2019-2020学年高中数学课时分层作业1分类加法计数原理和分步乘法计数原

章末分层突破[自我校对]①分类加法计数原理②分步乘法计数原理③排列④排列数公式⑤组合数公式⑥组合数⑦二项展开式的通项⑧对称性⑨增减性两个计数原理的应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本部分内容的基础，对应用题的考查，经常要对问题进行分类或者分步进而分析求解.(1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情.“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件.(2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？【精彩点拨】解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法使这件事是否完成，从而区分加法原理和乘法原理.【规范解答】(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12(种).(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60(种).(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法.即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47(种).应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：(1)要做什么事；(2)如何去做这件事；(3)怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法.[再练一题]1.如图1-1为电路图，从A到B共有________条不同的线路可通电.图1-1【解析】先分三类.第一类，经过支路①有3种方法；第二类，经过支路②有1种方法；第三类，经过支路③有2×2＝4(种)方法，所以总的线路条数N＝3＋1＋4＝8.【答案】8排列、组合的应用排列、组合应用题是高考的重点内容，常与实际问题结合命题，要认真审题，明确问题本质，利用排列、组合的知识解决.(1)某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？(2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？【精彩点拨】按照“特殊元素先排法”分步进行，先特殊后一般.【规范解答】(1)因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案A48种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A38种方法，所以共有3A38种方法；③若乙参加而甲不参加同理也有3A38种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余学生到另两个城市有A28种，共有7A28种方法.所以共有不同的派遣方法总数为A48＋3A38＋3A38＋7A28＝4 088种.(2)①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A7＝5 040种方法；第二步，再松绑，给4个节目排序，有A4＝24种方法.根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960种.②第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A6＝720种方法.×□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A47＝7×6×5×4＝840种.根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800种.③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A12种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A1212A1010＝A212＝132种排法.解排列、组合应用题的解题策略1.特殊元素优先安排的策略.2.合理分类和准确分步的策略.3.排列、组合混合问题先选后排的策略.4.正难则反、等价转化的策略.5.相邻问题捆绑处理的策略.6.不相邻问题插空处理的策略.7.定序问题除序处理的策略.8.分排问题直排处理的策略.9.“小集团”排列问题中先整体后局部的策略.10.构造模型的策略.简单记成：合理分类，准确分步；特殊优先，一般在后；先取后排，间接排除；集团捆绑，间隔插空；抽象问题，构造模型；均分除序，定序除序.[再练一题]2.(1)一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A.40B.74C.84D.200 (2)(2016·山西质检)A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A.60种B.48种C.30种D.24种【解析】 (1)分三类：第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个； 第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个；第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个.由分类加法计数原理得C 35C 34＋C 45C 24＋C 5C 14＝74.(2)由题意知，不同的座次有A 2A 4＝48种，故选B. 【答案】 (1)B (2)B二项式定理问题的处理方法和技巧对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运用通项公式来求特定项.另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题.(1)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A.2B.54 C.1D.24(2)已知(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n (n ∈N ＋)的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n ＝________.【导学号：62980030】(3)设(3x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 6＋a 4＋a 2＋a 0的值为________. 【精彩点拨】 (1)、(2)利用二项式定理的通项求待定项； (3)通过赋值法求系数和.【规范解答】 (1)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n 展开式的通项是T r ＋1＝C r n x n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3r ＝C r n x n －4r ，r ＝0,1,2，…，n ， 由于(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n 的展开式中没有常数项，所以C r n x n －4r ，x C r n x n －4r ＝C r n x n －4r ＋1和x 2C r n x n －4r ＝C r n x n －4r ＋2都不是常数，则n －4r ≠0，n －4r ＋1≠0，n －4r ＋2≠0，又因为2≤n ≤8，所以n ≠2,3,4,6,7,8，故取n ＝5.(3)令x ＝1，得a 6＋a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝26＝64.令x ＝－1，得a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)6＝4 096. 两式相加，得2(a 6＋a 4＋a 2＋a 0)＝4 160， 所以a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝2 080. 【答案】 (1)C (2)5 (3)2 0801.解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式.2.解决二项展开式项的系数(或和)问题常用赋值法.[再练一题]3.(1)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A.45B.60C.120D.210(2)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11D.12【解析】 (1)因为f (m ，n )＝C m 6C n 4， 所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3) ＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.(2)512 016＋a ＝(13×4－1)2 016＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 016＋a 能被13整除.【答案】 (1)C (2)D排列、组合中的分组与分配问题n个不同元素按照条件分配给k个不同的对象称为分配问题，分定向分配与不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某种条件分成k组，称为分组问题，分组问题有不平均分组、平均分组、部分平均分组三种情况.分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使2组元素个数相同，但因所属对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组再排列.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.【精彩点拨】这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.【规范解答】(1)无序不均匀分组问题.先选1本有C16种选法，再从余下的5本中选2本有C25种选法，最后余下3本全选有C3种选法.故共有C16C25C3＝60(种).(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C3A3＝360(种).(3)无序均匀分组问题.先分三步，则应是C26C24C2种方法，但是这里出现了重复.不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26C24C2种分法中还有(AB，EF，CD)，(AB，CD，EF)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A3种情况，而这A3种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A33＝15(种).(4)有序均匀分组问题.在第(3)问基础上再分配给3个人，共有分配方式C26C24C22A33·A3＝C26C24C2＝90(种).(5)无序部分均匀分组问题.共有C46C12C11A22＝15(种).(6)有序部分均匀分组问题.在第(5)问基础上再分配给3个人，共有分配方式C46C12C11A22·A3＝90(种).(7)直接分配问题.甲选1本有C16种方法，乙从余下5本中选1本有C15种方法，余下4本留给丙有C4种方法.共有C16C15C4＝30(种).均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.[再练一题]4.有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？【解】取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有3种情况：1 144,2 233,1 234.所取卡片是1 144的共有A4种排法.所取卡片是2 233的共有A44种排法.所取卡片是1 234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法A44＋C14A44＋C24A44＋C34A44＋A44＝16A44种.所以共有18A44＝432种.1. (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.60【解析】法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.法二：(x2＋x＋y)5为5个(x2＋x＋y)之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C13＝30.故选C.【答案】 C2.如图1-2，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图1-2A.24B.18C.12D.9【解析】从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条.如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条).所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.【答案】 B3.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________.【解析】先确定丙的卡片上的数字，再确定乙的卡片上的数字，进而确定甲的卡片上的数字.法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法.故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.【答案】1和34. (2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________.(用数字填写答案) 【解析】 (2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝ C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r 5·x 5－r2.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10. 【答案】 10。

人教A 版，高中数学，选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课本第6页，练习1．填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。

（2）从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同路线的条数是 。

【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6。

2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。

3．在例1中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6410+=。

这种算法有什么问题？【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。

课本第10页，练习1．乘积12312312345()()()a a a b b b c c c c c ++++++++展开后共有多少项？【解析】分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。

由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法。

2019年高中数学第一章计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时训练理新人教A版选修2-31．分类加法计数原理分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有____________种不同的方法.推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有____________种不同的方法.注意：任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，而不需要再用到其他方法.2．分步乘法计数原理分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有____________种不同的方法.推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有____________种不同的方法.3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系和区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各类方法__________，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤__________才算完成这件事.参考答案：1．2．3．相互独立都完成一、分类加法计数原理的应用若所给问题满足下列三个特点：（1）完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类；（2）用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；（3）把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.则这个问题可以用分类加法计数原理解决.【例1】某校高二共有三个班，各班人数如下表：（1）从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从高二（1）班、（2）班男生中或从高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？【解析】（1）从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高二（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高二（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高二（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.（2）从高二（1）班、（2）班男生或高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高二（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高二（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高二（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从高二（1）班、（2）班男生或高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法.二、分步乘法计数原理的应用若所给问题满足下列三个特点：（1）完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可；（2）完成每一步有若干方法；（3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.则这个问题可以用分步乘法计数原理解决.【例2】如图,将图中的四个区域涂色,有5种不同的颜色可供选择，规定一个区域只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有______种．【解析】由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方案有种.【名师点睛】解答涂色问题有两种方法：（1）选择正确的涂色顺序,按步骤逐一涂色,这时用分步乘法计数原理进行计数；（2）根据涂色时所用颜色数的多少,进行分类处理,这时用分类加法计数原理进行计数.注意：“相邻区域不得使用同一种颜色”,找好不相邻的区域是解题的关键.一般地,在分步涂色时,要注意尽量让相邻区域多的区域先涂色.三、两个计数原理的综合应用“分类”应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于且仅属于其中某一类.“分步”应满足：完成一件事必须且只需连续完成若干步.在实际中，很多问题都需要既分类又分步才能完成，解决这类问题时，一般先分类再分步.在分类和分步的过程中,要先明确分类和分步的标准,以做到不重不漏.【例3】用0，1，2，3，4五个数字，①可以排出多少个三位数字的电话号码？②可以排成多少个三位数？③可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？【解析】①三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53=125(种).②三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5=100(种).③被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3=12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3=18种排法.因而有12+18=30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.【名师点睛】对于已知几个数字组成三位数、四位数等问题,一般需利用分步乘法计数原理求解,注意：（1）数字中是否含有0,因为三位数、四位数等的最高位数字不能为0；（2）组成的数是否允许数字重复出现,这会影响数字的选择.四、未选准分步依据致错【例4】将4封信投入到3个信箱中，共有多少种不同的投法？【错解】第1个信箱可能投1封信，2封信，3封信或4封信，共有4种投法；同理，第2个信箱也有4种投法，第3个信箱也有4种投法.根据分步乘法计数原理，共有种不同的投法.【错因分析】要完成的一件事是“将4封信投入到3个信箱中”，且1封信只能投入1个信箱，错解中会出现1封信同时投入2个信箱或3个信箱的情况，这是不可能发生的.因此，分步的依据应该是“信”，而不应该是“信箱”.【正解】第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法;同理，第2，3，4封信各有3种投法.根据分步乘法计数原理，共有种投法.【名师点睛】对于一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，求解的关键是明确要完成的一件事是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.对于本题，若是将3封信投入到4个信箱中，则共有种不同的投法.1．有不同的红球5个，不同的白球4个.从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有A．9种B．16种C．20种D．32种2．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有A．24种B．9种C．3种D．26种3．现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有A．4种B．6种C．8种D．12种4．由组成的无重复数字的五位偶数共有A. 个B. 个C. 个D. 个5．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守当地某月日至日天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为A．5B．24C．32D．646．一个三位数的密码，每一位都由0~4的5个数字随机组成，则不同的密码种数是_________(用数字作答). 7．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有_________个(用数字作答).8．7人站成两排队列，前排3人，后排4人.现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为_________(用数字作答).9．某单位职工义务献血，在体检合格的人中,型血的共有28人，型血的共有7人，B型血的共有9人,AB 型血的共有3人.（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？10．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选两人做发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？11．用红、黄、蓝、绿4种颜色为一个五棱锥的六个顶点着色,要求每一条棱的两个端点着不同的颜色,则不同的着色方案共有A．120种B．140种C．180种D．240种12．现有某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为__________．13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33,⋯,99.3位回文数有90个：101,111,121, ⋯,191,202, ⋯,999.则4位回文数有________个；2n＋1(n∈)位回文数有________个.14．不定方程的非负整数解的个数为.15．某印刷厂的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？16．（xx新课标全国Ⅱ）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24B．18C．12D．917．（xx安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有A．24对B．30对C．48对D．60对1．C 【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，要取两个不同颜色的球，首先取一个红球，有5种结果，再取一个白球，有4种结果，根据分步计数原理，得到共有5×4=20种结果.2．B 【解析】根据分类加法计数原理可得，不同的选法有4+3+2=9种，故选B.3．B 【解析】首先给下面一个涂色，有三种涂色方法，再给上面的最左边涂色，有两种涂色方法，中间一块只有一种涂色方法，右边的一块只有一种涂色方法，根据分步计数原理，得共有种不同的涂色方法. 4．B 【解析】分两类：第一类，若五位数的个位数是，则有个偶数；第二类，若五位数的个位数是，由于不排首位，因此首位只能排中的一个，依据分步计数原理可得个偶数.由分类加法计数原理，可得所有无重复数字的五位偶数的个数为，故选B .5．D 【解析】日至日，分别为，有天奇数日，天偶数日，第一步，安排奇数日出行，每天都有种选择，共有种不同的用车方案；第二步，安排偶数日出行，分两类，第一类，先选天安排甲的车，另外一天安排其他的车，有种不同的用车方案；第二类，不安排甲的车，每天都有种选择，共有种不同的用车方案，共有种不同的用车方案，根据分步计数原理，可得不同的用车方案共有种.故选D.6．125 【解析】由分步乘法计数原理，可得不同的密码数有种.7．12【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，组成的数字含有三个1，三个2，三个3，三个4共4种情况，当含有三个1时，“好数”为2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141；当含有三个2时，“好数”为2221；当含有三个3时，“好数”为3331；当含有三个4时，“好数”为4441.根据分类加法计数原理，得到“好数”共有12个.8．360 【解析】分三个步骤：第一步，先从甲、乙、丙三个人中选出一个人加入前排，有3种方法；第二步，将这个人加入前排的4个空位中，有4种方法；第三步，再依次将剩余两人加入后排.先加入的一个人有5种方法，后加入的那个人有6种方法.由分步计数原理，可得不同的加入方法种数为.9．【解析】从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.（1）任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,这件“任选1人去献血”的事情都能完成,所以由分类加法计数原理,得共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法.（2）要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的事情才完成,所以由分步乘法计数原理,得共有28×7×9×3＝5292种不同的选法.10．【解析】（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.根据分类加法计数原理，得共有N＝7＋8＋9＋10＝34(种)不同的选法.（2）分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.根据分步乘法计数原理，得共有N＝7×8×9×10＝5040(种)不同的选法.（3）分六类，每类又分两步：第一类，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；第二类，从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；第三类，从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；第四类，从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；第五类，从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；第六类，从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法.所以，共有N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)不同的选法.11．A 【解析】设五棱锥S-ABCDE,先涂顶点S有4种不同的方法;接着涂顶点A只有3种不同的方法;再接着涂顶点B有2种不同的方法;再涂C点时,若C与A的颜色相同,则D有2种不同的涂法,E只有1种涂法,若C与A的颜色不相同,C只有1种涂法,若D与A的颜色相同,E有2种不同的涂法;若D与A的颜色不相同,则E只有1种涂法,根据分类加法计数原理与分步乘法计数原理可知,不同的着色方案共有4×3×2×[1×2×1+1×(1×2+1×1)]=120种.12．【解析】由题意知m的可能取值为1,2,3，…，7；n的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m，n，则若m＝1，n可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理，m取2,3，…，7时，n也有9种情况，故m，n 的取值情况共有7×9＝63种．若m，n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7，n的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为.13．90; 9×10n 【解析】4位回文数的特点为中间两位相同,千位和个位相同但不能为0.第一步,选千位数字,共有9种选法;第二步,选中间两位数字,有10种选法,故4位回文数有9.对于2n ＋1(n ∈ )位回文数，第一步,选左边第一个数字,共有9种选法;第二步,分别选左边第2,3,4,…,n ,n ＋1个数字,共有10种选法,故2n ＋1(n ∈ )位回文数有914．【解析】令，则，这时1,2,3,,10,10,9,,1y z =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅共种可能；若，则，这时1,2,3,,9,9,8,,1y z =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅共种可能；若，则，这时1,2,3,,8,8,7,,1y z =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅共种可能；…；若，共种可能.所以共有种可能；若则1,2,,11,11,10,,1y z =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，共有种可能；同理，若则1,2,,11,11,10,,1x z =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，共有11种可能；若则1,2,,11,11,10,,1x y =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，共有种可能，这样共有种可能.另外，还有0,0,12;0,12,0;12,0,0=========z y x z y x z y x 三种可能，所以总共有种可能，故不定方程的非负整数解的个数为，应填.15．【解析】首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准.下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有3×1＝3种选法.第二类：2人中被选出一人，有2种选法.若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步乘法计数原理知共有2×3×2＝12种选法.再由分类加法计数原理知共有6＋12＝18种选法.第三类：2人全被选出，同理共有16种选法.所以共有3＋18＋16＝37种选法.16．B 【解析】由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短路径的条数为6，再从F 处到G 处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.17．C 【解析】如图，在上底面中选，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.27021 698D 榍m30231 7617 瘗` 35589 8B05 謅27999 6D5F 浟30678 77D6 矖20046 4E4E 乎39970 9C22 鰢35420 8A5C 詜34974 889E 袞@精品文档实用文档。

2019-2020年高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理3课后导练新人教A版选修基础达标1.将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有( )A.8B.15C.125D.243解析：每名大学生有3种不同的分配方式，所以共有35种不同的分配方式.故选D.2.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有( )A.6种B.36种C.63种D.64种答案：C3.某班一天上午排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排一、四节，则不同排法的种数为( )A.24B.22C.20D.12解析：先排体育课，只能排在二、三节，有两种排法；第二步排语文，有3种方法；第三步排数学，有2种方法；第四步排外语，只有1种方法，故共有N=2×3×2×1=12种排法，故选D.4.用1，5，9，13中任意一个数作为分子，4，8，12，16中任意一个数作为分母，可构造________个不同的真分数.解析：设构造的真分数为，其中m∈{1，5，9，13}，n∈{4，8，12，16}，且m＜n，若m=1，则n有4种选法；若m=5，则n有3种选法；若m=9，则n有2种选法；若m=13，则n有1种选法，故可构造的真分数个数为4+3+2+1=10种.综合运用5.某演出队有8名歌舞演员，其中6人会表演舞蹈节目，有5人会表演歌唱节目，今从这8人中选出2人，一人表演舞蹈，一人表演歌唱，则选法共有( )A.24种B.27种C.28种D.36种解析：设会表演舞蹈节目的6人组成集合A，会表演歌唱节目的5人组成集合B，则A∩B 中的元素个数为3个，把这三个称为“全能选手”.若按入选的选手中含有n个“全能选手”可分三大类：含0个，含1个，含2个.第1类的选法种类为3×2=6个；第2类的选法种数为3×2+3×3=15个；第3类的选法种数为3×2=6种.由加法原理可得选法共有N=6+15+6=27种，故选B.6.已知：m∈{2，5，8，9}，n∈{1，3，4，7}，则方程=1表示的焦点在x轴上的不同椭圆个数为( )A.12B.16C.8D.10解析：由题意m＞n，可用分类计数原理求得共有N=1+3+4+4=12个，选A.7.由n×n个边长为1的正方形拼成的正方形棋盘中，由若干个小方格能拼成的所有正方形的数目是( )A.nB.n2C.·(n+1)·(2n+1)·nD.n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1解析：边长分别为1，2，…，n的正方形的数目分别是n2，(n-1)2，…，12个，故由加法原理可得所有正方形的数目为n2+(n-1)2+…+12=n(n+1)(2n+1)，故选C.拓展探究8.设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动.那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有多少种?解析：如图所示，(1)青蛙经过3次从A点跳到D点，有且只有2种情况，即有2种跳法.(2)青蛙跳完5次停止跳动，说明它在跳到第3次时没有到达D点.又每次跳动不分方向，有2种方向可能.所以前3次有2×2×2=8种跳法.由(1)知应减去2种到达D点的跳法，故前3次的跳法是8-2=6种；后两次(显然是分步)共有2×2=4种跳法.故跳5次停跳的方法有6×4=24种.综上，这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有26种.备选习题9.电子计算机的输入纸带每排8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生___________种不同信息.解析：产生一种信息需分8步，每步有两种选择方法，由分步计数原理可得共可产生N=28=256(种)不同信息.10.圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为___________. 解析：把和圆心三点共线的两个顶点视为一组，共可分为n组，每组顶点和剩余的任一个顶点均可构成一个直角三角形，共可形成2(n-1)个直角三角形，由分类计数原理可得所求直角三角形的个数共有：N=n·2(n-1)=2n(n-1)(个)11.若直线方程ax+by=0中的a、b可以从0，1，2，3，4这五个数中任取两个不同的数字，则该方程表示的不同的直线共有多少条?解析：可按a、b是否为0进行分类：第一类，a或b中有一个取0时，方程表示不同直线为x=0或y=0，共2条.第二类，a，b都不取0时，确定a的取值有4种方法，确定b的取值有3种方法，共有4×3=12(种).但是，当a=1，b=2与a=2，b=4时，方程表示同一直线；类似地，还有a=2，b=1与a=4，b=2的情况.综上所述，方程表示的不同的直线共有2+12-2=12(条).12.我国使用的明码电报号码是用4个数字(从0到9)代表一个汉字的，问一共可以表示多少个不同的汉字?解析：4个数字均可从0到9这10个数字中任取一个.由分步计数原理，能够表示不同的汉字有104=10 000(个).13.用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片，每套卡牛中写上A、B、C、D、E字母的卡片各一张，若从这15张卡片中，每次取出5张，要求字母不同且3色齐全的取法有多少种? 解析：取出5张卡片字母不同的取法有35=243(种)；取出5张卡片字母不同且至少缺一种颜色的取法共有3×25=96(种).至少缺一种颜色，不妨以至少缺红色为例：因为所选的5张卡片字母不同，颜色可从黄绿中任选，故选出的卡片有缺红、黄或缺红、绿两种可能.同样，在至少缺黄色时，存在缺黄、红或黄、绿两种可能；在至少缺绿色时，存在缺绿、红或绿、黄两种可能.这样，在排除至少缺一种颜色的取法时，将同时缺两种颜色的3种情况，排除了两次，应再加上.故取出5张卡片字母不同且颜色齐全的取法共有N=243-96+3=150(种).2019-2020年高中数学第一章计数原理1.2.1排列概念与排列数公式1学案新人教A版选修[学习目标]1．理解并掌握排列的概念．2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．[知识链接]1．同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？答由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素．2．排列与排列数的区别是什么？答“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数．[预习导引]1．排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A mn 表示． 3．排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(n ，m ∈N *，m ≤n )＝n ！（n －m ）！.要点一 排列的概念例1 判断下列问题是否是排列问题(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解 (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． ∴(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题．规律方法 确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认． (1)首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题．(2)其次要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题，而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．跟踪演练1 下列问题是排列问题吗？并说明理由．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M ＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1?解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a ＞b ，a ，b 的大小关系一定；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，不管a ＞b 还是a ＜b ，方程x 2a 2－y 2b 2＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． 要点二 列举法解决排列问题例2 (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a ，b ，c ，d 中任取3个元素的所有排列． 解 (1)由题意作树形图，如图．故所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个． (2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc ，abd ，acb ，acd ，adb ，adc ，bac ，bad ，bca ，bcd ，bda ，bdc ，cab ，cad ，cba ，cbd ，cda ，cdb ，dab ，dac ，dba ，dbc ，dca ，dcb ，共有24个．规律方法 “树形图”在解决排列问题个数不多的情况时，是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．跟踪演练2 将A ，B ，C ，D 四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A 不排在第一，B 不排在第二，C 不排在第三，D 不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法． 解 树形图为(如图)：由树形图知，所有排法为BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA ，共有9种排法．要点三 排列数公式的应用 例3 求解下列问题：(1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)； (2)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(3)解方程：A 42x ＋1＝140A 3x .解 (1)因为55－n ，56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15(个)，所以(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n ； (2)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 ＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1； (3)根据原方程，x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N * 解得x ≥3，x ∈N *.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)． 因为x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)．即4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝534(因为x 为整数，所以应舍去)．所以原方程的解为x ＝3.规律方法 1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m 较小时的含排列数的方程和不等式问题．2．排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算． 跟踪演练3 (1)解不等式：A x ＋28＜6A x8；(2)证明 A n ＋1n ＋1－A n n ＝n A n n ，并用此结论计算A 11＋2A 22＋3A 33＋…＋8A 88. (1)解 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧8！[8－（x ＋2）]！＜6×8！（8－x ）！，x ＋2≤8且x ∈N *，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－15x ＋50＜0，x ≤6且x ∈N *. 即5＜x ≤6且x ∈N *，从而解得x ＝6. (2)证明 A n ＋1n ＋1－A n n ＝(n ＋1)！－n! ＝(n ＋1)n ！－n ！＝n ·n ！＝n A nn .A11＋2A22＋3A33＋…＋8A88＝(A22－A11)＋(A33－A22)＋…＋(A88－A77)＋(A99－A88)＝A99－A11＝9！－1＝362 879.题型四排列的简单应用例4 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个科研小课题由高二·三班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研课题，高二·三班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？解(1)从5个课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法是A35＝5×4×3＝60(种)．(2)3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题，共有5×5×5＝125种不同的安排方法．跟踪演练4 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的数？(3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？解(1)A36＝120(个)．(2)每掷一次，出现的数字均有6种可能性，故有6×6×6＝216(个)．(3)两个数字相同有三种可能性，即第一、二位，第二、三位，第三、一位相同，而每种情况有6×5种，故有3×6×5＝90(个).1．下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算．A．①④ B．①② C．④ D．①③④答案 A解析根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题．2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙答案 C解析选出两人，两人的不同顺序都要考虑．3．设m∈N*，且m<15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于( )A．A615－m B．A15－m20－mC．A620－m D．A520－m答案 C解析因为15－m，16－m，…，20－m中的最大数为20－m，且共有20－m－(15－m)＋1＝6(个)．所以(15－m)(16－m)…(20－m)＝A620－m.4．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．答案 1 680解析将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用.一、基础达标1.A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36答案 D解析 A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36.2．18×17×16×…×9×8＝( )A ．A 818 B ．A 918C ．A 1018 D ．A 1118答案 D3．若x ＝n ！3！，则x ＝( )A ．A 3n B ．A n －3nC ．A n3 D ．A 3n －3答案 B4．与A 710·A 22不等的是( )A ．A 910 B ．81A 88C ．10A 99D ．A 1010答案 B5．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为 ( )A ．5B ．3C ．6D ．7答案 A6．若A mn ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝________，m ＝________.答案 17 147．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？解 坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A 610＝151 200种坐法． 二、能力提升8．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( )A ．50B ．60C ．120D ．90答案 C解析 5本书进行全排列，A 55＝120.9．(xx·四川卷)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是 ( )A ．9B ．10C ．18D ．20答案 C解析 首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A 25＝20种排法， 因为31＝93，13＝39，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是20－2＝18.10．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案(用数字作答)． 答案 60解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A 35＝5×4×3＝60(种)．11．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？ 解 (1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A 216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A 28×2＋1＝8×7×2＋1＝113. 12．判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信．解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A 给B 写信与B 给A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．三、探究与创新13．一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解 由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，∴A 2n ＋m －A 2n ＝62， 即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62.∴m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，∵m ＜2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31， 解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．。