当前位置：文档之家 › 数模(微分方程模型)1

数模(微分方程模型)1

  • 格式：pdf
  • 大小：1.01 MB
  • 文档页数：40

下载文档原格式

  / 40

合集下载

数学建模--微分方程第一讲

数学建模--微分方程第一讲

考虑：我们所研究的对象是否遵循某些原 则或物理定理呢？是应该用已知的定律呢？ 还是必须去推导呢？大部分微分方程模型 符合下面的模式：
净变化率=输入率—输出率
2、准确性和总体特征
微分方程式一个在任何时刻都必须正确的 瞬时表达式，这是问题的核心。建立微分 方程模型，首先要把注意力放在方程文字 形式的总关系上：
5、概念框架
前面阐述的都是使用微分方程建模的关键问题。当面临 一个典型问题是，首先必须有一个明确的概念框架 （建立其他模型也是如此），这个概念框架就是关键步骤。 具体如下： （1）把用语言描述的情况转化为文字方程。 （2）陈述出所涉及的原则或物理定律。 （3）建立微分方程，配备方程各子项的单位。 （4）给定约束条件，包括初始条件或其他条件。 （5）给出微分方程的解。 （6）求出微分方程的常数。 （7）给出问题答案。 （8）检验答案是否满足问题的要求。 在建模过程中，明确了概念框架，然后就是依次完成 框架中每一步所要做的事情。
dN (t ) rt rN (t ) 变量分离解得：N (t ) ce dt
马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现， 人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率， d为死亡率），即： 1 dN dN rN r 或 （3.5） dt N dt （3.1）的解为： N (t ) N er (t t ) 0



解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下 午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将 张某排除。 设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0， 则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。假设受害者死亡时 体温是正常的，即T=37℃是要确定受害者死亡的时 间，也就是求T(t)=37℃的时刻，进而确定张某是 否是嫌疑犯。 人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节 的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。 假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体 温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即： dT k (T 21.1) dt

数学建模第三章微分方程模型

数学建模第三章微分方程模型

3-7 香烟过滤嘴的作用机理（2）
精选ppt课件
51
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（3）
精选ppt课件
52
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（4）
精选ppt课件
53
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（5）
精选ppt课件
54
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（6）
精选ppt课件
55
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（7）
精选ppt课件
39
3-6 疾病传播的机理分析模型（2）
精选ppt课件
40
3-6 疾病传播的机理分析模型（3）
精选ppt课件
41
3-6 疾病传播的机理分析模型（4）
精选ppt课件
42
3-6 疾病传播的机理分析模型（5）
精选ppt课件
43
3-6 疾病传播的机理分析模型（6）
精选ppt课件
44
3-6 疾病传播的机理分析模型（7）
精选ppt课件
45
3-6 疾病传播的机理分析模型（8）
精选ppt课件
46
3-6 疾病传播的机理分析模型（9）
精选ppt课件
47
3-6 疾病传播的机理分析模型（10）
精选ppt课件
48
3-6 疾病传播的机理分析模型（11）
精选ppt课件
49
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（1）
精选ppt课件
50
69
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（1）
精选ppt课件
70
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（2）
精选ppt课件
71
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（3）
精选ppt课件

微分方程模型(数学建模)

微分方程模型(数学建模)
利用模拟近似法建模
3
2019年1月8日
开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2019年1月8日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5 2019年1月8日
微分 方程 建模
一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经 过实践检验的规律和定理； （2）利用微元法 （3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经 济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不 同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求 解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
20 2019年1月8日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出 现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。

微分方程模型1基础知识

微分方程模型1基础知识

油画中的放射性物质
白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应 用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更 少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金 属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处 于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210的绝 大多数来源被切断，因而要迅速衰变，直到Pb210 与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的衰变 正好等于镭衰变所补足的为止。
--理学院--
原理
著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出： 物质的放射性正比于现存物质的原子数。
设 t 时刻的原子数为N (t) ，则有
dN N
dt
为物质的衰变常数。
初始条件
N t t0
N0
N (t)

N e (tt0 ) 0
t
t0

1

ln
N0 N
--理学院--
Van.Meegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有 的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造 Vermeer的画《耶稣在学者中间》。当他的工作快完成时，又 获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下 罪证。
--理学院--
为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理 学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最 先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行 分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝 的痕迹。
Ah Bs
s是水在 t 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离。
Ah Bs
Alim h B lim s
t
t
A dh B ds dt dt
dh B 2gh 初始条件 h(0) H dt A

数学建模微分方程模型

数学建模微分方程模型

忽略i0 s s0 i0 s ln 0 s0
1
ln s0 ln s s0 s
< >
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 x s0 s 1 x 1 s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
<
>
§2 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
< >
模型1 假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
病人可以治愈！
< >
(日接触率) tm
模型3 传染病无免疫性——病人治愈成
SIS 模型 为健康人，健康人可再次被感染
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率 建模
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
0
消去dt /
SIR模型
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1} 在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析
D 0
<
1
s
>
模型4
相轨线 i ( s) 及其分析
SIR模型
i ( s ) ( s 0 i0 ) s 1

数学建模微分方程模型

数学建模微分方程模型

我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论

1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。

数学建模竞赛课件---微分方程模型

微分方程在生物学、物理学、化学和经济学等领域都有广泛的应用。它们可以用于模拟生物生长、物体 运动、热传导和经济增长等现象。
案例分析
通过几个具体案例，展示微分方程在建模竞赛中的应用。包括鱼的增长模型、自由落体问题、热传导问 题和稳定的经济增长模型。
结语
微分方程是数学建模竞赛中必不可少的工具，对于解决复杂问题具有重要作 用。通过系统学习和实践，可以掌握微分方程的解法和应用。
一阶微分方程
一阶微分方程是最基本的微分方程类型之一，包括可分离变量、齐次线性、 一阶线性和变量分离法等。掌握这些求解方法可以解决许多实际问题。
高阶微分方程
高阶微分方程是一阶微分方程的延伸，包括齐次线性、非齐次线性、常系数 和变系数等类型。熟练掌握这些求解方法可以应对更加复杂的建模问题。
微分方程在建模中的应用
数学建模竞赛课件---微分 方程模型
本课件介绍微分方程模型在数学建模竞赛中的重要性和应用。内容包括微分 方程的定义、分类、解法，以及在生物学、物理学、是数学中的重要工具，可用于描述自然现象和科学问题。它们分为 常微分方程和偏微分方程，并可以按类型进行分类。了解微分方程的解法对 于建模竞赛至关重要。

数学建模 微分方程模型讲解


量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )

数学建模---微分方程模型简介

N rN x 0 x* £ µ Í É » à ¬ ´ ³ Ï ² À Í hm ¬ ¤ º ªà Ø é ï Õ ð ò ¾ ª 2 4 E 当 x ＝x* N 时， E E * r x 0 N (1 ) 0 2 2 r r 结论：当捕捞强度控制在 E * 时, 鱼量保持在最大 2 鱼量 N 的一半, 可获得最大持续产量, i.e.,
Malthus模型特点: 在有限的时间内, 在生存空间和食物供应充足 的环境下, Malthus人口模型是比较准确的; 但是, 由于生存空间 有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害, 以及人为控制人口增 长等等原因, Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增 长情况.
11
上页 下页 返回
Logistic阻滞增长模型
hR £ ¹
r c E R (1 ) 2 pN
N c xR 2 2p
比较：
è ò ¾ £ Ì ªÎ ¬ Ø ¬ï ¬ï §æ à ­ î Á ¬ Ò ² À Ã Ï Ç ¼ £ Ó «Æ é ´ Ï Ñ µ Ó Ó Î £ ¶ Ë ¾ Ç ©Õ ð ò ¾ ñ Ï ñ î × ¬ ð æ ¡ ß ¾ æ È ª ² ¿ Æ ¶ » ³ Ï ² À ½ Ò Ê » È £ ¶ Ò ³ Ò À Ê ³ ½ c à ï Ò ð ï Ò ¬ «Î µ É ° ï £ µ Ó » ¶ Ó » £ ñ ¹ É » Æ ¾ ¡
x
上页 下页 返回
§2 、人口模型
设 t 时刻人口数为 x(t ) ，经过 t 时间后，人数变为
x 则从 t 时刻到 t t 时刻的平均增长速度为 ， x( t ) x ， t x x( t )。 相对增长率为 t
t ªË à ­ Ó ï ¤É ¹ É ¾ µ Î ¶ Ó ³ Á £

数学建模微分方程模型

数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。

它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。

在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。

微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。

这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。

在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。

根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。

每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。

微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。

例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。

人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。

建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。

求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。

数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。

对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。

建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。

这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。

随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。

例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。

未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。

微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。

通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一 马尔萨斯（Malthus）模型
马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料 后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=bd,b为出生率，d为死亡率），因而提出了著名的 人口指数增长模型 。
分析与建模： 人口的净增长率是一个常数，也就是单位时 间内人口增长量与当时人口数成正比。 设t时刻人口数为N(t)，t=t0时，N(t0)=N0， 则
x 0
tan
g
S
l
(1 y2 )dx
S 0 这就是绳索曲线满足的微分方程。设 OP a, 则上面微分方程的初值条件为 (1 y2 )dx y 令y p, y
x 0
g
x
a, y x 0 0
解得
dp ，则上述二阶微分方程化为 dx dp g 1 p2 dx S g ln( p 1 p 2 ) x C1 S
所以绳索上各点所受张力总沿着绳索的切线方向。这样， PQ这段绳索在P点所受的张力是水平的，设其大小为S . 在Q点所受张力与x轴正向成角，设其大小为T，则这段 绳索所受重力及两个张力恰好平衡，所以
T sin gl , T cos S 上面两式相除，得
设绳索曲线方程为y y ( x), 则 tan y, l 于是 y
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线 PQ 就是导弹的轨迹曲线弧 OP 在点 P 处的切线，
v0 t y 即有 y' 1 x 即 v0 t (1 x) y' y
(1)
又根据题意，弧 OP 的长度为 AQ 的 5 倍， 即

x
0
1 y '2 dx 5v0t
(2)
由(1),(2)消去t, 整理得模型: 1 (1 x ) y" 1 y '2 (3) 5 初值条件为: y(0) 0 y' (0) 0
量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。
从而有： dN r ( N ) N （ 1） (3)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限
对（3）分离变量：
两边积分并整理得：
令N(0)=N0，求得：
1 1 dN kKdt N KN K N 1 Ce kKt K N0 C N0
T (0) 21.1 C 32.6. C 11.5 31.4, 115 k ln 0.110. 103
T (t ) 21.1 11.5e 0.110t
当T 37。 C时，有21.1 11.5e 0.110t 37，所以 t 2.95小时 2小时57分 所以 Td 8小时20分 2小时57分 5小时23分 即被害人死亡时间大约在下午5： 23，因此张某不 能被排除在嫌疑犯之外。
四. 悬链线方程问题 将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作 用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔 之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。 解 以绳索所在的平面为xoy 平面，设绳索最低点 为y轴上的P点，如图8－1所示。考察绳索上从点p到 l 另一点Q(x,y)的一段弧 PQ ，该段弧长为 ，绳索线密 度为 gl 。由于绳索是软 l ,则这段绳索所受重力为 的，
3.5 x 10
11
马尔萨斯模型人口预测
3
2.5
象。
N/ 人
2
几何级数的增长
1.5
1
0.5
0 1950
2000
2050 t/年
2100
2150
2200
二
Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N)
dt 增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境 恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养 的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量， K-N恰为环境还能供养的种群数量，（ 3）指出，种群增长率与两者的乘 此时得到微分方程： 积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（ 3）也 dN dN N (r aN ) N 或 r (1 ) N （2） 被称为统计筹算律的原因。 dt dt K r(N)最简单的形式是常数，此 为了得出一个有实际意义 r(N)是未知函数，但根 时得到的就是马尔萨斯模型。 （2）可改写成： 的模型，我们不妨采用一 据实际背景，它无法用 对马尔萨斯模型的最简单的改 下工程师原则。工程师们 dN 。 进就是引进一次项（竞争项） k ( K在建立实际问题的数学模 N )拟合方法来求 N （ 3） （2）被称为Logistic 模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生 dt 型时，总是采用尽可能简 物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数 单的方法。
2 N0 N0e
故
lnபைடு நூலகம்2 T r
rT
模型检验 模型预测 假如人口数真能保持每 34.6年增加一倍，那么人口数将 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如， 以几何级数的方式增长。例如，到 2510年，人口达 19612 年世界人 ×1014个， 口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为 即使海洋全部变成陆地，每人也只有 9.3平方英尺的活动范围， 2%，人口数 Malthus 模型实际上只有在群体总数 大约每 而到 2670 35年，人口达 年增加一倍。检查 36 ×1015 1700 个，只好一个人站在另一人的 年至1961的260年人口实际 不太大时才合理，到总数增大时， 肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数 所以 Malthus 模型假设的人口净 生物群体的各成员之间由于有限的 量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。 增长率不可能始终保持常数， 生存空间，有限的自然资源及食物 它应当与人口数量有关。 等原因，就可能发生生存竞争等现
二。含盐量问题 设容器内有100公斤盐水，内含食盐10公斤，现以 2 L / min 的速度注入的0.01kg / L淡盐水，同时以2 L / min 的速度抽出混合均匀的盐水，试求容器内含盐量x随时 间t变化规律。
解
为了求出含盐量x随时间t的变化规律x x(t ),
我们采用通过对x的微小增量x的分析得出微分方 程的微元分析法，这是建立微分方程的一种常用 方法。 考虑从时刻t到t dt时间间隔内，含盐量从x变到x dx， 注意到在dt时间内，含盐量的改变量为： dx 注入盐水中所含盐量－抽出盐水中所含盐量 注入盐水中所含盐量为0.01 3 dt（公斤）， x(t ) 由于t时刻盐水的浓度为 , t到dt的时间间隔 100 (3 2)t 内浓度可以近似看作不变，故抽出的盐量为 x(t ) 2 dt（公斤） .于是可得方程： 100 (3 2)t x(t ) dx 0.01 3 dt 2 dt 100 (3 2)t
人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节 功能消失，尸体的温度受外界温度的影响。假定尸体 温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化 率正比于尸体温度与室温的差，即 dT k (t 21.1) dt k
T (t ) 21.1 Ce T (1) 21.1 11.5e
k kt
N (t t ) N (t ) N (t )rt
即
dN (t ) N (t )r dt N (t 0 ) N 0
Malthus模型
这个方程的解为：
N (t ) N0e
r ( t t0 )
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻 一番所需的时间是固定的。 令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：
三. 导弹追踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰 发射导弹，导弹头始终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度 v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导 弹运行的曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ （解析法）
假设 t 时刻导弹的位置为 P(x(t), y(t))，乙舰位于 Q(1, v0 t ) .
dx 2 或 x 0.03 dt 100 t 这是一阶线性非齐次方程，且有初值条件 x(0) 10,；利用8.3节的公式（5），可得此 C 方程的通解：x(t ) 0.01(100 t ) (100 t ) 2 有初值条件可得C 9 10 4，所以容器内含盐 量x随时间t的变化规律为 9 10 4 x 0.01(100 t ) (100 t ) 2
其解即为导弹的运行轨迹:
4 5 6 5
5 5 5 y (1 x) (1 x) 8 12 24
5 5 当 x 1时 y ，即当乙舰航行到点 (1, ) 处时被导弹击中. 24 24 y 5 被击中时间为: t . 若 v0=1, 则在 t=0.21 处被击中. v0 24v0
x x 1 S S y (e e S ) 2 g
g
g
此曲线方程又称为悬链线方程。
引例 R-L-C电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
世界人口数量统计数据：
年 人口 亿 1625 5 1830 10 1930 20 1960 30 1974 40 1987 50 1999 60
中国人口数量统计数据：
年 1908 1933 1953 人 3.0 口 4.7 6.0 1964 1982 1990 2000 7.2 10.3 11.3 12.95
将初值条件y x 0 p
x 0
0代入，得C1 0，从而