线性代数第一章15

第一章 矩阵§1.2 Gauss 消元法1． 基本概念一般的n 元线性方程组：)( b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a m n mn m m n n n n *⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++ 22112222212********* 未知数：n x x x ,,,21系数：),,2,1,,2,1( n j m i a j i ==； 常数项：m b b b ,,,21一个解：n 元有序数组n c c c ,,,21 ，令, , , ,2211n n c x c x c x === 使（*）的所有方程变为恒等式。

解集合：（*）的全部解的集合。

不相容线性方程组：解集合为空集。

一般解（通解）：解集合中全部元素的通项表达式。

具体解（特解）：解集合中一个特定元素。

解的存在性：解集合是否为空集。

解的唯一性：非空的解集合是否只有一个元素。

线性方程组同解：解集合相同。

非齐次线性方程组：m b b b ,,,21 不全为零 齐次线性方程组：m b b b ,,,21 全为零一般的n 元齐次线性方程组：)( x a x a x a x a x a x a x a x a x a n mn m m nn n n **⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111零解：所有未知数均取零的解 非零解：未知数不全取零的解2. Gauss 消元法例 1 解线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-+524314422321321321x x x x x x x x x阶梯形方程组: 从上到下，方程中具有非零系数的第一个未知数的下标严格增大. 例如…. 注:(1) 它包含两个过程: 一是消元; 二是回代. (2) 将方程组化为阶梯形时所做的操作有如下三种: (i) 交换某两个方程, 如第i 个和第j 个,表示为j i R R ↔. (ii) 用非零常数k 乘某个方程, 如第i 个方程, 表示为 i kR . (iii) 将第i 个方程的l 倍加到第j 个方程, 表示为 i j lR R +. 这三种变换称为线性方程组的初等变换. 定理 1线性方程组的初等变换将方程组化为同解的方程组.解线性方程组的步骤:第一步 若第一个方程的1x 的系数为零，则选择一个1x 的系数不为零的方程, 如第i 个方程，交换它们的位置， 即 i R R ↔1.第二步 用变换1kR 将1x 的系数化为1.第三步 用变换1,1>+i lR R i , 将1x 从第一个方程以下的所有方程中消去。

§6.3 惯性定理和二次型的规范形定理 任一秩为r 的二次形AX X x x x f Tn =),,,(21均可经过适当的可逆线性替换 CY X =化为2222211rr y b y b y b +++其中 r i b i ,,2,1 ,0 =≠，Tn x x x X ] [21 =， T n y y y Y ] [21 =。

推论 任一秩为r 的对称矩阵均合同于一个下列形式的对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001 rb b其中 r i b i ,,2,1 ,0 =≠。

设 AX X f T =是 n 元二次型，且 秩(A )=r ：1．f 是复二次型存在可逆复线性替换 CY X =把 f 化为2222211rr y b y b y b +++其中 r i b i ,,2,1 ,0 =≠。

再令n n r r r rr z y z y z b y z b y ====++,,,1,,111111 ，则 f 被进一步变为22221r z z z +++。

称上式为复二次型的规范形。

定理 任意复二次型均可经过适当的可逆复线性替换化为规范形且规范形唯一。

推论 对任意一个秩为r 的n 阶复对称矩阵A ，必存在n 阶可逆复矩阵C ,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000rT I AC C例 设A 、B 均为n 阶复对称矩阵，则A 与B在复数域上合同的充分必要条件是 )()(B r A r =。

2．f 是实二次型存在可逆实线性替换 CY X =把 f 化为22112211rr p p p p y b y b y b y b ---++++其中 0,,1>r b b 。

再令n n r r r rr z y z y z b y z b y ====++,,,1,,111111 ，则 f 被进一步变为221221r p pz z z z ---+++ 。

称上式为实二次型的规范形。

定理（惯性定理） 任意实二次型均可经过适当的可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一。

线性代数与几何（Ａ）主讲教师殷洪友E-mail: hyyin@第一章n 阶行列式1.1二阶和三阶行列式1.2排列1.3n阶行列式的概念1.4行列式的性质1.5行列式的展开定理1.6Cramer法则求解如下二元线性方程组)1.1(,,22221211212111⎩⎨⎧=+=+b x a x a b x a x a 1.1 二阶和三阶行列式其中a 11, a 12, a 21, a 22 称为方程组（1.1）的系数，b 1, b 2 称为常数项．方程组（1.1）的系数按所在的位置排成了一个两行两列的数表，称为（1.1）的系数矩阵.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22211211a a a a;212221*********b a a b x a a a a −=−）（根据消元法，可得.211211*********a b b a x a a a a −=−）（时，当021122211≠−a a a a 方程组(1.1)有唯一解：，211222112122211a a a a b a a b x −−=.211222112112112a a a a a b b a x −−=由系数矩阵确定．⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22211211a aa a设是一个两行两列的数表，则表达式称为该数表所确定的二阶行列式，记作⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22211211a a a a 21122211a a a a −.2112221122211211a a a a a a a a −=其中称为行列式的元素，下标i j 表示该元素位于第i 行，第j 列．ij a11a 12a 22a 21a 主对角线副对角线2211a a =.2112a a −注意二阶行列式的计算满足对角线法则根据二阶行列式的定义，有.,211211221111212221222121a b b a b a b a b a a b a b a b −=−=若记,22211211a a a a D =对于二元线性方程组（1.1），,2221211a b a b D =.2211112b a b a D =则当系数行列式D ≠0时，方程组有唯一解：,2221121122212111a a a a a b a b D D x ==.2221121122111122a a a a b a b a D D x ==,333213232212312111⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛a a a a a a a a a 记,312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a −−−++=333231232221131211a a a a a a a a a 则称其为该数表所确定的三阶行列式.类似地，设有9 个数排成的三行三列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 332211a a a =.322311a a a −计算三阶行列式的对角线法则注意 1. 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号;2. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．322113a a a +312312a a a +312213a a a −332112a a a −如果三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111,,bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的系数行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =,0≠利用三阶行列式求解三元线性方程组若记,3332323222131211a a b a a b a a b D =,3333123221131112a b a a b a a b a D =,3323122221112113b a a b a a b a a D =2-43-122-4-21D =计算三阶行列式例1.1则三元线性方程组有唯一解:,11DD x =,22DD x =.33DD x =.094321112=xx 求解方程例1.2例1.3 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=−+−=+−.0,132,22321321321x x x x x x x x x 解方程组的系数行列式111312121−−−−=D 5−=,0≠所以方程组有唯一解.因为113111221−−−−=D ,5−=113121212−−−−=D ,10−=0111122213−−−=D ,5−=故方程组的唯一解为:,111==DD x ,222==DD x .133==DD x思考题使得求一个二次多项式),(x f ()()().283,32,01=−==f f f定义1.1由自然数组成的一个有序数组称为一个n 阶排列．通常用表示n 阶排列．n ,,2,1"n j j j "21 定义1.2在一个排列中，如果一个较大数排在一个较小数之前，就称这两个数构成一个逆序．一个排列的逆序总个数称为这个排列的逆序数．排列具有自然顺序，即逆序数为0，称之为自然排列．n "3 2 1 1.2排列排列的逆序数记为).(21n j j j t " n j j j "21如果一个排列的逆序数为偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列．计算排列的逆序数有两种方法：向前记数法和向后记数法．()2179863541()()()321212"−−n n n ()()()()()()kk k k k k 11322212123+−−−"例1.４计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.定理1.1对换改变排列的奇偶性．在一个排列中，把其中两个数的位置互换，而保持其余数的位置不动，这种变换称为一个对换．定理1.2在全部n 阶排列中，奇偶排列各占一半．()2≥n 定理1.3任意一个n 阶排列可经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换次数的奇偶数与这个排列的奇偶性相同．1.3n 阶行列式的概念考察三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =332112322311312213aa a a a a a a a −−−（1）三阶行列式的展开式共有３！＝６项；（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，并且每个这样的乘积都出现在展开式中；322113312312332211a a a a a a a a a ++=不难发现以下特征：.)1(321321321321)(333231232221131211∑−=j j j j j j j j j t a a a a a a a a a a a a （4）如果以表示对所有３阶排列求和，则有∑321j j j （3）每项的行指标按自然顺序排列，其正负号取决于列指标构成的排列的奇偶性；其中表示对所有n 阶排列求和．∑nj j j "21定义1.3由数表所确定的n 阶行列式定义为：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a """""""212222111211()(),121212121212222111211n n nnj j j j j j t j j j nnn n n n a a a a a a a a a a a a """"""""""∑−=n 阶行列式的展开式主对角线副对角线几点说明：（1）行列式是一种特定的算式，它是为求解线性方程组而定义的;（2）n 阶行列式是项的代数和;!n （3）n 阶行列式的每项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积;（5）一阶行列式不要与绝对值记号相混淆；a a =（4）一般项前面所带符号为n nj j j a a a "2121();1)(21nj j j t "−（6）定义中的n 阶行列式可以简记为.n ij a D =例1.5证明上三角行列式nnnna a a a a a D """""""0022211211=.2211nn a a a "=同理可证下三角行列式和对角行列式nnn n a a a a a a """""""21222111000.2211nn a a a "=nna a a """""""0000002211=例1.6试证0000000052514241323125242322211514131211==a a a a a a a a a a a a a a a a D思考题已知()1211123111211xx x xx f −=.3的系数求x注意n 阶行列式的展开式也可表为：()()ni i i i i i t i i i nnn n n nn n n a a a a a a a a a a a a """"""""212122221112112121211∑−==′D ,nna a a %2211"#n n a a a 2112#""2121n n a a a 1.４行列式的性质行列式D'称为行列式D 的转置行列式．记#""n na a a 2112"#2121n n a a a =D nna a a %2211性质1.1行列式与它的转置行列式相等．注意性质1.1表明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立．性质1.2互换行列式的两行（列）的位置,行列式反号，即推论1.1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于０．.111111111111nnn pn p qn q n nn n qn q pn p n a a a a a a a a a a a a a a a a "##"##"##""##"##"##"−=性质1.3用数k 乘行列式的某一行（列），等于用数k 乘此行列式，即nnn n pn p p na a a ka ka ka a a a """""""""""""""""212111211推论1.2如果行列式的某一行（列）元素全为０，则此行列式等于０．.212111211nnn n pn p p na a a a a a a a a k """""""""""""""""=推论1.3如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式等于０.性质1.4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即nn n n pnpn p p p p na a a a a a a a a a a a """""""""""21221111211′+′+′+.212111211212111211nnn n pn p p nnnn n pn p p na a a a a a a a a a a a a a a a a a """"""""""""""""""""""′′′+=nn n qn q pn p n a a a a a a a a "##"##"##"111111.1111111nnn qnq qnpn q p n a a a a ka a ka a a a "##"##"##"++=×k 性质1.5 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上去，行列式的值不变，即例1.7计算四阶行列式2421164214112111−−−−−=D 例1.8试证3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++例1.9计算n 阶行列式abbbba b b bbabb b b a D """""""""=具有如下形式的行列式称为反对称行列式,0000321323132231211312"""""""""nnnn n n a a a a a a a a a a a a D −−−−−−=证明：奇数阶反对称行列式等于0.例1.101.5行列式的展开定理312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a −−−++=333231232221131211a a a a a a a a a 注意到三阶行列式可以改写为：()3223332211a a a a a −=()3123332112a a a a a −−()3122322113a a a a a −+323122211333312321123332232211a a a a a a a a a a a a a a a +−=()ij ji ij M A +−=1叫做元素a ij 的代数余子式．例如44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =44424134323114121123a a a a a a a a a M =()2332231M A +−=.23M −=行第j 列，由余下的元素按原来的排法构成的n -1 阶行列式叫做元素的余子式，记作ij a .M ij 定义1.4在n 阶行列式中，划去元素所在的第i ij a,44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =,33323123222113121144a a a a a a a a a M =().144444444M M A =−=+注意 1.行列式的每个元素都对应一个余子式和一个代数余子式；2.每个元素的余子式和代数余子式只与这个元素的位置有关，而与这个元素的大小无关．n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a D """""""212222111211=等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ni A a A a A a D in in i i i i ,,2,1,2211""=+++=),,2,1,(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j ""=+++=定理1.4中任一行（列）的所有元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于０，即n 阶行列式nnn jn j in i n a a a a a a a a D "##"##"##"111111=.j i ,A a A a A a jn in j i j i ≠=+++02211").,0(2211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++"定理1.5关于代数余子式的重要性质⎩⎨⎧≠===∑=.,0,,1j i j i D D A a ij nk kj ki 当当δ⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij nk jk ik 当当δ则当当如果记⎩⎨⎧≠===,,0,,1,j i j i a D ij nij δ例1.11计算n 阶行列式xyy x y x y x D n 000000000000""#####""=例1.12证明范德蒙德(Vandermonde)行列式.2,)(1111112112222121≥−==∏≤<≤−−−n x xxxxxx xx x x D ni j j in nn n nn n "###"""例1.13计算三对角行列式βααβαββααββα+++=11%%%%%%%n D例1.14,000111111111111nnn n nkn k kk k k b b b b c c c c a a a a D "##""##""##""##"=设,11111kkk ka a a a D "##"=,11112nnn nb b b b D "##"=.21D D D =证明:例1.14中的行列式D 称为准下三角行列式..00011111111111111111111nnn nkk k k nnn nknk nkk k k b b b b a a a a b b b b c c c c a a a a "##""##""##""##""##""##"⋅=同理可以证明准上三角行列式思考题阶行列式设n )1(10001030012321"#%###"""n nD n −−−=求第一行各元素的代数余子式之和.11211n A A A +++"（2）设计一个n 阶行列式D n ，使得并计算这个行列式.,12+++=n n n D D D1.6Cramer法则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,,,22112222212111212111n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a """""""""""""""设线性方程组,,,,21不全为零若常数项n b b b "则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.,,,,21全为零若常数项n b b b "如果线性方程组)2.1(22112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a """""""""""""""的系数行列式,0212222111211≠=nnn n nna a a a a a a a a D """"""""""定理1.7则该线性方程组有唯一解：)3.1(.,,,2211D D x D D x DD x n n ===".,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a D nnj n nj n n nj j nj j j """"""""""""""==+−+−+−其中推论２推论１)4.1(000221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a """""""""""""""的系数行列式,0≠D 如果齐次线性方程组则其只有零解;若(1.4)有非零解，.0=D 则必有如果线性方程组(1.2)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.。