2020-2021学年七年级数学下册 第二章 二元一次方程组 2.4 二元一次方程组的应用(一)练习

二元一次方程（组）【思维导图】【知识要点】知识点一 二元一次方程（组）有关概念二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

【注意】1） 二元：含有两个未知数；2）一次：所含未知数的项的次数都是1。

例如：xy=1，xy 的次数是二，属于二元二次方程。

2） 方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。

二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．【注意】1） 在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。

2） 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。

二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．【注意】1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，x ＋2y ＝2也是二元一次方程组。

这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。

3） 方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。

4） 二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。

二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

【注意】1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。

2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。

如：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，4x ＋4y ＝20.有的方程组无解，如：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，x ＋y ＝2.【典型例题】考查题型一 利用二元一次方程组有关概念解决相关问题典例1下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）A ．4237x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2311546a b b c -=⎧⎨-=⎩C ．292x y x ⎧=⎨=⎩D ．284x y x y +=⎧⎨-=⎩变式1-1下列各组数值符合二元一次方程x ﹣3y ＝4的解的是（ ）A ．11x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =-⎧⎨=-⎩D ．41x y =⎧⎨=-⎩ 变式1-2二元一次方程2x +y ＝5的正整数解有（ ）A ．一组B ．2组C ．3组D ．无数组变式1-3方程(m －2 016)x |m|－2 015＋(n ＋4)y |n|－3＝2 018是关于x 、y 的二元一次方程，则( )A ．m ＝±2 016；n ＝±4B ．m ＝2 016，n ＝4C ．m ＝－2 016，n ＝－4D ．m ＝－2 016，n ＝4 变式1-4方程组10216x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ） A ．64x y =⎧⎨=⎩ B ．56x y =⎧⎨=⎩ C ．36x y =⎧⎨=⎩ D ．28x y =⎧⎨=⎩知识点二 解二元一次方程组消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。

2020－2021学年度浙教版七年级数学下册新考向多视角同步训练第二章 二元一次方程组[能力提优测评卷]一，单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2018·浙江嘉兴市·七年级期末）下列四个方程：①x 2＋y ＝0；①x ＝2y ＋1；①3x y+＝2y ；①x 2＋x －2＝0．其中为二元一次方程的是（ ） A ．① B ．①C ．①D ．①【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义解答． 【详解】①x 2＋y ＝0，未知数的最高次是2，是二元二次方程；①x ＝2y＋1，不是整式方程，故不是二元一次方程； ①3x y+＝2y 是二元一次方程； ①x 2＋x －2＝0是一元二次方程，故不是二元一次方程． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，判断一个方程是否是二元一次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有两个未知数且未知数的最高次数．2．（2020·浙江杭州市·七年级期中）二元一次方程3420x y +=的正整数解有（ ）试卷第2页，总25页A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【答案】A 【分析】通过将方程变形，得到以x 的代数式，利用倍数逻辑关系，枚举法可得． 【详解】①由3420x y += 可得，34y 203, 54x y x =-=-，,x y 是正整数． ①根据题意，x 是4的倍数，则05x y ==，（不符题意）；4,2x y == 是方程的解，8,1x y ==- （不符题意）．故答案是A ． 【点睛】本题既考查正整数的概念又考查代数式的变形，理解二元一次方程解的概念是本题的关键．3．（2020·浙江七年级月考）如果方程组54356x y kx y -=⎧⎨+=⎩的解中的x 与y 互为相反数，则k 的值为（ ） A ．1 B ．1或1-C ．27-D ．5-【答案】C 【分析】根据x 与y 互为相反数，得到y=-x ，代入方程组求出k 的值即可． 【详解】解：由题意得：y=-x ，代入方程组得：926x kx ⎧⎨-⎩＝＝，①x=-3 解得：k=-27． 故选：C ． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．4．（2020·绍兴市文澜中学七年级期中）已知关于x 、y 的方程组2323216ax by cax by c -=⎧⎨+=⎩的解是42x y =⎧⎨=⎩，则关于x 、y 的方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩的解是 （ ）A ．42x y =⎧⎨=⎩B ．32x y =⎧⎨=⎩C ．52x y =⎧⎨=⎩D ．51x y =⎧⎨=⎩【答案】B 【分析】方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩可化为213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨++=⎩（）（），由方程组2323216ax by c ax by c -=⎧⎨+=⎩的解是42x y =⎧⎨=⎩即可求得方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩的解为32x y =⎧⎨=⎩. 【详解】方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩可化为213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨++=⎩（）（），试卷第4页，总25页①方程组2323216ax by c ax by c -=⎧⎨+=⎩的解是42x y =⎧⎨=⎩，①142x y +=⎧⎨=⎩，即方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩的解为32x y =⎧⎨=⎩. 故选B. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把方程组232232316ax by a cax by a c -+=⎧⎨++=⎩化为213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨++=⎩（）（）是解决问题的关键. 5．（2018·余姚市兰江中学七年级期中）已知关于x ，y 的方程x 2m ﹣n ﹣2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为（ ） A ．m ＝1，n ＝－1 B ．m ＝－1，n ＝1 C ．14m ,n 33==-D ．14,33m n =-=【答案】A 【分析】根据二元一次方程的概念列出关于m 、n 的方程组，解之即可． 【详解】①关于x ，y 的方程x 2m ﹣n ﹣2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，①22111m n m n --=⎧⎨++=⎩即23m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得：11m n =⎧⎨=-⎩，故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，理解二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．6．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，由33⨯组成的方格中每个方格内均有代数式（图中只列出了部分代数式），方格中每一行（横）､每一列（竖）以及每一条对角线（斜）上的三个代数式的和均相等，则方格中“a”的数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【分析】根据第一列、第三行、对角线建立关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值，由此即可得．【详解】由题意得：29411299211 y y y xy y x++=-+⎧⎨++=-+⎩，整理得：422 2311x yx y+=⎧⎨+=⎩，试卷第6页，总25页解得25x y =-⎧⎨=⎩，则2949y y a x ++=-+，即()5259429a +⨯+=-⨯-+， 解得7a =， 故选：B ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，依据题意，正确建立方程组是解题关键．7．（2019·浙江宁波市·七年级期中）已知关于x 、y 的方程组3453x y ax y a+=-⎧⎨-=⎩，给出下列结论：①51x y =⎧⎨=-⎩是方程组的解；①无论a 取何值，x ，y 的值都不可能互为相反数；①当a ＝1时，方程组的解也是方程x +y ＝4﹣a 的解；①x ，y 的都为自然数的解有4对． 其中正确的个数为（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【解析】 【分析】①将x=5，y=-1代入检验即可做出判断；①将x 和y 分别用a 表示出来，然后求出x+y=3来判断； ①将a=1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可； ①有x+y=3得到x 、y 都为自然数的解有4对． 【详解】①将x=5，y=-1代入方程组得：534553aa--⎧⎨+⎩＝①＝②，由①得a=2，由①得a=103，故①不正确．①解方程3453x y ax y a+-⎧⎨-⎩＝①＝②①-①得：8y=4-4a解得：y=12a -将y的值代入①得：x=5 2a+.所以x+y=3，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故①正确．①将a=1代入方程组得：3353 x yx y+⎧⎨-⎩＝＝，解此方程得：30 xy⎧⎨⎩＝＝，将x=3，y=0代入方程x+y=3，方程左边=3=右边，是方程的解，故①正确．①因为x+y=3，所以x、y都为自然数的解有3xy⎧⎨⎩＝＝，3xy＝＝⎧⎨⎩，12xy＝＝⎧⎨⎩，21xy⎧⎨⎩＝＝．故①正确．则正确的选项有①①①．故选B．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．试卷第8页，总25页8．（2020·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）若关于x ，y 的方程组4510(1)8x y kx k y +=⎧⎨--=⎩中x 的值比y 的相反数大2，则k 是（ ） A ．-3 B ．-2C ．-1D ．1【答案】A 【分析】根据“x 的值比y 的相反数大2”得出“x=-y+2”，再代入到方程组的第一个方程得到y 的值，进而得出x 的值，把x ，y 的值代入方程组中第二方程中求出k 的值即可. 【详解】①x 的值比y 的相反数大2， ①x=-y+2，把x=-y+2代入4x+5y=10得，-4y+8+5y=10， 解得，y=2， ①x=0，把x=0，y=2代入kx -(k -1)y=8，得k=-3. 故选A. 【点睛】此主要考查了与二元一次方程组的解有关的问题，解题的关键是列出等式“x=-y+2”.9．（2018·浙江杭州市·七年级月考）已知关于x 、y 的二元一次方程组356310x y x ky +=⎧⎨+=⎩给出下列结论：①当5k =时，此方程组无解；①若此方程组的解也是方程61516x y +=的解，则10k =；①无论整数k 取何值，此方程组一定无整数解(x 、y 均为整数)，其中正确的是( ) A ．①①①B ．①①C ．①①D ．①①【答案】A 【分析】根据二元一次方程组的解法逐个判断即可． 【详解】当5k =时，方程组为3563510x y x y +=⎧⎨+=⎩，此时方程组无解∴结论①正确由题意，解方程组35661516x y x y +=⎧⎨+=⎩得：2345x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩把23x =，45y =代入310x ky +=得2431035k ⨯+=解得10k =，则结论①正确解方程组356310x y x ky +=⎧⎨+=⎩得：20231545x k y k ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩又k 为整数x 、y 不能均为整数∴结论①正确综上，正确的结论是①①① 故选：A ． 【点睛】试卷第10页，总25页本题考查了二元一次方程组的解与解法，掌握二元一次方程组的解法是解题关键． 10．（2018·浙江七年级月考）已知等式()()32558A B x A B x -++=-对于一切实数x 都成立，则A 、B 的值为（ ）A ．12A B =⎧⎨=-⎩B ．64A B =⎧⎨=-⎩C ．12A B =⎧⎨=⎩D ．21A B =⎧⎨=⎩【答案】A 【分析】根据条件“对于一切实数x 都成立”，将原式转化为关于A 、B 的二元一次方程组解答． 【详解】原式可化为（3A -B -5）x+（2A+5B+8）=0， 由于对于一切实数x 都成立， 故3502580A B A B --⎧⎨++⎩＝＝解得12A B ⎧⎨-⎩＝＝ 故选A ． 【点睛】此题考查解二元一次方程组，解题关键在于转化为关于A 、B 的二元一次方程组；体现了转化思想的应用．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．（2019·温州市第二实验中学七年级期中）若关于,x y 的二元一次方程231ax by +=的一组解是11x y =⎧⎨=-⎩，则48a b ÷的值为__________．【答案】2 【分析】根据方程组解的定义，把问题转化为关于a 、b 的方程，求出2a -3b 即可解决问题；【详解】把11x y =⎧⎨=-⎩代入231ax by +=，可得：2a -3b=1，232348222a b a b a b -==÷÷把2a -3b=1代入2322a b -=；故答案为：2【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于常见题型．12．（2018·浙江七年级月考）若方程组40ax by ax by -=⎧⎨+=⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩，则23a b +的值为______.【答案】4-【分析】 将21x y =⎧⎨=⎩代入40ax by ax by -=⎧⎨+=⎩得：2420a b a b -=⎧⎨+=⎩，然后解出方程组代入计算即可. 【详解】①21x y =⎧⎨=⎩， ①2420a b a b -=⎧⎨+=⎩，试卷第12页，总25页解得：1a =，2b =-，①()232324a b +=+⨯-=-，所以答案为4-.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握相关方法是解题关键.13．（2019·浙江绍兴市·七年级期末）对于任意实数,a b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b ⊗=+。

2.1 二元一次方程●教学目标：1、知识与技能目标：1.理解二元一次方程的定义；2.能够准确叙述处二元一次方程的解的概念；3.能熟练的求出二元一次方程的一个解。

二、过程与方法目标：经历探索二元一次方程的解的过程，培养学生的数学交流和归纳猜想的能力；三、情感态度与价值观目标：体会到数学推理的奥妙，能用数学知识解决实际问题。

●重点：1.探索二元一次方程的解的过程；2.利用一元一次方程求解的方法求二元一次方程的一个解。

●难点：二元一次方程的解的求解。

●教学流程：一、课前回顾我们在前面的学习中，已经知道了一元一次方程的概念，主要讲了一元一次方程的定义的相关概念。

我们一起回忆一下相关概念。

一元一次方程是指“含有一个未知数，并且未知数的的项的次数为一次的方程”。

例如“x=3x 、2x=6x-1 、9x-6=2x”都是一元一次方程，特别注意的是这里的一元是指含有一个未知数，一次是指未知数的次数为一次。

那么如果含有两个未知数，那又是什么方程呢？那么这节课，我们将进一步走近方程，来学习有两个未知数的方程的相关知识。

二、活动探究同学们，我们首先探究一下有未知数的时候该怎么列方程呢？探究①大家先看下这个例子：例子里有多少个未知数，我们又是如何列方程的呢？学生活动：看例子并思考问题。

发现这里有一个未知数，于是我们根据“总价=单价×数量”，可得：20=2×数量，在设数量为x以后，可以列出方程20=2x。

这里有一个未知数，我们列出了一个一元一次方程。

探究②大家继续看这个例子，仍然思考这里有几个未知数，而又该列怎样的方程？学生活动：看例子思考回答问题。

同学们，根据“总价=第一种贺卡总价+第二种贺卡总价”可以得到“10.8=2×数量+ 1.2×数量”，这里有两个未知数。

那如何列出有两个未知数的式子呢？探究③我们一起继续探究，大家继续看这个例子，仍然思考刚刚大家思考的问题，并重点思考怎么设未知数怎么列方程呢。

8.1 二元一次方程组教学目标： 1、掌握二元一次方程、二元一次方程组的概念和它们解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解。

教学重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。

教学难点：二元一次方程组解的含义。

【温故习新·导引自学】1、含有 未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、把具有相同未知数的两个方程和在一起，就组成了一个 。

3、一般的，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做 。

4、一般的，二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解。

5、方程3x ＋2y ＝6，有____个未知数，且含有未知数的项都是___次，因此这个方程是____元____次方程。

6、下列式子①123-+y x ；②()05322=++-y x ；③z y x =-43；④1=+xy x ；⑤x y y 53=+；⑥04=-y x ；⑦52132+=+-x y x ；⑧711=+y x 中；是二元一次方程的有_________（填序号） 7、请你写出一个二元一次方程和方程组：二元一次方程： 二元一次方程组：【交流质疑·精讲点拨】问题1、⑴、下列各式中，哪些是二元一次方程：①、y x 23+；②、74=-y x ；③、62=+y x ；④、23+=xy x ；⑤、z y x =-43；⑥、y x 312=-；⑵、下列各式中，哪些是二元一次方程组：①、⎩⎨⎧=+=+75243y x y x ；②、⎩⎨⎧=+=32y x xy ；③、⎩⎨⎧+==+z y y x 75；④、⎩⎨⎧=+=823155y x y ；例题1、若752312=+-+m m y x是二元一次方程，求n m +的值，问题2、已知下面三组x ，y 的值⎩⎨⎧-=-=21y x ；⎩⎨⎧==42y x ；⎩⎨⎧==60y x 。

⑴、你能说出那几组数值是方程02=-y x 的解吗？⑵、你能说出那几组数值是方程6=+y x 的解吗？⑶、你能说出那几组数值是方程组⎩⎨⎧=+=-602y x y x 的解吗？例题2、写出满足92=+y x 的两个整数解。