北师大版七年级数学下册 第二章知识点汇总(全)(2020年8月整理).pdf

北师大版数学七年级下册知识点总结第一章 整式的乘除1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意：底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+•+5、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==如：23326)4()4(4==6、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-7、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷8、零指数和负指数；10=a ，（ɑ≠0）即任何不等于零的数的零次方等于1。

p p aa 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

9、科学记数法：如：0.00000721=6-1021.7⨯（第一个非零数字前零的个数）10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

第二章 平行线与相交线余角余角补角补角角两线相交 对顶角同位角内错角尺规作图一、平行线与相交线1、平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2、若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。

二、余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。

2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。

3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。

4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

即：（1）00001290(180),1390(180),∠+∠=∠+∠=则23∠=∠(同角的余角（或补角）相等)。

（2）00001290(180),3490(180),∠+∠=∠+∠=且14,∠=∠则23∠=∠(等角的余角（或补角）相等)。

三、对顶角1、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

2、对顶角的性质：对顶角相等。

4、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。

四、垂线及其性质1、垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

2、垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

五、同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。

2、同位角：两个角都在两条直线（被截线）的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。

3、内错角：两个角都在两条直线（被截线）之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。

4、同旁内角：两个角都在两条直线（被截线）之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。

完整版)北师大版七年级下册数学各章知识点总结在___版《数学》（七年级下册）中，第一章介绍了整式的运算。

其中包括单项式、多项式、幂运算、整式运算等知识点。

首先，单项式是只含有数字与字母的积的代数式，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

而多项式是几个单项式的和，其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式和多项式统称为整式。

其次，整式的加减法的一般步骤是去括号，然后合并同类项。

同时，整式的乘法和除法也有相应的规则。

单项式与单项式相乘，需要把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项式相除，需要把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

最后，还介绍了幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法。

同时，还讲解了零指数幂和负整数指数幂的概念，其中零指数幂等于1（a≠0），负整数指数幂是a的p次方（a≠0，p是正整数）的倒数。

除此之外，还介绍了整式乘法公式，包括平方差公式和完全平方公式。

平方差公式是（a+b）(a-b)=a²-b²，而完全平方公式是(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab+b²。

第二章平行线与相交线1.余角和补角余角定义为两个角的和为直角，补角定义为两个角的和为平角。

同角或等角的余角和补角相等。

2.对顶角对顶角是两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角。

北师大版七年级下册数学各章知识点总结北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结第一章整式的运算单项式整式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n (m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（a m ）n =a mn (m,n 都是正整数）；3、积的乘方：（ab ）n =a n b n (n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n (m,n 都是正整数,a ≠0) ；六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：a 0=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：p 是正整数。

七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

1(0)p p a aa -=≠2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

北师大版数学七年级下册知识点总结第一章 整式的乘除1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意：底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+•+5、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==如：23326)4()4(4==6、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-7、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷8、零指数和负指数；10=a ，（ɑ≠0）即任何不等于零的数的零次方等于1。

pp a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

9、科学记数法：如：0.00000721=6-1021.7⨯（第一个非零数字前零的个数）10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

第一章：整式的运算同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配律。

2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

（2）按去括号法则去括号。

（3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简。

（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

二、同底数幂的乘法1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作a n，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，a n的结果叫做幂。

2、底数相同的幂叫做同底数幂。

3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：a m﹒a n=a m+n。

4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m﹒a n。

5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

三、幂的乘方1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。

（a m）n表示n个a m相乘。

2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（a m）n =a mn。

3、此法则也可以逆用，即：a mn =（a m）n=（a n）m。

四、积的乘方1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。

即（ab）n=a n b n。

3、此法则也可以逆用，即：a n b n =（ab）n。

五、三种“幂的运算法则”异同点1、共同点：（1）法则中的底数不变，只对指数做运算。

（2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与平面知识点梳理汇总本文档旨在对新北师大版七年级数学下册第二章平行线与平面的知识点进行梳理和汇总，为学生复和巩固所学内容提供参考。

1. 平行线的性质- 平行线定义：在同一个平面内，不相交且不相交的直线称为平行线。

- 平行线的判定- 直线与直线的判定：若两条直线的斜率相等，则它们平行；若两条直线之间的夹角为180度，则它们平行。

- 直线与平面的判定：若一条直线与平面内的一条直线垂直，则它们平行；若一条直线与平面内的两条相交直线各自垂直，则它们平行。

2. 平行线的性质与定理- 平行线的性质和定理- 平行线性质1：同一条直线上的两点和一条直线上的一点，它们连成的线段是平行线。

- 平行线定理1：若两条直线分别与一组平行线相交，则这两条直线之间的夹角相等。

- 平行线性质2：如果两条直线与同一条平行线相交，则它们之间的夹角相等。

- 平行线定理2：在同位角中，对顶角是相等的；同位角的外角/内角互补。

- 平行线的判定- 平行定理：如果在两条平行直线上各取一点，连接这两点并与两条平行线的一条相交，则它们之间的夹角是对顶角，对顶角是相等的。

- 平行线定理3：若两条直线分别与一组平行线相交，则它们之间的夹角之和为180度。

3. 平面与平面的关系- 平行平面的性质：平行于同一个平面的平面相互平行。

- 平行平面的判定：如果两条平行线分别在两个平面上，则这两个平面平行。

4. 平面内任意三点的判定- 平行线定理4：在同一个平面内，如果两条平行线被一组平行线截断，则它们所截的线段成比例。

- Pappus定理：在同一个平面内，已知两条平行线和一组等长线段，通过连接这两条平行线相应等长线段的两点，所得的线段也是等长的。

以上是新北师大版七年级数学下册第二章平行线与平面的知识点梳理汇总，希望对学生复习和巩固所学内容提供帮助。

第二章平行线与相交线2．1 台球桌面上的角Ⅰ学法导引互为余角、互为补角都是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关，理解和掌握余角、补角的性质对今后的学习很重要，对顶角是常见的几何图形，对顶角的性质在以后的几何学习中经常用到，要应用对顶角的性质，首先要理解，掌握对顶角的概念，通过辨析，认识对顶角．Ⅱ要点精讲1 重点：掌握互余、互补及对顶角的概念及其特征．2 难点：概念的理解和如何将理论和实际相结合，即怎样正确的运用．3 易错点：例如认为“∠1+∠2+∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互为补角”是正确的，概念模糊，对对顶角的特点掌握不清楚．Ⅲ精典例题解析重点【例1】如图2－1－1，O是直线AB上一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？并说明理由．解析既要寻找与∠DOE相邻的角，又要注意不相邻的角．答案图中与∠DOE互余的角有∠EOF、∠BOD、∠BOC．（1）∵∠FOD＝90°，∴∠DOE＋∠EOF＝90°；（2）∵∠AOE＋∠BOE＝180°，∠AOE＝90°，∴∠BOE＝90°∴∠DOE＋∠BOD＝90°（3）∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD．∵∠BOD＋∠DOE＝90°，∴∠BOC＋∠DOE＝90°．图中与∠DOE互补的角有∠BOF，∠COE．（1）∵∠AOE＝∠DOF，∴∠AOF＋∠EOF＝∠DOE＋∠EOF，∴∠AOF＝∠DOE,∵∠AOF＋∠BOF＝180°，∴∠DOE＋∠BOF＝180°；（2）∵∠BOC＋∠DOE＝∠EOF＋∠DOE＝90°，∴∠BOC＝∠EOF，∴∠BOC＋∠BOE＝∠EOF＋∠BOE，∴∠COE＝∠BOF．∵∠DOE+∠BOF＝180°，∴∠DOE+∠COE＝180°．剖析难点【例2】如图2－1－2，AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC＝120°，求∠BOD、∠AOE的度数．解析∠BOD与∠AOC是对顶角，可得∠BOD度数，由于∠AOD与∠AOC互补，可知∠AOD度数，又OE平分∠AOD，可得∠AOE度数．答案∠BOD与∠AOC是对顶角，根据对顶角相等，可知∠BOD＝120°．点击易错点【例3】如图2－l－3，∠1和∠2是对顶角的图形个数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个错解选B．错解分析选择B的原因是把图（2）中的∠1、∠2当成了对顶角．正解选AⅣ能力升级综合能力升级余角、补角知识与方程（组）知识相结合．应用创新能力升级利用余角、补角的知识解决“测建筑物高度”问题．【例5】雨后初晴，小明站在操场上点B的位置，看到大楼CD的顶部C在水泡E中的像（点B、E、D在同一直线上）．已知∠1＝∠2，∠A+∠2＝90°，∠l＝35°，求∠A的度数．（如图2－1－4）2．2 探索直线平行的条件Ⅰ学法导引识别同位角、内错角、同旁内角关键抓住“三线八角”，只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角．判定两条直线平行时要正确判断出是什么角，什么关系，由此推出哪两条直线平行．Ⅱ要点精讲1 重点：掌握同位角、内错角、同旁内角在图形中的位置．2 难点：能正确识别同位角、内错角、同旁内角，因为它是识别平行线的基础，平行线是在以后的学习中经常出现的知识，它的识别对将来的学习有很大作用．3 易错点：对同位角、内错角、同旁内角的实质和特征掌握不熟．Ⅲ精典例题解析重点【例1】在下列图形中（如图2－2－1），∠1和∠2是同位角的是（）A．②③B．①②③C．①②④D．①④解析同位角、内错角、同旁内角的形成，都是由两条直线被第三条直线所截得到的，两个角应有一条边在同一直线上，①②④都具备同位角的特征，而③中的∠1与∠2不具备同位角的特征．答案应选C剖析难点【例2】如图2－2－2标有角号的8个角中共有同位角、内错角、同旁内角各几对？请分别写出来．答案同位角2对：∠1和∠3、∠5和∠8．内错角2对：∠3和∠6、∠4和∠7．同旁内角7对：∠1和∠8、∠2和∠3、∠2和∠7、∠3和∠7、∠4和∠5、∠4和∠6、∠5和∠6．点拨在图中角的个数较多的情况下，寻找同位角、内错角、同旁内角易发生遗漏．为避免遗漏，在寻找的过程中，应遵循先从最小数字的角开始，把与它有关的角都找出来；例如从∠1开始，把与它有关的角∠3与它是同位角；∠8与它是同旁内角，然后再去找与∠2有关的角，依次类推，就不会遗漏了．点击易错点［例3］如图2－2－3，∠1和∠2，∠3和∠4是内错角，问是哪两条直线被哪一条直线所截的？错解∠1和∠2是AD与BE被AC所截的内错角．∠3和∠4是AB与CD被BD所截的内错角．错解分析错解的原因是弄错了被截直线，具体找法：∠1和∠2公共边所在直线AC是截线，其余两边AB和CD是被截的两直线，∠3和∠4的截线是BD，被截两线是AD和BC．正解∠1和∠2是AB与CD被AC所截的内错角，∠3和∠4是AD 与BC被BD所截的内错角．Ⅳ能力升级综合能力升级既能正确识别同位角、内错角、同旁内角，又能正确运用平行线的三条判定定理．［例4］如图2－2－4，回答下列问题：①由∠C＝∠2，可以得出哪两条直线平行？并说明理由．②由∠2＝∠3，可以得出哪两条直线平行？并说明理由．③由∠D＋∠C＝180°，可以得出哪两条直线平行？并说明理由．答案①由∠2＝∠C，可得DC∥EF，理由是同位角相等，两直线平行；②由∠2＝∠3，可得EF∥AB，理由是内错角相等，两直线平行；③由∠D＋∠C＝180°，可得AD∥BC，理由是同旁内角互补，两直线平行．应用创新能力升级把两角关系转化成同位角、内错角、同旁内角的关系．［例5］如图2－2－5，直线a、b都与直线c相交，∠1＝47°，∠2＝133°，能判定a∥b吗？说明理由．解法1 ∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，∴∠1＝∠3，∴a∥b．解法2 ∵∠3＝∠180°－∠2＝47°，∠5＝∠1＝47°，∴∠3＝∠5，∴a∥b．解法3 ∵∠3＝180°－∠2＝47°，∠4＝180°－∠1＝133°，∠3＋∠4＝180°，∴ a∥b2．3 平行线的特征Ⅰ学法导引本节应对照平行线的判定去学习，比较性质、判定之间的联系与区别更利于记忆和运用．Ⅱ要点精讲1 重点：掌握平行线的三个特征及它们的综合运用．2 难点：运用的过程中易与它的判定产生混淆．3 易错点：分不清条件结论，平行线的性质和判定相混淆．Ⅲ精典例题解析重点【例1】如图2－3－1，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1＝105°，求∠2、∠3的度数．解析由a∥b,可得∠1＝∠2．从而求得∠2＝105°，又由c∥d，可得∠3＝∠2．从而求得∠3＝105°．答案∵ a∥b（已知），∴∠2＝∠1（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝105°（已知），∴∠2＝105°．∵ c∥d（已知），∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．∴∠3＝105°．剖析难点【例2】如图2－3－2，已知∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数．解析本题是平行线的性质和判定的综合运用，由∠1＝∠2可得出a ∥b，再由平行线的性质及对顶角相等可得出∠3＝∠4．答案∵∠1＝72°，∠2＝72°，（已知）∴∠1＝∠2（等式的性质），∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）．∵∠3＝∠5（两直线平行，同位角相等），∵∠4＝∠5（对顶角相等），∴∠3＝∠4（等量代换），∵∠3＝60°（已知），∴∠4＝60°（等式性质）．点击易错点【例3】同位角一定相等吗？错解相等．错解分析同位角、内错角、同旁内角仅仅反映两角之间的位置关系．它们没有确定的数量关系．如图2－3－3，∠l与∠2是同位角，但它们不相等．只有在两条平行线被第三条直线所截的前提下，同位角才相等．同样也只有在这个前提下，内错角相等，同旁内角互补．正解不一定相等．Ⅳ能力升级综合能力升级不仅要熟悉图形、性质，还要善于进行等量转化，把待求的角逐步和已知条件建立联系．【例4】如图2－3－4，已知DE∥BC，∠D∶∠DBC＝2∶1，∠1＝∠2，求∠DEB的度数。

北七下知识要点分章梳理第一章：整式的运算单项式整 式多项式同底数幂的乘法幂的乘方 积的乘方3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

幂运算同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘 4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配律。

2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：一、单项式整式的乘法多项式与多项式相乘 整式运算平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法多项式除以单项式（1） 列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

（2） 按去括号法则去括号。

（3） 合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：（1） 代数式化简。

（2） 代入计算（3） 对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是 1 或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是 0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是 1 或―1 时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结第一章整式的运算单项式 整 式 多项式同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方幂运算 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

二、多项式1、多项式、多项式的次数、项 几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

五、幂的运算性质： 1、同底数幂的乘法：a m﹒a n =am+n(m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（am）n=amn(m,n 都是正整数）； 3、积的乘方：（ab ）n=a n bn(n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：am÷a n=am-n(m,n 都是正整数,a ≠0) ；整 式 的 运算六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：a=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：p 是正整数。

七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2024年北师大版七年级数学下册知识点总结第一章：方程与不等式1.方程的概念：包含未知数的等式称为方程。

方程的解是使得方程成立的数。

2.解方程：通过变量的运算和移项，求出方程的解。

3.解一元一次方程：如ax+b=0，解得x=-b/a。

4.方程的证明：通过逆向思维，将给定的解代入方程，验证等式是否成立。

5.不等式的概念：含有不等于号的等式称为不等式，如ax>b。

6.解不等式：通过移项，求出不等式的解的范围。

7.不等式的证明：将给定的解代入不等式，验证不等式是否成立。

第二章：数据的收集和整理1.数据的表示：通过表格、图表和线段、折线图等图示进行数据的表示，便于观察和分析。

2.数据的整理：对收集到的数据进行整理，包括分类、排序、求最大值、最小值、众数、中位数等。

3.统计的总体与样本：通过抽取一部分数据作为样本，对总体数据进行概括和判断。

第三章：图形的认识1.点、线、面的概念：几何图形由点、线、面组成。

2.平行线与垂直线：平行线的特点是永不相交，垂直线的特点是相交成直角。

3.多边形：具有多个边的几何图形称为多边形，如三角形、四边形、五边形等。

4.正多边形：具有相等边长和相等内角的多边形。

5.对称图形：具有对称性的图形，可以通过某一条线进行折叠重合。

6.图形的相似性：具有相等比例关系的图形称为相似图形。

7.平移、旋转和翻折：运用平移、旋转和翻折等操作，使得图形位置和形态发生变化。

第四章：四边形1.四边形的概念：具有四个边的图形称为四边形，包括梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等。

2.梯形：有两个底边，两个腰。

3.平行四边形：具有相对边平行的四边形。

4.矩形：具有四个直角的四边形，对角线相等。

5.菱形：具有四个相等边的四边形，对角线互相垂直。

6.正方形：具有四个相等边且具有对称性的四边形。

第五章：比例与相似1.比例的概念：比例是指两个或多个量之间的比值关系。

比值相等时称为成比例。

2.比例的性质：比例的性质包括交换律、放大和缩小、分配律等。

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与线段知识点梳理汇总
1. 平行线的概念
平行线是指两条不相交的直线在同一个平面内，它们永远保持相同的距离，不会相交。

2. 平行线的判定
- 垂直线判定法：如果两条直线与同一直线相交，而且交角为90度（直角），则这两条直线是平行线。

- 同位角相等性质：当一条直线与两条平行直线相交时，同位角相等。

- 内错角性质：当两条平行直线被一条第三线相交时，内错角互补。

- 外错角性质：当两条平行直线被一条第三线相交时，外错角互补。

3. 平行线的性质
- 沿平行线的线段平移不变：两条平行线上的线段进行平移，其平移后的位置关系仍然保持平行。

- 平行线的夹角性质：与平行线相交的两条直线与其所在平行线的夹角对应相等。

- 平行线的比例性质：两条平行线被一条第三线所截，对应线段的比例相等。

4. 平行线的应用
- 平行线在图形中的应用：平行线的性质可以用来解决与图形相关的问题，如求解线段的比值、证明图形的性质等。

- 平行线在实际生活中的应用：平行线的概念和性质在建筑、交通规划等方面有着重要的应用。

以上是新北师大版七年级数学下册第二章平行线与线段的知识点梳理汇总。

总结起来，平行线是指两条不相交的直线在同一个平面内保持相同距离而不相交的性质。

判定平行线可以使用垂直线判定法、同位角相等性质、内错角性质和外错角性质。

平行线的性质包括沿平行线的线段平移不变、夹角性质和比例性质。

平行线的应用包括在图形中求解线段比值和证明图形性质，以及在实际生活中的建筑和交通规划等方面的应用。

七年级下第二章复习【知识梳理】1．余角与补角(1)定义：如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角；如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角；(2)性质：同角或等角的余角，同角或等角的补角.2．对顶角(1)定义：两个角有公共顶点，且它们的两边互为，这样的两个角叫做对顶角；4、垂直公理：有且只有一条直线与已知直线垂直。

8．直线平行的条件(1)同位角，两直线平行；(2)内错角，两直线平行；(3)同旁内角，两直线平行．9．平行线的性质(1)两直线平行，同位角；(2)两直线平行，内错角；(3)两直线平行，同旁内角.10、用尺规作线段和角(1)关于尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。

(2)关于尺规的功能直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。

圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。

【考点攻略】考点一余角、补角、对顶角1、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠EOD＝42°，则∠AOC＝.2．下列图形中∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．考点二平行的判定3．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°4、如图2－2所示，要使AE∥BC，需要添加一个什么条件？有几种添加方法？(1)添加，可得AE∥BC()；(2)添加，可得AE∥BC(；(3)添加∠BAE＋∠ABC＝180°，可得AE∥BC()．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A．1 B．2 C．3 D．46、如图所示，AB∥CD，∠1＝105°，∠EAB＝65°，则∠E的度数是( )7．如图，直线l1∥l2，则∠α为（）A．150°B．140°C．130°D．120°那么∠B的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．120°考点四尺规作线段、角9、王亚欣有一张地图，上面有A、B、C三个城市，但城市C被污损了，如图2－4所示．已知∠BAC＝∠α，∠ABC＝∠β，你能用尺规帮他在图中确定城市C的具体位置吗？练习：1．如图，能判定EB∥AC的条件是（）A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE2．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如上图，∠A0B的两边OA，OB均为平面反光镜，∠A0B=40°．在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°4．如上图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）A．90°B．180°C．210°D．270°5．如上图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A．122°B．151°C．116°D．97°6．如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（）A．30°B．35°C．36°D．40°7．下列说法中正确的是（）A．两直线被第三条直线所截得的同位角相等B．两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补C．两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直D．两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直8．如下图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落在C′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED′的度数是（）A．65° B．55°C．50°D．25°9．如下图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1=20°，则∠2=（）A．80°B．70°C．40°D．20°10．如下图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是．11．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命题的是．（填写所有真命题的序号）12．如上图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F=．13．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为度．14．如上图，∠1=70°，∠2=70°，∠3=88°，则∠4=．15．如上图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为．16．如下图所示，OP∥QR∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1=度．17．如下图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=度．三．解答题18．已知：如图，AD∥BE，∠1=∠2，求证：∠A=∠E．19．如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的过程填写完整．∵EF∥AD，（）∴∠2=．（两直线平行，同位角相等；）又∵∠1=∠2，（）∴∠1=∠3．（）∴AB∥DG．（）∴∠BAC+ =180°（）又∵∠BAC=70°，（）∴∠AGD=．20．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A21．如图，已知，l为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．22．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①；②．（2）如果∠AOD=40°．①那么根据，可得∠BOC=度．②因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP=∠=度．③求∠BOF的度数．23．如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．24．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）∴DG∥AC（）∴∠2=（）∵∠1=∠2（已知）∴∠1=∠（等量代换）∴EF∥CD（）∴∠AEF=∠（）∵EF⊥AB（已知）∴∠AEF=90°（）∴∠ADC=90°（）∴CD⊥AB（）25．如图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．（证明注明理由）26．如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q，（1）AB与ED平行吗？为什么？（2）∠1与∠2是否相等？说说你的理由．。

第二章 有理数及其运算一、知识结构二、有理数相关知识 1、有理数的两种分类方式:例（1）如果把顺时针转30记作30+，那么60-表示_____________________（2）下列各数中: ,14.3 ,0 (),2-- 1.2-, ,80- 2.2-, 22-, ()23-正数有___________ _____________, 负数有_______________________ ___, 分数有_________________ _______ , 正整数有____________________ ____. 2、数轴：一条规定了________ 、__________和_____________的水平直线。

例（1）把下列各数在数轴上表示出来，并用“>”把它们连接起来 ,4- (),5-- ,0 ,3 ,5.2- 4（2）写出符合下列条件的数大于3.2-且不大于3的所有整数________________________________不超过 的最大整数是______________________3、相反数：(1)如果两个数___________不同，则这两个数互为相反数。

(2)在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于_______的两侧，并且与原点的距离__________.(3)a 和b 互为相反数 ⇔ a+b=_________ ⇔ =_______(0≠b )4、绝对值：(1)在_______上，一个数所对应的点与_________的________叫做该数的绝对值.(2)5、非负性： _______和________统称非负数。

a ____0 ; 2a _____0例（1）如果x 、y 满足 ，则有x=________, y=________, xy =_______ 6、倒数： a 和b 互为倒数⇔ab _____1(0,0≠≠b a ) 7、科学记数法：)n ,101(10为正整数<≤⨯a a n例（1）3.0-的相反数是_________, 绝对值是__________, 倒数是__________. （2）比较大小; ()4_____4---- ; 0 3-;（3）x 、y 互为相反数， m 、n 互为倒数，则=-+mn y x 10)(3____________ （4）绝对值不大于2.5的所有负整数 _______________（5）相反数大于2且不大于6的整数有______________________（6）最小的正整数是____________，立方等于其本身的数是_________________ ※（7）a +2的绝对值的相反数为6，则a 是_______________※（8）如图所示 则=-2a _________________（9）洞庭湖的蓄水量约为17080000000m ³，将这一数据用科学记数法表示为____________________m ³三、有理数的运算 1、有理数的加法法则：异号两数相加，______________________________________________________________________________; 同号两数相加，_______________________________________________________________________________; 一个数同0相加，_________________________________________. 2、有理数的减法法则：减去一个数，等于____________________________________________.3、有理数的乘法法则：两个有理数相乘，同号得____,异号得____,绝对值__________.4、有理数的除法法则：（1）两个有理数相除，同号得______,异号得______,绝对值________. （2）除以一个数等于___________________________________________. 例：______6)18(=÷-， ()()______936=-÷- ， ()_______40=-÷， ， ，5、有理数的乘方例：（1）a 的平方为9，则a 为_______________（2）()22--= ， 2--= ， ()2--= ， ()32-= ， ()22-= ， 22-= ___-以上各数中负数有______________个（3）1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多长？__________（4）拉面师傅先是用一根很粗的面条，把两头捏起来拉长，然后再把两头捏起来拉长，不断地这样，就将一根335⎪⎭⎫⎝⎛-()0232=++-y x ()()______2.012=-÷-_______521=⎪⎭⎫⎝⎛-÷()_______4.08.0=-÷______717=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷nan a a =⨯⨯⨯⨯ 个a a a 78_____87--411_______721--⎩⎨⎧<≥=)0_____()0_____(a a a ba,312-,411-粗面条拉成许多根细面条了。