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(原创)1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (2课时)

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第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共40张PPT)

第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共40张PPT)

数为A45＝120. 故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)． 答案：1 080
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
1.1.1《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件(优秀经典公开课比赛课件)

1.1.1《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件(优秀经典公开课比赛课件)

步计数原理
[学习目标] 1.通过实例，能总结出分 类加法计数原理、分步乘法计数原理(重 点)． 2.正确地理解“完成一件事情” 的含义，能根据具体问题的特征，选择 “分类”或“分步”(易混点)． 3.会用 分类加法计数原理或分步乘法计数原理 分析和解决一些简单的实际问题(难点)．
05798415
10×10× 10× 10=104 分析: 10× 9 × 8 × 7=5040
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不 同的选法？
例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后 面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同
的电话号码? 分析:
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的
各步之间是相关联的
课堂练习
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地 有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙 地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法？
不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
2020-2021学年数学人教A版选修2-3课件：1-1-2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的

2020-2021学年数学人教A版选修2-3课件：1-1-2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的

(2)如题图 2，当 a1，a3 不同色时，有 3×2×1×1＝6(种)种植 方法，当 a1，a3 同色时，有 3×2×2×1＝12(种)种植方法，由分类 加法计数原理，共有 6＋12＝18(种)种植方法．
1涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的 区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图 形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘 法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进 行分类，每一类再进行分步.
第一步：选取左边第一个位置上的数字，有 5 种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有 4 种选取方法； 第三步：选取左边第三个位置上的数字，有 3 种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 2 种选取方法． 由分步乘法计数原理，可组成不同的无重复数字的四位密码 共有 5×4×3×2＝120(个)．
(2)当 c≠0 时，a 有 3 种取法，b 有 3 种取法，c 有 4 种取法， 其中任意两条直线都不相同，故这样的直线有 3×3×4＝36 条．
由分类加法计数原理可得符合条件的直线共有 7＋36＝43 条．
本题根据 c 是否为 0 来进行分类，当 c＝0 时，注意排除重 复的直线；当 c≠0 时，注意分步计算.
[难点] 利用两个计数原理合理地进行分类和分步．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题Байду номын сангаас 课时作业
知识点 两个计数原理的综合应用
[填一填] 1．两个计数原理在解决计数问题中的方法 用两个计数原理解决计数问题时最重要的是在开始计算之 前要进行仔细分析需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“ 不重不漏 ”，分类后再对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
课件12：§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课件12：§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类，要做到不重不漏．
2. 分步乘法计数原理 (1)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1 步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完 成这件事的不同方法共有N＝m·n种． (2)分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方 法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事的不 同方法共有N＝m1·m2·…·mn种．
类型2 分步乘法计数原理 典例2 已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8， 9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个 数有____2_4___个． 【解析】圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别 有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示 不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．
(3)分为三类： 第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原 理知，不同的选法有5×2＝10(种)． 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，不同的选法有 5×7＝35(种)． 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，不同的选法有 2×7＝14(种)． 综上所述，不同的选法有10＋35＋14＝59(种)．
归纳升华 解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道 应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分 该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真 审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活 性很大，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则 是“化繁为简”．
变式训练 一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡， 另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡． (1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共 有多少种不同的取法？ (2)某人的手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联 通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？
1.1分类加法计数原理与分步计数乘法原理(2)

1.1分类加法计数原理与分步计数乘法原理(2)

1.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理(2) 与分步乘法计数原理(2)
计数 1.分类 ──类类相加( 1.分类──类类相加(把做一件事的方法 分类 ──类类相加 N = m + m2 +L+ mn 分类) 分类) 1 2.分步 ──步步相乘 分步──步步相乘( 2.分步 ──步步相乘(把做一件事分几步 N = m × m2 ×L× mn 来进行) 来进行) 1 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 具体运用时,要弄清是分类,还是分步. 具体运用时 ,要弄清是分类,还是分步.
分析： 分析：整个模块的任 意一条路径都分两步 完成： 完成：第1步是从开 步是从开 始执行到A执行到结束。 而第步可由子模块1 而第步可由子模块 或子模块2或子模块 或子模块 或子模块3 或子模块 来完成； 来完成；第二步可由 子模块4或子模块 或子模块5来 子模块 或子模块 来 完成。因此， 完成。因此，分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。 个计数原理。
随着人们生活水平的提高， 例9 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部 门出台了一种汽车牌照组成办法， 门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都 必须有３个不重复的英文字母和３ 必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯 数字，并且３个字母必须合成一组出现， 数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也 必须合成一组出现， 必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车 上牌照？ 上牌照？
4×4×…×4 ＝4100 ×
例7 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与 底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因 此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计 数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要 对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来 表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位， 每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字， 2×2×…×2 ＝28=256 × 一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个 汉字至少要用多少个字节表示？
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1-2课时课件

1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1-2课时课件

(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多 少种不同取法?
N＝4 ×3×2＝24
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
伯数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的 座位编号，有多少种不同的号码？
分析：解决这个问题可以分为几步？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
9种
B
9种
6 × 9 =54
思考：这两个问题有什么共同特征？
(2)分步计数原理 （乘法原理） 做一件事情，完成它需要分成两个 步骤，做第一步有m种不同的方法， 做第二步有n种不同的方法，那么完 成这件事有N=m×n种不同的方法。
分步计数原理推广 做一件事情，完成它需要分成n个 步骤，做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法，……， 做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法。
二、探究新知 （1）分类计数原理（加法原理）
做一件事情，完成它可以有两类 不同方案,在第一类方案中有m种不 同的方法,在第二类方案中有n种不 同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法。Leabharlann 2、概念辨析（课后练习第3题）
数学112《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件

数学112《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件


例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9， 问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步， 选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
例5.计算机编程人员在编
开始
写好程序以后要对程序进
行测试。程序员需要知道
到底有多少条执行路（即 子模块1 程序从开始到结束的线），18条执行路径 以便知道需要提供多少个
子模块2 45条执行路径
子模块3 28条执行路径
测试数据。一般的，一个
A
程序模块又许多子模块组
成，它的一个具有许多执
行路径的程序模块。问： 这个程序模块有多少条执
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成
这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 45 种 .
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得 其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种
故有n=5×５×５×５= 54 种 .
子模块3 28条执行路径
而第步可由子模块1
A
或子模块2或子模块3
来完成；第二步可由
子模块4或子模块5来 完成。因此，分析一
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
条指令在整个模块的
执行路径需要用到两
个计数原理。
结束
2）在实际测试中，程序 员总是把每一个子模块看 成一个黑箱，即通过只考 察是否执行了正确的子模 块的方式来测试整个模块。18条子执模行块路1 径 这样，他可以先分别单独 测试5个模块，以考察每 个子模块的工作是否正常。 总共需要的测试次数为：
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案

分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案

分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案
高二数学创优课教案
 高中二年级《数学》选修2-3第一章:计数原理
 §1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（第二课时）
 教材地位：
 分类计数原理和分步计数原作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理由于其思想方法独特，它也是培养和发展抽象思维能力和逻辑思维能力的好素材。

 教材作用：
 分类计数原理和分步计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法。

它起到承前启后的作用：它可以弥补列举法一一数出这个数的不足，使其计数时更加灵活，同时又为研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫。

 一、教学目标：
 1、知识与技能：
 （1）进一步熟悉分类计数原理与分步计数原理的内容.
 （2）归纳总结分类或分步标准的确。

( 人教A版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 (共27张PPT)

( 人教A版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 (共27张PPT)


3．商店里有上衣 15 种，裤子 18 种，某人要买一件上衣或一条裤子，共有________ 种不同的选法，要买上衣、裤子各一件，共有________种不同的选法． 解析：要买一件上衣或一条裤子只有 15＋18＝33 种；要买上衣、裤子各一件共有 15×18＝270 种． 答案：33 270
探究一 分类加法计数原理
分类讨论思想解决排数问题 [典例] 用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字且比 2 015 大的四位偶数？ [解析] 解法一 按末位是 0,2,4 分为三类： 第一类，末位是 0 的有 4×4×3＝48 个； 第二类，末位是 2 的有 3×4×3＝36 个； 第三类，末位是 4 的有 3×4×3＝36 个． 其中 2 014 不合题意，应去除， 由分类加法计数原理，得 N＝48＋36＋36－1＝119 个．
[双基自测] 1．一个科技小组有 3 名男同学，5 名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，不同 的选派方法共有________种． 解析：任选一名同学参加学科竞赛不同的选派方法有 3＋5＝8 种． 答案：8
2．2016 年猴年春节晚会上，某一舞蹈节目共有 6 名男演员，6 名女演员．现选一男 演员，一女演员作为领舞演员，不同的选法种数为________． 解析：共有 6×6＝36 种． 答案：36
选法；第 2 步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同选法．故共有 4×3＝
12 种不同的配法．
答案：B
3．已知集合 M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的
坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A．18
B．17
应用分类加法计数原理的关键： 用分类加法计数原理计数，关键在于根据问题的特点确定一个适合它的分类标准在这 个分类标准下，完成这件事的任何一种方法只属于某一类，并且分别属于不同种类的 两种方法是不同的．
原创1：1.1分类加法计数原理与分类乘法计数原理

原创1：1.1分类加法计数原理与分类乘法计数原理

根据分步计数原理，有重复数字的四位数有：N=5 × 5 × 5× 5=625（种） 3.由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的四位数？
根据分步计数原理，无重复数字的四位数有：N=5 × 4 × 3× 2=120（种）
巩固练习
4.羊村内的小羊们正热火朝天地举行运动会。绵羊族有8名运动员，盘羊族 有7名运动员，羚羊族有6名运动员。问：
第一章 计数原理
§1.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理
高中数学选修2-3·精品课件
问题探究一：
喜羊羊与灰太狼故事
狼堡
羊村
灰太狼从狼堡 去羊村抓羊，他开飞机去有 2 条航线，骑 摩托车去有 3 条道路．请问灰太狼去羊村一共有几种不 同方法？
问题剖析
灰太狼做什么事情？
从狼堡到羊村抓羊
完成这个事情有几类方法？
区别3
各类办法是互相独立的。
各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
巩固练习
1.灰太狼开着飞机发现羊村正在开运动会，有12只羊在跳远、11只羊在跳 高、9只羊在标枪比赛、13只羊在铁饼比赛。灰太狼要从中抓一只羊，有多 少种不同的选择？ 根据分类计数原理，不同的选法共有:N=12+11+9+13=45（种） 2.由数字1，2，3，4，5可以组成多少种可以有重复数字的四位数？
例4.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种 称为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U 表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个 位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基 组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
高二数学之人教A版数学2-3全册课件：第一章 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

高二数学之人教A版数学2-3全册课件：第一章 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理


3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a，b 组成复 数 a＋bi，其中虚数有________． 解析：第 1 步取 b 的数，有 6 种方法；第 2 步取 a 的 数，也有 6 种方法．根据分步乘法计数原理，共有 6×6 ＝36 种方法． 答案：36
4．一学习小组有 4 名男生，3 名女生，任选一名学生当数学课 代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长， 共有________种不同选法． 解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选， 有 4 种选法；另一类是从女生中选，有 3 种选法．根据分类加 法计数原理，共有 4＋3＝7 种不同选法． 若选男女生各一名当组长，需分两步：第 1 步，从男生中选一 名，有 4 种选法；第 2 步，从女生中选一名，有 3 种选法．根 据分步乘法计数原理，共有 4×3＝12 种不同选法．
(3)可分两类，每一类又分两步． 第1类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选 法； 第2类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选 法． 由分类加法计数原理知，共有24＋15＝39种选法．
1.计数时出现的“遗漏”
[典例] 有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面，2面，3面在 某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不 同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
(2)分三个步骤完成： 第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法； 第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方 法． 根据分步乘法计数原理，共有2×3×2＝12个满足要求的 三位偶数．
[类题通法] 利用分步乘法计数原理时要注意
2．完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1 种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在 第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝

1.1分类加法与分步乘法计数原理2

练习：1）4封不同的信投入3个不同的信箱共有？种不同的投法。
2）3位高中生准备报考4所高等院校，每人报且报一所， 共有？种不同的报名方法。
1）答：34 2）答：43
总结：若被分配元素为n，接收单位为m， （此二者都指实际意义）则分配方案总数是mn。
弄清谁选谁；若“p选择q”，则应为qp。
巩固：1）5名同学参加了3个课外小组的方法有？ 2）5名同学参加了3项比赛项目，冠军获得者的情况？
课下讨论：
某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中一种 乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会 钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？
解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会 钢琴又会小号，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人， 把会钢琴、小号各1人的选法分为两类：
第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一
Hale Waihona Puke 例4： 从－3，－2，－1，0，1，2，
3中任取三个不同的数作为抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的系数，如果抛物 线过原点，且顶点在第一象限，问 这样的抛物线共有多少条？
c取值 c＝0
1种
a取值 a＜0
3种
b取值 b＞0
3种
故N＝3×3×1＝9（种）
例5：用5种不同颜色给图中A，B，C，
D四个区域涂色，每个区域只涂一种
颜色，相邻区域的颜色不同，求共
有多少种不同的涂色方法？
A5
4B
C 3 D3
故N＝5×4×3×3＝180（种）
课堂练习：
练习1. 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种? 解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步 完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 故有根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数 共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。

【高中数学】分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用(第2课时)课件人教A版2019选择性必修第三册


两个计数原理的区别与联系
用两个计数原理解决问题时，要明确是需要分类还是需要分步，有时，可能既 要分类又要分步
相同点 不同点 注意点
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
用来计算完成一件事的方法种类
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独 每步依次完成才算完成这件事(每步
立完成这件事
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各 种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这 件事，关键词是“分类”；
分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步 骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做 完这件事，关键词是“分步”.
例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A~G或U~Z，后两个要求用数字1 ~9，最多可以给多少个程序命名？
引导探例究题讲解
例8 通常，我国民用汽车号牌的编码由两部分组成：第一部分为由汉字表示的 省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代码，第二部分为由阿 拉伯数字和英文字母组成的序号. 其中，序号的编码规则为： （1）由10个阿拉伯数字和除O、I之外的24个英文字母组成； （2）最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张 汽车号牌？
当堂诊学
(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步： 第一步，定个位，只能从 1，3 中任取一个，有 2 种方法，第二步，定首位， 1，2，3，4 中除去用过的一个，还有 3 个，可任取一个，有 3 种方法，第三、 四步把剩下的包括 0 在内的 3 个数字先排百位，有 3 种方法，再排十位，有 2 种 方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位奇数共有 2×3×3×2＝36(个)．

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(高中数学人教A选修2-3)

解析： (1)选一名学生有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班选一名，有50种不同的方法； 第二类：从高二（2）班选一名，有60种不同的方法； 第三类：从高二（3）班选一名，有55种不同的方法.
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50+60+55=165 种不同的方法.
(2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班男生中选有30种不同的方法； 第二类：从高二（2）班男生中选有30种不同的方法； 第三类：从高二（3）班女生中选有20种不同的方法.
2.分步计数原理针对的是“分步”问题， 各个步骤中的方法相互依存，只有各 个步骤都完成才算做完这件事．
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成类类相加 分步完成 步步相乘
每类方案中的每一 每步_依__次__完__成__才
不同点 种完方成法这都 件能 事_独__立___
两类
能
26种 10种
26+10=36种
假如你从南宁到北海，
可以坐直达客车或直达火车，
客车每天有3个班次，火车每天有2个班次，
请问你共有多少种不同的走法客？车1
北海
南宁
客车2
客车3
火车1 火车2 分析：完成从南宁到北海这件事有2类方案， 所以，从从南宁到北海共有3+ 2= 5种方法.
问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征？ 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算
物理学
法学
汉语言文学
工程学
பைடு நூலகம்
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)

1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理(教案).doc

1．1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理( 加法原理) 与分步计数原理( 乘法原理)教学难点：分类计数原理( 加法原理) 与分步计数原理( 乘法原理) 的准确理解授课类型：新授课课时安排： 2 课时教具：多媒体、实物投影仪第一课时引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.1 分类加法计数原理（1）提出问题问题 1.1 ：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题 1.2 ：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车. 如果一天中火车有 3 班，汽车有2 班. 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？种不同的方（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有m法，在第 2 类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N m n种不同的方法.（3）知识应用例1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学. 那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有m1 种不同的方法，在第 2类方案中有m种不同的方法，在第3 类方案中有m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多2少种不同的方法？如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第 1 类办法中有m种不同的方法，在第2 类办法中有m21种不同的方法,, 在第n 类办法中有m种不同的方法. 那么完成这件事共有nN m1 m2mn种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2. 一蚂蚁沿着长方体的棱, 从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？解: 从总体上看, 如, 蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法, 从局部上看每类又需两步完成, 所以,第一类, m1 = 1 × 2 = 2 条第二类, m2 = 1 × 2 = 2 条第三类, m3 = 1 × 2 = 2 条所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有N = 2 + 2 + 2 = 6 条练习1．填空：( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿;( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条．第二课时2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题 2.1 ：用前 6 个大写英文字母和1—9 九个阿拉伯数字，以A, A2 , , ，B1 , B2 , ,1的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6 ×9 = 54 个不同的号码．探究：你能说说这个问题的特征吗？（2）发现新知分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有m法，在第 2 类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N m n种不同的方法.（3）知识应用种不同的方例1. 设某班有男生30 名，女生24 名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第l 步选男生．第 2 步选女生．解：第 1 步，从30 名男生中选出 1 人，有30 种不同选择；第2 步，从24 名女生中选出 1 人，有24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24 =720种不同的选法．探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1 步有m1 种不同的方法，做第 2 步有m2 种不同的方法，做第 3 步有m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？3如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1 步有m1 种不同的方法，做第2 步有m2 种不同的方法,, 做第n 步有m种不同的方法. 那么完成这件事共有nN m1 m2mn种不同的方法. 理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例2 . 如图, 要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 种,第二步, m2 = 2 种,第三步, m3 = 1 种,第四步, m4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1× 1 = 6变式1，如图, 要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？2 若颜色是 2 种，4 种，5 种又会什么样的结果呢？练习2．现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名．( 1 ）从中任选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去 C 村，不同( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？4第三课时3 综合应用例1. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放2 本不同的体育书.①从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3 层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3 层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取 2 本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各 1 本，再要考虑取 1 本计算机书或取 1 本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解：(1) 从书架上任取 1 本书，有 3 类方法：第 1 类方法是从第 1 层取1 本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书，有3 种方法；第3 类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N m m m =4+3+2=9;1 2 3( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成 3 个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第 3 层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N m m m =4×3×2=24 .1 2 3（3）N 4 3 4 2 3 2 26 。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理第二课时精品教案(特色班).doc.doc

§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理【课题】：§1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理【教学目标】：（1）知识与技能掌握分类计数原理和分步计数原理，并能够运用这两个原理解决简单的应用问题；（2）过程与方法通过实例，理解两个基本原理的运用，从而提高分析问题、解决问题的能力，提高学生综合、归纳的能力.（3）情感、态度与价值观通过了解基本原理在生产,生活实际中的应用,使得学生认识数学知识与现实生活的内在联系,增强在现实生活中面对复杂的事物和现象时作出正确分析和准确判断的能力.【教学重点】两个基本原理的运用【教学难点】正确运用两个原理解决问题【教法、学法设计】启发引导式【课前准备】Powerpoint【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习师提出问题1：书架上层放4本不同的语文书，中层放5本不同的数学书，下层放6本不同的英语书，（1）如果从中任取一本书，有多少种不同的取法？（2）如果从中任取三本书，其中包括语文书、数学书、英语书各一本，有多少种不同的取法？解：（1）本题要完成取出一本书这一件事，可以分三类不同的取法：第一类：从上层取一本语文书有4种不同的取法；第二类：从中层取一本数学书有5种不同的取法；第三类：从下层取一本英语书有6种不同的取法；上述取法均能独立完成这件事，所以有4+5+6=18种（2）本题要分成三个步骤：第一步：从上层取一本语文书有4种不同的取法；第二类：从中层取一本数学书有5种不同的取法；第三类：从下层取一本英语书有6种不同的取法；只有三个步骤全部完成才能完成从各取一本书这件事，故完成这件事的方法种数有4×5×6=120种学生回答，投影学生答案.通过问题，达到复习两个基本原理的目的二、例题师提出问题：例1.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A—G或U—Z，后两个要求用数字，问最多可以给多少个程序命名？分析：可以分成三个步骤：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后字符。

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做练习 P6：第1、2、3题
作业布置 P12：A组 第1—5题
1.1 分类加法计数原理 与分步乘法技术原理
（第二课时）
共同点：都是有关“完成一件事情”的所有不同方法的 种数问题。
主要不同点：
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
①的②③成各方每完 该类案一事成方； 类件一直达目的案方。件案相事互 都有相互独立能独n类直立不接；同完
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
答：最多可以给1053个程序命名。
例7.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表 示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成，那么能有多少种不同的RNA分子？
字母 FBCDEA
树形图
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
得到的号码
FABCDE1111 FABCDE2222 FABCDE3333 FABCDE4444 FABCDE5555 FABCDE6666 FABCDE7777 FABCDE8888 FABCDE9999
分析：完成给教室里的座位编号这件事需要 两个步骤， 第1步，确定一个英文字母，有6种不同方法； 第2步，确定一个阿拉伯数字，有9种不同方法；
N m1 m2 mn
种不同的方法。
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘
不同点 每类方案中的每一 种方法都能_独__立___
完成这件事
每步_依__次__完__成__才 算完成这件事情 （每步中的每一种 方法不能独立完成
问题1
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号
两类
能
26种 10种
26+10=36种
你能总结出这类问题的一般解决规律吗？
完成一件事有两类不同的方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有
N= m+ n 种不同的方法。
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下:
第1步：从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2步：从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步：从第3层取1本体育书，有2种方法。 根据分步计数原理，不同取法的种数是： N=4×3×2=24.
解答计数问题的一般思维过程：
完成一件什么事
如何完成这件事
方法的分类
过程的分步
利用加法原理进行计数
利用乘法原理进行计数
1.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
（第一课时）
请思考: 问题1：用一个大写的英文字母
或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共 能够编出多少种不同的号码？
问题剖析
要完成什么事情
完成这个事情有几 类方案 每类方案能否独立 完成这件事情 每类方案中分别有 几种不同的方法 完成这件事情共有 多少种不同的方法
所以，编号共有6×9=54种方法.
完成一件事需要两个步骤，
做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共有
N mn 种不同的方法。
完成一件事需要n个步骤，
做第1步有m1 种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， ……
做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
解：从书架上任取1本书， 有三类方法：
第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法。 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是： N=4+3+2=9.
例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放 着3本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。 （1）从书架上任取1本书，有几种不同的取法？ （2）从书架上的第1、2、3层各取1本书，有几种不同 的取法？ 解：从书架的第1，2，3层各取1本书， 可以分成三个步骤完成：
完步每成各一成骤该个个事；一步步件件骤分步到达骤，事相只都要互相互联系有不n联个完能系不成直；同每接的个完
步骤，才能完成这件事。
例6.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～ 9，问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步， 选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
N m1 m 2 m n 种不同的方法。
思考：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯
数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里 的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：完成给教室里的座位编号编号这件事 分两 步完成： 第1步：先确定一个英文字母 第2步：再确定一个阿拉伯数字
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
5+4=9
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢?
变式：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解 到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专 业,具体情况如下:
A大学
B大学
C大学
生物学
数学
机械制造
化学
会计学
建筑学
医学
信息技术学 广告学
这件事）
注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 步骤完整
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从 中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共 有多少种不同的选法？
解：30×24=720
例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放 着3本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。 （1）从书架上任取1本书，有几种不同的取法？
物理果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类 中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
完成一件事有 n 类不同的方案， 在第1类方案中有 m1 种不同的方法， 在第2类方案中有 m2 种不同的方法， …… 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有