线性代数第一章知识点总结

《线性代数》复习提纲第一章、行列式（值，不是矩阵）1．行列式的定义：用2n 个元素ija 组成的记号称为n 阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；◊行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。

3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ijM 、代数余子式ijj i ijM A+-=)1(定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。

奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。

n 阶行列式也可定义：nq q q n a aa⋯=∑21t211-D ）（，t 为nq q q ⋯21的逆序数4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。

2、互换行列式两行或两列，行列式变号。

若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。

3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。

行列式某行（列）的公因子可提到外面。

4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。

5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。

6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。

（按行、列展开法则）7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解DD D Dx D D n =⋯==n 2211x ,x，，。

第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。

A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。

5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

线性代数知识点总结（第1、2章）（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

（六）矩阵的运算12、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

大一线性代数第一章知识点线性代数是现代数学的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射之间的关系。

在大一的线性代数课程中，第一章是介绍向量和矩阵的基本概念。

以下将对第一章的几个知识点进行论述。

一、向量的定义和性质在线性代数中，向量是一个有大小和方向的量。

它可以用一个有序的数组表示，每个数组元素代表向量在某个坐标轴上的分量。

向量有很多基本性质，包括加法、数乘、模长等。

其中，向量的加法和数乘是线性代数中最基本的运算。

向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律和分配律。

二、向量空间的定义和性质向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。

在线性代数中，向量空间是向量运算的集合，它具有许多基本性质。

向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，并且满足一些规律，如交换律、结合律和分配律等。

三、矩阵的定义和性质矩阵是线性代数中另一个重要的概念。

它由若干行和列组成的矩形阵列。

矩阵可以表示为一个矩阵元素的矩阵，每个矩阵元素代表矩阵在某个位置上的值。

矩阵有许多基本性质，包括加法、数乘、乘法等。

矩阵的加法和数乘满足一些基本规律，如交换律和结合律。

矩阵的乘法是线性代数中比较复杂的运算，它是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，满足一定的规律。

四、矩阵的行列式和逆矩阵行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以用来判断一个矩阵的特征。

对于一个n阶矩阵，它的行列式是一个数值，代表了矩阵的一些性质。

行列式有一些基本性质，如反演性、行列式的性质和行列式的计算方法等。

逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。

只有非奇异矩阵才有逆矩阵，奇异矩阵没有逆矩阵。

矩阵的逆矩阵具有一些基本性质，如逆矩阵的性质和逆矩阵的计算方法等。

五、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它由一系列线性方程组成。

线性方程组的解是指使得方程组成立的未知数的值。

线性方程组的解法有很多种，包括高斯消元法、矩阵求逆法和向量法等。

高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法，它通过一系列消元和代入操作，将方程组转化为简化的阶梯形矩阵，进而求得方程组的解。

线性代数 第一章 行列式§1 二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式结论：如果112212210a a a a -≠，则二元线性方程组 11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩的解为122122*********b a a b x a a a a -=-，1121212112121a b b a x a b b a -=-。

定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为11122122a a a a 。

称11122122a a a a 为二阶行列式有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为112222111122122b a b a x a a a a =，111122211122122a b a b x a a a a =二、三阶行列式与三元一次线性方程组定义：111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---定理：如果1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠，则***123(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩当且仅当*1x =112132222333233/b a a b a a D b a a ,*2x =111132122331333/a b a a b a D a b a ,*3x =111212122231323/a a b a a b D a a b 其中111213212223313233a a a a a a a a a 为系数行列式。

第一章 线性方程组的解1.线性方程组的定义、齐次与非齐次方程组2.方程组的线性组合：3.初等变换：4.用消元法解方程组5.矩阵的定义与表示方法实矩阵、复矩阵、方阵、行/列向量、零矩阵等概念。

注意：不同阶数的零矩阵不等。

6.系数矩阵与增广矩阵7.通解与特解：8.线性方程组求解的一般过程：一般线性方程组Ax=B,把增广矩阵进行初等行变换，化成行最简形。

解的讨论：上边是解的自由未知量形式，其中，x r+1, x r+2,….,x n 称为自由向量。

还可以表示成参数形式：或表示成向量形式：9.数域：第二章向量空间2.1线性相关与线性无关1.n维向量的定义、实向量、复向量、零向量2.向量空间：3.n维向量的运算：加法、数乘、负向量、减法、内积、向量范数、单位化、向量间的夹角、向量的正交4.线性组合6.线性相关与线性无关：一条很重要的性质：7.线性相关性判定定理：2.2 向量组的秩1.极大线性无关组与秩的定义：2.用初等变换求向量组的秩和极大无关组：注意：如果只求矩阵的秩，不需要求矩阵的哪几行（列）线性无关，那么行、列变换都可以，因为矩阵行秩=列秩。

但求向量组的秩和极大无关组，只能做一种变换。

3.向量组的等价：等价三公理：反身性、对称性、传递性（但逆命题不一定成立，秩相等的向量组不一定等价）2.3 基1.向量空间定义：若V 是向量空间，则V 必含有零向量2.子空间（向量空间属于线性空间，对子空间的定义请看2.5节：线性空间）3.等价向量组生成相同的向量空间4.向量组生成的向量空间可由其任何一个极大无关组生成5.基与向量组的维数（看2,5节）6.只含零向量的向量空间，维数为0 注意：两个不同概念：7.设V 是由n 维向量构成的r 维向量空间，则： （1）V 的任意r+1个向量必定线性相关（2）V 的基是向量组的一个极大无关组，从而dimV=V 秩（3）V 中任意r 个线性无关向量都可作为V 的一个基（4）V 可由基α1,α2,…, αr 所生成，即 V=L （α1,α2,…, αr ） （5） （6）（7）（8）（9）8．9.基变换与过渡矩阵（见2.5节）2.4 线性方程组解的结构1.解空间定义齐次方程组的若干个解向量的任意线性组合仍是此线性方程组的解向量2．解空间的维数Ax=b的通解可表示为：2.5 线性空间1.线性空间的定义（8个条件）说明：凡满足以上8条规律的加法和乘数运算，称为线性运算。

线性代数知识点总结第一章 行列式一要点1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数;奇偶排列可以不介绍对换及有关定理;n 阶行列式的定义3、行列式的性质4、n 阶行列式ij a D =;元素ij a 的余子式和代数余子式;行列式按行列展开定理5、克莱姆法则二基本要求1、理解n 阶行列式的定义2、掌握n 阶行列式的性质3、会用定义判定行列式中项的符号4、理解和掌握行列式按行列展开的计算方法;即+11j i A a +22j i A a ⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a jn in 0 +j i A a 1122i j a A +⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a nj ni0 5、会用行列式的性质简化行列式的计算;并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式;各行列元素之和等于同一个常数的行列式;利用展开式计算6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章 矩阵一要点1、矩阵的概念n m ⨯矩阵n m ij a A ⨯=)(是一个矩阵表..当n m =时;称A 为n 阶矩阵;此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式;称为矩阵A 的行列式;记为A .注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念..2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法1矩阵的乘法不满足交换律和消去律;两个非零矩阵相乘可能是零矩阵..如果两矩阵A 与B 相乘;有BA AB =;则称矩阵A 与B 可换..注：矩阵乘积不一定符合交换2方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ;个k k A A A A ⋅⋅= 规定I A =0;其中I 为单位阵 .3 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( ;A 为方阵;矩阵A 的多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ϕ;其中I 为单位阵..4n 阶矩阵A 和B ;则B A AB =.5n 阶矩阵A ;则A A nλλ=4、分块矩阵及其运算5、逆矩阵：可逆矩阵若矩阵A 可逆;则其逆矩阵是唯一的；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ; E A A A AA ==**矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质..6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵..7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩8、矩阵的等价二要求1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时;会用伴随矩阵求逆矩阵5、了解分块矩阵及其运算的方法1在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下;其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的..2特殊分法的分块矩阵的乘法;例如n m A ⨯;l n B ⨯;将矩阵B 分块为) (21l b b b B =;其中j b l j 2, ,1=是矩阵B 的第j 列;则=AB ) (21l b b b A ) (21l Ab Ab Ab =又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =;其中j p n j 2, ,1=是矩阵P 的第j 列.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n P λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21 ) (21n p p p = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21) (2211n n p p p λλλ = 3设对角分块矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=SS A A A A 2211 ;),2,1(s P A PP =均为方阵; A 可逆的充要条件是PP A 均可逆;s P ,2,1=;且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----11221111 ss A A A A6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ;则称矩阵A 和矩阵B 等价;记为B A ≅. n m ⨯矩阵A 和B 等价当且仅当)()(B r A r =;在等价意义下的标准型：若r A r =)(;则r D A ≅;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000 r r I D ;r I 为r 阶单位矩阵.. 因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为n I A ≅..第三章 线性方程组一要点1、n 维向量；向量的线性运算及其有关运算律记所有n 维向量的集合为n R ;n R 中定义了n 维向量的线性运算;则称nR 为 n 维向量空间..2、向量间的线性关系1线性组合与线性表示；线性表示的判定2线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价;向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法 1设有两个向量组,1α,2αs α )(A,1β,2βt β )(B向量组)(A 和)(B 可以相互表示;称向量组)(A 和)(B 等价..向量组的等价具有传递性..2一个向量组的极大无关组不是惟一的;但其所含向量的个数相同;那么这个相同的个数定义为向量组的秩..4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解1线性方程组的消元解法2线性方程组解的存在性和唯一性的判定3线性方程组解的结构4齐次线性方程的基础解系与全部解的求法5非齐次方程组解的求法二要求1、理解n 维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法第四章 矩阵的特征值与特征向量一要点1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件3、实对称矩阵的特征值和特征向量向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化二要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质2、掌握特征值与特征向量的求法3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵..第五章二次型一要点1、二次型与对称矩阵：二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系2、二次型与对称矩阵的标准形配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形 3、二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定二要求1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法..2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义;会判定二次型的正定性..。

第一章 行列式线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。

行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。

本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n 阶行列式。

理解和掌握克拉默（Cramer ）法则。

本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。

§ 1 二阶、三阶行列式一、内容提要 1．二阶行列式的定义2112221122211211a a a a a a a a -= 其中ij a 称为行列式的元素，ij a 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i 行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j 列。

二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即：2111 a a -+2212a a =21122211a a a a -其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。

2．三阶行列式的定义333231232221131211a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= 三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示：+- 333231232221131211a a a a a a a a a其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式。

二、例题分析例1 求解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+342232121x x x x解： 由于系数行列式 4123=D 0101243≠=⨯-⨯= 2324243221=⨯-⨯==D ， 7123331232=⨯-⨯==D 所以方程组有唯一解为： 2.011==D Dx ， 7.022==DD x 。

线性代数第一章：行列式1.排列：任意两数字先大后小为一个逆序；一组无序数组逆序个数为奇数就是奇排列；反之为偶排列。

且一个数组任意两个数字调换，则奇偶调换。

排列决定行列式某一项的正负，若行标按标准次序，则列标的逆序数是奇数此项为负。

n n np p p p p p r a a a D ....)1(21)2121...(-∑=，每一项是n 个元素的乘积，每个元素取自不同的行不同的列。

行列式展开共有n!项，一半正，一半负。

注意：λλλλnD ....21=为矩阵的特征值2.nnnnnna a a a a a a a a ...... (221122211211)= 11,212)1(11,22111211..)1(................n n n n n n n na a a a a a a a a ----=3.行列式的性质：（1）行列式与其转置行列式值相等；（所以行的性质也是列的性质）（2）交换两行对应元素，行列式值变号。

（3）任意两行对应元素相等，成比例行列式值为0。

（4）例：nx yx nc ya dm bx dc b a nm c yx a dm c bx a nd m c yb x a +++=+++++=++++（5）把某行的k 倍加到另一行对应元素，行列式值不变。

4.余子式ij M ：去掉第i 行第j 列剩下的元素构成行列式的值。

代数余子式ij j i ij M A +-=)1(5.定理，行列式某行的代数余子式×另一行的对应元素值为0。

6.范德蒙德行列式)....)...()()()...()((.........................1. (1112242311312113121)12232221321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n nn n n nn ------==---- 例：240)32)(12)(13)(12)(13)(11(842149112311111184212793111111111=--+-+-----=----=----7.,00,0()0)in n i n n D A X b x D DA X D R n D n ⨯⨯==≠=≠==<。