中考数学总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知识讲解(基础)

二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当ba≠时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P()在第一象限0x⇔y,0>>点P()在第二象限0x⇔y,0><点P()在第三象限0x⇔y<,0<点P()在第四象限0⇔yx,0<>2、坐标轴上的点的特征点P()在x轴上0⇔y，x为任意实数=点P()在y轴上0⇔x，y为任意实数=点P()既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P()在第一、三象限夹角平分线上⇔x及y相等点P()在第二、四象限夹角平分线上⇔x及y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 及点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 及点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 及点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离 点P()到坐标轴及原点的距离： （1）点P()到x 轴的距离等于y （2）点P()到y 轴的距离等于x （3）点P()到原点的距离等于22y x +知识点三、函数及其相关概念1、变量及常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

中考复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数【考纲要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x ；点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x ； 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x ； 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x ； 点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数； 点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数；点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）. 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等； 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ′关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ； （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +. 7.在平面直角坐标系内两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点()()2211,,y x B y x A 、，那么A 、B 两点的距离为：()()221221y y x x AB -+-=.两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，x 轴或平行于x 轴的直线上的两点()()y x B y x A ,,21、的距离为：()()()212212221x x x x y y x x AB -=-=-+-=（2）在直角坐标平面内，y 轴或平行于y 轴的直线上的两点()()21,,y x B y x A 、的距离为：()()()212212212y y y y y y x x AB -=-=-+-=要点诠释：（1）注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限；（2）平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标. 考点二、函数 1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量. 2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义. 3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法. 4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.要点诠释：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 .2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b （k ≠0)的图象的性质一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过(0，b )点和)0,(kb-点的一条直线．①当k>0时，y 随x 的增大而增大； ②当k<0时，y 随x 的增大而减小． (4)用函数观点看方程(组)与不等式①任何一元一次方程都可以转化为ax ＋b ＝0(a ，b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)，当y ＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y ＝kx ＋b ，确定它与x 轴交点的横坐标．②二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标．③任何一元一次不等式都可以转化ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a 、b 为常数，a ≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围． 要点诠释：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法.（3）直线y 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.3.反比例函数及其图象性质 （1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数. 三种形式：ky x=(k ≠0)或kx y =1-(k ≠0)或xy=k(k ≠0). （2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y ，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； ②比例系数0≠k ；③自变量x 的取值为一切非零实数； ④函数y 的取值是一切非零实数. （3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）； 描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）. ②反比例函数的图象是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是x y =和x y -=）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）. ④反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为k .（4）反比例函数性质：（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k ）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系. （7）反比例函数的应用反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙.,y xk=∴||k S k xy ==，.(8)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数1y k x =(1k ≠0)，反比例函数22(0)k y k x=≠，则 当120k k <时，两函数图象无交点；当120k k >时，两函数图象有两个交点，坐标分别为，()． 由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．要点诠释：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算1．已知：如图所示，（1）写出△ABC三个顶点的坐标；（2）作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标；（3）作出△ABC关于y轴对称的△A″B″C″，并写出△A″B″C″三个顶点的坐标．【思路点拨】（1）直接根据图形写出△ABC三个顶点的坐标；（2）找到△ABC的各顶点关于x轴对称的对称点并顺次连接成图形；（3）找到△ABC的各顶点关于y轴对称的对称点并顺次连接成图形．【答案与解析】（1）△ABC三个顶点的坐标分别为：A（4，3），B（3，1），C（1，2）；（2）所画图形如下所示，△A′B′C′即为所求，△A′B′C′三个顶点的坐标分别为：A′（4，-3），B′（3，-1），C′（1，-2）；（3）所画图形如下所示，△A″B″C″即为所求，△A″B″C″三个顶点的坐标分别为：A″（-4，3），B″（-3，1），C″（-1，2）．【总结升华】作轴对称图形找对称点是关键.举一反三：【变式】如图所示，△ABC的顶点坐标分别为A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为( )A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定【答案】选B．（点B的平移是关键，平移后AB＝CB1，两个三角形等底等高）．2．(1)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，B1(0，1)，B2(0，3)，B3(0，6)，B4(0，10)，…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A 3B 3C 3B 4，……如果所作正方形的对角线1n n B B +都在y 轴上，且1n n B B +的长度依次增加1个单位，顶点n A 都在第一象限内(n ≥1，且n 为整数)，那么A 1的纵坐标为________，用n 的代数式表示n A 的纵坐标为_______；(2)若设n A 的坐标为(x ，y)，求y 关于x 的函数关系式．【答案与解析】(1)2，2(1)2n +；(2)A 1的横坐标等于12222B B =， A 2的横坐标等于23322B B =， A 3的横坐标等于34422B B =， A 4的横坐标等于45522B B =，……∴ n A 的横坐标等于1122n n B B n ++=，纵坐标等于2(1)2n +． ∵ 12n x +=，212n y +=，∴ 12n x +=，代入消去n+1，得22y x =．∴ y 关于x 的解析式为22y x =，说明点A 1，A 2，A 3，A 4，…，n A 都在抛物线22y x =上． 如图所示．【总结升华】解决本题的关键是观察图形得到点的纵坐标的特点．类型二、一次函数3．已知点A(3，1)，B(0，0)，C(3，0)，AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则直线AE 对应的函数解析式是( )．A. 3y x =-B. 2y x =-C. 1y =-D. 2y =- 【思路点拨】要求直线AE 对应的函数表达式，可以求出E 点的坐标即可．可以转化为求线段BE 的长，根据角平分线的性质解决． 【答案】D ； 【解析】解：如图所示，易证∠BAC ＝60°，∠ABC ＝30°． ∵ AE 平分∠BAC ，∴ ∠EAC ＝30°．∵ AC ＝1，∴ CE ．∴ BE 0)．可得直线AE 的解析式为2y =-．应选择D ．【总结升华】平面直角坐标系中的几何问题，解决关键往往在于将直线的条件转化为点的坐标及线段长，只需得到线段长，就可以解三角形、解四边形，反之亦然．举一反三：【变式】已知：如图所示，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(0，4)，直线CM ∥x 轴．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x+b(b 为常数)经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，连接OD ．(1)求b的值和点D的坐标．(2)设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标．【答案】(1)因为点B与点A关于原点对称，点A的坐标为(1，0)，所以点B的坐标为(-1，0)．因为直线y＝x+b(b为常数)经过点B，所以0＝-1+b，解得b＝1，所以直线为y＝x+1．因为点C的坐标为(0，4)，直线CM∥x轴，所以点D的纵坐标为4．因为直线y＝x+1与直线CM交于点D，当y＝4时，4＝x+1，解得x＝3，所以点D的坐标为(3，4)．(2)因为O为原点，点D的坐标为(3，4)，点C的坐标为(0，4)，所以OC＝4，CD＝3，所以OD＝5．因为点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，则分三种情况：①当PD＝PO时，有12cosODDOPPO∠=，因为3 cos cos5CDDOP CDOOD∠=∠==，所以1325ODPO=，解得256PO=．所以点P的坐标为(256，0)．②当PD＝OD时，PO＝2CD＝6，所以点P的坐标为(6，0)．③当OD＝PO时，PO＝5，所以点P的坐标为(5，0)．类型三、反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数ky=x（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y 轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．【思路点拨】（1）由点E的纵坐标得出OA=4，再根据tan∠BOA=12即可求出AB的长度；（2）根据（1）求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值；（3）利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度.【答案与解析】解：（1）∵点E（4，n）在边AB上，∴OA=4，在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=12，∴AB=OA×tan∠BOA=4×12=2.（2）由（1），可得点B 的坐标为（4，2），∵点D 为OB 的中点，∴点D （2，1）. ∵点D 在反比例函数k y=x （k≠0）的图象上，∴k2=1，解得k=2. ∴反比例函数解析式为2y=x. 又∵点E （4，n ）在反比例函数图象上，∴21n==42.（3）如图，设点F （a ，2），∵反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ， ∴22=a，解得a=1.∴CF=1.连接FG ，设OG=t ，则OG=FG=t ，CG=2﹣t ， 在Rt△CGF 中，GF 2=CF 2+CG 2，即t 2=（2﹣t ）2+12，解得t=54，∴OG=t=54. 【总结升华】本题综合考查了反比例函数的知识，包括待定系数法求函数解析式，点在函数图象上，锐角三角函数的定义，以及折叠的性质，求出点D 的坐标，然后求出反比例函数解析式是解题的关键． 举一反三：【反比例函数 关联的位置名称：例5】【变式1】已知：如图，正比例函数y ＝ax 的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)． (1)求上述正比例函数和反比例函数的表达式；xky(2)根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；(3)M(m ，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）将()32A ，分别代入k y y ax x ==，中，得2323ka ==，， ∴ 263k a ==，． ∴ 反比例函数的表达式为：6y x=； 正比例函数的表达式为23y x =． （2）观察图象得，在第一象限内，当03x <<时，反比例函数的值大于正比例函数的值． （3）BM DM =．理由：∵ 132OMB OAC S S k ==⨯=△△， ∴ 63312OMB OAC OBDC OADM S S S S =++=++=△△矩形四边形．即 12OC OB =． ∵ 3OC =，∴ 4OB =．即 4n =．∴ 632m n ==． ∴ 3333222MB MD ==-=，． ∴MB MD =．【变式2】已知双曲线xy 3=和直线2y kx =+相交于点11()A x y ，和点22()B x y ，，且102221=+x x . 求k 的值.【答案】由⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y kx y 32得232230kx kx x x =++-=，．∴121223x x x x k k +=-=-，．故()222121212246210x x x x x x k k +=+-=+=． ∴25320k k --=．∴11k =或225k =-. 又24412b ac k -=+>0即13k >-，舍去225k =-，故所求k 的值为1.类型四、函数综合应用5．如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和轴、轴分别交于点A 和点B ，且OA ＝OB ＝1.这条曲线是函数的图像在第一象限的一个分支，点P 是这条曲线上任意一点，它的坐标是（、），由点P 向轴、轴所作的垂线PM 、PN ，垂足是M 、N ，直线AB 分别交PM 、PN 于点E 、F.（1）分别求出点E 、F 的坐标（用的代数式表示点E 的坐标，用的代数式表示点F 的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；（2）求△OEF 的面积（结果用含、的代数式表示）；（3）△AOF 与△BOE 是否一定相似，请予以证明.如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由；x y xy 21=a b x y a b a b（4）当点P 在曲线上移动时，△OEF 随之变动，指出在△OEF 的三个内角中，大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论.【思路点拨】在证明三角形相似时，∠EBO ＝∠OAF 是较明显的，关键是证明两夹边对应成比例，这里用到了点P （，）在双曲线上这一重要条件，挖掘形的特征，并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键.【答案与解析】（1）点E （，），点F （，） （2）＝＝（3）△AOF 与△BOE 一定相似，下面给出证明∵OA ＝OB ＝1 ∴∠FAO ＝∠EBO BE ＝xy 21=a b xy 21=a a -1b -1b EPF FNO EMO MONP EOF S S S S S ∆∆∆∆---=矩形2)1(21)1(21)1(21-+-----b a b b a a ab )1(21-+b a a a a 2)11(22=+-+问题图AF ＝∵点P （，）是曲线上一点 ∴，即AF ·BE ＝OB ·OA ＝1∴∴△AOF ∽△BOE（4）当点P 在曲线上移动时，△OEF 中∠EOF 一定等于45°，由（3）知，∠AFO ＝∠BOE ，于是由∠AFO ＝∠B ＋∠BOF 及∠BOE ＝∠BOF ＋∠EOF∴∠EOF ＝∠B ＝45°.【总结升华】此题第（3）（4）问均为探索性问题，（4）以（3）为基础，在肯定（3）的结论后，（4）的解决就不难了.举一反三：【平面直角坐标系与一次函数 关联的位置名称：例4-例5】【变式1】如图所示，点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y ＝-x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )．A ．(0，0)B ．(12,-12) C ．(2，2-) D ．(12-，12)【答案】当AB 与直线y ＝-x 垂直时，AB 最短．(如图所示)b b b 2)11(22=++-a b xy 21=12=ab BEOAOB AF =xy 21=∵直线y ＝-x ，∴∠AOB ＝45°．∴△AOB 是等腰直角三角形． 过B 作BC ⊥x 轴于C ． ∵ A(1，0)，∴OA ＝1，1122BC AO ==． ∴此题选B ．【变式2】在同一坐标系中，一次函数y ＝(1-k)x+2k+l 与反比例函数ky x=的图象没有交点，则常数k 的取值范围是________．【答案】由题意知(1)21,.y k x k ky x =-++⎧⎪⎨=⎪⎩∴(1)21kk x k x=-++． ∴ 两函数图象无交点，∴ 10,0,0.k k -≠⎧⎪≠⎨⎪<⎩△∴ 18k <-．6．如图所示，点A(m ，m+1)，B(m+3，m-1)都在反比例函数ky x=的图象上．(1)求m、k的值；(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的解析式．【思路点拨】（1）直接把A、B两点的坐标代入解析式中就可以得到关于m的方程，解方程即可；（2）存在两种情况：当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时和当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时．无论哪种情况都可以利用平移知识求出M、N的坐标，然后利用待定系数法确定直线MN的解析式；【答案与解析】(1)由题意可知m(m+1)＝(m+3)(m-1)．解得m＝3．∴ A(3，4)，B(6，2)．∴ k＝4×3＝12．(2)存在两种情况，如图所示．①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M1点坐标为(x1，0)，N1点坐标为(0，y1)．∵四边形AN1M1B为平行四边形，∴点A对应点N1，点B对应点M1．∵点A的横坐标为3，点B的纵坐标为2．∴线段N1M1可看做由线段AB向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．∴ N1点的坐标为(0，4-2)，即N1(0，2)；M1点的坐标为(6-3，0)，即M1(3，0)．设直线M1N1的函数表达式为y＝k1x+2，把x＝3，y＝0代入，解得12 3k=-．∴直线M1N1的函数表达式为223y x=-+．②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为(x2，0)，N2点坐标为(0，y2)．∵ AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2，∴ N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．∴线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称．∴ M1点坐标为(-3，0)，N2点坐标为(0，-2)．设直线M2N2的函数表达式为22y k x=-，把x＝-3，y＝0代入，解得22 3k=-．∴直线M2N2的函数表达式为223y x=--．综上所述，直线MN的函数表达式为223y x=-+或223y x=--．【总结升华】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用.中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）A.k<B. k>1C. <k<1D.k>1或k< 3．设b>a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）4．如图，过x 轴正半轴任意一点P 作x 轴的垂线，分别与反比例函数y 1=2x 和y 2=4x的图像交于点A 和点B .若点C 是y 轴上任意一点，连结AC 、BC ，则△ABC 的面积为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第4题图 5题图 5．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（，4），则△AOC 的面积为（ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．46．已知abc ≠0，而且=p ，那么直线y=px+p 一定通过（ ） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限131313(0)ky k x=<6-a b b c c ac a b+++==二、填空题7．如图，正比例函数y x =与反比例函数1y x=图象相交于A 、C 两点，过点A 做x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，若ABC ∆的面积为S ，则S = .8．如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线xky =交OB 于D ， 且OD ：DB=1：2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值是 .第7题图 第8题图 第11题图9．点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .10．函数y=-3x+2的图像上存在点P ，使得P•到x•轴的距离等于3，•则点P•的坐标为__________． 11．如图，已知函数y=2x 和函数ky=x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AE⊥x 轴于点E ，若△AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的点，且以点B 、O 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P 点坐标是 ．12．已知是正整数，是反比例函数图象上的一列点，其中．记，，若（是非零常数），则A 1·A 2·…·A n 的值是________________________（用含和的代数式表示）．三、解答题CBA O xy n 111222(,),(,),,(,),n n n P x y P x y P x y ky x=121,2,,,n x x x n ===112A x y =223A x y =1n n n A x y +=，，1A a =a a n13．已知正比例函数y kx =(0)k ≠与反比例函数(0)my m x=≠的图象交于A B 、两点，且点A 的坐标为(23)，．（1）求正比例函数及反比例函数的解析式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出两个函数的图象，根据图象直接写出点B 的坐标及不等式m kx x>的解集．14. 如图，将直线x y 4=沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点A （0,49），与双曲线k y x=（0x >）交于点B ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若点B 的纵坐标为m ， 求k 的值（用含m 的代数式表示）．15．某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止到15日进油时的销售利润为5.5万元．(销售利润＝(售价-成本价)×销售量))请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题： (1)销售量x 为多少时，销售利润为4万元? (2)分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O 1A ，AB ，BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大?(直接写出答案)16. 如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ＝15，AD ＝20，∠C ＝30°．点M 、N 同时以相同速度分别从点A、点D 开始在AB 、AD(包括端点)上运动．(1)设ND 的长为x ，用x 表示出点N 到AB 的距离，并写出x 的取值范围； (2)当五边形BCDNM 面积最小时，请判断△AMN 的形状．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；【解析】直线y=-x+4经过第一，二，四象限，一定不经过第三象限，因而直线y=x+2m 与y=-x+4的交点不可能在第三象限．2.【答案】C ；3.【答案】B ；【解析】由方程组 的解知两直线的交点为（1，a+b ），•而图A 中交点横坐标是负数，故图A 不对；图C 中交点横坐标是2≠1， 故图C 不对；图D•中交点纵坐标是大于a ，小于b 的数，不等于a+b ，y bx ay ax b =+⎧⎨=+⎩故图D 不对；故选B ．4.【答案】A ；5.【答案】B ；【解析】由A （-6,4），可得△ABO 的面积为，同 时由于D 为OA 的中点，所以D （-3,2），可得反比例函数解析式为，设C （a ，b ），则， ∴ab =-6，则BO ×BC=6，∴ △CBO 的面积为3，所以△AOC 的面积为12-3=9.6.【答案】B ；【解析】∵=p ， ∴①若a+b+c ≠0，则p==2；②若a+b+c=0，则p==-1， ∴当p=2时，y=px+q 过第一、二、三象限； 当p=-1时，y=px+p 过第二、三、四象限， 综上所述，y=px+p 一定过第二、三象限．二、填空题 7．【答案】1；【解析】∵无法直接求出ABC ∆的面积∴将ABC ∆分割成OBC ∆和OAB ∆124621=⋅⋅xy 6-=ab 6-=a b b c c ac a b+++==()()()a b b c c a a b c+++++++a b cc c+-=由题意，得1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩ ∴(1,1)A 、(1,1)B --∴ABC ∆的面积=11122AOB COB S S ∆∆+=+= 8．【答案】43=k ； 【解析】设B 点坐标为（a ，b ），∵OD ：DB=1：2，∴D 点坐标为（a 31，b 31）， ∵D 在反比例函数x k y =的图象上，得k b a =∙3131，∴k ab 9= --------------①，∵BC ∥AO ，AB ⊥AO ，C 在反比例函数xky =的图象上，C 点的纵坐标是b ，∴C 点坐标为（b bk,）将（b b k ,）代入x k y =得，b k x =，bka BC -=，又因为△OBC 的高为AB ，所以OBC 1()32kS a b b =-∙=△，6=-k ab -----------②，把①代入②得，9k-k=6， 解得 43=k ．9．【答案】6；【解析】设A （a,a ）,B (b,b),则C （1,a a ）,D (1,b b), AC=1a a -,BD =1b b-,∵BD=2AC ，∴112()b a b a-=-， 2222221144()()OC OD a b a b-=+-+ 22114()2()2a b a b ⎡⎤⎡⎤=-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 22114()84()2a a a a=-+---6= 10．【答案】（，3）或（,-3）； 【解析】∵点P 到x 轴的距离等于3，∴点P 的纵坐标为3或-3当y=3时，x=；当y=-3时，x=；∴点P 的坐标为（，3）或（，-3）． “点P 到x 轴的距离等于3”就是点P 的纵坐标的绝对值为3，故点P 的纵坐标应有两种情况．11．【答案】（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）；【解析】先求出B 、O 、E 的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P 点的坐标：如图，∵△AOE 的面积为4，函数k y=x的图象过一、三象限，∴k=8.135313531353∴反比例函数为8y=x∵函数y=2x 和函数8y=x 的图象交于A 、B 两点， ∴A、B 两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），∵以点B 、O 、E 、P 为顶点的平行四边形共有3个，∴满足条件的P 点有3个，分别为：P 1（0，﹣4），P 2（﹣4，﹣4），P 3（4，4）.12．【答案】； 【解析】由题意可知：=，又，即， 所以原式=.又，，所以，所以原式.三、解答题13.【答案与解析】 （1）∵点A (2,3)在正比例函数y kx =的图象上，∴ 23k =．解得 32k =． ∴ 正比例函数的解析式为 32y x =． ∵点A (2,3)在反比例函数m y x =的图象上， ∴ 32m =． 解得 6m =．(2)1na n +12.....n A A A ∙∙∙12231n n x y x y x y +∙∙∙∙......k y x=xy k =111n n x k y -+∙∙112A x y a ==22k x y =2k a =1111112(2)1(2)1(2)11n n n n n n k a a x ky a a x n n ---++∙∙=⨯⨯=⨯⨯=++∴ 反比例函数的解析式为6y x=．…… 2分（2）点B 的坐标为(2,3)--， …………… 3分 不等式m kx x>的解集为20x -<<或2x >．14.【答案与解析】（1）将直线x y 4=沿y 轴向下平移后经过x 轴上点A （0,49）， 设直线AB 的解析式为b x y +=4． 则0494=+⨯b ． 解得9-=b ．∴直线AB 的解析式为94-=x y ．（2）设点B 的坐标为（x B ，m ），∵直线AB 经过点B ，∴94-=B x m ． ∴49+=m x B ． ∴B 点的坐标为（49+m ，m ）， ∵点B 在双曲线k y x=（0x >）上， ∴49+=m k m ． ∴492m m k +=．15.【答案与解析】解法一：(1)由题意知，当销售利润为4万元时，销售量4÷(5-4)＝4万升．答：销售量x为4万升时，销售利润为4万元．(2)点A的坐标为(4，4)，从13日到15日利润为5.5-4＝1.5，所以销售量为1.5÷(5.5-4)-1，所以点B的坐标为(5，5.5)．设线段AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，则44,5.55.k bk b=+⎧⎨=+⎩解得1.5,2.kb=⎧⎨=-⎩∴线段AB所对应的函数关系式为 y＝1.5x-2(4≤x≤5)．从15日到31日共销售5万升，利润为l×1.5+4×1＝5.5(万元)．∴本月销售该油品的利润为5.5+5.5＝11(万元)，则点C的坐标为(10，11)．设线段BC所对应的函数关系式为y＝mx+n，则5.55,1110.m nm n=+⎧⎨=+⎩解得1.1,0.mn=⎧⎨=⎩所以线段BC所对应的函数关系式为 y＝1.1x(5≤x≤10)．(3)线段AB段的利润率最大．解法二：(1)根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y＝(5-4)x，即y＝x(0≤x≤4)．当y＝4时，x＝4，所以销售量为4万升时，销售利润为4万元．答：销售量x为4万升时，销售利润为4万元．(2)根据题意，线段AB对应的函数关系式为y＝1×4+(5.5-4)×(x-4)，即y＝1.5x-2(4≤x≤5)．把y＝5.5代入y＝1.5x-2，得x＝5，所以点B的坐标为(5，5.5)．此时库存量为6-5＝1．当销售量大于5万升时，即线段BC所对应的销售关系中，每升油的成本价144 4.54.45⨯+⨯==（元），所以，线段BC所对应的函数关系式y ＝(1.5×5-2)+(5.5-4.4)(x-5)＝1.1x(5≤x ≤10)．(3)线段AB 段的利润率最大．16.【答案与解析】解：(1)过点N 作BA 的垂线NP ，交BA 的延长线于点P ．由已知，AM ＝x ，AN ＝20-x ，∵ 四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠D ＝∠C ＝30°， ∴ ∠PAN ＝∠D ＝30°．在Rt △APN 中，1sin (20)2PN AN PAN x =∠=-， 即点N 到AB 的距离为1(20)2x -． ∵ 点N 在AD 上，0≤x ≤20，点M 在AB 上，0≤x ≤15， ∴ x 的取值范围是0≤x ≤15．(2)根据(1)，2111(20)5244AMN S AM NP x x x x ==-=-+△． ∵ 104-<，∴ 当x ＝10时，AMN S △有最大值． 又∵ AMN BCDNM S S S =-△五边形梯形，且S 梯形为定值，当x ＝10时，即ND ＝AM ＝10，AN ＝AD-ND ＝10，即AM ＝AN ． 则当五边形BCDNM 面积最小时，△AMN 为等腰三角形．。

中考总复习平面直角坐标系与一次函数反比例函数--知识讲解一、平面直角坐标系：平面直角坐标系是描述平面上点位置的一种工具，它由两条互相垂直的数轴（横轴和纵轴）构成。

横轴通常被称为x轴，纵轴通常被称为y轴。

通常，将x轴和y轴的交点称为坐标原点O。

在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一个有序数对(x,y)来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

例如，点A在x轴上的位置是2，在y轴上的位置是3，那么点A的坐标就是(2,3)。

二、一次函数：1.定义：一次函数是指形如y = ax + b的函数，其中a和b是常数，并且a≠0。

其中，a叫做一次函数的斜率，b叫做一次函数的截距。

2.斜率的性质：（1）当a>0时，一次函数是递增的，意味着随着x的增加，y也增加。

（2）当a<0时，一次函数是递减的，意味着随着x的增加，y减少。

3.截距的性质：截距是指一次函数与y轴的交点，在数学上记为点(0,b)。

（1）当b>0时，一次函数与y轴正向相交，函数图像在y轴上方。

（2）当b<0时，一次函数与y轴负向相交，函数图像在y轴下方。

4.一次函数的图像特点：一次函数的图像是一条直线，直线的斜率决定了直线的倾斜程度，而截距决定了直线与y轴的交点位置。

通过改变斜率和截距的值，可以改变直线的位置和倾斜程度。

三、反比例函数：1.定义：反比例函数也称为比例函数的倒数函数，当x≠0时，反比例函数可以表示为y=k/x，其中k≠0。

反比例函数的图像是图象关于坐标原点O对称的两个分离的曲线。

2.反比例函数的性质：（1）当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。

（2）反比例函数不存在斜线，是一对曲线对称分离的图象。

四、平面直角坐标系与一次函数反比例函数的应用：平面直角坐标系和一次函数、反比例函数可以应用于很多实际问题中，如图形的绘制、方程的求解等。

1.图形的绘制：- 对于一次函数y = ax + b，通过改变a和b的值，可以得到不同的图形及其特点。

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。

5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝，　，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝，　，　，，　3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。

【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。