河南省豫南九校高二2020-2021学年高二上学期期末联考理科数学试题

豫南九校2020学年上期第三次联考高二数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“若2018a >，则2017a >”的逆命题是（ ） A ．若2017a >，则2018a > B ．若2017a ≤，则2018a > C ．若2017a >，则2018a ≤ D ．若2017a ≤，则2018a ≤2.椭圆2228x y +=的长轴长是（ ） A ．2B．C ．4D．3.若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．54.数列{}n a 的通项公式为323n a n =-，当n S 取到最小时，n =（ ） A ．5B ．6 C. 7D ．85.过抛物线24y x =的焦点F 作与对称轴垂直的直线交抛物线24y x =于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)4x y ++= B ．22(1)4x y -+= C. 22(1)4x y ++= D ．22(1)4x y +-=6.当1x >时不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞C.(,2]-∞ D ．[2,)+∞7.成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列{}n b 中的2b ，3b ，4b ，则数列{}n b 的通项公式为（ ）A ．2n n b =B ．3nn b =C. 12n n b -= D ．13n n b -=8.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，1a =，b =c =（ ）A ．1或2B ．2D ．19.等差数列{}n a 中，*,,,m n s t N ∈，则m n s t +=+是m n s t a a a a +=+的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件 C. 必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10.在ABC ∆中，若sin sin sin 0a A b B c C +-=，则圆22:1C x y +=与直线:0l ax by c ++=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C.相离 D ．不确定11.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若sin cos 0b A B =，且2b ac =，则a cb+的值为（ ）A ．2BC. 2D ．412.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点(2,0)F ，P 为抛物线上的任一点，过点P 作圆22:12340E x y x +-+=的切线，切点分别为M ，N ，则四边形PMEN 的面积最小值为（ ）A B ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线24y ax =（a R ∈且0a ≠）的焦点坐标为 ．14.ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠= ． 15.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，*12(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈，记其前n 项和为n S ，设2018a t =（t 为常数），则2016201520142013S S S S +--= ．（用t 表示）16.已知等比数列{}n a 的前n 项和1133n n S t -=⋅-，则函数(2)(10)(0)x x y x x t++=>+的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值. 18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为(1,3)-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1(3)n n b n a =+，求数列{}n b 前n 项和n S .19.（本题满分12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin A B C C -+sin sin sin sin BA B C=+-. （1）求角A ；（2）若ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆的面积S 的最大值. 20.（本小题满分12分） （1）解不等式22032x x x ->++； （2）已知,,a b c R +∈，求证：11()()4a b c a b c+++≥+. 21.（本小题满分12分）已知命题:p x R ∀∈，240mx x m ++≤. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若有命题:[2,8]q x ∃∈，2log 10m x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，求实数m 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34-. （1）求动点C 的轨迹方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点Q ，且(1,0)F ，求证：90PFQ ∠=︒.豫南九校2020学年上期第三次联考高二数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5: ADCCB 6-10: AABBA 11、12：CD1. 【解析】命题的逆命题需将条件和结论交换，因此逆命题为：若2017a >，则2018a >.2. 【解析】椭圆方程变形为22148x y +=，28a =，∴22a =，长轴长为242a =. 3. 【解析】作出如图可行域，则当2z x y =+经过点P 时，取最大值，而(1,2)P ，∴所求最大值为4，故选C .4. 【解析】∵数列{}n a 的通项公式323n a n =-，∴数列{}n a 为公差为3的递增的等差数列，令3230n a n =-≥可得233n ≥，∴数列{}n a 的前7项为负数，从第8项开始为正数∴S 取最小值时，n 为7，故选C .5. 【解析】由抛物线的性质知AB 为通径，焦点坐标为(1,0)，直径2||24R AB p ===，即2R =，所以圆的标准方程为22(1)4x y -+=，故选B .6. 【解析】∵1x >∴111111x x x x +=-++≥--1(1)131x x -=-，当且仅当111x x -=-即2x =时等号成立，所以最小值为3∴3a ≤，实数a 的取值范围是(,3]-∞ 7. 【解析】设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +，即有312a =，计算得出4a =，根据题意可得41d -+，44+，411d ++成等比数列，即为5d -，8，15d +成等比数列，即有(5)(15)64d d -+=，计算得出1d =（11-舍去），即有4，8，16成等比数列，可得公比为2，则数列{}n b 的通项公式为2222422n n n n b b --==⨯=.8. 【解析】∵2B A =，1a =，b =sin sin a bA B=得：1sin A ===cos A =， 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2133c c =+-， 解得：2c =或1c =（经检验不合题意，舍去），则2c =，故选B .9. 【解析】由等差数列的性质知：*,,,m n s t N ∈，m n s t +=+时m n s t a a a a +=+成立.反之：等差数列{}n a 为常数列，m n s t a a a a +=+对任意*,,,m n s t N ∈成立，故选B . 10. 【解析】因为sin sin sin 0a A b B c C +-=，所以2220a b c +-=，圆心(0,0)C 到直线:0l ax by c ++=的距离1d r ===，故圆22:1C x y +=与直线:0l ax by c ++=相切，故选A .11. 【解析】由sin cos 0b A B =可得sin sin cos 0B A A B -=，从而tan B =，解得3B π=，从2b ac =可联想到余弦定理：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-，所以有222()0a c ac ac a c +-=⇒-=，从而a c =.再由2b ac =可得a b c ==，所以a cb+的值为2.12. 【解析】由题意可知抛物线的方程为28y x =，圆E 的圆心为(6,0)E ，半径为r =设(,)P x y ，则||PM ====.所以当2x =时，切线长||PM PMEN 的面积取得最小值，最小值为min ||PM r ⨯==D . 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 1(0,)16a14. 120︒ 15. t 16.16 13. 【解析】由题意可得214x y a =，所以焦点在y 轴上，且124p a =∴18p a=则焦点坐标为1(0,)16a.14. 【解析】方法一：∵2cos 2c B a b =+，∴222222a c b c a b ac +-⨯=+，即222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴120C =︒. 方法二：∵2cos 2c B a b =+，∴2sin cos C B 2(sin cos cos sin )sin C B C B B =++ ∴1cos 2C =-，∴120C =︒. 15. 【解析】2016201520142013S S S S +--2015201620152014a a a a =+++201720162018a a a t =+==.16. 【解析】因为111(1)111n n n a q a a S q q q q -==----，而题中11133333n n n t S t -=⋅-=⋅-，易知133t -=-，故1t =；所以(2)(10)x x y x t ++=+(2)(10)1x x x ++=+91101x x =++++，即92(1)10161y x x ≥+⋅+=+，等号成立条件为9121x x x +=⇒=+，所以最小值为16. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 【解析】法一：如图，设与直线4380x y +-=平行且与抛物线2y x =-相切的直线为430x y b ++=，切线方程与抛物线方程联立得2430y x x y b ⎧=-⎨++=⎩去y 整理得2340x x b --=，则16120b ∆=+=，解得43b =-，所以切线方程为44303x y +-=，抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是这两条平行线间的距离4|8|4353d -==.法二：设2(,)P x x -，则点P 到直线4380x y +-=的距离2169d =+21220|3()|533x =-+2324()533x =-+，在抛物线2y x =-中，x R ∈，所以当23x =时，d 取得最小值43，即抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是4318. 【解析】（1）由题意，得112,33,da a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得12,1.d a =⎧⎨=⎩故数列{}n a 的通项公式为12(1)n a n =+-，即21n a n =-. （2）由（1）知21n a n =-，所以2122n b n n ==+1(1)111()2(1)21n n n n n n +-⋅=⋅-++ 所以n S =111111[(1)()()]22231n n -+-+⋅⋅⋅+-+， 11(1)212(1)n n n =-=++ 19. 【解析】（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .根据sin sin sin sin A B C C -+sin sin sin sin BA B C =+-， 可得a b c bc a b c-+=+-222a b c bc ⇒=+-， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A π<<，所以3A π=. （2）2sin a R A =2sin a R A ⇒=2sin 3π== 所以223b c bc =+-2bc bc bc ≥-=， 所以1sin 2S bc A=13224≤⨯⨯=（b c =时取等号）.20. 【解析】 （1）由不等式22032x x x ->++，得2(2)(32)0x x x -++>，即(2)(1)(2)0x x x -++>，解得21x -<<-，或2x >（2）因为,,0a b c >，所以11()()a b c a b c ++++11[()]()a b c a b c=++++ 11a b cb c a +=++++ 2a b c b c a+=+++224≥+=当且仅当a b c =+时等号成立.21. 【解析】（1）∵x R ∀∈，240mx x m ++≤， ∴0m <且21160m ∆=-≤，解得01144m m m <⎧⎪⎨≤-≥⎪⎩或，∴p 为真命题时，14m ≤-. （2）[2,8]x ∃∈，2log 10[2,8]m x x +≥⇒∃∈，21log m x≥-. 又[2,8]x ∈时，211[1,]log 3x -∈--， ∴1m ≥-.∵p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时， ∴p 真q 假或p 假q 真，当p 假q 真，有114m m ≥-⎧⎪⎨>-⎪⎩，解得14m >-； 当p 真q 假，有114m m <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得1m <-；∴当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，1m <-或14m >-. 22. 【解析】（1）设(,)C x y ，则依题意得34AC BC k k ⋅=-，又(2,0)A -，(2,0)B ，所以有3(0)224y y y x x ⋅=-≠+-， 整理得221(0)43x y y +=≠，即为所求轨迹方程. （2）设直线:l y kx m =+，与223412x y +=联立得2234()12x kx m ++=，即222(34)84120k x kmx m +++-=，依题意222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+-=，即2234k m +=，∴122834km x x k -+=+，得122434kmx x k -==+， ∴2243(,)3434km m P k k -++，而2234k m +=，得43(,)k P m m-，又(4,4)Q k m +，又(1,0)F ，则FP FQ ⋅=u u u r u u u r 43(1,)(3,4)k k m m m--⋅+0=，知FP FQ ⊥u u u r u u u r ，即90PFQ ∠=︒.。

河南省豫南九校2019-2020学年高二上学期期末联考理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若060sin 2018=y ，则='y （ ）A ． 1009B ．31009C ．0D ．20182.在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若4115=a a ，8126=a a ，则=98a a （ ） A ．12 B ．24 C ． 26 D ．323.在空间直角坐标系中，已知)3,2,1(A ，)6,1,2(--B ，)1,2,3(C ，)0,3,4(D ，则直线AB 与CD 的位置关系是（ ）A ． 垂直B ．平行C ． 异面D ． 相交但不垂直 4.若0,0>>y x ，则“xy y x 222=+”的一个充分不必要条件是（ ） A ．y x = B ．y x 2= C. 2=x 且1=y D ．y x =或1=y5.抛物线241y x =的焦点到双曲线1322=-y x 的渐近线距离是（ ） A ．3 B ．22 C. 23 D ．216.下列说法正确的是（ ）A ．“函数)(x f 为奇函数”是“0)0(=f ”的充分不必要条件B ．在ABC ∆中，“B A <”是“B A sin sin <”的既不充分也不必要条件 C.若命题q p ∧为假命题，则q p ,都是假命题D ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”7.已知数列{}n a 的前n 项和3231+=n n a S ，则 {}n a 的通项公式=n a （ ） A ．n n a )21(-= B ．1)21(--=n n a C. 1)21(-=n n a D ．1)21(+-=n n a8.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥042010y x y x y ，则函数3++=y x z 的最大值为（ ）A ．2B ． 4 C. 5 D ．69.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆为锐角三角形，且满足C A C A C B sin cos cos sin 2)cos 21(sin +=+，则下列等式成立的是（ ）A ． b a 2=B ．a b 2= C. B A 2= D ．A B 2=10.函数)()(x g x x f -=的图像在点2=x 处的切线方程是1--=x y ，则=+)2(')2(g g （ ） A ． 7 B ．4 C. 0 D ．-411.已知直三棱柱111C B A ABC -中，0120=∠ABC ，2=AB ，11==CC BC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的正弦值为（ ） A ．23 B ．515 C. 510 D ．3312.已知直线01:=-+y x l 截圆)0(:222>=+Ωr r y x 所得的弦长为14，点N M ,在圆Ω上，且直线03)1()21(:'=--++m y m x m l 过定点P ，若PN PM ⊥，则||MN 的取值范围为（ ）A ． ]32,22[+-B ．]22,22[+- C. ]36,26[+- D ．]26,26[+-二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a ．14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ，且满足022<+-ac b c ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 ．15.已知ABC ∆，4==AC AB ，2=BC ，点D 为AB 延长线上一点，2=BD ，连结CD ，则=∠BDC cos ．16.已知直线)0,0(22>>=-b a by ax 过圆012422=++-+y x y x 的圆心，则1124+++b a 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （1）关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集非空，求实数a 的取值范围； （2）已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值. 18. 等差数列}{n a 中，113221=+a a ，42623-+=a a a ，其前n 项和为n S . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设数列}{n b 满足111-=+n n S b ，其前n 项和为为n T ，求证：)(43*N n T n ∈<. 19. 四棱锥ABCD S -中，BC AD //，CD BC ⊥，060=∠=∠SDC SDA ，DC AD =SD BC 2121==，E 为SD 的中点.（1）求证：平面⊥AEC 平面ABCD ； （2）求BC 与平面CDE 所成角的余弦值.20. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中c b ≠，且C c B b cos cos =，延长线段BC 到点D ，使得44==CD BC ，030=∠CAD .（1）求证：BAC ∠是直角； （2）求D ∠tan 的值.21. 椭圆E 经过点)3,2(A ，对称轴为坐标轴，焦点21,F F 在x 轴上，离心率21=e . （1）求椭圆E 的方程；（2）求21AF F ∠的角平分线所在直线的方程.22.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F 抛物线C 上存在一点),2(t E 到焦点F 的距离等于3. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点)0,1(-K 的直线l 与抛物线C 相交于B A ,两点（B A ,两点在x 轴上方），点A 关于x 轴的对称点为D ，且FB FA ⊥，求ABD ∆的外接圆的方程.河南省豫南九校2019-2020学年高二上学期期末联考理科数学试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1—5CBBCC 6—10DBDAA 11—12CD 1．C【解析】根据求导法则易知0y '=． 2．B【解析】由等比数列的性质有，．3．B【解析】由题意得,(3,3,3),(1,1,1)AB CD =--=-u u u r u u u r ,所以3AB CD =-u u u r u u u r ，所以AB CD u u u r u u u r∥．4．C【解析】，，当且仅当时取等号．故“”是“”的充分不必要条件．5．C【解析】双曲线2213y x -=的焦点(20)，到渐近线距离为2134x y ⇒=的焦点(10)，到渐近线距离为3．（可由抛物线的焦点F （1,0）直接求距离） 6．D【解析】函数()f x 的定义域为R 才成立，故选项A 错误；因为是在三角形中，所以“A B <”是“sin sin A B <”成立的充要条件，故选项B 错误；若命题p q ∧为假命题，则p ,q 至少有一个为假命题，故选项C 错误；故选D ． 7．B【解析】令1n =，得111233S a =+，11a =，当2n ≥时，111233n n S a --=+，所以111133n n n n n S S a a a ---=-=，所以112n n a a -=-，所以数列{}n a 是以1为首项，12-为公比的等比数列，所以11()2n n a -=-．8．D【解析】作出可行域如图，当直线过点C 时，z 最大，由得，所以z的最大值为6．9．A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A ． 10．A 【解析】，又由题意知，．11．C【解析】补成四棱柱1111ABCD A B C D -,则所求角为11,2,BC D BC ∠Q2021221cos603,BD =+-⨯⨯⨯=115C D AB ==,因此1210cos 55BC D ∠==，故选C ．12．D【解析】依题意，21214,2r -=解得2r =，因为直线:(12)(1)30l m x m y m '++--=，故(11)P ，;设MN 的中点为(,)Q x y ，则222OM OQ MQ =+22OQ PQ =+,即22224(1)(1)x y x y =++-+-，化简可得22113()()222x y -+-=，所以点Q 的轨迹是以11(,)22为圆心，62为半径的圆，所以 PQ 的取值范围为6262,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，所以MN 的取值范围为62,62⎡⎤-+⎣⎦．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．314．102e <<15．10416．49 13．【解析】由题意3()42(1)(3)f x x a x a '=--+-是奇函数303a a ⇒-=⇒=． 14．【解析】，，即，即，解得，又，102e ∴<<． 15．【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos 4DBC ∴∠=-，又2110cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，10cos sin 4BDC DBF ∴∠=∠=．16．【解析】圆心为(2,1)-，则代入直线得：222a b +=，即1a b +=，观察所求式子形式；不妨令2,1m a n b =+=+，则411121444m n m n n m a b m n m n +++=+=+++++592444n m m n ≥⋅+=．(当且仅当,4n m m n =即m=2n 时，亦即2a b =时，取“=”；此时2133a b ==,．) 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（1）解：设()2f x x ax a =--．则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-，即()2min 434a a f x +=-≤-解得 6a ≤-或2a ≥．（或由230x ax a --+≤的解集非空得0∆≥亦可得） （2）解：511,540,4254323144554x x y x x x x Q ⎛⎫<∴->∴=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭， 当且仅当15454x x -=-，解得x =1或32x =而35124x x =>∴= 即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =． 18．解：（1）因为121112323()5311a a a a d a d +=++=+=，32624a a a =+-，即1112(2)54a d a d a d +=+++-，得2d =，11a =， 所以1(1)1(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=-．（2）2111(1)1(1)222n S na n n d n n n n =+-=⨯+-⨯=，2211111111()1(1)12(2)22n n b S n n n n n n n +=====--+-+++，11111111111(...)2132435112n T n n n n =-+-+-++-+--++111113()212124n n =+--<++*()n N ∈． 19．解：（1）E Q 为SD 的中点，01,602AD DC SD SDA SDC ==∠=∠=.ED EC AD DC EA ∴====设O 为AC 的中点，连接,EO DO ，则EO AC ⊥， //,AD BC BC CD ⊥Q .AD BC ∴⊥ OD OA OC ∴==，EOC EOD ∴∆≅∆从而EO OD ⊥，AD BC BC CD ⊥Q ⊂=DO AC AB AC ,,Θ面ABCD ，AC DO O =I ，EO ∴⊥面ABCD EO ⊂Q 面AEC ， ∴面AEC ⊥面ABCD（2）设F 为CD 的中点,连接OF EF 、,则OF 平行且等于12AD AD Q ∥BC OF ∴∥BC不难得出CD ⊥面OEF （EO CD ⊥Q FO CD ⊥） ∴面ECD ⊥面OEFOF 在面ECD 射影为EF ，EFO ∠的大小为BC 与面ECD 所成角的大小．设AD a =，则2aOF =，32EF a =,3cos 3OF EFO EF ∠== 即BC 与ECD 改成角的余弦值为33．（亦可以建系完成）20．解：（1）因为cos cos b B c C =由正弦定理，得sin cos sin cos B B C C =， 所以sin 2sin 2B C =，又b c ≠ 所以22B C π=-所以2B C π+=，所以090A ∠=，即BAC ∠为直角。

豫南九校2017-2018学年上期期末联考高二数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A． 1009 B．0 D．20182.）A．12 B．．323.在空间直角坐标系中，）A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直4.）A5.）A．6.下列说法正确的是（）A．BC.D7.）A8.）A ．2B ． 4 C. 5 D．69.）A ．10.（ ）A ． 7B ．4 C. 0 D ．-411.）A12.范围为（）A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.14.的取值范围是．15.16.的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （1（2.18.（1（219..（1（2.（1（2.21.（1（2.22.离等于3.（1（2.试卷答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1—5CBBCC 6—10DBDAA 11—12CD1．C2．B3．B【解析】由题意得4．C是5．C【解析】（可由抛物线的焦点F（1,0）直接求距离）6．D故选项A错误；因为是在三角形中，所以是故选项B错误；则p,q至少有一个为假命题，故选项C错误；故选D．7．B以8．D【解析】作出可行域如图，C6．9．AA．10．A11．C=C ．12．D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1314 15 1613．14，，即，ABE 中，又i nn b =+，则44n mm n．(当且仅当“=”)三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1R（2,4<545x-=x=118．解：（1（219．解：（1OD OA∴==DO O=AC∴⊥面AEC，EO∴面AEC（2,∠，EFO改成角的余弦值为（亦可以建系完成）20．解：（1（221．（1）设椭圆E所以椭圆E（2）由（1）知F1(-2,0)，F2(2,0)，所以直线AF1直线AF2由椭圆E设P(x,y)其斜率为负，不合题意，舍去．22．解：（1（2）解法1因为(=-·FA FB xFA FB=．，所以0解法2FA FB=．。

河南省豫南市级示范性高中2020-2021学年高二上学期联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在ABC 中，若2b =，120A =︒，三角形的面积S =为（ ）A ．3B ．2 C．D ．4 2．在△ABC 中，若tanAtanB ＝tanA ＋tanB ＋1，则cosC 的值是( )A．－2 B．2 C ．12 D ．－12 3．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 4．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn(n∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．(－∞，3] D ．(－∞，3)5．若ABC 的三边为a ，b ，c ，它的面积为2224a b c +-则内角C 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 6．如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为（）A/时 B．/时 C海里/时 D．海里/时7．在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ）A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-9．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1392410a a a a a a ++++等于( ) A ．1514 B ．1213 C ．1316 D ．151610．已知数列{}n a 中，32a =，71a =，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a =（ ） A ．25- B ．2 C ．12 D ．2311．如果f(n)1111(n n 1n 2n 32n =+++⋯++++∈N +),那么f(n+1)-f(n)等于( ) A ．12n 1+ B ．1 2n 2+ C ．11 2n 12n 2+++ D ．11 2n 12n 2-++ 12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －315n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其前20项和为（ ） A ．380－1931155⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．400－2021155⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．420－2031145⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．440－2041155⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题13．在△ABC中，13，则△ABC 的面积为________． 14．已知ABC ∆中的内角为,,A B C ，重心为G ，若2sin 3sin 3sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅=，则cos B = .15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n n a S =-，则数列{}n a 的通项公式是n a =______.16．已知数列{}n a 满足11a =，且当2n ≥时，()2110n n n n a a a ---+=，则n a =______．三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==.（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，5sin 13B =，且,,a b c 成等比数列． （1）求11tan tan A C+的值； （2）若cos 12ac B = ，求ABC S ∆及a c +的值.19．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.20．等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若35,a a 分别是等差数列{}n b 的第4项和第16项，求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .21．已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝（sin A ，sin B ），n ＝（cos B ，cos A ），且m ·n ＝sin 2C .（1）求角C 的大小；（2）若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ·（AB －AC ）＝18，求边c 的长. 22．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前9项和945S =，且248,,a a a 成等比数列．（1）若数列{}n b 满足11+1=2=2+n n n b a b b a ，，求数列{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足112n n n c a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前n 项和n T ．参考答案1．B【分析】利用三角形的面积公式求得c ，由余弦定理求得a ，利用正弦定理求得三角形外接圆的半径.【详解】由三角形的面积公式得1sin 2bc A =1222c c ⨯⨯==，所以a ==，设三角形外接圆的半径为R，由正弦定理得24,2sin a R R A ====. 故选：B【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角形外接圆半径的求法，属于基础题.2．B【解析】由tan tan tan tan 1A B A B =++，得tan tan (1tan tan )A B A B +=--， ∴tan tan tan()11tan tan A B A B A B++==--， ∵tan()tan A B C +=-．∴tan 1C =．又0C π<<，∴,cos cos 442C C ππ===．选B ． 3．B【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+= ,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B A C =⋅=，整理计算即可得出答案.因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列， 所以2,33B AC ππ=+= , 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<<所以3A π=故选B【点睛】 本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.4．D【分析】 根据函数的单调性可得a n+1﹣a n ＞0对于n ∈N *恒成立，建立关系式，解之即可求出k 的取值范围．【详解】∵数列{a n }中()2*n a n kn n N =-∈，且{a n}单调递增 ∴a n+1﹣a n ＞0对于n ∈N *恒成立即（n +1）2﹣k （n+1）﹣（n 2﹣kn ）=2n+1﹣k ＞0对于n ∈N *恒成立∴k ＜2n+1对于n ∈N *恒成立，即k ＜3故选D ．本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n 的取值是解题的关键，属于易错题．5．B【分析】利用三角形的面积公式化简已知条件，结合余弦定理求得C 的大小.【详解】 依题意2221sin 24a b c S ab C +-==，即222sin cos 2a b c C C ab +-==，由于0180C <<，所以45C =.故选：B【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.6．A【分析】根据已知条件，直接利用正弦定理解出MN .【详解】68,45,15PM PNM PMN =∠=︒∠=︒，在PMN ∆ 中有sin120sin 45MN PM MN =⇒=︒︒4MN V ==/时，选A. 【点睛】本题考查正弦定理的使用，属于简单题．7．A【分析】根据递推式可得{}n a 为一个周期为3的数列，求{}n a 中一个周期内的项，利用周期性即可求2019a 的值由114a =-，111(1)n n a n a -=->知 21115a a =-= 321415a a =-= 4131114a a a =-=-= 故数列{}n a 是周期为3的数列，而2019可被3整除 ∴2019345a a ==故选：A【点睛】本题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题8．C【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果.【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=, 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-,故选C .【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.9．C由题{}n a 是等差数列，故139a a a 、、都可用d 表达，又因为139a a a 、、恰好是等比数列，所以有2319a a a =，即可求出d ，从而可求出该等比数列的公比，最后即可求比值．【详解】等差数列{}n a 中，11319128a a a a d a a d ==+=+，，，因为139a a a 、、恰好是某等比数列，所以有2319a a a =，即（211128a d a a d +=+）（），解得1d a =， 所以该等差数列的通项为n a nd = 则139241013913 241016a a a a a a ++++==++++． 故选C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的定义和公比，属基础题．10．C【分析】 令11n n b a =+，根据数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，求得数列{}n b 的通项公式，由此求得11b ，进而求得11a .【详解】 令11n n b a =+，由于数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，即数列n b 是等差数列，依题意331113b a ==+，771112b a ==+，所以数列{}n b 的公差731112373424b b d --===-，所以()()31115333242424n b b n d n n =+-=+-⨯=+，所以111151622424243b =+==，所以1111121,132a a ==+. 故选：C本小题主要考查等差数列通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.11．D【解析】分析：直接计算 f(n+1)-f(n).详解：f (n+1)-f (n )()11111(1)1(1)22212(1)f n n n n n n =++⋯+++-++++++ 11111111……2322122122n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++++-+++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 11111.212212122n n n n n =+-=-+++++ 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）不能等于112122n n +++，因为前面还有项11n +没有减掉. 12．C【分析】直接使用等差数列、等比数列的前n 项和公式求解.【详解】2012320S a a a a =+++⋅⋅⋅+1232020111121322323322035555S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123202011112123203[5555S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()202020111551202031234201124515S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭+⨯⎢⎥⎛⎫⎣⎦⇒=⨯-⨯=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 202031420145S ⎛⎫⇒=-- ⎪⎝⎭ 故本题选C.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列前n 项和公式.13．【解析】在△ ABC 中由1cos 3C =可得sin 3C ==，所以11sin 223ABC S ab C ∆==⨯= 点睛：三角形面积公式为111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===，一般是指已知哪一个角就使用哪一个公式．与面积有关的问题一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角之间的转化． 14．112【解析】试题分析：设,,a b c 为角,,A B C 所对的边，由正弦定理得2330aGA bGB cGC ++= ，则2333()aGA bGB cGC c GA GB +=-=---即()()23330a c GA b c GB -+-=，又因为,GA GB 不共线，则23=0a c -,3=0c -,即23,a c ==所以,23a c ==，2221cos 212a c b B ac +-∴==. 考点：向量及解三角形.15．13(1)n n a -=⋅-【解析】试题分析：∵23n n a S =-，∴1123n n a S --=-，∴两式相减得：12n n n a a a --=，即1n n a a -=-，又∵1123a a =-，即13a =，2223a S =-，即23a =-，符合上式，∴数列{}n a 是以3为首项、-1为公比的等比数列，∴．考点：等比数列的证明和通项公式． 16．12n n+ 【分析】变形递推关系式，再根据叠乘法求结果. 【详解】当2n ≥时，()2110n n n n a a a ---+=，所以()1+11n n na n n a n -=-，因此当2n ≥时，()()12111113111=2111222n n n n n nn nn n na n a n a a a n n n n n --+++++=-⋅-==⋅⋅⋅⨯⨯==--所以1=2n n an+ 因为当1n =时，1112n a n +==，所以1=2n n a n+. 【点睛】本题考查利用叠乘法求数列通项，考查基本分析判断与求解能力，属中档题. 17．（1）3sin 10C+=. (2) 3650S +=. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由同角三角函数关系式由cos A 可得sin A ．由诱导公式和两角和差公式可得sin C ．（Ⅱ）由正弦定理可求得a ,根据三角形面积公式in 12s S ab C =可求得三角形面积． 试题解析：解（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 35B A π==，∴23,sin 35C A A π=-=，∴213sin sin sin 32210C A A A π+⎛⎫=-=+=⎪⎝⎭ 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知33sin ,sin 510A C +==，又∵,3B b π==∴在△ABC 中，由正弦定理，得 ∴sin 6sin 5b A a B ==．∴△ABC的面积116sin 225S ab C ==⨯=12分 考点：1诱导公式,两角和差公式;2正弦定理． 18．(1)135； (2)52ABC S ∆=；a c +=【分析】（1）根据正弦定理与等比数列的定义，得出sin A sin C ＝sin2B ； 再利用三角恒等变换计算11tanA tanC+的值； （2）利用正弦、余弦定理求出三角形的面积和a +c 的值． 【详解】（1）∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =， 由正弦定理得225sin sin sin 169A CB ==. ∴()sin 11cos cos sin cos cos sin sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin C A A C C A C A BA C A C A C A C A C+++=+===51313255169== （2）由cos 12ac B =得cos 0B >，又5sin 13B =，所以12cos 13B =， ∴21213cos b ac B ===。

2020-2021学年河南省九师联盟高二（上）联考数学试卷（理科）（1月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“1x ∀，210x ->”的否定是( ) A ．1x ∀，210x - B ．01x ∃，0210x -C ．01x ∃<，0210x ->D ．01x ∃<，0210x -2．（5分）抛物线24y x =的焦点坐标是( ) A ．(0,1)B ．1(0,)16C ．(1,0)D ．1(16，0)3．（5分）关于x 的方程1420x x m ++-=有正实数解的一个必要不充分条件是( ) A ．0mB ．5mC ．3m >D ．4m4．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线22:3()l y x a b =-+与双曲线C 仅有一个公共点，则双曲线C 的离心率为( ) A ．23B ．3C ．2D ．335．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M 是BD 的中点，则1B M 与平面11AA D D 所成角的余弦值为( )A 6B 3C ．30D 30 6．（5分）若椭圆221(0)4x y m m +=>的离心率为12，则实数m 等于( ) A ．3 B ．1或3 C ．3或163 D ．1或1637．（5分）若“(1x ∀∈，4]，2290x ax -+>”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，3]B ．[3，)+∞C ．(3,)+∞D ．[5，)+∞8．（5分）设曲线C 的方程为441164x y +=，给出关于曲线C 的性质的结论：①曲线C 关于坐标轴对称，也关于坐标原点对称；②曲线C 上的所有点均在椭圆221164x y +=内部．下面判断正确的是( ) A ．①错误②正确B ．①正确②错误C ．①②都错误D ．①②都正确9．（5分）如图，1F ，2F 是双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若点A 为2F B 的中点，且12F B F B ⊥，则12||(F F =)A ．4B ．43C ．6D ．910．（5分）以(0,2)M 为圆心，4为半径的圆与抛物线2:8C x y =相交于A ，B 两点，如图，点P 是优弧AB 上不同于A ，B 的一个动点，过P 作平行于y 轴的直线交抛物线于点N ，则PMN ∆的周长的取值范围是( )A ．(8,12)B ．(8，12]C ．[8，12)D ．[8，12]11．（5分）以下四个关于双曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，m 为正数，若动点P 使||||||PA PB m -=，则动点P 的轨迹是双曲线；②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点；④若双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，若15||2PF =，则21||2PF =或92．其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．412．（5分）已知椭圆22143x y +=上存在两个不同的点A ，B 关于直线0x y m ++=对称，则实数m 的取值范围是( ) A ．(7,7)-B ．3737(,)-C ．77[,]-D ．77(,)-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的 条件．（填“充分”“必要”“充要”中的一个）14．（5分）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若||2||OP OF =，则PFO ∆的面积为 ．15．（5分）如图，二面角l αβ--为135︒，A α∈，B β∈，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为C ，D ，若1AC =，2BD =，2CD =，则AB 的长度为 ．16．（5分）已知抛物线2:C x ay =焦点为F ，准线方程1y =-，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF 并延长交抛物线C 于点D ，若AB 中点的纵坐标为||1AB -，则当AFB ∠最大时，||AD = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p ：方程2215x y m m-=-对应的图形是双曲线；q ：函数2()21([0,1])f x x mx m x =-++-∈的最大值不超过2．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，//BC AD ，90PAB ∠=︒，2PA AB ==，3AD =，1BC =，E 是PB 的中点．（1）证明：PB ⊥平面ADE ； （2）求二面角C AE D --的余弦值．19．（12分）已知过点(2,1)-的双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=． （1）求双曲线C 的方程；（2）若O 是坐标原点，直线:1l y x =-与双曲线C 的两支各有一个交点，且交点分别是A ，B ，AOB ∆的面积为2，求实数的值．20．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，BA AC ⊥，四边形11ACC A 为菱形，且160A AC ∠=︒，E ，F 分别是棱BC ，1BB 的中点，22AC AB ==． （1）求异面直线1A B 和EF 所成角的余弦值； （2）求1C 到平面AEF 的距离．21．（12分）以抛物线2:2(0)C y px p =>的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知||AB =||DE = （1）求抛物线C 的方程；（2）过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点P ，Q ，交直线4x =-于点(G Q 在PG 之间），直线QF 交直线1x =-于点H ．是否存在这样的直线l ，使得//(GH PF F 为C 的焦点）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线2320x y --=与椭圆C 交于P ，Q 两点，R 为P ，Q 的中点，直线OR 的斜率为1-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且与圆22:2O x y +=相交于G ，H 两点，求2||||AB GH ⋅的取值范围．2020-2021学年河南省九师联盟高二（上）联考数学试卷（理科）（1月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“1x ∀，210x ->”的否定是( ) A ．1x ∀，210x - B ．01x ∃，0210x -C ．01x ∃<，0210x ->D ．01x ∃<，0210x -【解答】解：由全称命题的否定是特称命题，可知“1x ∀，210x ->”的否定为“01x ∃，0210x - “． 故选：B ．2．（5分）抛物线24y x =的焦点坐标是( ) A ．(0,1)B ．1(0,)16C ．(1,0)D ．1(16，0)【解答】解：抛物线24y x =的标准方程为214x y =，18p =，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上， 故焦点坐标为1(0,)16， 故选：B ．3．（5分）关于x 的方程1420x x m ++-=有正实数解的一个必要不充分条件是( ) A ．0mB ．5mC ．3m >D ．4m【解答】解：因为1242(21)1x x x m +=+=+-， 当0x >时，21x >，2(21)13x ∴+->，故关于x 的方程1420x x m ++-=有正实数解的充要条件是3m >，所以选项B ，C ，D 都是方程1420x x m ++-=有正实数解的充分条件，排除选项B ，C ，D ， 故选：A ．4．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线:l y x =-与双曲线C 仅有一个公共点，则双曲线C 的离心率为( )A ．23 B ．3 C ．2 D ．332【解答】解：由题意知直线l 过双曲线的右焦点，且与双曲线仅有一个公共点， 则l 与双曲线的一条渐近线平行， 所以3ba=， 所以21()132be a=+=+=．故选：C ．5．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M 是BD 的中点，则1B M 与平面11AA D D 所成角的余弦值为( )A ．6B ．3 C ．30-D ．30 【解答】解：以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为2，则1(2B ，2，2)，(1M ，1，0)，1(1B M =-，1-，2)-， 由DC ⊥平面11AA D D ，所以(0DC =，2，0)是平面11AA D D 的一个法向量， 所以1B M 与平面11AA D D 所成角的正弦值为 122222216sin ||||||26020(1)(1)(2)DC B M DC B M θ⋅====⨯⨯++⨯-+-+-所以所求角的余弦值为cos θ== 故选：D ．6．（5分）若椭圆221(0)4x y m m +=>的离心率为12，则实数m 等于( )A ．3B ．1或3C ．3或163D ．1或163【解答】解：椭圆的方程为：221(0)4x y m m+=>，∴若04m <<，则椭圆的焦点在x 轴，24144m e -==，解得3m =；若4m >，则椭圆的焦点在y 轴，2414m e m -==， 解得163m =． 综上所述，3m =或163m =． 故选：C ．7．（5分）若“(1x ∀∈，4]，2290x ax -+>”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞，3]B ．[3，)+∞C ．(3,)+∞D ．[5，)+∞【解答】解：因为“(1x ∀∈，4]，22290x ax -+>”是假命题， 所以“(1x ∃∈，4]，2290x ax -+”是真命题， 即存在(1x ∈，4]，使92a x x+成立． 又9926x x x x +⋅=等号仅当9x x=， 即3x =时成立， 所以只要26a ， 解得3a ． 故选：B ．8．（5分）设曲线C 的方程为441164x y +=，给出关于曲线C 的性质的结论：①曲线C 关于坐标轴对称，也关于坐标原点对称；②曲线C 上的所有点均在椭圆221164x y +=内部．下面判断正确的是( )A ．①错误②正确B ．①正确②错误C ．①②都错误D ．①②都正确【解答】解：设曲线上点为(,)A x y ，则A 关于原点对称的点为(,)B x y --， 关于x 轴对称的点(,)C x y -，关于y 轴对称的点(,)D x y -， 显然B ，C ，D 点都在曲线上，故①正确， 在曲线C 上，22x -，22y-，而在椭圆中，44x -，22y -，即曲线C 在一个48⨯的矩形内，易判断该矩形在椭圆内部，故②正确． 故选：D ．9．（5分）如图，1F ，2F 是双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若点A 为2F B 的中点，且12F B F B ⊥，则12||(F F =)A ．4B ．43C ．6D ．9【解答】解：因为点A 为2F B 的中点，所以1//OA F B ， 又12F B F B ⊥，所以2OA F B ⊥，12||||||OF OF OB ==， 所以2160AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒， 3tan 603=︒，所以1a =． 所以12||2134F F =+=． 故选：A ．10．（5分）以(0,2)M 为圆心，4为半径的圆与抛物线2:8C x y =相交于A ，B 两点，如图，点P 是优弧AB 上不同于A ，B 的一个动点，过P 作平行于y 轴的直线交抛物线于点N ，则PMN ∆的周长的取值范围是( )A ．(8,12)B ．(8，12]C ．[8，12)D ．[8，12]【解答】解：圆心(0,2)M 也是抛物线C 的焦点，设PN 与抛物线的准线2y =-交于点H ， 根据抛物线的定义，可得||||MN NH =，故PMN ∆的周长||||||||4l NH NP MP PH =++=+． 设点B 的坐标为0(x ，0)y ，则(4,2)B ． 由于点P 不与A 、B 两点重合，也不在y 轴上， 所以||PH 的取值范围为(4,8)，所以PMN ∆的周长的取值范围为(8,12)． 故选：A ．11．（5分）以下四个关于双曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，m 为正数，若动点P 使||||||PA PB m -=，则动点P 的轨迹是双曲线；②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ④若双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，若15||2PF =，则21||2PF =或92．其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：对于①，A ，B 为两个定点，m 为正数，||||PA PB m -=，当||m AB =时，动点P 的轨迹是两条射线，故①错误； 对于②，方程22520x x -+=的两根为12和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；对于③，双曲线221259x y -=的焦点坐标为(，椭圆22135x y +=的焦点坐标为(，故③正确；对于④，因为2c ==，所以13||a c PF +=>，所以点P 在双曲线的左支， 所以21||||2PF PF -=，即25||22PF -=，所以29||2PF =，故④错误． 故正确的命题有②③． 故选：B ．12．（5分）已知椭圆22143x y +=上存在两个不同的点A ，B 关于直线0x y m ++=对称，则实数m 的取值范围是( )A ．(B ．(C ．[D ．( 【解答】解：依题意，设直线AB 的方程是y x n =+，代入椭圆方程化简得22784120x nx n ++-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 的中点是0(D x ，0)y ，则△226428(412)0n n =-->，解得n < 又1287n x x +=-， 所以120427x x n x +==-，0037ny x n =+=． 因为AB 的中点D 在直线0x y m ++=上， 所以43077n nm -++=，所以7n m =，所以7m <解得77m -<<． 故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的 必要 条件．（填“充分”“必要”“充要”中的一个） 【解答】解：因为“非有志者不能至”，所以“能至是有志者”， 因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件． 故答案为：必要．14．（5分）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若||2||OP OF =，则PFO ∆的面积为 23 ．【解答】解：不妨设点P 在第一象限，根据题意可知26c =，所以||6OF =，||2||26OP OF ==，又2tan b POF a ∠==，3sin POF ∠=， 所以13626232FPO S ∆=⨯⨯⨯=．故答案为：23．15．（5分）如图，二面角l αβ--为135︒，A α∈，B β∈，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为C ，D ，若1AC =，2BD =，2CD =，则AB 的长度为 3 ．【解答】解：因为AB AC CD DB =++，AC CD ⊥，CD DB ⊥，所以2222||()21422AB AC CD DB AC CD DB DB AC AC DB =++=+++⋅=+++⋅， 又因为二面角l αβ--为135︒，所以,45AC DB 〈〉=︒，所以2||721232AB =+⨯⨯⨯． 故答案为：3．16．（5分）已知抛物线2:C x ay =焦点为F ，准线方程1y =-，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF 并延长交抛物线C 于点D ，若AB 中点的纵坐标为||1AB -，则当AFB ∠最大时，||AD = 16 ．【解答】解：因为抛物线2:C x ay =的准线方程1y =-，所以14a=，所以4a =， 所以抛物线C 的方程是24x y =．不妨设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(D x ，3)y ， 由抛物线定义得122||||y y AF BF ++=+． 因为12||12y y AB +=-，所以||||2||AF BF AB +=， 所以22222||||||3(|||)2||||6||||2||||1cos 2||||8||||8||||2AF BF AB AF BF AF BF AF BF AF BF AFB AF BF AF BF AF BF +-+-⋅⋅-⋅∠===⋅⋅⋅，当且仅当||||AF BF =时取等号．所以当AFB ∠最大时，AFB ∆为等边三角形，此时A ，B 关于y 轴对称，不妨设10x >，消去y ，得240x --=，所以13x x +=1313)214y y x x +=++=． 所以13||216AD y y =++=． 故答案为：16．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p ：方程2215x y m m-=-对应的图形是双曲线；q ：函数2()21([0,1])f x x mx m x =-++-∈的最大值不超过2．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．【解答】解：对于p ，因为方程2215x y m m-=-对应的图形是双曲线， 所以(5)0m m ->，解得0m <或5m >． 所以若p 为真命题，则0m <或5m >．对于q ：当0m 时，()(0)12max f x f m ==-，解得1m -，所以10m -；当01m <<时，2()()12max f x f m m m ==-+15m+，所以01m <<； 当1m 时，()max f x f =（1）2m =，所以12m ．所以若q 为真命题，则12m -．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p ，q 一真一假． 若p 真q 假，则实数m 满足0512m m m m ⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得1m <-或5m >；若p 假q 真，则实数m 满足0512m m ⎧⎨-⎩，解得02m ．综上，实数m 的取值范围为(,1)[0-∞-⋃，2](5,)+∞．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，//BC AD ，90PAB ∠=︒，2PA AB ==，3AD =，1BC =，E 是PB 的中点．（1）证明：PB ⊥平面ADE ； （2）求二面角C AE D --的余弦值．【解答】解：（1）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以AD PB ⊥；（2分） 又PA AB =，E 是PB 的中点， 所以AE PB ⊥；（3分） 又AD ，AE ADE ⊂，且ADAE A =，所以PB ⊥平面ADE ．（5分）（2）因为AD ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以AD AB ⊥，AD PA ⊥； 又因为PA AB ⊥，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的建立空间直角坐标系A xyz -；则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(2C ，1，0)，(1E ，0，1)，(0P ，0，2)， 所以(2,1,0)AC =，(1,0,1)AE =；（7分）设平面AEC 的法向量(,,)n x y z =，200n AC x y z n AE x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则2y =-，1z =-， 所以(1,2,1)n =--；（9分）又因为PB ⊥平面AED ，所以(2,0,2)PB =-是平面ADE 的一个法向量，所以3cos ,||||622n PB n PB n PB ⋅〈〉===⋅⨯．（11分）由图可知二面角C AE D --是锐二面角， 所以二面角C AE D --3．（12分） 19．（12分）已知过点(2,1)-的双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=． （1）求双曲线C 的方程；（2）若O 是坐标原点，直线:1l y x =-与双曲线C 的两支各有一个交点，且交点分别是A ，B ，AOB ∆2，求实数的值．【解答】解：（1）因为双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=，所以可设双曲线C 的方程是22(0)x y λλ-=≠，则2(2)1λ-=，解得1λ=． 所以双曲线C 的方程是221x y -=．（5分） （2）1y x =-代入221x y -=，消去y 整理，得22(1)220x x -+-=．（6分）由题意知，解得22-<<且1≠±． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12221x x -+=-，12221x x =--．（8分）因为l 与双曲线的交点分别在左、右两支上，所以120x x ⋅<，所以210->，所以11-<<， 则121||22OAB S x x ∆=-=． 所以222121212()()4(22)x x x x x x -=+-=， 即22228()811-+=--，（11分） 解得0=或6=±，又6(1,1)±∉-， 所以0=．（12分）20．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，BA AC ⊥，四边形11ACC A 为菱形，且160A AC ∠=︒，E ，F 分别是棱BC ，1BB 的中点，22AC AB ==． （1）求异面直线1A B 和EF 所成角的余弦值； （2）求1C 到平面AEF 的距离．【解答】解：取AC 的中点O ，连接1A O ，1A C ，OE ， 则//OE AB ，又BA AC ⊥，所以OE AC ⊥， 由题意知△1A AC 为等边三角形， 又点O 为AC 的中点，所以1AO AC ⊥， 因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A ⋂平面ABC AC =，1A O ⊂平面11ACC A ， 所以1A O ⊥平面ABC ， 又OE ⊂平面ABC ， 所以1AO OE ⊥，所以1OA ，OE ，OC 两两垂直，分别以OE ，OC ，1OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图）， 则1(0,0,3)A ，(0A ，1-，0)，(1B ，1-，0)， 1(,0,0)2E ，13(1,,)2F -，1(0,2,3)C ，所以1(1,1,3)A B =--，113(,,)22EF =-，1(,1,0)2AE =，13(1,,)2AF =，1(0,3,3)AC =，（1）设异面直线AB 和EF 所成角为θ，则111||12cos ||||5552A B EF A B EF θ⋅===⋅⨯； （2）设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则1021302n AE x y n AF x y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩，令1y =，得2x =-，3z =，所以(2,1,3)n =-，所以点1C 到平面AEF 的距离1||32||222AC n d n ⋅===．21．（12分）以抛物线2:2(0)C y px p =>的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知||2AB =||25DE = （1）求抛物线C 的方程；（2）过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点P ，Q ，交直线4x =-于点(G Q 在PG 之间），直线QF 交直线1x =-于点H ．是否存在这样的直线l ，使得//(GH PF F 为C 的焦点）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆的方程为222x y r +=，||AB =可设0(A x ，代入22y px =得04x p =，∴4(A p，代入222x y r +=，得2224()r p +=．①（1分）||DE =2p x =-，可设(2pD -， 代入222x y r +=，得222()2pr -+=．②（2分）解①②得4(4p p ==-舍去）．∴抛物线C 的方程是28y x =．（4分）（2）C 的焦点F 的坐标(2,0)，显然直线l 与坐标轴不垂直， 设直线l 的方程为(1)(0)y x =+≠，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 消去y 得2222(28)0x x +-+=，（5分）由△224(28)40=-->，解得2<，∴2<<且0≠．由韦达定理得212282x x -+=，121x x =．（6分）方法一：直线QF 的方程为22(2)2y y x x =--， 又1H x =-，所以2232H y y x -=-，所以223(1,)2y H x ---，（7分） //GH PF ，∴直线GH 与直线PF 的斜率相等，又(4,3)G --，∴221133232y x yx -+-=--，（8分） 整理得121222y y x x =+--，即1212(1)(1)22x x x x ++=+--， 化简得121211122x x x x ++=+--，121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++，即127x x +=，（9分） ∴22827-=，整理得289=，（11分） 解得22=±．经检验，22=±符合题意， ∴这样的直线l存在，且直线l 的方程为1)3y x =+或1)3y x =-+，即y =y x =（12分） 方法二： //GH PF ，∴||||||||PQ QF GQ QH =，∴22222241x x x x x --=++，（9分） 整理得1212()8x x x x ++=，∴22827-=，（10分） 整理得289=，（11分） 解得22=±，经检验22=±符合题意． ∴这样的直线l存在，且直线l 的方程为1)y x+或1)y x =+，即y=y x =（12分） 22．（12分）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线2320x y --=与椭圆C 交于P ，Q 两点，R 为P ，Q 的中点，直线OR 的斜率为1-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且与圆22:2O x y +=相交于G ，H 两点，求2||||AB GH ⋅的取值范围．【解答】解；（1）在2320x y --=中，令0y =，得右焦点2F 的坐标是(1,0)，所以221a b -=．①（1分）设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，0(R x ，0)y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，1212121222()()()()x x x x y y y y a b +-+-=-，012012222()2()x x x y y y a b--=-， 又OR 的斜率为1-，所以001yx =-，所以212212y y b x x a -=-，所以2223b a =． ②（3分） 解①②得所以椭圆C 的方程为22132x y +=．（5分）（2）①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =， 易求A，B 的坐标为，(1,，G ，H 的坐标为(1,1)，(1,1)-， 所以||AB =，2||4GH =，2||||AB GH ⋅（6分）②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 消去y 整理得2222(23)6360x x +-+-=，则2122623x x +=+，21223623x x -=+，．（7分）所以22121||(1)[()4AB x x x =++-222264(36)43(1))[()]23-+=+-=+．（8分） 因为圆心(0,0)O 到直线l 的距离21d =+， 所以222224(2)||4(2)11GH +=-=++，（9分）所以2222222244(2)163(2)16321633|||||1|223133AB GH +++⋅=⋅==⋅=+++++．因为2[0∈，)+∞，所以2||||AB GH ⋅∈．（11分） 综上，2||||AB GH ⋅的取值范围是．（12分）。

2020-2021学年度河南省豫南九校高二上学期期末联考理科数学试卷【含解析】一、单选题1．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0 B ．53C ．73D ．3【答案】B【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+=故选：B2．设222,1a x x b x =-+=-，则实数a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b > B ．a b =C ．a b <D ．与x 有关【答案】A【分析】由22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭可得答案【详解】因为22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立 所以a b > 故选：A3．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ） A ．()3,0- B ．[)3,0-C ．[]3,0-D ．(]3,0-【答案】D【分析】分0k =，0k ≠两种情况，当0k =，308-<对x ∈R 恒成立，当0k ≠时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立. 【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立；当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩， 解得,0()3k ∈-， 综上(3,0]k ∈-. 故选：D4．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =，BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 作为空间的一组基底表示向量OG 应为（ ）A ．111363OG OA OB OC =++ B ．111344OG OA OB OC =++ C ．111336OG OA OB OC =++D ．111443OG OA OB OC =++【答案】B【分析】连接ON ，由向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可得解. 【详解】连接ON ，如图，则由向量加法的平行四边形法则可得()()1121122322OG OM ON OA OB OC =+=⨯+⨯+ 111344OA OB OC =++. 故选：B.5．已知x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．32【答案】A【分析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：11y x y =-⎧⎨+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A -，据此可知目标函数的最大值为：max 2213z =⨯-=. 故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 6．如图，无人机在离地面高200m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°，已知060MCN ∠=，则山的高度MN 为（ ）A ．1503mB ．2003mC ．3003mD ．300m【答案】D【分析】根据题中条件，先得到22002AC AB m ==，45AMC ∠=︒，在AMC 中，根据正弦定理，即可得出结果.【详解】∵//AD BC ，∴45ACB DAC ∠=∠=︒，∴22002AC AB m ==， 又180604575MCA ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，∴45AMC ∠=︒， 在AMC 中，sin sin MC AC MAC AMC =∠∠，∴2002sin602003sin45MC m ︒==︒， ∴sin 2003sin60300MN MC MCN m =∠=︒=. 故选：D ．7．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞【答案】D【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()xf xg x e=，所以，()()()()()()2x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.8．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()π2f f e f <<B ．()()()2πf f e f '''<<C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<【答案】D【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D .【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.9．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．10B 6C 10D 15【答案】C【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥， 所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ， 则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =， 则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则()()1122221610sin cos ,3312n BC n BC n BC θ⋅-=<>===⋅-+⨯+-. 故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.10．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（ ） A ．4×20162－1 B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×20182【答案】C【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】由题意可得：323a a =，211a a = ，32211a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首先为1，公差为2的等差数列， 则()111221n na n n a +=+-⨯=-， 所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，20192018220181aa =⨯-， 所以()()2202020202019201820192019220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.11．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）. A ．13B ．12C ．2D ．3 【答案】C【分析】设点2(1)4m P m +，，将22()0OP OF F P +⋅=坐标化运算，可求出45m =，再分别计算12||,||PF PF 的值，即可得答案； 【详解】1a =，2b=，∴5c =1(5F -，，2(5F ，，设点2(1)4m P m +，，∴222222()(15)(15)150444m m m OP OF F P m m m +⋅=+⋅+=+-+=，，，∴2165m =，45m =， 则3545(P ±，221354580504555PF ⎛⎫⎛⎫=--+±== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.【点睛】利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键.12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞【答案】B【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案. 【详解】∵()()2x f x e f x -=，∴()()()x x xf xe f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∴()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∴()()211211a a ef a e f a +++≥+，∴()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+， 解得，203a -≤≤， 故选：B .【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e --==-，根据左右相同的形式，构造函数()()xg x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211ae f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.二、填空题13．已知函数()32f x ax x =+()14f '=，则a =__________．【答案】1【分析】先求出函数()f x 的导函数()23f x ax x'=+，由()14f '=可得答案. 【详解】由题意()23f x ax x'=+，所以()1314f a '=+=解得1a = 故答案为：114．设等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则55S a =________. 【答案】3116【分析】根据等比数列的求和公式与通项公式，由题中条件，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以()5151123112a S a -==-，所以4511216a a a ==，所以515131311616S a a a ==. 故答案为：3116.15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”，“股”，“弦”，且“勾2＋股2=弦2”设直线l 交抛物线214y x =于,A B 两点，若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”"股”(O 为坐标原点)，则此直线l 恒过定点__________． 【答案】()0,4【分析】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与抛物线方程联立写出韦达定理，由条件可得即OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，将韦达定理代入可得答案.【详解】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx b --= 则12124,4x x k x x b +==-若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”“股”（O 为坐标原点） 可得222OA OB AB += 所以OA OB ⊥，即OA OB ⊥所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，()2221212121114416y y x x x x =⨯=所以()()2212121212114401616OA OB x x y y x x x x b b ⋅=+=+=-+⨯-= 即240b b -=，解得40b b ==或（舍） 所以直线AB 的方程为4y kx =+，恒过点()0,4 故答案为：()0,4【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系和直线过定点问题，解答本题的关键是由条件得出OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，得到240b b -=，属于中档题.16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____. 【答案】2【分析】令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()xg e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()x e a h x x<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称， 所以函数()f x 为R 上的偶函数，令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->， 所以()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x xe f e e ax axf ax -+->恒成立， 即()()x x x e f e e axf ax ax ->-，即()()xg e g ax >，所以e x ax >，当0x >时，()xe a h x x <=，则()()21x e x h x x-'=，可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()min 1h x h e ==， 所以a e <，此时最大的正整数a 为2，2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，综上所述：正整数a 的最大值为2， 故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()xg e g ax >，利用单调性可得e x ax >，再分类参数求最值.三、解答题17．已知命题：“{}|22x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设关于x 的不等式()()80x a x a ---<的解集为N ，若“x ∈N ”是“x M ∈”的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，；（2）124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，． 【分析】（1）利用参数分离法将m 用x 表示，结合二次函数的性质求出m 的取值范围，从而可求集合M ；（2）若x ∈N 是x M ∈的必要条件，则M N ⊆即可得到不等式，从而求出参数的取值范围；【详解】解：（1）由题意可知20x x m --=，所以221124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为{}|22x x x ∈-<<，所以21116244x ⎛⎫⎡⎫--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，，即164m -≤<，则实数m 的取值集合M=164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，； （2）由()()80x a x a ---<，可得()8N a a =+，，因为“x N ∈”是“x M ∈”的必要条件，所以M N ⊆，则1486a a ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩，解得124a -≤<-，所以a 的取值范围为124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】本题考查必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则判断计算： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18．已知ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()sin sin sin a A c C a b B -=-.（1）求角C 的大小；（2）若边长3c =ABC 的周长最大值. 【答案】（1）3π；（2）33【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得出222a b c ab +-=，利用余弦定理求出cos C 的值，再结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用正弦定理结合三角函数可得2336π⎛⎫++=+⎪⎝⎭a b c A ，由203A π<<可得5666A πππ<+<，结合正弦函数的基本性质可求得ABC 的周长最大值.【详解】（1）()sin sin sin a A c C a b B -=-，根据正弦定理得，()22a c ab b -=-，即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又()0,C π∈，所以3C π=；（2）3C π=，3c =23A B π+=，由正弦定理得32sin sin sin 3a b cA B C ====，可得：2sin a A =，22sin 2sin 3b B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭，23132sin 2sin 32sin 2sin 32a b c A A A A A π⎫⎛⎫∴++=+-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3sin 3cos 323sin 36A A A π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由203A π<<可得5666A πππ<+<，可得1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.(23323,336a b c A π⎛⎫∴++=+ ⎪⎝⎭.因此，ABC 的周长的最大值为33【点睛】方法点睛： 1.解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”；2.求三角形周长的最值也是解三角形中一种常见类型的问题，主要方法有两类： （1）找到边与边的关系，利用余弦定理列等式，结合基本不等式求最值；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角为自变量的三角函数，利用函数思想的求最值. 19．数列{}n a 满足()()1123231221n n a a a na n n +++++=-+≥.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S . 【答案】（1）2nn a =；（2）()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+ 【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 【详解】解：（1）由题意，12a =.由()()1123231221n n a a a na n n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+≥，① 得()()()12312312222nn a a a n a n n -+++⋅⋅⋅+-=-⋅+≥，②①-②，得()()()112222222n n nn na n n n n +⎡⎤⎡⎤=-⋅+--⋅+=⋅≥⎣⎦⎣⎦，所以()22nn a n =≥又因为当1n =时，上式也成立，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（2）由题意，21212n n n n n b a ++==，所以 123123357212222n n n n S b b b b +=+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅， ③ 234113572121222222n n n n n S +++=+++⋅⋅⋅++， ④ ③-④，得123234113572135721212222222222n n n n n n n S ++++⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 234131111212222222n n n ++⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111122121212212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+⨯--()1512522n n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭从而()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．20．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =，设点M 在线段EF 上运动.（1）证明：BC AM ⊥；（2）设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求θ的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3π.【分析】（1）由平面几何知识，余弦定理可得BC AC ⊥.，再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；（2）由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，由二面角的向量求解方法可表示()2cos 34θλ=-+，由二次函数的性质可求得最值.【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，所以2AB =，所以2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥.因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =， 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .所以BC ⊥AM ；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，)3,0,0A，()0,1,0B ，(),0,1M λ.∴()3,1,0AB =-，(),1,1BM λ=-.设(),,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30,0,x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()1,3,3n λ=，∵()1,0,0m =是平面FCB 的一个法向量，∴()()22||cos 133134n m n mθλλ⋅===++-⨯-+∵03λ≤≤∴当3λ=cos θ有最大值12，θ的最小值为3π.【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。