线性系统的状态空间表达式

⎢ ⎢
0
0
0L
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
⎢⎣ − a 0 − a1 − a 2 L − a n −1 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
？ 如何确定变换矩阵P
推导变换矩阵P：
假设变换矩阵P为
[ P =
p
T 1
] p
T 2
M
p
T n
T
P应该满足式（3-227），有
⎡ p1 ⎤ ⎡ 0
1
0L
0 ⎤ ⎡ p1 ⎤
⎢ ⎢
p2
⎥ ⎥
(3 − 208 )
几种常用的线性变换关系
1 化A阵为对角阵
⑴ 设A阵为任意方阵。且有n个互异实特征值 λ1，λ2，…，λn，则可 由非奇异线性变换化为对角阵Λ。
⎡λ1
⎤
⎢ Λ = P−1AP = ⎢
λ2
⎥ ⎥
⎢
O⎥
⎢ ⎣
λn
⎥ ⎦
P阵由A阵的实数特征向量 pi(i=1,2,…,n) 组成
(3 − 209)
⎣
∂p1
∂λ1
∂ 2 p1
∂
λ
2 1
L
∂ m −1 p1
∂
λ
m 1
−1
M
p m +1
L
式中
[ ] p1 = 1
λ1
λ
2 1
L
λ n −1 T 1
⎤ p n ⎥ (3 − 218 )
⎦ (3 − 219 )
J中虚线表示存在一个约当块。式中 p2, p3, …, pm为广义实特征向量，满足
⑶ 设A阵具有五重实特征值 λ1，且只有两个独立实特征向量p1, p2, 其余 为n-5个互异时特征值，A阵约当化的可能形式如下，式中，J中虚线表示存 在两个约当块。

[
[
]
]
]
k1 K = M k p
( A − BK )bi = Abi − b1 b2
令 c1i = k1bi , L c pi = k p bi
[
k1bi L bp M k p bi
]
( A − BK )bi = Abi − (c1i b1 + c2i b2 + L c pi b p )
第六章
线性反馈系统的状态空间综合
状态反馈 通过状态反馈进行极点配置和镇定 基于状态反馈的解耦控制 通过状态反馈进行跟踪控制设计 状态观测器
1
6.1 常用的反馈结构及其对系统特性的影响
1、常用的反馈结构 1）输出反馈 当系统为n阶状态，p个输入，q个输出时 u(t ) = r (t ) − H y(t )
& (t ) = ( A − BK ) x(t ) + Br (t ) x & (t ) = ( A − Bρk ) x(t ) + Br (t ) = ( A − bk ) x(t ) + Br (t ) x
其中 b = Bρ , b − n × 1 表明将多输入极点配置问题（A，B，K）转化成了单输入极点 配置问题（A，b，k）。 第三步：对单输入问题（A，b，k）证明若（A，b）能控，则 一定可以任意配置极点。
10
线性定常系统可用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统完 全能控。 证明：必要性，即系统可任意配置极点，那么系统一定能控。 用反证法，当系统可任意配置极点，但系统不能控。 那么可以进行能控性分解 & (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) x
y (t ) = Cx (t )

22
2
11
1
DCx C x D Du
2 11
22
21
状态空间表达式
x 1 x 2
A 1
B 2
C 1
0 A
2
x1 x 2ຫໍສະໝຸດ B 1BD 21u
y D C 21
C 2
x1 x 2
D 2
Du 1
传递函数阵
Y (s) Y (s) G (s)Y (s) G (s)G (s)U (s)
2
2
1
2
1
G(s) G (s)G (s)
2
1
3）反馈连接（u1=u-y2,u2=y,y=y1,D1=D2=0)
U
X1
U1
1(A1,B1,C1,D1) Y1
Y
Y2
2(A2,B2,C2,D2)
U2
x 1 A1x1 B1u1 A1x1 B1u B1C2x2 x 2 A2x2 B2u2 A2x2 B2C1x1
述系统的两组不同的状态变量，则状态变量之间有
非奇异线性变换，即
x P~x ~x P1x
p11 p12 p1n
P
p21
p22
p2n
pn1
pn2
pnn
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
2.串联（前一系统的输出是后一系统的输入）
u=u1,u2=y1,y=y2
X1
X2
U1
1(A1,B1,C1,D1)
Y1 U2
2(A2,B2,C2,D2)
Y2
x A x B u
1
11
1
x A x B C x B D u
2

河南工业大学《现代控制理论》实验报告专业: 自动化 班级: F1203 姓名: 蔡申申 学号:201223910625完成日期：2015年1月9日 成绩评定:一、实验题目：线性系统状态空间表达式的建立以及线性变换二、实验目的1. 掌握线性定常系统的状态空间表达式。

学会在MATLAB 中建立状态空间模型的方法。

2. 掌握传递函数与状态空间表达式之间相互转换的方法。

学会用MATLAB 实现不同模型之间的相互转换。

3. 熟悉系统的连接。

学会用MATLAB 确定整个系统的状态空间表达式和传递函数。

4. 掌握状态空间表达式的相似变换。

掌握将状态空间表达式转换为对角标准型、约当标准型、能控标准型和能观测标准型的方法。

学会用MATLAB 进行线性变换。

三、实验过程及结果1. 已知系统的传递函数 (a) )3()1(4)(2++=s s s s G 1.建立系统的TF 模型。

num=4;den=[1 5 7 3 0];G=tf(num,den)G =4-------------------------s^4 + 5 s^3 + 7 s^2 + 3 sContinuous-time transfer function.2.将给定传递函数用函数ss( )转换为状态空间表达式。

再将得到的状态空间表达式用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。

2.1转换成状态空间表达式。

Gss=ss(G)Gss =a =x1 x2 x3 x4x1 -5 -1.75 -0.75 0x2 4 0 0 0x3 0 1 0 0x4 0 0 1 0b =u1x1 1x2 0x3 0x4 0c =x1 x2 x3 x4y1 0 0 0 1d =u1y1 0Continuous-time state-space model.2.2将状态空间表达式转换成传递函数并计较。

G1=tf(Gss)G1 =4-------------------------s^4 + 5 s^3 + 7 s^2 + 3 sContinuous-time transfer function.由之前的实验结果可得实验中的传递函数相同，因为线性变换不改变系统的传递函数。

§2.3 线性连续时间状态空间表达式的离散化如果用数字计算机对连续时间状态方程求解，或者对连续受控对象采用数字计算机进行在线控制，都要碰到一个将连续时间系统化为离散时间系统的问题。

本节将讨论线性连续时间状态空间表达式的离散化方法。

一、线性时变系统的离散化 设原线性系统的状态空间表达式为：).()t (u )t (D )t (X )t (C Y )t (u )t (B )t (X )t (A X612⎩⎨⎧+=+=离散化后状态空间表达式为：[]).()kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y )kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X 6221⎩⎨⎧⋅+⋅=+=+式（2.61）、（2.62）之间的系数关系如下[][]).()t (D )kT (D )t (C )kT (C d )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G kTt kT t T)k (kT632111==+==+=+=⎰τττφφ式中[]kT ,T )k (1+φ表示)t ,t (0φ在kT t T )k (≤≤+1区段内的状态转移矩阵，而)t ,t (0φ则表示原连续系统（2.61）式的状态转移矩阵。

证明：由上节（2.60）式可知（2.61）式的解为：).(d )(u )(B ),t (X )t ,t ()t (X t t 642000ττττφφ⎰+=对上式离散化，令hT t ,T )k (t =+=01，T 为采样周期，则得[][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (T )k (X T )k (hT65211110ττττφφ+++=+⎰+再以hT t ,kT t ==0代入（2.64）式，则得 ).(d )(u )(B ),kT (X )hT ,kT ()kT (X kT hT 6620ττττφφ⎰+=将（2.66）式两边同左乘[]kT ,T )k (1+φ，得[][][][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (d )(u )(B ),kT (kT ,T )k (X )hT ,kT (kT ,T )k ()kT (X kT ,T )k (kT hT kT hT 6721111100ττττφφττττφφφφφ+++=++⋅+=+⎰⎰将（2.65）式减去（2.67）式得：[][][]).(d )(u )(B ,T )k ()kT (X kT ,T )k (T )k (X T )k (kT 6821111ττττφφ+++=+⎰+上式中，令[][]τττφφd )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G T)k (kT⎰+=+=+111设在区间[]T )k (,kT 1+内，)kT (u )(u =τ，则（2.68）式可简写成： [])kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X ⋅+⋅=+1 同时，对（2.61）式输出方程离散化，则证明了)kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y ⋅+=二、线性时不变系统的离散化 对于线性时不变系统).(uD X C Y u B X A X692⎩⎨⎧+=+=离散化状态空间表达式为).()kT (u D )kT (X C )kT (Y )kT (u )T (H )kT (X )T (G T )k (X 7021⎩⎨⎧+=+=+其中D ,C ),T (H ),T (G 均为常数阵，且).(B)d e ()T (H e)T (G A T AT 7120⎪⎩⎪⎨⎧==⎰ττ证明：由于时不变系统是时变系统的一种特殊情况，所以只需要证明式（2.71）成立即可。

： x A(t ) x B(t )u y C (t ) x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
13
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
9
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
10
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型

2．状态空间的基本概念 （1）状态：系统在时间域中的行为或运动信息的集合。 （2）状态变量：能够完全表征系统运动状态的一组独立的变量，常用符号 x1（t），x2 （t），…，xn（t）表示。 （3）状态向量：由 n 个用来描述系统状态的状态变量 x1（t），x2（t），…，xn（t）组 成的向量 x（t）称为 n 维状态向量，表示为 x（t）＝[x1（t），x2（t），…，xn（t）]T。 （4）状态空间：以 n 个状态变量为基底所组成的 n 维空间。 （5）状态轨迹：系统状态在状态空间中随时间变化而形成的轨迹，又称状态轨迹。 （6）线性系统的状态空间表达式：又称为动态方程。
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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x Ax Bu y Cx Du
u(t)
y(t)
系统
A : 系统（状态）矩阵 （n n）
B : 控制（输入）矩阵 （n p）
C : 输出矩阵 （q n）
D : 前馈矩阵 （q p）
A、B、C、D 为常数阵 定常系统
A、B、C、D 含时变参数 时变系统
9
x Ax Bu y Cx Du
不同状态变量之间存在线性变换关系
13
2.6 两种模型的相互转化
2.6.1由状态空间模型转化为传递函数（阵） 2.6.2由传递函数转化为状态空间描述 应用MATLAB进行模型之间的相互转化（自
学）
14
2.6.1 由状态空间模型转化为传递函数（阵）
设 线 性 定 常 系 统 的 状 态空 间 模 型 为

0 1u
1 G( s ) LCs2 RCs 1
y 1
0

x1 x2

由同一系统的不同状态空间表
达式导出的传递函数（阵）必
然相同
18
2.6.2 由系统传递函数建立状态空间模型
之前已知：由微分方程转
A,B,C,D
化为状态空间模型
u(t)
y(t)
系统
U(s)
x Ax Bu 注意！ u(t)
G(s)
y(t)
y Cx Du
系统
对其进行拉氏变换 sX(s) x(0 ) AX(s) BU(s) Y(s) CX(s) DU(s)
对应的传递函数（阵）为
令初始条件为零， x( 0 ) 0 得：sX(s) AX(s) BU(s)
x n
xn

9.1 线性系统的状态空间表达式
该机械系统的状态如图9-4所示。
F1
m
.
x2
x2
f m
k m
图9-4 机械系统状态图
x1 y
9.1 线性系统的状态空间表达式
2、从系统方块图出发建立状态空间表达式
例9-2 在图9-5所示系统中，若选取 x1, x2 , x3作为状态变量，试列写其
状态空间表达式，并写成矩阵形式。
在图9-1中，uc 为输出，用 y表示，则有
用矩阵表示为 y uc x1
(9 7)
y 1
0
x1 x2
或y
CT
x
其中
CT 1 0
(9 8)
9.1 线性系统的状态空间表达式
6 状态空间表达式 状态方程与输出方程组合起来，称为状态空间
表达式。它构成对一个系统的完整描述。
一般情况下，设单输入—单输出线性定常连续系统的状态变量
.
x
n
C
c1
c2
cn
9.1 线性系统的状态空间表达式
对于一个r 维输入、m 维输出的多输入、多输出系统其状态空间表达式为
式中
.
x
Ax
Bu
y Cx Du
(9 10)
b11 b12 B b21 b22
bn1 bn2
b1r
u1
y1
b2r
,
u
u2
,
y
y2
x1 y / b0 ,
..
x1 y/ b0 x2 ,
.
..
x2 y/ b0 x3,
.
xn1 y(n1) / b0 xn ,
(9 15)

松弛性 若系统的输出y[t0 ,]由输入u[t0, ]唯一确定，则称系 统在 时刻是松弛的。从能量的观点看，系统在t0时刻是松弛的意味 着系统在时刻不存贮能量。例如RLC网络，若所有电容两端的电压 和流过电感的电流在 t0 时刻均为零(即初始条件为零)，则称网络在 t0 时刻是松弛的。若网络不是松弛的，则其输出不仅由输入决定， 而且与初始条件有关。
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描述系 统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描 述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状 态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多 变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控 制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。

C m ia J
dt
2
f
转动惯量， 粘性摩擦常数， m 电磁转矩常数，e 电势常数 C C f
令 x1 , x 2 , x 3 i a
x1 x 2 x2 x3 f J Ce La x2 x2 Cm J Ra La x3 x3 u La
结构图
x2
状 态 轨迹
A
( x1 ( t 0 ), x 2 ( t 0 ))( x1源自( t1 ), x 2 ( t1 ))
B
0
x1 ( t ) x (t ) x 2 (t )
t
x1
状态空间分析法举例
例1求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u ( t )
K ---弹性系数 m
7.状态空间表达式(动态方程)：{A，B，C，D}
x f ( x, u , t) y (t ) g ( x , u , t )
x ( t k 1 ) f ( x , u , t k ) y (tk ) g ( x , u , tk )
f,g-线 性 函 数 线 性 系 统
u
y 1
0
例4. 一长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰 链安装在质量为M的小车上，小车受电机操纵， ，在水平方向施加控制力u，相对参考坐标系 产生位移x。要求建立该系统的状态空间表达 式。

m
x
l
u
M
设小车瞬时位置为 x 摆心瞬时位置为 ( x l s i n ) 在水平方向，由牛顿第二定律
yq
u [u1 , u 2 , , u p ]
T
y [ y1 , y 2 , , y q ]

基此，选取电容端电压uc和流经电感的电流iL作 为电路状态变量组。 显然，uc和iL必满足状态变量定义中所指出的线 性无关极大组属性。
2013/11/22
线性系统理论
23
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
R1 C + uC iL R2 iC + -
由此，得 和，
X QX
X PX PQX
X QX QPX
显然， PQ QP I
即矩阵P和Q互逆。
结论：系统的任意选取的两个状态X和 X 之间 为线性非奇异变换的关系。
2013/11/22
线性系统理论
18
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
2013/11/22
线性系统理论
2
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
一、状态和状态空间
1、系统动态过程的两类数学描述 2、状态和状态空间的定义
2013/11/22
线性系统理论
3
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、系统动态过程的两类数学描述
线性系统理论
21
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
电路系统如图所示，设各组元件的参数值为已 知，取电压源e(t)为输入变量，电阻R2端电压uR2为输 出变量。 C
R1 iC + e (t ) -
L
+ uC iL R2

现代控制工程期末复习简单题汇总(大工版本)1.1线性定常系统和线性时变系统的区别何在？答：线性系统的状态空间模型为：X=Ax+Bu y=Cx+D线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A, B, C 和D中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A，B，C和D中有时变的元素。

线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。

1.2现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？答：传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下：传递函数模型(经典控制理论)状态空间模型(现代控制理论)仅适用于线性定常系统适用于线性、非线性和时变系统用于系统的外部描述用于系统的内部描述基于频域分析基于时域分析1.3对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。

1.4已知系统的状态空间模型为X =Ax+Bu y=Cx，写出该系统的特征多项式和传递函数矩阵。

答：系统的特征多项式为det(sl-A)，传递函数为G(s)二C(sl-A)1.5 一个传递函数的状态空间实现是否惟一？由状态空间模型导出的传递函数是否惟一？答：一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数是惟一的。

第二章2.1试叙述处理齐次状态方程求解问题的基本思路？答：求解齐次状态方程的解至少有两种方法。

一种是从标量其次微分方程的解推广得到，通过引进矩阵指数函数，导出其次状态方程的解。

另一种是采用拉普拉斯变换的方法。

2.2状态转移矩阵的意义是什么？列举状态转移矩阵的基本性质。

答：状态转移矩阵e A(t=t0)的意义是：它决定了系统状态从初始状态转移到下个状态的规律，即初始状态X在矩阵e A(t=t0)的作用下，他t o刻的初始状xO经过时间t-to，后转移到了t时刻的状态x (t )。

则有 x1 x2
x2 x3
x3 a0 x1 a1x2 a2 x3 b0u
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 a0 a1 a2 x3 b0
x1
y 1
0
0
x2
x3
状态图如下：
一般情况下，n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y b0u
选择 n 个状态变量为 系统方程为
x1 y 0u x2 x1 1u x3 x2 2u
xn xn1 n1u
x1
x2
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0 0 1 an1
x1 x2
xn
1
x3 x4
0 0 0
0 0 0
mg M
0
(M m)g Ml
0
x2
1 M
u
;
1 0
x3 x4
0
1 Ml
x1
y 1
0
0
0
x2
x3 x4
状态图为
1.2 由微分方程求状态空间表达式
一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选 择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。
设小球的重心坐标为： ( yG , zG )
则 yG y l sin
zG l cos
在水平方向，应用牛顿第二定律：
M
d2 y dt2
m
d2 dt2
(y
l
sin )
u
转动方向的力矩平衡方程式：

+ (bn−2 − h2 − an−1h1 − an−2h0 )u(n−2) ++ (b1 − hn−1 − an−1hn−2 − an−2hn−3 −− a1h0 )u
+ (b0 − an−1hn−1 − an−2hn−2 −− a1h1 − a0h0 )u
选择 h0 , h1, hn−1 ，使得上式中u的各阶导
的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导
数项，可以选择如下的一组状态变量。
设
bn
0
，选取： x1 = y − h0u
xi = xi−1 − hi−1u， i = 2,3,, n
其中h0, h1, , hn−1是n个待定系数
x• • •
xi = xi−1 − hi−1u • • •
x1
+
1 L
u ( t)
x2 0
y=0
x1
1
x2
令 x=x 1x2T 为状态向量
则： x • =−
R−
L
1 L
x+
1
L u ( t)
1 c
0
0
y=0 1 x
补充：
• 由（A,B,C,D) 画状态变量图 • 由电路→基本方程→状态变量图→(A,B,C,D) • 状态变量选取不唯一 • D0的解释 • 充放电过程的解释 • 状态方程的稳态求解
（1）求其状态空间表达式 （2）画出其状态变量图
解：选 x1 = y
.
x2 = y
..
x3 = y
则： x1 = x2 x2 = x3
x3 = −6x1 − 8x2 − 5x3 + 3u
y = x1
状态空间表达式为

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 0 0 ⋮ b = ⋮ 0 1 β 0 −an−1
C = [1 0 ⋯ 0]
状态变量结构图
例1 设
y
(3)
+ 5 ɺɺ+ 8 y+ 6 y = 3u y ɺ
求（A 求（A，B，C，D）
( n −1)
z
(n)
+ an−1 z
ɺ + ⋯ + a1 z + a0 z = u
y(s) z(s)
= β n −1 s
n −1
+ ⋯ + β 1s + β 0
y = β n −1 z
选取状态变量
( n −1 )
ɺ + ⋯ + β1z + β 0 z
ɺ x1 = z , x 2 = z , x3 = ɺɺ, ⋯ , x n = z z
其中h0 , h1 ,⋯ , hn −1是n个待定系数
ɺ y ɺ 求 出 y , ɺɺ , ⋯ , y ( n − 1 ) ⇐ 由 x i 及 u , u , ⋯ 表 示
即：
x1 = y − h0u ⇒ y = x1 + h0u
ɺ ɺ ɺ ɺ x2 = y − h0u − h1u ⇒ y = x2 + h0u + h1u
+⋯+ hn−1u
xn = y
( n−1)
− h0u
( n−1)
( n−1)
− h1u
( n−2)
−⋯− hn−1u
( n−2)
⇒ y
= xn + h0u
( n−1)

M
状态方程
y(t) 输出方程：y=x1
状态变量图
u1
m
x2 ∫ x2 x1 ∫ x1 1 y
B
m
K
m
仿真理论基础（一）——状态空间表达式
谢 谢！
xn
an1
an2
ann
xn
bn1
bn2
bnr
ur
状态方程：X AX BU
可求得状态的时间响应，即能决定系统状态的行为
仿真理论基础（一）——状态空间表达式
2.状态空间表达式
u1
状态方程 输出方程 状态空间表
x1
X
x2
n×1维状态向量
xn
a11
a12
a1n
n×n维 系统矩
A
a21
a22
a2n
阵
an1
an 2
ann
U
u2
ur
b11 b12 B b21 b22
bn1 bn2
r×1维输入向量
b1r
b2r
bnr
n×r维 输入矩 阵
向量矩阵形式：
达式
x1 a11 a12 a1n x1 b11 b12 b1r u1
状态变量图
x2
状态空间表 达式
状态变量图
xn an1x1 an2x2 annxn bn1u1 bn2u2 bnrur
向量矩阵形式：
x1 a11 a12 a1n x1 b11 b12 b1r u1
x2
a21
a22
a2n
x2
b21
b22
b2r
u2
D=0
仿真理论基础（一）——状态空间表达式 2.状态空间表达式