首都师范大学2001-2012高等代数考研真题

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第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。

2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。

（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n-1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。

4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。

证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。

6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m(x)。

7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。

2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题 （1）1x →=【答】【详解】112(1)lim (1)(2)x x x x x →→-=-+112x x →=+6=-(2)设函数y =f (x )由方程2cos()1x ye xy e +-=-所确定,则曲线y =f (x )在点(0,1)处的法线方程为 . 【答】 x −2y +2=0. 【详解】在等式2cos()1x yexy e +-=-两边对x 求导,得2(2')sin()(')0,x y e y xy y xy +⋅++⋅+=将x =0, y =1代入上式,得'(0) 2.y =-故所求法线方程为11,2y x -=即 x −2y +2=0. (3)()32222sin cos xx xdx ππ-+=⎰【答】8π 【详解】 在区间[,]22ππ-上,32cos x x 是奇函数,22sin cos x x 是偶函数, 故()()322322222222221sin cos cos sin cos sin 24xx xdx x x x x dx xdx ππππππ---+=+=⎰⎰⎰221(1cos 4)8x dx ππ-=-⎰ .8π=(4)过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭且满足关系式'arcsin 1y x +=的曲线方程为 .【答】1arcsin .2y x x =- 【详解】 方法一:原方程'arcsin 1y x =可改写为()'arcsin 1,y x =两边直接积分,得arcsin .y x x c =+又由1()0,2y =解得1.2C =- 故所求曲线方程为：1arcsin .2y x x =-方法二:将原方程写成一阶线性方程的标准形式1'.arcsin y y x=解得11(),arcsin arcsin y e C e dx C x x x -⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰又由1()0,2y =解得1.2C =-故曲线方程为：1arcsin .2y x x =-(5)设方程123111111112a x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦有无穷多个解,则a = . 【答】 -2【详解】 方法一:利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有2111112111011311201112a aA a a a a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦()()()()1120113,001222a a a a a a -⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦可见,只有当a =−2 时才有秩()()23,r A r A ==<对应方程组有无穷多个解. 方法二:当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式为零,即有21111(2)(1)0,11a a a a a=+-= 解得a =−2 或a =1.由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当a =1时,原方程无解,因此只能是a =−2.二、选择题(1)设1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]{}()f f f x 等于 （ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）1,1,0,1,x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ （D ）0,1,()1,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩（2）设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin nx x 是比()1nx e -高阶的无穷小，则正整数n 等于 （ B ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（3）曲线22(1)(3)y x x =--的拐点个数为 （ C ） （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3（4）已知函数()f x 在区间(1,1)δδ-+内具有二阶导数，'()f x 严格单调减少，且(1)'(1)1,f f ==则 （ A ）（A ）在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x <.（B ）在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x >.（C ）在(1,1)δ-内，()f x x <.在(1,1)δ+内，()f x x >. （D ）在(1,1)δ-内，()f x x >.在(1,1)δ+内，()f x x <.（5）设函数f (x) 在定义域内可导，y= f(x) 的图形如右图所示，则导函数y= f' (x) 的图 形为 （ ）三、求22.(21)1dxxx ++⎰解 设tan ,x u =则2sec ,dx udu = 原式222cos (2tan 1)cos 2sin cos du uduu u u u ==++⎰⎰2sin sin 1d uu =+⎰arctan(sin )u C =+ 2arctan()1x C x=++四、设函数z = f(x,y)在点(1,1) 处可微，且(1,1)(1,1)1,3,()(,(,)).f f x f x f x x xϕ∂===∂求31()x d x dxϕ=五、设()x ρρ=是抛物线y =(,)(1)M x y x ≥处的曲率半径，()s s x =使该抛物线上介于点(1,1)A 与M 之间的弧长，计算2223d d ds ds ρρρ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。