C的值为.图3-22-1探究点二利用正弦﹑余弦定理判定三角形的形状2如图3-22-2所示,图3-22-2在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是.[总结反思]判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的情况下解三角形,此时三角形的各个元素虽然不能具体确定,但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系,据此对三角形形状作出判断.式题在△ABC中,若sin A=2cos Bsin C,则△ABC的形状是.探究点三与三角形面积有关的问题3已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=-sin Asin B,sin(A-B)=cos(A+B).(1)求角A,B,C;(2)若a=√2,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.[总结反思](1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入,一般表示为一个内角的三角函数,,或结合基本不等式求解.式题△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B).(1)求角C;(2)若c=√7,△ABC的面积为3√3,求△ABC的周长.2课时作业一、 填空题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于________.2．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c ＝________.3．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于________.4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC ＋ccosB ＝asinA ，则△ABC 的形状为________.5．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为________.6．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________. 7．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________.8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.9．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________.10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c＝________.11．在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.二、解答题12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值．13．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．。

1.1正弦定理余弦定理一、一周知识概述本周主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况．二、重点知识讲解1、三角形中的边角关系在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有（1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°；（2）边与角之间的关系：正弦定理：_______________________余弦定理：_____________________________________________________________________2、正弦定理的另三种表示形式：3、余弦定理的另一种表示形式：4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法在△ABC中，易证明再在上式各边同时除以在此方法推导过程中，要注意对面积公式的应用．例1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面积S=15，求△ABC的三个内角．例2、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的外边，若b=2a，B=A＋60°，求A的值．例3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，试判断△ABC的形状．5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状，此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角，要么同时化角为边，然后再找出它们之间的关系，注意解答问题要周密、严谨．例4、若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．6、正弦定理，余弦定理与函数之间的相结合，注意运用方程的思想．例5、如图，设P是正方形ABCD的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形的边长．三、难点剖析1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．（1）当A为锐角时（如下图），（2）当A为直角或钝角时（如下图），也可利用正弦定理进行讨论．如果sinB>1，则问题无解；如果sinB＝1，则问题有一解；如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．例6、不解三角形，判断三角形的个数．①a＝5，b＝4，A＝120°②a＝30，b＝30，A＝50°③a＝7，b＝14，A＝30°④a＝9，b＝10，A＝60°⑤a＝6，b＝9，A＝45°⑥c＝50，b＝72，C＝135°例7、（2005年全国Ⅲ）△ABC中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且（Ⅰ）求的值（Ⅱ）设，求的值。

正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。

正弦余弦定理 讲义一、基本知识点 正弦定理：R C cB bA a2sin sin sin ===正弦定理的基本作用：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；（一解）2．两边和其中一边对角，求其它的两角和一边（一解或者两解）（详见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA)( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a b a b a b a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA A C B A C B1A BAC B2C H H H⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc a c b A 2cos 222-+=余弦定理的基本作用：1．已知三边，求三角；（一解）2．已知两边和夹角，求一边和两角（一解）公式一：a b c 111S ah bh ch 222===公式二：111S absinC acsinB bcsin A 222===公式三：S p(p a)(p b)(p c)=--- 其中1p (a b c)2=++称为三角形的半周长。

推导：将公式二中的角的关系变为边的关系，根据22sin C cos C 1+=，2sin C 1cos C =-，及余弦定理ab c b a C 2cos 222-+=的变形2222abcosC a b c =+-，则 2111S absinC ab 1cos C ab (1cosC)(1cosC)222==-=-+ 22114a b (1cosC)(1cosC)(2ab 2abcosC)(2ab 2abcosC)44=-+=-+ 222222222211(2ab a b c )(2ab a b c )[c (a b)][(a b)c ]44=--+++-=--+- 11111(c a b)(c a b)(a b c)(a b c)(c a b)(c a b)(a b c)(a b c)42222=+--++++-=+--++++-设1p (a b c)2=++，则S p(p a)(p b)(p c)=---。