线性代数第1章详解

线性代数与几何（Ａ）主讲教师殷洪友E-mail: hyyin@第一章n 阶行列式1.1二阶和三阶行列式1.2排列1.3n阶行列式的概念1.4行列式的性质1.5行列式的展开定理1.6Cramer法则求解如下二元线性方程组)1.1(,,22221211212111⎩⎨⎧=+=+b x a x a b x a x a 1.1 二阶和三阶行列式其中a 11, a 12, a 21, a 22 称为方程组（1.1）的系数，b 1, b 2 称为常数项．方程组（1.1）的系数按所在的位置排成了一个两行两列的数表，称为（1.1）的系数矩阵.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22211211a a a a;212221*********b a a b x a a a a −=−）（根据消元法，可得.211211*********a b b a x a a a a −=−）（时，当021122211≠−a a a a 方程组(1.1)有唯一解：，211222112122211a a a a b a a b x −−=.211222112112112a a a a a b b a x −−=由系数矩阵确定．⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22211211a aa a设是一个两行两列的数表，则表达式称为该数表所确定的二阶行列式，记作⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22211211a a a a 21122211a a a a −.2112221122211211a a a a a a a a −=其中称为行列式的元素，下标i j 表示该元素位于第i 行，第j 列．ij a11a 12a 22a 21a 主对角线副对角线2211a a =.2112a a −注意二阶行列式的计算满足对角线法则根据二阶行列式的定义，有.,211211221111212221222121a b b a b a b a b a a b a b a b −=−=若记,22211211a a a a D =对于二元线性方程组（1.1），,2221211a b a b D =.2211112b a b a D =则当系数行列式D ≠0时，方程组有唯一解：,2221121122212111a a a a a b a b D D x ==.2221121122111122a a a a b a b a D D x ==,333213232212312111⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛a a a a a a a a a 记,312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a −−−++=333231232221131211a a a a a a a a a 则称其为该数表所确定的三阶行列式.类似地，设有9 个数排成的三行三列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 332211a a a =.322311a a a −计算三阶行列式的对角线法则注意 1. 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号;2. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．322113a a a +312312a a a +312213a a a −332112a a a −如果三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111,,bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的系数行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =,0≠利用三阶行列式求解三元线性方程组若记,3332323222131211a a b a a b a a b D =,3333123221131112a b a a b a a b a D =,3323122221112113b a a b a a b a a D =2-43-122-4-21D =计算三阶行列式例1.1则三元线性方程组有唯一解:,11DD x =,22DD x =.33DD x =.094321112=xx 求解方程例1.2例1.3 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=−+−=+−.0,132,22321321321x x x x x x x x x 解方程组的系数行列式111312121−−−−=D 5−=,0≠所以方程组有唯一解.因为113111221−−−−=D ,5−=113121212−−−−=D ,10−=0111122213−−−=D ,5−=故方程组的唯一解为:,111==DD x ,222==DD x .133==DD x思考题使得求一个二次多项式),(x f ()()().283,32,01=−==f f f定义1.1由自然数组成的一个有序数组称为一个n 阶排列．通常用表示n 阶排列．n ,,2,1"n j j j "21 定义1.2在一个排列中，如果一个较大数排在一个较小数之前，就称这两个数构成一个逆序．一个排列的逆序总个数称为这个排列的逆序数．排列具有自然顺序，即逆序数为0，称之为自然排列．n "3 2 1 1.2排列排列的逆序数记为).(21n j j j t " n j j j "21如果一个排列的逆序数为偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列．计算排列的逆序数有两种方法：向前记数法和向后记数法．()2179863541()()()321212"−−n n n ()()()()()()kk k k k k 11322212123+−−−"例1.４计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.定理1.1对换改变排列的奇偶性．在一个排列中，把其中两个数的位置互换，而保持其余数的位置不动，这种变换称为一个对换．定理1.2在全部n 阶排列中，奇偶排列各占一半．()2≥n 定理1.3任意一个n 阶排列可经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换次数的奇偶数与这个排列的奇偶性相同．1.3n 阶行列式的概念考察三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =332112322311312213aa a a a a a a a −−−（1）三阶行列式的展开式共有３！＝６项；（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，并且每个这样的乘积都出现在展开式中；322113312312332211a a a a a a a a a ++=不难发现以下特征：.)1(321321321321)(333231232221131211∑−=j j j j j j j j j t a a a a a a a a a a a a （4）如果以表示对所有３阶排列求和，则有∑321j j j （3）每项的行指标按自然顺序排列，其正负号取决于列指标构成的排列的奇偶性；其中表示对所有n 阶排列求和．∑nj j j "21定义1.3由数表所确定的n 阶行列式定义为：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a """""""212222111211()(),121212121212222111211n n nnj j j j j j t j j j nnn n n n a a a a a a a a a a a a """"""""""∑−=n 阶行列式的展开式主对角线副对角线几点说明：（1）行列式是一种特定的算式，它是为求解线性方程组而定义的;（2）n 阶行列式是项的代数和;!n （3）n 阶行列式的每项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积;（5）一阶行列式不要与绝对值记号相混淆；a a =（4）一般项前面所带符号为n nj j j a a a "2121();1)(21nj j j t "−（6）定义中的n 阶行列式可以简记为.n ij a D =例1.5证明上三角行列式nnnna a a a a a D """""""0022211211=.2211nn a a a "=同理可证下三角行列式和对角行列式nnn n a a a a a a """""""21222111000.2211nn a a a "=nna a a """""""0000002211=例1.6试证0000000052514241323125242322211514131211==a a a a a a a a a a a a a a a a D思考题已知()1211123111211xx x xx f −=.3的系数求x注意n 阶行列式的展开式也可表为：()()ni i i i i i t i i i nnn n n nn n n a a a a a a a a a a a a """"""""212122221112112121211∑−==′D ,nna a a %2211"#n n a a a 2112#""2121n n a a a 1.４行列式的性质行列式D'称为行列式D 的转置行列式．记#""n na a a 2112"#2121n n a a a =D nna a a %2211性质1.1行列式与它的转置行列式相等．注意性质1.1表明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立．性质1.2互换行列式的两行（列）的位置,行列式反号，即推论1.1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于０．.111111111111nnn pn p qn q n nn n qn q pn p n a a a a a a a a a a a a a a a a "##"##"##""##"##"##"−=性质1.3用数k 乘行列式的某一行（列），等于用数k 乘此行列式，即nnn n pn p p na a a ka ka ka a a a """""""""""""""""212111211推论1.2如果行列式的某一行（列）元素全为０，则此行列式等于０．.212111211nnn n pn p p na a a a a a a a a k """""""""""""""""=推论1.3如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式等于０.性质1.4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即nn n n pnpn p p p p na a a a a a a a a a a a """""""""""21221111211′+′+′+.212111211212111211nnn n pn p p nnnn n pn p p na a a a a a a a a a a a a a a a a a """"""""""""""""""""""′′′+=nn n qn q pn p n a a a a a a a a "##"##"##"111111.1111111nnn qnq qnpn q p n a a a a ka a ka a a a "##"##"##"++=×k 性质1.5 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上去，行列式的值不变，即例1.7计算四阶行列式2421164214112111−−−−−=D 例1.8试证3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++例1.9计算n 阶行列式abbbba b b bbabb b b a D """""""""=具有如下形式的行列式称为反对称行列式,0000321323132231211312"""""""""nnnn n n a a a a a a a a a a a a D −−−−−−=证明：奇数阶反对称行列式等于0.例1.101.5行列式的展开定理312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a −−−++=333231232221131211a a a a a a a a a 注意到三阶行列式可以改写为：()3223332211a a a a a −=()3123332112a a a a a −−()3122322113a a a a a −+323122211333312321123332232211a a a a a a a a a a a a a a a +−=()ij ji ij M A +−=1叫做元素a ij 的代数余子式．例如44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =44424134323114121123a a a a a a a a a M =()2332231M A +−=.23M −=行第j 列，由余下的元素按原来的排法构成的n -1 阶行列式叫做元素的余子式，记作ij a .M ij 定义1.4在n 阶行列式中，划去元素所在的第i ij a,44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =,33323123222113121144a a a a a a a a a M =().144444444M M A =−=+注意 1.行列式的每个元素都对应一个余子式和一个代数余子式；2.每个元素的余子式和代数余子式只与这个元素的位置有关，而与这个元素的大小无关．n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a D """""""212222111211=等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ni A a A a A a D in in i i i i ,,2,1,2211""=+++=),,2,1,(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j ""=+++=定理1.4中任一行（列）的所有元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于０，即n 阶行列式nnn jn j in i n a a a a a a a a D "##"##"##"111111=.j i ,A a A a A a jn in j i j i ≠=+++02211").,0(2211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++"定理1.5关于代数余子式的重要性质⎩⎨⎧≠===∑=.,0,,1j i j i D D A a ij nk kj ki 当当δ⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij nk jk ik 当当δ则当当如果记⎩⎨⎧≠===,,0,,1,j i j i a D ij nij δ例1.11计算n 阶行列式xyy x y x y x D n 000000000000""#####""=例1.12证明范德蒙德(Vandermonde)行列式.2,)(1111112112222121≥−==∏≤<≤−−−n x xxxxxx xx x x D ni j j in nn n nn n "###"""例1.13计算三对角行列式βααβαββααββα+++=11%%%%%%%n D例1.14,000111111111111nnn n nkn k kk k k b b b b c c c c a a a a D "##""##""##""##"=设,11111kkk ka a a a D "##"=,11112nnn nb b b b D "##"=.21D D D =证明:例1.14中的行列式D 称为准下三角行列式..00011111111111111111111nnn nkk k k nnn nknk nkk k k b b b b a a a a b b b b c c c c a a a a "##""##""##""##""##""##"⋅=同理可以证明准上三角行列式思考题阶行列式设n )1(10001030012321"#%###"""n nD n −−−=求第一行各元素的代数余子式之和.11211n A A A +++"（2）设计一个n 阶行列式D n ，使得并计算这个行列式.,12+++=n n n D D D1.6Cramer法则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,,,22112222212111212111n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a """""""""""""""设线性方程组,,,,21不全为零若常数项n b b b "则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.,,,,21全为零若常数项n b b b "如果线性方程组)2.1(22112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a """""""""""""""的系数行列式,0212222111211≠=nnn n nna a a a a a a a a D """"""""""定理1.7则该线性方程组有唯一解：)3.1(.,,,2211D D x D D x DD x n n ===".,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a D nnj n nj n n nj j nj j j """"""""""""""==+−+−+−其中推论２推论１)4.1(000221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a """""""""""""""的系数行列式,0≠D 如果齐次线性方程组则其只有零解;若(1.4)有非零解，.0=D 则必有如果线性方程组(1.2)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.。

大一线性代数第一章知识点线性代数是现代数学的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射之间的关系。

在大一的线性代数课程中，第一章是介绍向量和矩阵的基本概念。

以下将对第一章的几个知识点进行论述。

一、向量的定义和性质在线性代数中，向量是一个有大小和方向的量。

它可以用一个有序的数组表示，每个数组元素代表向量在某个坐标轴上的分量。

向量有很多基本性质，包括加法、数乘、模长等。

其中，向量的加法和数乘是线性代数中最基本的运算。

向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律和分配律。

二、向量空间的定义和性质向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。

在线性代数中，向量空间是向量运算的集合，它具有许多基本性质。

向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，并且满足一些规律，如交换律、结合律和分配律等。

三、矩阵的定义和性质矩阵是线性代数中另一个重要的概念。

它由若干行和列组成的矩形阵列。

矩阵可以表示为一个矩阵元素的矩阵，每个矩阵元素代表矩阵在某个位置上的值。

矩阵有许多基本性质，包括加法、数乘、乘法等。

矩阵的加法和数乘满足一些基本规律，如交换律和结合律。

矩阵的乘法是线性代数中比较复杂的运算，它是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，满足一定的规律。

四、矩阵的行列式和逆矩阵行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以用来判断一个矩阵的特征。

对于一个n阶矩阵，它的行列式是一个数值，代表了矩阵的一些性质。

行列式有一些基本性质，如反演性、行列式的性质和行列式的计算方法等。

逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。

只有非奇异矩阵才有逆矩阵，奇异矩阵没有逆矩阵。

矩阵的逆矩阵具有一些基本性质，如逆矩阵的性质和逆矩阵的计算方法等。

五、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它由一系列线性方程组成。

线性方程组的解是指使得方程组成立的未知数的值。

线性方程组的解法有很多种，包括高斯消元法、矩阵求逆法和向量法等。

高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法，它通过一系列消元和代入操作，将方程组转化为简化的阶梯形矩阵，进而求得方程组的解。

A 组1.判别Q (厉)二｛0 +勿亦|0,处0｝是否为数域？解是.2.设/(x) = x3 4-x2 4-x+l, g(兀)=兀2+3兀+ 2,求 /(兀)+ g(x)，/(x)-g(x), f(x)g(x). 解/(x) + g (x) = x3 4- 2x2 + 4x + 3 ,/(兀)-g(x)"-2x-l,f(x)g(x) = x5 +4x4 +6兀'+6兀$ +5x + 2 .3.设/(%) = (5x-4),993(4x2 -2x-l),994 (8x3 -1 lx+2)'995,求 /(%)的展开式中各项系数的和.解由于/(兀)的各项系数的和等于/⑴，所以/(I) = (5-4严3(4-2- 1尸94(8-11 + 2)1995 =-1.4.求g(兀)除以/(兀)的商q(x)与余式心).(1)f (x) —— 3%2— x — 1, g(兀)=3F - 2兀+1 ；(2)/(x) = x4 -2x4-5, g(x) = x2 -x + 2 .解（1）用多项式除法得到x 73x~ — 2x +13_93X + 3—x —x-i3 37 ° 14 7-- 无_+ —x --3 9 926 2-- X ---9 9所以'恥）十岭心）W（2）用多项式除法得到x4— 2x + 5兀4 —”丫" + 2 兀2— 2x~ — 2 兀+5 jy?—兀~ + 2 兀-x2-4x4-5-兀? + X - 2—5x + 7所以，q(x) = x2 +x-l, r(x) = -5x + 7 .5.设是两个不相等的常数，证明多项式/(兀)除以(x-a)(x-b)所得余式为af(b)_bg)a-b a-h证明依题意可设/(x) = (x - a)(x - b)q(x) + cx+d,则”(a) = ca + d,[f(b) = cb + d.解得F=(/a) --,\d = (af(b)-bf(a))/(a-b).故所得余式为a-b a-b6.问m,p,q适合什么条件时，/(兀)能被g(x)整除？(1) /(x) = x3 + px + q , g(x) = x2 + nvc-1；(2) f(x) = x4 + px2 +q , g(兀)=x2 + mx+l.解(1)由整除的定义知，要求余式r(x) = 0 .所以先做多项式除法,3x2 + mx -1x-in“+ “X + q3 2x + mx^ - x-mx1 +(〃 + l)x + g2 2一 mx_ — m^x + m°(# +1 + 加〜)兀 + (g —m)要求厂(x) = (/? + l +加2)兀+ (§ —加)=0 ,所以(“ + 1 +加2) = 0, q-m = 0.即p = -l-m2, q - m时, 可以整除.（2）方法同上.先做多项式除法，所得余式为厂（兀）=加（2 — ”一nr ）兀+ （1 + @ —卩一加〜），所以 m （2-p-/772） = 0, 1 + ^ - p - m 2= 0 ,即 m = 0, p = q + \ 或“二 2— 加［q = l 时，可以整除.7. 求/（兀）与gCr ）的最大公因式:(1) f (x) — x 4 + — 3%2 — 4x — 1, g (x)=兀彳 + — x — 1 ； (2) f(x) = x 4— 4x 3+ 1, g(x) = x 3— 3x 2+1 ；(3) /(x) = x 4 -10x 2 +1, g(x) = x 4 -4A /2X 3 +6X 2 +4A /2X +1 .解（1）用辗转相除法得到用等式写出來，就是所以(/(x),g(x)) = x + l ・（2）同样地,<8 4 / 3 3= -X + — — -X-—(3 344-2x 2-3x-l1 1 --- X 4——2 -- 4 X 3+ X 2- X - 1 x 4 + x 3- 3x 2- 4x- 11 2 3 , -2x 2 — 3兀—12 21 2 3 1 -- X ----- X ---—2兀~ — 2兀2 4 433-- X ----X -144一丄 184—X H - 3 3 0心宀丄兀2 24 3 2牙+牙-X - Xf(x) = xg(x)^(-2x 2-3x-l),g(x) =所以(/⑴,g (兀)) = 1.⑶ 同样用辗转相除法，可得(/(x),g(x)) = F —2血兀一1.8.求 w(x),仄兀)使 w(x) f\x) + v(x)g(ji) = (/(x), g(%))：(1) f (x) = %4 4- 2x^ — %2 — 4x — 2, (x) = %4 + x — x~ — 2x — 2 : (2) /(x) = 4x 4-2x 3-16x 2+5x4-9, g(x) = 2兀3-x 2-5x+4:(3) /(x) = x A-x 3-4x 2 +4x + l, g (兀)=x 2 -x-l.解(1)利用辗转相除法，可以得到/(x) = g (A ：) + (x 3-2x)'g (兀)=(x+l)(x 3 - 2x) + (x 2 -2),x — 2兀=x(^x~ — 2).因而，(/(x),g(x)) = x 2-2,并且(/(兀),g (兀))=/ 一 2 = g (兀)_ (兀+1)(疋 _ 2兀) =g (兀)一(X +1) (f(x) -g (兀))=(一兀 一 1)/(兀)+ (兀+2)g(x),所以 u(x) = -x-\, v(x) = x + 21 10 -- X H --- 3 9x 3 - 3x 2x-13 1 2 2X H —X X 3 3 10 2 2~~'- ---- X H 兀+ 13 -- 3 10 ° 10 20 X --- 兀 3 9 916~~1T —X ------ 9 927 441 --------- X ---------------16 256-3x 2+—x1649一一539 兀+ --- 27 256(2)利用辗转相除法，可以得到/(x) = 2xg(x)-(6x 2 +3兀-9),(\ 1Ag(x) = —(6x_ + 3兀一9) ——% + — — (% — 1), —(6x - + 3x — 9) = —(x —1)(6% + 9).因而，(/⑴,g(Q) = x-1，并且(1 1 …厶— —X + _ f (x) + _兀_—x~\ I 3 3丿 (3 3丿] 1 2 7 2fi/f 以 W (X )= X H —, V (X )= — --- X — \ •3 3 3 3(3) 利用辗转相除法，可以得到fM = X —3)g(x) + (x — 2),g(x) = (x+l)(x-2) + l ・因而( f(x), g(x)) = 1 ,并且(/(兀),g(x)) = 1 = g(x) - (x+1)(兀一 2)=g (兀)-(兀+1)(/(兀)-(x 2 一3)gCr))—(—兀―1) f (x) + (兀'+ 兀2 — 3兀—2)g(x),所以u (兀)= -x-l, v(x) = x 3 +x 2 -3x-2.9.设/(x) = %3+ (14-t)x 2+ 2x + 2w, g(x)二F+zx + u 的最大公因式是一个二次多项式，求/，凤的值.解利用辗转相除法，可以得到/(%) = g(x) + (l + /)兀2 +(2-/)兀 + « ,(/(x), g(x)) = x-l = -(6x 2+ 3x-9)+ | _g(x)I d J J(I ] \= (/(x)-2xg(x)) --x+- -g(x)\ 3丿 <2 o 2 d ,、 U 3 广—---- 兀+ (1 + r t-2(l +r)2(尸 + r—w)(i+r) + (t— 2)~u[(l + t)2 — (r —2)]由题意，/(x)与g(Q的最大公因式是一个二次多项式，所以(广 + / —w)(l + /) + (f— 2)~(T H?皿(l + r)2-(r-2)] A ；=0,(l + O2解得u = o^t = -4.10.设(x —I)[(A/+ B F+I),求A和B.由题意要求知解用(兀一1)2 去除f\x) = Ar4 + Bx2 +1 ,得余式”(x) = (4A + 2B)兀+1 -3人一B,斤（兀）=0,即4A + 2B = 0,1-3A-B = O,解得A = l,B = -2.11.证明:如果(/(x),g(x)) = l, (/(x),/z(x)) = l,那么(/(x), g(x)/z(x)) = l. 证明由条件可知,存在络(兀)和片⑴ 使得旳(兀)/(兀)+岭⑴g(x) = l,存在如(兀)和卩2(兀)使得u2(x)f(x) + v2(x)h(x) = 1.用/?(兀)乘以第一式得坷(x)f(x)h(x) + V, (x)g(x)h(x) = h(x),代入第二式得u2(x)f(x) + v2 (x) [u t (x)f(x)h(x) 4-Vj (x)g(x)/z(x)] = 1, 即[w2(兀)+ u\ (x)v2(x)h(x)]f(x) + [v, (x)v2(x)]g(x)h(x) = 1,所以(/(x),g(x)/z(x)) = l.12.证明：如果/(x)与g(x)不全为零，且/心)/(兀)+ 咻)g(兀)=(/(%), g(Q)，证明由于w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x),g(x)), /(X )与 g(x)不全为零，所以(/(x)，g(x))HO.两 边同时除以(/(Hg(Q)HO,有所以(弘(兀),咻)) = 1 .13.证明：如果〃(兀)|/(兀),〃(兀)|g(x),且〃(兀)为/(兀)与g(x)的一个组合，那么〃(兀)是/G)与 g(x)的一个最大公因式.证明由题意知d(x)是/(X )与g(x)的公因式.再由条件设d(x) = w(x)/(x) + v(x)^(x) •又设h(x) 为/(x)与g(x)的任一公因式，即/z(x)|/(x), h(x)\g(x),则由上式有h(x)\d(x).故而”(兀)是/(兀)与 g(x)的一个最大公因式.14.证明：(.fO)/2(X ), gO)/2(X )) = (.f(X ), g(x))〃(x),其中力(兀)的首项系数为 1.证明显然(/(x), g(x))/?(x)是f{x)h{x)与g(x)h(x)的一个公因式.下面來证明它是最大公因式. 设 /心),v(x)满足 w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x), g(X>),贝iJu(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = (/(x),g(x))/z(x).由上题结果知，(/(兀),g(X ))/7(X )是/(X )/?(X )与g(JC”7(X )的一个最大公因式，又首项系数为1,所以(/(x)A(x), ^(%)/?(%)) = (/(x), ^(x))/i(x)・/⑴ g (兀)、(/(兀),g (兀))’(f(x),g(x))丿证明设〃(兀)=(/(兀),g(x)),则存在多项式M (x), v(x),使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)・因为/(X )与g (尢)不全为零，所以d(x)HO.上式两边同时除以〃(兀)，有故 /(兀) _____________ g (x)l (/(x),g(x))‘(/(x),g(x))‘u(x) /(X ) (/(%), g(x)) + v(x) g(x) (y (x ),^(x ))15.设多项式/(x)与gS)不全为零，证明1 = u(x)/(兀)(/(兀),g(x))+咻)g(x) (/(兀),g(x))=1成立.16. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解兀4+ 1为不可约因式之积.在有理数域上兀°+1是不可约多项式.否则，若+ +1可约，有以下两种可能.(1) 兀4+1有一次因式，从而它有有理根，但/(±1)工0,所以卍+1无有理根.(2) x 4+ 1 无一次因式，设x 4+1 = (x 2+处 +方)(F +cx + d),其中 a,b y c,cl 为整数.于是a + c = O, b+ 〃 + ac = O, cut + be = 0 , bd = \,又分两种情况：① b = d = \,又 a = —c,从而由 b + 〃 + ac = O,得 a 2=2,矛盾； ② b = d = — \,则 a 2= —2 ,矛盾.综合以上情况，即证.17. 求下列多项式的有理根： (1) /(x) = x 3-6x 2+15兀一 14 ；(2) ^(X ) = 4X 4-7X 2-5X -1；(3) /z(x) = x 5+ %4— 6x^ — 14x~ — 1 lx — 3 ・解(1)由于/(x)是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为-14的因数.-14的 因数有：±1, ±2, ±7, ±14,计算得到:/(D = -4, /(-1) = -36, /(2) = 0, /(-2) = -72,/(7) = 140, /(-7) = -756, /(14) = 1764, /(一 14) = —4144,故x = 2是/(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = 2是于(兀)的单根.⑵ 类似(1)的讨论可知，g(x)的可能的有理根为:故x = --是巩兀)的有理根.再由多项式除法可知，兀二-丄是/(劝的2重根.2 2⑶ 类似地，加兀)的可能的有理根为：±1,±3,计算得到解在实数域上的分解式为X4+ 1 = (X 2 + 1)2-2X 2 =(X 2+V2X + 1)(X 2-V2X +1).在复数域上的分解式为x + ----------1 2 2%4+ 1 = f亠迈亠近、X ---------- 12 2/±1, ±1 ±?计算得到g(l) = -9,g(-1) = 1, g(］、r 、171=-5, g —=0, g — 一 —‘ g —〔2< 264 ,4丿11A(l) = -28, /?(-l) = 0,(3) = 0,加一3) = -96.故x = -l, x = 3是//(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = -\是/z(x)的4重根，兀=3是//(兀)的单根.18.若实系数方程x34- px + q = 0有一根a + bi (a,b为实数，/?工0),则方程x3 + px-q = 0有实根2—证明设原方程有三个根不失一般性，令=a + bi,从而有a2 =a-bi,由根与系数的关系可知0 = $ + 冬 + 他=(° + 勿)+ (a - bi) + ,所以冬二-2d，即(-2a)‘ + /?(-2a) + g = 0，故(2a)' + p(2a)-q = 0.这说明x3 + /zr-g = 0有实根2a .19.证明：如果(%-i)|/(r),那么证明因为u-i)|/(z),所以/(r)= /(i)= 0.因此，令y(x)=(x-i)g(x),则有E =(*-i)g(;),即(伙-1)|/(疋).20.下列多项式在有理数域上是否可约？(1)土 (%) = F+1；(2)/；(X)= X4-8?+12X2+2；(3)人(x) = x" +『+1 ；(4)厶(无)=* + "； + 1,门为奇素数；(5)厶(兀)=兀°+4尬+ 1, A为整数.解(1) ./；(兀)的可能的有理根为：±1,而/(±1) = 2,所以它在有理数域上不可约.(2)由Eisenstein判别法，取素数p = 2,则2不能整除1,而2|(-8), 2|12, 2|2,但是2?不能整除2,所以该多项式在有理数域上不可约.(3)令x=y + l,代入厶(x) = P+x'+l有^(y) = ^(y + l) = / + 6/+15/+21/+18y24-9y4-3.取素数0 = 3,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以/(兀)在有理数域上不可约.(4)令兀= y_l,代入f4(x) = x p 4-px + 1,得g(y)=厶(y j) = -+ cy~2——C；-2y2 + (Cf* + p)y-p，取素数p,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以£(兀)在有理数域上不可约.(5)令x=y + l,代入农(兀)=兀4+4Ax+l,得g(.y)=厶(y +1) = y" + 4y‘ + 6y2 + (4k + 4)y + 4R + 2 ,収素数p = 2,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以点(兀)在有理数域上不可约.1•设/(X)，g(X)，加兀)是实数域上的多项式，(1)若/2U) = xg2(x) + x/z2(x),则/(x) = g(x) = h{x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题是否成立？证明(1)当g(兀)=/2(兀)=0时，有严⑴=0,所以/(%) = 0 ,命题成立.如果g(x), /z(x)不全为零，不妨设g(x)H0・当h(x) = 0时，a(xg2(x) + x/i2U)) = l + 2a^(x)为奇数；当加兀)工0时，因为g(x),瓜兀)都是实系数多项式，所以Xg2(x)与兀胪(兀)都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有d(xg2(x) + x/『(x))为奇数.而这时均有/2(x)^0 ,且df\x) = 2df(x)为偶数,矛盾.因此有g(兀)=力(兀) = 0,从而有f(x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题不成立.例如，设f(x) = 0 , g(x) = x\ h(x) = ix,1,其中斤为自然数, 有/2 (x) = xg2 (x)xh2 (x),但g(x) / 0 ,力(兀)工0.2.设/(x), g(x)9 h(x)e P[x],满足(x2 4-l)h(x)4-(x-l)/(x) + (x+2)g(x) = 0,(x2 + l)/?(x) + (x+ l)/(x) + (x - 2)^(%) = 0.证明(X2+1)|(/U), g(X))・证明两式相加得到2(x2 + l)h(x) + 2x(/(x) + g(兀))=0.由(x2+l,兀)=1可知(x2 + l)|(/(x) + g(x)).两式相减得到-2f(x) + 4g(x) = 0, f(x) = 2g(x).故(x2 + l)|/(x), (x2+l)|g(x), BP(X2+1)|(/(X),g(x)).3・设gi(x)g2(x)\f{(x)f2(x),证明(1)若/(x)|g](x)，/(X)H0,则g2(x)\f2(x)；(2)若g2(x)|/；(x)/；(x),是否有g2(x)\f2(x)?解(1)因为gi(兀)g2(兀)庞(兀)£(兀)，/O)|gi(X)，故存在多项式h(x), h}(x)使得fl(x)f 2(x) = g](x)g 2(x)h(x\ g](兀)=Z (x)h }(x).于是/；(兀)£(兀)=/(兀)人(兀)g2(x)力(兀)•由于 土(兀)工0,故有 f 2(x) = h l (x)g 2(x)h(x),即g 2(x)\f 2(x).(2)否•例如取 g {(x) = x-2 , ^2(X ) = X 2-1 , (x) = (x-l)(x-2), (x) = (x + l)(x4-2).虽 然 gSx)g 2(x)\f^x)f 2(x)且 g 2(x)\f {(x)f 2(x),但 g 2(x)不能整除 f 2(x).4.当R 为何值时，/(x) = X 2 +伙+ 6)x + 4k + 2和g(x) = F+(£ + 2)x + 2R 的最大公因式是一次 的？并求出此吋的最大公因式.解 显然 g(x) = (x + £)(x+2).当(/(x),g(Q) = x + 2时'/(一2) = 4 — 2伙+ 6) + 4£ + 2 = 0‘ 则k = 3.当(于(兀),g(Q )=兀 + £ 时’/(一灯=k 2 - k(k + 6) + 4Z: + 2 = 0 ‘ 则 k = l.这时(/(x), g(x))=兀+1. 5.证明：对于任意正整数斤，都有(/(x),g(Q)"=(/"(x),g"(x))・证明 由题意可知/(%)与&(兀)不全为零.令(/(x), g(x)) = d(x),Z 、” g(x) 、d(x)丿/心)/"(兀)+ 咚)g"(兀)=d\x).又由 d(x)\f(x), d(x)|g(x),有 d n (x) f l \x), d"(x) g"(x),因此 d"(x)是厂(x)与 g"(x)的首项系数为1的最大公因式，从而有(广(x),g"(x))= 〃"(兀)=(/(x),g(x))" •6.设 / (x) = af(x) + bg(x), g[ (x) = c/(x) + dg(x),且 ad - be H 0 ,证明(/(x),g(x)) = (/](x), g](X ))・证明设(/(x), g(x)) = d(x),则 d(x)\f(x\d(x)\g(x).由于 “所以对任意正整如，有爲J 寫〕"卜 于是有u{x) +咻) 则〃(兀)工0,从而fi (兀)=妙(x) + bg(x) , g] (x) = (x) + dg (x),故d (x)| (x), d (x)|g t (x).又设h(x)\ (x), /z(x)|(x),由上式及ad-bc^O ,可得从而/?(x)|/(x), h(x)\g(x),于是h(x)\d(x),即〃(兀)也是/；(兀)和g|(x)的最大公因式，即(/(x), g(x)) = (/；(x),&(兀))・7.设 /(x) = t/(x)/(x), g(Q 二 dCr)g](x),且/O)与 gd)不全为零，证明〃(兀)是/O)与 gCO的一个最大公因式的充分必要条件是(/(劝,g|(x)) = 1.证明必要性.若〃(x)是/(兀)与g (兀)的一个最大公因式，则存在多项式w(x),v(x)使W (x)/(x) +v(x)g(x) = d(x),于是u(x)d(x)f t (x) + v(x)d(x)g l (x) = d(x).由/(力与g (兀)不全为零知如工0,因此有u(x)f l (x) + v(x)g l (x) = l f 即(土(兀),g©))i •充分性.若(f l (x),g l (x)) = l ,则存在多项式u(x),v(x),使 u(x)f l (x)+ v(x)g l (x) = l. 两边同吋乘〃(兀)有u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)・由d(x)是/(x)与g(x)的一个公因式知，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.8.设于(兀)和g(x)是两个多项式，证明(f(x), g(x)) = l 当且仅当(f(x)-l-g(x), f(x)g(x)) = l. 证明 必要性.设(f(x)9g(x)) = l,若f(x) + g(x)与/⑴g(x)不互素，则有不可约公因式p(x), 使p(x)lf(x)g(x)f所以 p(x)| /(X )或 0(x)|g(x).不妨设 p(x)\ /(x),由 P (x)|(/(x) + g (兀))可知 p(x)|g(x),因此 P (兀)是 /(兀)和g“)的公因式,与/(%), g (x)互素矛盾,故 蚀+g (兀)与蚀g (兀)互素.充分性.设(/(兀)+ gO) J(x)g (兀)) = 1,则存在w(x), v(x)使(/(兀)+ g (兀))心)+ /(x)g(x)v(x) = 1 , f(x)u(x) + g (兀)(臥兀)+d ad-be zw- h ad 一gi (兀)， g(x) -c ad -be a ad -be g](x)，/(x)v(x)) = 1, 上式说明(/(兀),g(兀)) = 1.9.如果(x2 +x + l)|/j(x3) + x/^(x3),那么(x-l)|/；(x), 0 — 1)|/；(兀)・T；®所以，^3=£23 = 1.证明X2+X + l的两个根为£\= 士护和£2=因为U2+x+l)|(/；(^3) + x/；(^3)),所以(兀一£|)(x - £2)|/；(X')+/(F)，故有y 窗)+ £/(郃)=0,［爪哥)+ £2£(哥)=0,即解得/(l) = /；(l) = o,从而(兀—1)|久(兀)，(x-1)|/；(%).10.若f(x)\f(x H),则/(x)的根只能是零或单位根.证明因为f(x)\f(x n),故存在多项式g(x),使/(x n) = /(x)^(x).设。

线性代数第一章总结线性代数作为一门重要的数学学科，是研究向量空间及其变换性质的数学理论。

通过线性代数的学习，我们可以更好地理解和描述现实世界中的各种现象和问题。

本文将对线性代数第一章的主要内容进行总结和归纳。

1. 向量和向量空间向量是线性代数的基本概念之一，它可以用来表示空间中的点或物体。

在向量空间中，向量具有平移、缩放和加法等运算性质。

向量空间是由一组满足加法和数乘运算定义的向量组成的结构，可以用来描述和求解各种线性方程组的性质和解。

2. 矩阵和矩阵运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它是一个二维数组，具有行和列的特性。

矩阵可以通过线性变换来描述空间中的映射关系。

矩阵可以进行加法和数乘运算，还可以通过矩阵乘法来描述线性变换的复合。

3. 线性方程组和矩阵方程线性方程组是线性代数的一个经典问题，它可以通过矩阵方程的形式来表示。

利用矩阵的性质和运算，可以求解线性方程组的解，并进一步研究其解的特性和性质。

矩阵方程的求解通过矩阵的逆、转置、秩和特征值等方法进行。

4. 特征值和特征向量特征值和特征向量是描述线性变换性质的重要指标。

特征值表示线性变换中不变的方向，而特征向量表示该方向的具体向量。

通过求解特征值和特征向量，可以得到线性变换的不变轴和其对应的缩放比例。

特征值和特征向量在机器学习中有着广泛的应用。

5. 行列式和矩阵的逆行列式是矩阵的一个特殊的数值，它可以用来描述线性变换的伸缩性质。

行列式的值非零表示线性变换具有可逆性，可以求解矩阵的逆。

矩阵的逆在求解线性方程组和求解特征值特征向量等问题中起着重要的作用。

通过对线性代数第一章的学习，我们了解了向量和向量空间的基本概念，矩阵及其运算的性质，线性方程组的求解方法，特征值和特征向量的应用，以及行列式和矩阵逆的概念和作用。

这些知识为我们后续学习和应用线性代数打下了坚实的基础。

线性代数作为数学的一支，不仅在理论上具有重要意义，也在实际应用中有着广泛的应用。

它被广泛应用于物理学、经济学、计算机科学、工程学等领域，为实际问题的建模、求解和分析提供了有效的数学工具。