中国科学院考研高等代数

|z| ≤ na, |x| ≤ nh, |y| ≤ nk.
(2) 求证： Hermite 矩阵的特征值都是实数.
(3) 求证：反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数.
六、 ( 15 分) 设 A 是 n 维实线性空间 V 的线性变换, n ≥ 1. 求证： A 至少存在一个一维或者二维的不变 子空间.
七、 ( 20 分) 设循环矩阵 C 为
01
生成的子空间. 求 W ⊥ 的一组标准正交基.
00
11
八、 ( 18 分) 设 T1, T2, · · · , Tn 是数域 F 上线性空间 V 的非零线性变换, 试证明存在向量 α ∈ V , 使得 Ti(α) = 0, i = 1, 2, · · · , n.
7
5. 2013年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
三、 ( 20 分) 已知 n 阶方阵

a21
a1a2 + 1 · · · a1an + 1

A
=

a2a1 + 1
a22
···
a2an + 1


,
···
··· ··· ···


ana1 + 1 ana2 + 1 · · ·
a2n
n
n
其中 ai = 1, a2i = n.
i=1
八、 ( 15 分) 设 A 是 n 阶实方阵, 证明 A 为实对称阵当且仅当 AAT = A2, 其中 AT 表示矩阵 A 的转置.
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4. 2012年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
一、 ( 15 分) 证明：多项式 f (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn 没有重根.

中国科学院研究生院招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效 。

1.（20分）设pq是既约分数，1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，而且()0.pf q=证明 （1）0|p a ，而|n q a ； （2）对任意整数m ，有()|()p mq f m -.110()0 ())|(). , ()()(), n n p p f x f x qx p f x p q qx pq q f x qx p b x b --⎛⎫=--- ⎪⎝⎭=-++证明：由知,在有理数域上，，从而（因为互素，是一个本原多项式，故可设101000 (I),, |, |.n n n n b b a qb a pb q a p b --==-式中，，都是整数，比较两边系数，即得因此（2）由（I ）立得，对任意整数m ，有()|()p mq f m -.2. (20分) 设n 阶方阵1,(||)n i j n A i j ≤≤=-, 其行列式记为n D . 试证明 12440.n n n D D D --++= 并由此求出行列式n D . 证明：1211012.2131230n n n D n n n n --=---- 将第3行加到第1行，再减去第2行的2倍，得0200112210122013(2).213314123134n n n n D n n n n n n n n ---==---------再将第2列加到第1列，得1221222013(2)41424340012221222013013 (2)(2)414014243403444.n n n n n D n n n n n n n n n n n n n n n D D ----=---------=-+--------=-- 即12440.n n n D D D --++=上述差分方程的特征方程2440λλ++=有二重特征根2，故可设12()(2).n n D c nc =+-由120,1D D ==-可定出1211,44c c ==-．从而2(1)(2)n n D n -=---．3. (16分) 已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式为2(1)λ-，试求 20112011.AA -220111201111011A (1)A .0101101020100=2011.0101020101111=01011 2011A A A A A X AX A A X λ--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-=解：由的特征多项式为可知的Jordan 标准形为或如果的Jordan 标准形为，那么，这时如果的Jordan 标准形为，则有可逆矩阵X,使，这时20111111111201111010101012010020100 .020*******X X X X X X X ---⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-2011-20114.（20分）设,,αβγ是3维线性空间V 的一组基，线性变换A 满足(+2+)=(3+4)=(4+5)=αβγαβγββγγ⎧⎪⎨⎪⎩A A A ,,.试求A 在基,2,αβγγ+下的矩阵.解：由题设知+2+=3+4=4+5=αβγαβγββγγ⎧⎪⎨⎪⎩,,.A A A A A A A 从而可求出+65,=-5+4,=43.ααβγββγγβγ=--A A A 于是有+65+3(2+)8,(2+)=6+53(2+)8,=432(2+)5.ααβγαβγγβγβγβγγγβγβγγ=-=--=-+-=-A A A所以A 在基,2,αβγγ+下的矩阵为100332885⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 5. (24分) 已知矩阵222254245-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A .(1) 求A 的特征多项式, 并确定其是否有重根; (2) 求一个正交矩阵P , 使得1PAP -为对角矩阵;(3) 令V 是所有与A 可交换的实矩阵全体,证明V 是一个实数域上的线性空间,并确定V 的维数. 解：（1）A 的特征多项式 2()||(1)(10).f E A λλλ=-=--（2）21055245353535122333P ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，11110PAP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （3）设12,,B B V k R ∈∈，则1122,,AB B A AB B A ==从而 121211()(),()()A B B B B A A kB kB A +=+=，即121,B B V kB V +∈∈．又显然0V ∈，所以V 是的33R ⨯的一上线性子空间，从而是实数域上的线性空间．由1111PAP PBP PBP PAP ----=，11110PAP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，得 11121212233b b PBP b b b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 所以V 是5维的，111111112212233,,,,P E P P E P P E P P E P P E P -----就是V 的一组基. 6. (20分) 设,A B 是两个n 阶复方阵,1n >. (1) 如果AB BA =, 证明,A B 有公共的特征向量;(2) 如果AB BA B μ-=, 其中μ是一个非零复数,那么,A B 是否会有公共的特征向量?回答“是”请给出证明；回答“否”请给出反例. 证明 在nC 中定义线性变换,στ，使(),(),.n x Ax x Bx x C στ==∈则,στ的特征向量分别是,A B 的特征向量．（1）由AB BA =知σττσ=.设0λ是σ的特征值，00{|(),}nV x x x x C λσλ==∈. 对任意0V λα∈，(())()σταστα=()τσα=0(())()τσαλτα==，因而0()V λτα∈，即0V λ是τ的不变子空间．考虑0|V λτ，它是0V λ的一个线性变换，在复数域C 上必有特征值μ，即存在,0V λξξ∈≠，使()τξμξ=．由于0V λξ∈，故ξ是,στ的公共的特征向量，它也是,A B的公共特征向量．（2）AB BA B μ-=知σττσμτ-=，用数学归纳法容易证明对任意的正整数k ，有k k k k σττσμτ-=，于是有()()0k k k tr k tr μτσττσ=-=，从而0.k tr τ= 所以τ为幂零变换，即有正整数m 使0.mτ=这样0就是τ的特征值，设0{|()0}V ατα==，则对任意0V α∈有(())()()()0τσατσασταμτα==-=，即0()V σα∈．就是说0V 是σ的不变子空间．与(1)类似可证,στ有公共的特征向量，它也是,A B 的公共特征向量． 7. (15分) 设A 是n 阶实方阵,其特征多项式有如下分解 1212()det()()()(),s r rrs p E A λλλλλλλλ=-=---其中E 为n 阶单位方阵,诸i λ两两不相等. 试证明A 的Jordan 标准形中以i λ为特征值的Jordan 块的个数等于特征子空间i V λ的维数. 证明：设A 的Jordan 标准形为11rr t J J J J +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中j J 为j j n n ⨯Jordan 块，1,...,j t =．1,...,r J J 是以i λ为特征值的全部Jordan 块. 则 1,1;(),1.j i j j j n j r rank E J n r j t λ-≤≤⎧-=⎨+≤≤⎩于是1()()().ti i ijjj rank E A rank E J rank E J n r λλλ=-=-=-=-∑ 所以特征子空间iV λ的维数为r ，恰为A 的Jordan 标准形中以i λ为特征值的Jordan 块的个数.8. (15分) 设A 是n 阶实方阵,证明A 为实对称矩阵当且仅当2TAA A =, 其中TA 表示矩阵A 的转置.证明：必要性．当A 为实对称矩阵时，显然有2TAA A =．充分性．当2T AA A =时，()()()()()T T T T T T T T T T T T T TTr A A A A Tr AA AA A A A A Tr A A A A Tr A A A A --=--+=-=- ()()0T TTr A A AA Tr AA AA =-=-=，而TA A -为实矩阵，故0TA A -=，即TA A =．。

中国科学院高等代数解：（1）证法1证法2 AB I I B AB I I B A I I A I I B A I n mn m n m n m n -=-=-=00BA I BAI BI I A I I BA I I BA I m m n mn m n mn -=-=-=0.BA I AB I m n -=-∴证明：因为A 为正交矩阵，故其特征值的模长为1.由于1 A ，故可设，于是法1法 2 因为1)(-=n A r ，故方程组0=AX 的解空间是一维的。

若0≠λ，则0**==ξξλA A A ，故0*=ξA ，ξ为*A 的一个特征向量。

若0=λ，则ξ为方程组0=AX 解空间的一组基，又0*=ξAA ，故ξ*A 也是方程组0=AX 的解，于是存在k 使得ξξk A =*，即ξ为*A 的一个特征向量。

},,max{1n k εεε =，则jini nj i iji i h x εεεε∑∑===11,，j i ni nj i ijii kiyεεεε∑∑===11,故∑∑∑∑∑∑=======+≤≤==nj i ni i ji j i nj i ji j i n i nj i ij i i n i i nh h hh x x 1,21221,,11,12,2||||||||||εεεεεεεεεε∑∑∑∑∑∑=======+≤≤==nj i ni i ji j i nj i ji j i ni nj i ij i i ni i nk k kk iy y 1,21221,,11,122||||||||||εεεεεεεεεε于是,nh x ≤ 且nk y ≤。

特征值，并设，于是当0≠λ时必为纯虚数。

因此，（本题结论改为：存在∈λC ，使得)()(A tr A T λ=更恰当）证明：因为T 是线性映射，且满足)()(BA T AB T =，故0)(=-BA AB T ，于是任给n j i ≤≠≤1，都有0)()(=-=ii ij ij ii ij E E E E T E T ，且0)()(=-=-ij ji ji ij jj ii E E E E T E E T ，因此设λ=)(11E T ，则)()()()(1,1A tr E T a ET a A T nj i ni ii ii ijijλ===∑∑==。

中国科学院研究生院招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一． (20分)0122012233)(,)(b x b x b x g a x a x a x a x f ++=+++=是两个实系数多项式，023≠b a 。

这两个多项式的结式定义为如下的行列式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00101021021213223000000d e t ),(b a b b a a b b b a a b b a a b a g f r e s 证明：1. 多项式)(x f 与)(x g 有次数大于等于1的公因式的充分必要条件是存在两个多项式)(),(x v x u ，3))(deg(,2))(deg(<<x v x u ，使得0)()()()(=+x g x v x f x u 。

2. 多项式)(x f 与)(x g 互素的充分必要条件是0),(≠g f res 。

二．(13分) 设021≠n a a a ，计算n 级行列式na a a +++11111111121三． (15分) 设()ij a A = 是n 级实数方阵，满足n i aa ij ijii ,,2,1, =>∑≠，证明 0≠A 。

科目名称：高等代数第1页 共3页四． (10分) 已知n R 中的向量组l βββ,,,21 的秩为r ( > 0 )，证明：该向量组的任何m 个向量组成的部分组m j j ββ,,1 的秩大于等于l m r -+。

五． (10分) 设n n ⨯矩阵A 满足A A =2，证明：秩)(A +秩n E A =-)(，其中E为n 级单位矩阵。

六． (15分) 已知实对称矩阵n n ij a A ⨯=)(是正定矩阵，),,,(21n y y y Y =，证明下面的二次型⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0det ),,,(21Y Y A y y y f T n是负定二次型，其中T Y 表示Y 的转置，M det 表示矩阵M 的行列式。