河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期数学(理)第一次联考(9月)

2020-2021学年河南省郑州市枫杨外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣2＝1的过程中，变形正确的是（）A．2（x﹣1）2＝1B．2（x﹣2）2＝5C．D．3．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（）A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝24004．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（）A．B．C．D．5．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm26．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜且a≠0B．a＞C．a≤且a≠0D．a≥7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（）A．5个B．10个C．15个D．25个8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．2二、填空题（每小题3分，共15分）11．若2x＝3y，且x≠0，则的值为．12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是．13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝．14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是米．15．如图，在矩形OAHC中，OC＝8，OA＝12，B为CH中点，连接AB．动点M从点O 出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜10）．则t＝时，△CMN为直角三角形．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．17．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．18．已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．19．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？21．对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积，周长是cm，面积是cm2．23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE∥AB．现将△CDE绕点C逆时针旋转某一角度，点D恰落在边AB上，连接BE．（1）当AC＝BC时，如图2，①线段AD与BE的数量关系是；②线段AD、BD、DE的数量关系是；（2）当AC＝nBC时（n＞0），如图3，①判断线段AD与BE的数量关系，并予以证明．②直接写出线段AD、BD、DE的数量关系，．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形解：A．矩形的对角线相等且平分，故A原说法错误；B．对角线相等的菱形是正方形，正确；C．四条边相等的四边形是菱形，故C原说法错误；D．对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形，故D原说法错误；故选：B．2．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣2＝1的过程中，变形正确的是（）A．2（x﹣1）2＝1B．2（x﹣2）2＝5C．D．解：∵2x2﹣4x＝3，∴x2﹣2x＝，则x2﹣2x+1＝1+，即（x﹣1）2＝，故选：C．3．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（）A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400解：由图可得，（40﹣2x）（70﹣3x）＝40×70×（1﹣），即（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400，故选：D．4．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（）A．B．C．D．解：根据题意列表如下：1253361544820661230∵共有9种等可能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种情况，∴转得的两个数之积为偶数的概率为；故选：C．5．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm2解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则，设DF＝xcm，得到：解得：x＝4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2．故选：B．6．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜且a≠0B．a＞C．a≤且a≠0D．a≥解：∵关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×a×3＝25﹣12a＞0，解得：a＜，∵方程ax2+5x+3＝0是一元二次方程，∴a≠0，∴a的范围是：a＜且a≠0．故选：A．7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（）A．5个B．10个C．15个D．25个解：设袋中白球有x个，根据题意得：＝0.6，解得：x＝10，经检验：x＝10是分式方程的解，答：袋中白球约有10个．故选：B．8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，BD＝2DO，又∵BC＝BE，∴AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形，故③正确，∴AE＝BD，∴AE＝2DO，故①正确；∵四边形AEBD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，∴AE∥BD，AC⊥BD，∴AE⊥AC，即∠CAE＝90°，故②正确；∵四边形AEBD是平行四边形，∴S△ABE＝S△ABD＝S菱形ABCD，∵四边形ABCD是菱形，∴S△ABO＝S菱形ABCD，∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABO＝S菱形ABCD，故④正确；故选：D．9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条解：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C，①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．③作∠APG＝∠A，可得∠AGP∽△ABC，故选：B．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．2解：由题意得：BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP+∠CBN＝90°，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；故选：A．二、填空题（每小题3分，共15分）11．若2x＝3y，且x≠0，则的值为．解：∵2x＝3y，且x≠0，∴x＝y，则＝＝．故答案为：．12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是k≤且k≠0．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根∴k≠0且△＝（﹣4）2﹣4•k•3＝16﹣12k≥0，解得：k≤且k≠0，故答案为：k≤且k≠0．13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝1：2．解：过点D作DM∥AC，交BF于M，则△BDM∽△BCF，△DEM∽△AEF，由△BDM∽△BCF，D是BC的中点，E是AD的中点可知，，则FC＝2DM根据△DEM∽△AEF得到AF＝DM，因而AF：FC＝DM：2DM＝1：2．14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是3米．解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，解得x1＝3，x2＝2（舍去），∴AB的长为3米．故答案为：3．15．如图，在矩形OAHC中，OC＝8，OA＝12，B为CH中点，连接AB．动点M从点O 出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜10）．则t＝或时，△CMN为直角三角形．解：过点N作OA的垂线，交OA于点F，交CH于点E，如图，∵B点是CH的中点，∴BH＝CH＝6，∵AH＝OC＝8，∴由勾股定理可求：AB＝10，∵AN＝t，∴BN＝10﹣t，∵NE∥AH，∴△BEN∽△BHA，∴＝，∴＝，∴EN＝（10﹣t），∴FN＝8﹣EN＝t，当∠CMN＝90°，由勾股定理可求：AF＝t，∴MF＝AM﹣AF＝12﹣t﹣t＝12﹣t，∵∠OCM+∠CMO＝90°，∠CMO+∠FMN＝90°，∴∠OCM＝∠FMN，∵∠O＝∠NFM＝90°，∴△COM∽△MFN，∴＝，∴＝，∴t＝，当∠MNC＝90°，∵FN＝t，∴EN＝（10﹣t），∵MF＝12﹣t，∴CE＝OF＝OM+MF＝12﹣t，∵∠MNF+∠CNE＝90°，∠ECN+∠CNE＝90°，∴∠MNF＝∠ECN，∵∠CEN＝∠NFM＝90°，∴△CEN∽△NFM，∴＝，∴＝，∵0＜t＜10，∴t＝，当∠NCM＝90°，由题意知：此情况不存在，综上所述，△CMN为直角三角形时，t＝或．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）原方程化为x2+x﹣6＝0，∵（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．17．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．解：（1）∵蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，∴甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：；故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，则两人选购到同一种类奶制品的概率是＝．18．已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．解：∵＝＝＝＝k，∴由等比性质可得：＝k，当a+b+c+d≠0时，k＝＝，当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，∴k＝＝＝﹣2，∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．19．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．20．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？解：（1）100﹣＝92（辆），（4800﹣500）×92﹣100×（100﹣92）＝394800（元），394800元＝39.48万元．答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元．（2）40.4万元＝404000元设上涨x个100元，由题意得：（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x＝404000整理得：x2﹣64x+540＝0解得：x1＝54，x2＝10∵规定每辆车月租金不能超过7200元，∴取x＝10，则4000+10×100＝5000（元）答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元21．对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．解：（1）∵﹣7＜﹣2，∴（﹣7）*（﹣2）＝14﹣4＝10；（2）方程x2﹣5x﹣6＝0变形得：（x+1）（x﹣6）＝0，解得：x＝﹣1或x＝6，当x1＝﹣1，x2＝6时，x1*x2＝﹣6﹣36＝﹣42；当x1＝6，x2＝﹣1时，x1*x2＝36+6＝42．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积，周长是15cm，面积是cm2．解：（1）由题意得，BQ＝DP＝t，则AP＝CQ＝6﹣t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝6﹣t，解得，t＝3，故当t＝3时，四边形ABQP为矩形；（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形，即＝6﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得，t＝，故当t＝时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝时，CQ＝6﹣t＝，∴菱形AQCP的周长为：4CQ＝4×＝15，菱形AQCP的面积为：CQ•AB＝×3＝，故答案为：15；．23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE∥AB．现将△CDE绕点C逆时针旋转某一角度，点D恰落在边AB上，连接BE．（1）当AC＝BC时，如图2，①线段AD与BE的数量关系是AD＝BE；②线段AD、BD、DE的数量关系是DE2＝BD2+AD2；（2）当AC＝nBC时（n＞0），如图3，①判断线段AD与BE的数量关系，并予以证明．②直接写出线段AD、BD、DE的数量关系，DE2＝BD2+．解：（1）①如图1，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴CD＝CE，如图2，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE，∴∠A＝∠CBE＝45°，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，∵AD＝BE，∴DE2＝BD2+AD2；故答案为：AD＝BE；DE2＝BD2+AD2；（2）①由（1）得∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠CDE，∴△ACB∽△DCE，∴＝，∵∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝n，∴AD＝nBE；②∵△ACD∽△BCE，∴∠A ＝∠CBE，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，∴DE2＝BD2+．故答案为：DE2＝BD2+．。

2020－2021学年上期第一次联考高二数学(文)试题(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知数列{a n }为等差数列，a 2＝3，a 5＝15，则a 11＝ A.39 B.38 C.35 D.332.在△ABC 中，∠ABC ＝4π，AB 2BC ＝3，则sin ∠BAC ＝ 10 10 310 53.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝a 7＋1，a 4＋a 7＝4，则a 10＝A.113 B.4 C.133 D.1434.在△ABC 中，若cos cos cos a b cA B C==，则△ABC 是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形5.已知数列{a n }满足a 1＝28，n 1n a a n +-＝2，则n an的最小值为 A.293 B.71 C.485D.2746.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形而积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝222222142a c b a c ⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a 2sinC ＝5sinA ，(a ＋c)2＝16＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 A.12B.32 3 D.27.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，若a n >0，q>1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝ A.48 B.42 C.36 D.31 8.已知各项均为正数的等比数列{a n }，3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则4567a a a a ++的值是A.19 B.16C.6D.9 9.若数列{a n }满足a n ＋1＝(2|sin 2n π|－1)a n ＋2n ，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝A.136B.120C.68D.4010.若△ABC (a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则ca的取值范围是A.(0，2)B.(2，＋∞)C.(0 ，＋∞)11.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2asinC c ，a ＝1，则△ABC 的周长取得最大值时△ABC 的面积为D.412.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且csin(B ＋3π)a ，CA CB ⋅＝20，c ＝7，则△ABC 的内切圆的半径为A.1 D.3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝－6，S 9－S 4＝75，则S n 取得最大值时n ＝ 。

数学（理）答案1--6 CAACBD 7--12 CABCBB13.4 14.3√24 15.√6+√2 16.()0,1-17. （1）AB 中点()3,3M ，21=CM K ，所以CM 方程为： x −2y +3=0 （2）31-=BC K ，所以3=AD K ，所以BC 边上高 AD 所在直线的方程为：3x −y −1=0．18. （1） 因为 PN =ND ，DM =MA ，所以 MN ∥PA ，且 PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，则 PA ∥平面MNC ．（2） 因为 PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，且 AD ∩CD =D ，所以 PD ⊥平面ABCD ，则以点 D −xyz 为原点建立空间直角坐标系（如图），AD =2，可得 A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，N (0,0,2)，M (1,0,0)，P (0,0,4)．向量 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−4)，NC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)． 设 n ⃗ =(x,y,z ) 为平面 MNC 的法向量，则 {NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0.即 {2y −2z =0,−x +2z =0. 不妨令 y =1，可得 n ⃗ =(2,1,1) 为平面 HFG 的一个法向量，设直线 PB 与平面 MNC 所成角为 α，于是有 sinα=cos⟨n ⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣n ⃗ ∣∣⋅∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=16．19.（1）设圆()()222:r b y a x C =-+-由题意得 03=-b a ①，a r =②，2272r b a =+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-③ 由①得b a 3=，②得b r 3=，待入③得12=b当1=b 时，3=a ，3=r ，所以圆()()913:22=-+-y x C ； 当1-=b 时，3,3=-=r a ，所以圆()()913:22++++y x C ； 所以圆:C (x −3)2+(y −1)2=9 或 (x +3)2+(y +1)2=9．（2）设()2,1--M 关于4+=x y 的对称点()y x M ,'，有对称性知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=++42122112x y x y ， 所以()3,6-'∴M ，所以反射光线方程为：3592+-=x y20.答案（1） 在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为 AD 中点，所以 BE ⊥AD ，所以 BE ⊥AE ，因为 ∠AEG =90∘，所以 GE ⊥AE ，因为 GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE =E ，所以 AE ⊥平面EBHG ；AEB AE 平面⊂，所以EBHG AEB 平面平面⊥（2） 设菱形 ABCD 的边长为 2，由（Ⅰ）可知 GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE ．所以以 E 为原点，EA ，EB ，EG 所在直线分别为 x ，y ，z 轴，建立如图空间坐标系 可得 A (1,0,0)，B(0,√3,0)，G (0,0,1)，H(0,√3,2)，AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,2) 设平面 AGH 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z )所以 {n ⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {−x +z =0,−x +√3y +2z =0. 令 x =1，则 n ⃗ =(1,−√33,1)， 平面 EBHG 的法向量为 EA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，设二面角 A −GH −B 的大小为 θ(θ<90∘)，cosθ=∣∣cos⟨n ⃗ ,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩∣∣=√217； （3） 由 AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 F(1−λ,√3λ,0) 所以 EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,√3λ,0) 因为 EF ∥平面AGH ，则 n ⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =0 即 1−2λ=0，所以 λ=12．21. （1）圆C 的方程为()()22139x y -+-=；（2）①设(,)M x y ，则：AM =(),A A x x y y --，()7,6MB x y =--， ∴142122A A x x x y y y -=-⎧⎨-=-⎩∴143123A A x x y y=-+⎧⎨=-+⎩ ∵点A 在圆C 上运动∴()()22314131239x y --+--=即：∴()()223153159x y -+-=∴()()22551x y -+-=所以点M 的轨迹方程为()()22551x y -+-=，它是一个以()5,5为圆心，以1为半径的圆；②假设存在一点(),D t t 满足PO PT λ=（其中λ为常数）设(),P x yλ= 整理化简得：()222222222x y x tx t y ty t λ+-++-+=， ∵P 在轨迹Γ上， ∴()()22551x y -+-=化简得：22101049x y x y +=+-，所以()22101049101292042x y x y tx ty tλ--+-+-=+ 整理得()()22222221010210102494920x t y t t λλλλλλ-++-+-+=-∴2222210102049249t t λλλλ⎧-+=⎨-⋅=⎩， 解得：4910t =； ∴存在4949,1010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题目条件.22答案．（1）见解析，（2）3[,]27-- （1）证明：作PH ⊥平面1111D C B A 于H ，则H 在圆弧EF 上，因为1PB =1HB 取最小值时，1PB 最小，由圆的对称性可知，1HB 的最小值为=所以PH ==如图，以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则21(0,0,0),(0,0,1(4,4,1)D D E F B +，12(4,4,1),(2,2,0),(2,0,4DB EF ED ==-=-,因为112424200,400DB EF DB ED ⋅=-++=⋅=-+=， 所以112,DB EF DB ED ⊥⊥,因为EF ⊂平面2D EF ，2ED ⊂平面2D EF ，2ED EF E =,所以DB 1⊥平面D 2EF ，（2）解：若D 1D 2＝3，由（1）知()()()1114,0,1,0,4,1,4,4,1A C B , 设(,,4)P a b ，因为222,0,0a b a b +=≥≥，设,,[0,]2a b πθθθ==∈所以2sin()4a b πθ+=+∈，111(4,4,0),(4,,3)AC A P a b =-=-，设平面11PA C 的法向量为111(,,)n x y z =，则11111111440(4)30n AC x y n A P a x by z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩， 令11x =，则4(1,1,)3a b n --=， 取平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，θ显然是钝角，则4cos cos ,2a b m nm nm n θ+-⋅=-=-=+， 0,sin 0,sinθπθθ≤≤∴>== 则3tan[]427a b θ=∈--+-， 所以二面角111P AC B --的正切值的取值范围为3[,]27--，。

河南省豫南九校2024-2025学年高二语文上学期第四次联考试题(考试时间: 150分钟试卷满分: 150分)一、现代文阅读(36分)(一)论述文本阅读(本题共3小题,9分)阅读下面的文字,完成1～3题。

回溯史学史,可以看到,史学进步发展的动力,是学科自身强大而主动的反省、修复实力，是开放包涵和兼收并蓄的学术精神。

在不同的发展阶段,历史学都曾遭受过不同程度的冷遇和低谷,但随着新材料、新理论和新方法的引入，古老的历史学得以不断地迸发出新的活力。

历史学发生的“数字转向”,便是已知的诸多新变更之一。

自19世纪以来,历史学建立了一整套较为严格缜密的探讨方法、学科体系和职业规范。

仅以对历史资料的收集、整理和考证为例,史料的范围从一般的档案、文献、典籍等,渐渐拓展到考古、图像、数据、口述等文字之外的形式。

最近20年来,历史资料的数字化与数字化原生史料的大量出现,成为历史学“数字转向”的重要标记之一。

关于传统史料的数字化转换,自古以来,就始终存在史料在不同介质和载体之间的转换,如由口述传统向文字书写的过渡，干脆带来了传统史学的诞生;再如碑刻铭文的拓印,文稿的誊写、抄录与印刷，还有一度特别盛行的微缩胶片等，都在肯定程度上推动了历史探讨的进步。

其中,文字书写与近代印刷的独创和应用,对人类的学问生产和传播产生过革命性的影响。

现代数码技术的发展,使得文件的存储、携带、阅读、检索和传播等各方面都发生了质的变更。

单就史料本身而论,数字化使得历史探讨者有可能尽量多地获得、占有和运用史料,并且全面细致地驾驭相关的探讨状况。

但是,海量的史料超出了人类自然的阅读实力,这是之前任何时代都不行想象的新问题。

于是文本、数据库和网络范围内的电子检索，成为今日每一个探讨者日常的基本操作技能;而利用计算机、人工智能和统计学等方法的“数据挖掘”,以及在此基础上绽开的“大数据”模型分析也应运而生。

再来看原生的数字史料,也就是运用数码技术干脆制造产生的各类电子文档、信息和记录。

九 年 · 物 理 ( 省 命 题 ) ( 六 十 ) 九年 ·物理(省命题) (六十)学 校姓 名班 级考 号名校调研系列卷 ·九年级期中测试物理(人教版) 题 号 二三四五 总 分得 分一、单项选择题(每题2分，共12分)1.一般情况下，下列物体中容易导电的是 ( )A.玻璃杯B.塑料尺C.铅笔芯D.橡胶轮胎2.植物油燃料是一种新型燃料，可用来替代传统燃料。

它不易燃、不易爆、无烟无异味，在节能方面比传统燃料更胜一筹，进行同样的工作消耗的燃料更少，这是因为该燃料具有 较大的 ( ) A. 热值 B.比热容 C.内能 D. 质量3.下列用电器正常工作时，所需电压最小的是 ( ) A.电饭锅 B.电子计算器 C. 电冰箱 D.电熨斗4.如图是一款热销的仿真猫咪玩具，其工作原理为：闭合开关S, 电源指示灯 亮，当触摸玩具猫咪头部时，开关S ₂ 闭合，玩具猫咪就会吐舌头(电动机工 作)开启撤娇卖萌模式；当断开开关S ₁ 时，电源指示灯不亮，无论是否触摸 其头部，玩具猫咪都不会吐舌头。

下列电路设计符合上述要求的是( )A B C D5.两只定值电阻，甲标有“1000.8A”字样，乙标有“1500.4A”字样，把它们串联起来， 两端允许加的最大电压是 ( ) A.14V B.10V C.8V D.6V6.小晨同学准备用如图所示的电路测量两个电阻的阻值，但当开关S 闭合时，他发现电流表有示数，电压表V ₁ 、V ₁ 有 示 数 且 示 数 相 同 ， 则电路故障的原因可能是 ( ) A.R ₁ 短路 B.R ₁ 断 路 C.R ₂ 短路 D.R ₁ 断路二、填空题(每空1分，共18分)7.在暗朗无风的天气，小明的爸爸给爷爷家的院门刷油漆时，在院子里玩的小明闻到了油漆 的气味儿，这是 现象；油漆能附着在院门上，这利用了分子间的 8.腊月，东北农村有蒸粘豆包的习俗。

将蒸熟的粘豆包放在寒冷的室外晾凉，这是通过的方式来 粘豆包的内能。

河南省豫南九校2020－2021学年高二第一学期第四次联考化学试题(考试时间：90分钟试卷满分：100分)可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 N 14 Na 23 Mg 24 S 32 Cl 35.5 Cu 64 Fe 56 Ag 108一、选择题(本大题共17小题，每小题3分，共51分。

每个小题只有一个选项符合题意)1.明代诗人于谦在《石灰吟》中写道：“千锤万凿出深山，烈火焚烧若等闲。

粉身碎骨浑不怕，要留清白在人间。

”这首脍炙人口的诗篇不仅蕴含了深刻的人文精神，还蕴藏了有趣的化学知识。

“要留清白在人间”涉及反应的化学物质中属于非电解质的是A.Ca(OH)2B.CaCO3C.CO2D.H2O2.下列关于铜锌原电池和电解氯化铜溶液的叙述正确的是A.电解氯化铜溶液时，阳极上发生还原反应B.铜锌原电池中铜片上发生氧化反应C.电解氯化铜溶液时，化学能转化为电能D.电极上同时分别发生氧化反应和还原反应，并且得失电子数相等3.下列事实，不能用勒夏特列原理解释的是A.在保存FeSO4溶液时，加入少量铁屑B.用饱和食盐水除去Cl2中的HCl气体C.可用浓氨水和氢氧化钠固体快速制取氨气D.工业合成氨采用200～500大气压的高压条件4.下列说法正确的是A.△H的大小与热化学方程式的化学计量数无关B.等量的硫蒸气和硫固体分别完全燃烧，前者放出的热量多C.在101 kPa时，1 mol氢气燃烧所放出的热量为氢气的燃烧热D.由C(石墨)→C(金刚石)；△H＝＋119 kJ/mol可知，金刚石比石墨稳定5.只改变一个影响因素，平衡常数K与化学平衡移动的关系叙述错误的是A.K不变，平衡可能移动B.K值变化，平衡一定移动C.平衡移动，K值可能不变D.平衡移动，K值一定变化6.下列说法正确的是A.pH＝6.5的溶液一定呈酸性B.用pH值表示任何溶液的酸碱性都很方便C.常温下pH＝2的H2SO4溶液，升高温度pH不变D.常温下pH＝12的NaOH溶液，升高温度pH不变7.100 mL浓度为2 mol/L的盐酸跟过量的锌片反应，为加快反应速率，又不影响生成氢气的量，可采用的方法是A.加入适量的6 mol/L的盐酸B.加入数滴氯化铜溶液C.加入适量蒸馏水D.加入适量的氯化钠溶液8.设N A表示阿伏加德常数的值。

豫南九校2020－2021学年上期第二次联考高二化学试题(考试时间：90分钟试卷满分：100分)可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 Mg24 S32 K39 Cr52 Ag108一、选择题(本大题共16题，每小题3分，共48分。

每个小题只有一个选项符合题意)1.Pd－Co－硅藻土可作NaBH4释氢时的催化剂，则向释氢反应NaBH4＋2H2O4H2↑＋NaBO2△H＝－75 kJ·mol－1中加入该催化剂后△H将A.增大B.减小C.不变D.无法判断2.一种利用蓝绿藻制氢贮氢及氢气应用的图示如下。

下列说法正确的是A.能量的转化方式只有2种B.氢气液化过程吸收能量C.蓝绿藻分解水产生H2，同时释放能量D.能量利用率：燃料电池比H2直接燃烧高3.某反应A＋B＝C＋D在低温下能自发进行，在高温下不能自发进行，对该反应过程△H、△S的判断正确的是A.△H<0，△S>0B.△H>0，△S>0C.△H<0，△S<0D.△H>0，△S<04.《本草纲目·29卷·杏》中对药物浸出过程有如下叙述：“药液釜盛之，釜上安盆，盆上钻孔，用弦悬车辖至釜底，以纸塞孔，勿令泄气，初着糠火，一日三动车辖，以衷其汁”下列实验与文中叙述最接近的是5.常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A.0.1 mol·L－1 NaHSO4溶液：Mg2＋、K＋、Cr2O72－、NO3－B.滴入酚酞呈红色的溶液：Na＋、Cu2＋、HCO3－、NO3－C.0.1 mol·L－1 KNO，溶液：H＋、K＋、SO42－、I－D.0.1 mol·L－1 Na2S2O3溶液：H＋、Na＋、Cl－、SO42－6.H2与ICl的反应分①、②两步进行，其能量曲线如图所示，下列有关说法错误．．的是A.反应①、反应②均为放热反应B.反应①、反应②均为氧化还原反应C.反应①比反应②的速率慢，与相应正反应的活化能无关D.反应①、反应②的焓变之和为△H＝－218 k·mol－17.在一个不传热的恒容密闭容器中，可逆反应N 2(g)＋3H2(g)2NH3(g)达到平衡的标志是①反应速率v(N2)：v(H2)：v(NH3)＝1：3：2 ②各组分的物质的量不变③体系的压强不再发生变化④混合气体的密度不变(相同状况)⑤体系的温度不再发生变化⑥2v正(N2)＝v逆(NH3)⑦单位时间内3 mol H－H键断裂的同时2 mol N－H键也断裂A.①②③⑤⑥B.②③④⑤⑥C.②③⑤⑥D.②③④⑥⑦8.25℃、101 kPa时，强酸与强碱的稀溶液发生中和反应的中和热为57.3 kJ·mol－1，辛烷的燃烧热为5518 kJ·mol－1。

2020-2021学年河南省实验学校九年级（上）学期第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（）A．①B．②C．③D．④2．（3分）方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3 3．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．54．（3分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形5．（3分）已知矩形的长和宽是方程x2﹣7x+8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为（）A．6B．7C．D．6．（3分）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x＝（）A．15B．18C．21D．357．（3分）如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若每一轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下列所列方程中正确的是（）A．1+x+x2＝100B．x（x+1）＝100C．（x+1）2＝100D．1+（x+1）2＝1008．（3分）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC ＝4，则EF的长为（）A．3B．5C．D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）10．（3分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的坐标为（）A．（﹣21010，21010）B．（22020，﹣22020）C．（﹣22020，﹣22020）D．（﹣21010，﹣21010）二、填空题（共6小题）.11．（4分）已知关于x的方程x2+5x+m＝0的一根为﹣1，则方程的另一根为．12．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣2＝0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．13．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为．14．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED，延长BE 交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为：°．15．（4分）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则m2+3m+n＝．16．（4分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．三、解答题（共9题；共66分）17．（8分）解方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0．（2）x2+5＝3（x+2）．18．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．19．（7分）如图，一幅长8cm、宽6cm的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的．求彩条的宽度．20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A 作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．21．（7分）某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．23．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）填空：①当D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？答：；②若D是AB的中点，则当∠A的度数为时，四边形BECD是正方形．24．（7分）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．25．（9分）已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C 不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）当点E落在线段CD上时（如图），①求证：PB＝PE；②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．参考答案一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（）A．①B．②C．③D．④解：解方程x2﹣x﹣2＝0，去分母得：x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣2x＝4，配方得：x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，开方得：x﹣1＝±，解得：x＝1±，则四个步骤中出现错误的是④．故选：D．2．（3分）方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3解：∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：D．3．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．5解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，∵H为BC中点，∴OH＝BC＝．故选：B．4．（3分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．5．（3分）已知矩形的长和宽是方程x2﹣7x+8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为（）A．6B．7C．D．解：设矩形的长和宽分别为m、n，根据题意知m+n＝7，mn＝8，则矩形对角线的长为＝＝＝，故选：D．6．（3分）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x＝（）A．15B．18C．21D．35解：由已知护士x人，每2人一班，轮流值班，可得共有种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是：÷（24÷8）＝70（天）：，解得：x＝21，即有21人护士．故选：C．7．（3分）如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若每一轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下列所列方程中正确的是（）A．1+x+x2＝100B．x（x+1）＝100C．（x+1）2＝100D．1+（x+1）2＝100解：每一轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意得1+x+x（1+x）＝100即（x+1）2＝100，故选：C．8．（3分）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC ＝4，则EF的长为（）A．3B．5C．D．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，∴BD＝＝＝5，∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，∴∠EMD＝90°，∵∠EDM＝∠ADB，∴△EDM∽△BDA，∴，设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，∴，解得x＝，∴DE＝，同理△DNF∽△DCB，∴，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，∴，解得y＝．∴DF＝．∴EF＝＝＝．故选：C．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）解：根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO＝＝＝OC，∴点C的坐标为（0，），同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，），∴点C的坐标为（0，）或（0，），故选：D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的坐标为（）A．（﹣21010，21010）B．（22020，﹣22020）C．（﹣22020，﹣22020）D．（﹣21010，﹣21010）解：∵正方形OABC边长为1，∴OB＝，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1＝2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2＝2，∴B2点坐标为（﹣2，2），同理可知OB3＝4，B3点坐标为（﹣4，0），B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），B6（8，﹣8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2020÷8＝252…4，∴B2020的横纵坐标符号与点B4相同，横纵坐标互为相反数，且都在第三象限，∴B2020的坐标为（﹣21010，﹣21010）．故选：D．二、填空题（共6题；共24分）11．（4分）已知关于x的方程x2+5x+m＝0的一根为﹣1，则方程的另一根为﹣4．解：设方程的另一根为t，根据题意得﹣1+t＝﹣5，解得t＝﹣4，即方程的另一根为﹣4．故答案为﹣4．12．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣2＝0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣且m≠1．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣2＝0总有两个不相等的实数根，∴△＞0且m﹣1≠0，∴9﹣4（m﹣1）（﹣2）＞0且m﹣1≠0，∴m＞﹣且m≠1，故答案为：m＞﹣且m≠1．13．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为2．解：设BE＝x，则CD＝2x，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝2x，∴BD＝3x，∴OB＝OD＝x，∵OE+BE＝BO，∴1+x＝x，解得x＝2，即AB＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，OA＝＝＝，在Rt△AOE中，AE＝＝＝2．故答案为2．14．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED，延长BE 交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为：65°．解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝∠DEB＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°，∵∠DAC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣70°﹣45°＝65°．故答案是65°．15．（4分）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则m2+3m+n＝﹣1．解：∵m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2，m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．16．（4分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为12．解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣4，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．三、解答题（共9题；共66分）17．（8分）解方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0．（2）x2+5＝3（x+2）．解：（1）∵（x﹣3）2﹣4＝0，∴（x﹣3）2＝4，则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，解得x1＝5，x2＝1；（2）将方程整理为一般式，得：x2﹣3x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，则x＝，即x1＝，x2＝．18．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．解：证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．19．（7分）如图，一幅长8cm、宽6cm的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的．求彩条的宽度．解：设水平彩条宽度为xcm，则竖直彩条的宽度为2xcm，由题意得：8x+6×2x﹣2x×x＝×8×6，整理得：x2﹣10x+9＝0，解得：x＝1，或x＝9（不合题意舍去），∴x＝1，2x＝2，答：水平彩条宽度为1cm，则竖直彩条的宽度为2cm．20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A 作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF为矩形．21．（7分）某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？解：（1）设二、三月份服装销售量的平均月增长率为x，依题意，得：320（1+x）2＝500，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：二、三月份服装销售量的平均月增长率为25%．（2）设每件降价y元，则四月份可售出（500+10×）件，依题意，得：（150﹣80﹣y）（500+10×）＝12000，整理，得：y2+180y﹣11500＝0，解得：y1＝50，y2＝﹣230（不合题意，舍去）．答：每件降价50元时，四月份可获利12000元．22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．【解答】（1）证明：∵DF∥AE，EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形．∵四边形ABOC是正方形，∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝Rt∠．∵点D，E是OB，OC的中点，∴CE＝BD，在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∴▱AEFD是菱形．（2）解：如图，连结DE．∵S△ABD＝AB•BD＝×8×4＝16，S△ODE＝OD•OE＝×4×4＝8，∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2 S△ABD﹣S△ODE＝64﹣2×16﹣8＝24，∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．23．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）填空：①当D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？答：菱形；②若D是AB的中点，则当∠A的度数为45°时，四边形BECD是正方形．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：①四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝AB＝BD，∴四边形BECD是菱形；故答案为：菱形；②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：∵∠ACB＝90°，当∠A＝45°时，△ABC是等腰直角三角形，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴四边形BECD是正方形；故答案为：45．24．（7分）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC＝（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ＝整理得t2﹣10t+100＝0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ＝整理得t2﹣10t﹣100＝0解得t＝5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．25．（9分）已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C 不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）当点E落在线段CD上时（如图），①求证：PB＝PE；②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．解：（1）①证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．∵PE⊥PB即∠BPE＝90°，∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．在△PGB和△PHE中，．∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB＝PE．②连接BD，如图2．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP＝90°．∵PE⊥PB即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF．∵EF⊥PC即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE．在△BOP和△PFE中，，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC＝OB．∵BC＝1，∴OB＝，∴PF＝．∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为．（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．同理可得：PB＝PE，PF＝．（3）①若点E在线段DC上，如图1．∵∠BPE＝∠BCE＝90°，∴∠PBC+∠PEC＝180°．∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°．若△PEC为等腰三角形，则EP＝EC．∴∠EPC＝∠ECP＝45°，∴∠PEC＝90°，与∠PEC＞90°矛盾，∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形．②若点E在线段DC的延长线上，如图4．若△PEC是等腰三角形，∵∠PCE＝135°，∴CP＝CE，∴∠CPE＝∠CEP＝22.5°．∴∠APB＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°．∵∠PRC＝90°+∠PBR＝90°+∠CER，∴∠PBR＝∠CER＝22.5°，∴∠ABP＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB．∴AP＝AB＝1．∴AP的长为1．。

河南省豫南九校2024-2025学年高二英语上学期其次次联考试题(考试时间：100分钟试卷满分：120分)第一部分听力(略)其次部分阅读理解(共两节，满分40分)第一节(共15小题；每小题2分，满分30分)阅读下列短文，从每题所给的四个选项(A、B、C、和D)中，选出最佳选项。

AShows, Events and Festivals for Outdoor Lovers28 June-8 JulyGrahamstown National Arts FestivalGrahamstown, ECUndoubtedly Africa's most important arts and culture event, the National Arts Festival is the highlight (最精彩的部分)of many South African's events calendar, turning the sleepy university center of Grahamstown into a hive of activity(热闹繁忙的场所). It's a beautiful, honest and diverse celebration of South African art, with a little international talent thrown in the mix for added variety. Don't miss out on the market, either!nationalartsfestical.co.za13-15 JulyCanimambl Free Form Music & Arts FestivalGraskop, MPCalling all free spirits: pack your tent, guitar and paintbrushes and head for Graskop. The Canimambo Festival is a celebration of art that breaks the rules-free expression is the order of the day! There will be plenty of food and activities, and young children will be kept entertained by a swimming pool, art competition and jumping castle. The event will be held at Graskop Holiday Resort, so campers of all sorts are welcome. Search for the festival on Facebook for more information.29 June-1 JulyKirkwood WildsfeesPort Elizabeth, ECTaking place in the Sundays River Valley, this weekend-long festival promises three days of "born to be wild" fun to start off the school holidays. Tickets allow you access to live entertainment, the Agri Expo and plenty of good food and尽rink. Confirmed artists include Locnville, Snotkop and Kurt Darren. Why not set up a tent in one of the nearby campsites and join the fun?wildsfees.co.za5-7 JulyEllisras BosveldfeesLephalale, LPHead up north this month for the festival fun you can handle. From cattle contests and dog shows to a beer tent and traditional food, your entire weekend will be covered in Lephalale. There's even a three-day 4×4 competition for all the off-road(越野)enthusiasts!. Why not have some fun in the heart of the bushveld(南非草原)? Search for the festival on Facebook for more information.21. What can we know from the text?A. No international ails are on show at Grahamstown National Arts FestivalB. Kids activities are provided at Canimambl Form Music & Arts FestivalC. Many artists from around the world will attend Kirkwood WildsfeesD. There is a beer competition at Ellisras Bosveldfees22. Which event will you go to if you want to see live entertainment?A. Grahamstown National Arts Festival.B. Canimambl Free Form Music & Arts Festival.C. Kirkwood Wildsfees.D. Ellisras Bosveldfees.23. When can you see an animal show in Lephalale?A. On 28 June.B. On 14 July.C. On 29 June.D. On 6 July.BWe know that smartphone addiction is real, and that it can affect lives in negative ways. While some people have tried going cold turkey(快速戒掉坏习惯) or even punishing themselves for their mobile phones, an app is made available in the UK that rewardspeople for staying away from their devices.The app, called Hold, was created by Norwegians Maths Mathisen, Florian Winder, and Vinoth Vinaya while they are studying at Copenhagen's Business school, to help break fellow students' attachments to their devices.The three college students found that positive reinforcement(强化)was the best way of beating smartphone addiction. Hold allows students to collect points for staying off their devices between the hours of 7 am and 11 pm; they get 10 points for every 20 minutes.Through partnerships with universities and businesses, points can be used for discounts on everything from cinema tickets to Amazon goods to cafe food and drink.A half price cinema ticket, for example, costs 60 points, or 2 hours away from a phone. And a￡5($ 6.88)Amazon voucher (代金券) needs 1,000 points, or 33 hours off your smartphone.Students can also use their points to buy school books and stationery(文具), which are then donated to schools partnered with children's charity Unicef.Over 120, 000 people use the app in Scandinavia, including 40 percent of higher education students in Norway, where Hold first came onto market in February 2024. It's now available to students from over 170 universities in the UK.A 2024 University of Texas study claimed that merely placing a smartphone in someone's line of sight slowed down their productivity, response time, and reduced their grades. An earlier study from the London School of Economics found students who didn't use smartphones on school grounds saw their test scores increase 6. 4 percent.24. The app Hold was created mainly to .A. promote online sales of goodsB. earn discounts on goods or servicesC. find new uses of mobile phonesD. help students put down their smartphones25. How long should a student stay off the mobile phone to get 300 points?A. 6 hours.B. 10 hours.C. 15 hours.D. 30 hours.26. What is the main purpose of the text?A. To tell the story of Hold creationB. To present people's opinions of HoldC. To give a brief introduction of HoldD. To attract potential customers to Hold27. Where is the text most likely to appear?A. A newspaper advertisementB. A computer textbookC. A science magazineD. An official documentCThe dancer put a cardigan sweater over her leotard. Then she sat down to eat a sandwich. Cardigan, leotard, sandwich-where did these words come from? Did you know that each of them was a person's name? Words that come from proper names are called eponyms(名祖名词), and there are many eponyms in English.The sandwich, for example, was named for John Montagu, the Earl(伯爵)of Sandwich. He lived from 1718-1792. He loved to play cards and did not want to stop a game even to eat. By putting cold meat between two pieces of bread, he could eat while he played.The cardigan sweater was named for an officer in the British army. In the 1800s, James Thomas Brudenell, the Earl of Cardigan, spent his own money to buy special knitted(针织的)jackets for the men in his army. Knitted jackets with buttons soon came to be called cardigans.Jules Leotard was a French circus performer. In 1859, at the age of twenty-one, Leotard performed the first mid-air somersault(空翻). He became known as the "daring young man on the flying trapeze(吊杠)". Leotard invented a close-fitting one-piece suit to wear when he performed. Dancers still call their close-fitting garments leotards.Another person who gave her name to a style of clothing was Amelia Bloomer. Bloomer was the editor of a magazine called The Lily. American women in her day were expected to wear heavy skirts that dragged on the floor. In 1851, a young woman named Elizabeth Smith Miller introduced a new kind of clothing that was much easier to move around in. She wore a dress that came only to the knees. Under it she wore loose pants that fitted close at the ankles. Amelia Bloomer published a picture of the outfit(全套服装)in the Lily.She hoped women would adopt the new style. In news stories, reporters called the pants "bloomers". A hundred years later, people were still using the word.There are many other words that come from people's names. The diesel engine was named for its inventor, Rudolf Diesel. The word boycott comes from the name of an English landlord named Charles Boycott. Where each word came from is a story in itself. Who knows, maybe your name will become a word someday.28. Why did the Earl of Sandwich invent the "sandwich"?A. He found it boring to play cards.B. He preferred to eat meat and bread.C. He wanted to create a new kind of food.D. He could eat while playing cards without stopping the game.29. According to the text, what do "bloomers" refer to?A. Loose dressesB. Loose pants worn under a dressC. Dresses that came to the kneesD. Heavy skirts dragged on the floor30. What do the words cardigan, leotard and sandwich have in common?A. They are still in use today.B. They were first used in the army.C. They belong to the clothing category.D. They were invented during the same period.31. What is the best title for this passage?A. Ways to remember words.B. Words that come from people's names.C. The history of garments development.D. The unknown stories behind English words.DA team of researchers led by engineers from Penn State University has created the first material that heals itself in the presence of water, according to a study published in Scientific Reports. The material, inspired by squid(鱿鱼)teeth, could be used to repair instruments in water-filled environments that are difficult to access, such as the human body, or the bottom of the sea.The researchers had been studying squids' ring teeth, which are uniquely strong and can change state from liquid to solid in the presence of water. After testing ring teeth samples from several species of squid found all over the world, the researchers uncovered the genetic code for the proteins (蛋白质) that allow the teethto heal themselves when broken. They then changed the genetic structure of bacteria to produce the proteins so they could conduct more tests.The researchers then made the proteins into a rubbery plastic by mixing them with a solvent(溶剂)and letting the solvent change into a gas. The resulting material combines a soft, shapeless part of the protein that gives the plastic its self-healing characteristics and a more structured sheet of amino acids(氨基酸)that give it a solid structure.To test the material's strength, the researchers cut it, and then put the two pieces back together with a drop of water. They found that the material healed best at 113 degrees Fahrenheit, a little warmer than the temperature of the human body, and with slight pressure from a metal tool. The material was just as strong, and able to hold the same amount of weight, before and after it was cut.Material that heals itself in the presence of water could expand the usability of biomedical implants(移植). Of course, this material is nowhere near ready for that application, and the researchers didn't test whether the constant presence of water degrades(降低)the plastic's ability to heal itself. The researchers next plan to study how their technology could help heal wounds.32. According to paragraph 3, the rubbery plastic become self-healing in combination with .A. amino acidsB. another kind of rubberC. a mixture of gasesD. some protein33. In paragraph 4, the researchers carried out a test to check whether the material .A. was fit for human bodyB. would melt at high temperaturesC. could be connected with the metalD. would recover its original strength after healing itself34. What is the author's attitude towards the self-healing material?A. Positive.B. Objective.C. Doubtful.D. Critical.35. What is the main idea of the text?A. A kind of self-healing teeth was made from squids' ring teeth.B. The genetic code of squids' special teeth has been uncovered.C. Super-strong material inspired by squid teeth is self-healing.D. A special rubbery plastic is used to replace squids' teeth.其次节(共5小题；每小题2分，满分10分)依据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。

专题5．4 解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A．B．C．2p D．【答案】D【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则+＝．故选：D．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．【答案】C【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，即有|AB|•|CD|＝x1x2，设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线P A，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，∴k1•k2＝，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），∴k1•k2＝，又k1•k2为定值，∴＝，解得λ＝．故选：C．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝．【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，，两式作差得，，则，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝＝﹣∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（ ）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1【答案】C【解析】设A B ，的坐标为()11x y ，，()22x y ，28x y =，4x y '=， PA PB ，的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=- 由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA PB ，都过点()4P b ，1144x b y ∴=⨯-，2244xb y =⨯-， 故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-， 当0x =时，4y =∴直线AB 恒过定点()04-，，故选C2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ）A ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭， ① 又221x y += ， ②①-②得():221AB m x my -+=， 可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________． 【答案】28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 由()2221211141616414=+4M x y k x k y k x ⎧+=-⎪⇒=⎨+⎪⎩， 同理222122214164641416N k k x k k --==++． 121814M k y k =+，1211616Nk y k -=+, 取11k =，由对称性可知，直线MN 经过x 轴上的定点28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭.【归纳总结】在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，当12k k ⋅为非零常数时，直线MN 经过定点.三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（ ） A ．为定值3- B ．为定值3 C ．为定值1- D ．不是定值 【答案】A【解析】设直线l 的方程为y kx b =+，由题意得22y kx b y x=+⎧⎨=⎩，则得()222220k x kb x b +-+=； 设A ，B 两点的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则得12222kb x x k-+=，2122b x x k =； 又因为3221=k k ，即121223y y x x =，所以()2222222121222221222222222223k x x kb x x b kb k b k k b k b k k b k k k k x x b b b b +++--+-=++=+=== ，则得3b k =，直线l 的方程为()33y kx b kx k k x =+=+=+； 当0y =时，3x =-，所以直线l 的横截距为定值3-.故选A.2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >） 和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（ ）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可得函数()1log ,(0,1)m f x x m m >≠=+，恒过定点(1,1). 将点(1,1)代入7ax by +=，可得7a b +=.由于(1,1)始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +.又由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，所以点(,)a b 在以(3,4)和(4,3)为端点的线段上运动， 当取点(3,4)时，43b a =，取点(4,3)时，34b a，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（ ）A.1B.2 C ．3 D ．4 【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x my a =+，代入28y x =，得2880y my a --=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y a +=⋅=-.()()()2222222111111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，∴()21212222222221212211111111y y y y m y y m y y AP BP+-⎛⎫+=+= ⋅⎪++⎝⎭ ()()22222264284164114m a m am a a m -⨯-+=+⋅=+，∵2211||||AP BP +为定值， 是与m 无关的常数，∴4a =．故选D ．4．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 若“•＝0”，则设直线AB 方程为x ＝my +b ，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ， 若•＝0，则•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4或b ＝0，又由b ≠0，则b ＝4，则直线AB 的方程为x ＝my +4，即my ＝x ﹣4，则直线AB 恒过定点（4，0）， “•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线AB 恒过定点（4，0），设直线AB 的方程为x ＝my +4，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣16＝0，则有y 1y 2＝﹣16， 此时•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝0，故“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（ ） A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ． 故选：A ．6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】D【解析】圆C 标准方程为22(1)(1)1x y ++-=，圆心为(1,1)C -，半径为1r =，直线:20l x y a --=2115a---=，35a =-当35a =-+C 在直线l 上方，20x y a --≤，当=--35a C 在直线l 下方，20x y a --≥，若212x y x y a -+++--为定值，则20x y a --≥，因此35a ≤-D 满足． 故选：D.7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0 【答案】A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=， 又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，选A. 8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)9．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得，121212()()2()y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点(,0)2p F ，所以直线AB 方程为()2p y k x =-.由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222244(2)0k x p k x p k -++=，则22121222(2),,4p k p x x x x k ++== 222212121212()()[()]2224p p p p y y k x x k x x x x p =--=-++=-.2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（ ） A ．1324M M M M ⋅ B ．14FM FM ⋅ C ．1234M M M M ⋅ D ．112FM M M ⋅【答案】C 【解析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k++==． 过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ， 则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确． 对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设12(,0),(,0)F c F c -，再设动点(,)M x y ，动点到定点12,F F 的“L­距离”之和等于(20)m m c >>，由题意可得：x c y x c y m ++-++=，即2x c x c y m -+++=， 当,0x c y <-≥时，方程化为220x y m -+=； 当,0x c y <-<时，方程化为220x y m ++=；当,0c x c y -≤<≥时，方程化为2my c =-； 当,0c x c y -≤<<时，方程化为2my c =-；当,0x c y ≥≥时，方程化为220x y m +-=； 当,0x c y ≥<时，方程化为220x y m --=；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ． 12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（ ） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】①双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，设为（m ，n ），两条渐近线方程为y=±ba x=222222b m a n a b -+， 由b 2m 2﹣a 2n 2=a 2b 2，可得两个距离乘积是定值2222a b a b+； ②双曲线2222x y a b -=1与22221x y b a -=（a ＞0，b ＞0）的离心率分别是e 1，e 2，即有e 12=222a b a +，e 22=222a b b +，可得22122212e e e e +为定值1；③过抛物线x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A ，B ，可设A （s ，22s p），B （t ，22t p ），由OA ⊥OB 可得st+2224s t p=0，即有st=﹣4p 2， k AB =()222t s p t s --=2t s p +，可得直线AB 的方程为y ﹣22s p=2t s p +（x ﹣s ），即为y=2t s p +x+2p ， 则直线AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选A ．13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（ ） A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题 【答案】A【解析】设(,)M m n ，即有22m n λ-=，双曲线的渐近线为y x =±，可得MN =，由勾股定理可得ON ===，可得2222m n ON MN λ-⋅=== ．故选：A ．14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题 【答案】C 【解析】1a =，2b =，∴c =1(F，2F， 设点)P m ，∴2222()(1))1504m OP OFF P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，m =，则P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.15．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化【答案】A【解析】由双曲线方程221169x y -=知，28a =，双曲线的渐近线方程为34y x 直线PQ 的倾斜角为60︒，所以334PQ k =>，又直线PQ 过焦点1F ，如图 所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a -==…………(1)，2128QF QF a -== (2)由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=，2216PF QF PQ ∴+-=. 故选：A16．已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为( ) A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题 【答案】C【解析】如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，作一圆与线段F 1P ，F 1F 2的延长线都相切，并且与线段PF 2也相切，切点分别为D ，A ，B ，1111221122||||||||||||||||||||F D F A PF PD F F F A PF PB F F F A =⇔+=+⇔+=+， 12122212122||||||||||||||||||2||PF PB F B F F F A F B PF PF F F F A ⇔++=++⇔+=+，所以2||F A a c =-(c 为椭圆半焦距)，从而点A 为椭圆长轴端点，即圆心M 的轨迹是直线x =a (除点A 外). 因点M (2,1)在12PF F ∠的平分线上，且椭圆右端点A (2,0)，所以点M 是上述圆心轨迹上的点，即点M 到直线F 1P ，PF 2，F 1F 2的距离都相等，且均为1，1MPF 与2MPF 的面积之和为1212111||1||1(||||)2222PF PF PF PF ⋅⋅+⋅⋅=+=.故选：C17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（ ） A ．(1,0) B ．(3,0)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设直线BC 的方程为x ky m =+，()()1122,,B x y C x y 、，则由2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2224240k y mky m +++-=， 所以212122224,44mk m y y y y k k --+==++， ()22222121212224244m mkx x k y y mk y y m k mk m k k --=+++=++++，因为()0,1A ，()()1122,1,1A x y B C x y A --==,，AB AC ⊥， 所以()()()1212121212111x x y y x x y y y y AB AC +-=-=++⋅-+22222222224242125304444m mk m mk k mk m km m k k k k k ---=+++++=+-=++++解得m k =-或35m k =， 当m k =-时，直线BC 的方程为()1x ky k k y =-=-，直线过()0,1点而()0,1A ，而,A B C 、不在同一直线上，不合题意； 当35m k =时，直线BC 的方程为3355x ky k k y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，直线过30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意.故选：D.18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题 【答案】D【解析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x +=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（ ） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题 【答案】A【解析】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ ， 解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+-1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2228120m y my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++， 代入（*）得121293433y y x y y -+==-，14y k x =+，22y k x =+ ，122211443k x k x x +∴==-=++.故选：A20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________． 【答案】(4,0).【解析】设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=,设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()221212121212OA OB ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+++=++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点()4,0．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.【答案】0【解析】设(,)P x y ，PAk PB =k =， 整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=， 又P 是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22222484168,11k k b k k+-==--，解得0b =. 22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．【解析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则222222221)222tan ,tan ,2tan 141,(4,22tan 3232r a r a rOPA OPB t t a r a rrtt t APB a r t a r t a r a rt tAPB t t r r +-+∠=∠=+--∴∠==-+-++=+∴=-∴∠==-+-+∵∠APB 的大小恒为定值，∴t23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________. 【答案】0【解析】取特殊点B ()0,2-，则BC的方程为22y x +=，由22242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C ()所以202AB AC k k +==. 24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______． 【答案】33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=，则()2215x y -+=，可得2242x y x +=+，① ()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，②由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+，可得202002220022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩，解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，B ∴点坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2）， 即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，∵点M ，N 在双曲线22124x y -=上，所以2211124x y -=，2222124x y -=，故2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2）， 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =2， ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0， ∴2x 2-y 2=20，所以P 在双曲线2x 2-y 2=20上； 设该双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出12PF PF -为定值，该定值为26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k-+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k+-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题 【答案】3【解析】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-， 此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦ 22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----． 故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =．28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 【答案】34-【解析】设()()()00,,2,02,0P x y A B - 2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥ 易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-. 故答案为：34-29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ=，2PN NF λ=，规定12λλ+=PM PN MF NF +，则PM PNMF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PN MF NF+的定值为________. 【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题【答案】222a b-【解析】如图，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，过点(),0F c 的直线为()y k x c =-，代入椭圆的方程得：()2222222222220b a kxa k cx a k c ab +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k-⋅=+， 过点,M N 分别作x 轴的垂线，垂足为,D E ，则111x PM x c MF λ==--，222=x PNx c NFλ=--，所以()()()()()1221121212122212121212122x x c x x c x x c x x x x x c x c x x c x x c x x c x x c λλ-+--+⎛⎫+=-+=-=-⎪---++-++⎝⎭将22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k -⋅=+代入化简得：21222a b λλ+=-. 故答案为：222a b-.30．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题 【答案】4 【解析】设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==- 31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k -+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k +-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为（1，0）．。

综合拔高练五年高考练考点1 等差数列及其应用 1.(2020全国Ⅱ,4,5分,)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块 2.(2020浙江,7,4分,)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差d ≠0,且a1a ≤1.记b 1=S 2,b n +1=S 2n +2-S 2n ,n ∈N *,下列等式不可能成立的是 ( )A.2a 4=a 2+a 6B.2b 4=b 2+b 6C.a 42=a 2a 8D.a 42=b 2b 83.(2019课标全国Ⅰ,9,5分,)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( )A.a n =2n -5B.a n =3n -10C.S n =2n 2-8n D.S n =12n 2-2n4.(2020新高考Ⅰ,14,5分,)将数列{2n -1}与{3n -2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前n 项和为 . 5.(2020浙江,11,4分,)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列{a (a +1)2}就是二阶等差数列.数列{a (a +1)2}(n ∈N *)的前3项和是 .6.(2019课标全国Ⅲ,14,5分,)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1≠0,a 2=3a 1,则a 10a 5= .7.(2019北京,10,5分,)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 .8.(2019课标全国Ⅰ,18,12分,)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9=-a 5.(1)若a 3=4,求{a n }的通项公式;(2)若a 1>0,求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.考点2 等比数列及其应用 9.(2020全国Ⅰ,10,5分,)设{a n }是等比数列,且a 1+a 2+a 3=1,a 2+a 3+a 4=2,则a 6+a 7+a 8=( )A.12B.24C.30D.32 10.(2018北京,4,5分,)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为 ( ) A.√23f B.√223fC.√2512 fD.√2712f 11.(2019课标全国Ⅰ,14,5分,)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5= .12.(2020全国Ⅲ文,17,12分,)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=4,a 3-a 1=8.(1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和.若S m +S m +1=S m +3,求m.13.(2019课标全国Ⅱ,19,12分,)已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n-b n+4,4b n+1=3b n-a n-4.(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n-b n}是等差数列;(2)求{a n}和{b n}的通项公式.考点3数列的综合问题14.(2020江苏,11,5分,)设{a n}是公差为d的等差数列,{b n}是公比为q的等比数列.已知数列{a n+b n}的前n项和S n=n2-n+2n-1(n∈N*),则d+q的值是.15.(2020全国Ⅰ,16,5分,)数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1,前16项和为540,则a1=.16.(2020新高考Ⅰ,18,12分,)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3=8.(1)求{a n}的通项公式;(2)记b m为{a n}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{b m}的前100项和S100.考点4数学归纳法*17.(2020全国Ⅲ理,17,12分,)设数列{a n}满足a1=3,a n+1=3a n-4n.(1)计算a2,a3,猜想{a n}的通项公式并加以证明;(2)求数列{2n a n}的前n项和S n.三年模拟练应用实践1.(多选)(2020江苏盐城高二期末,)设d,S n分别为等差数列{a n}的公差与前n项和,若S10=S20,则下列判断中正确的有()A.当n=15时,S n取最大值B.当n=30时,S n=0C.当d>0时,a10+a22>0D.当d<0时,|a10|>|a22|2.(多选)(2020江苏苏州实验中学高二月考,)已知等差数列{a n }的首项为1,公差d =4,前n 项和为S n ,则下列结论成立的有( )A.数列{a aa}的前10项和为100B.若a 1,a 3,a m 成等比数列,则m =21C.若∑a =1a1a a a a +1>625,则n 的最小值为6D.若a m +a n =a 2+a 10,则1a +16a 的最小值为2512 3.(2020四川南充西南大学实验学校高一月考,)已知数列{log a b n }(a >0且a ≠1)是首项为2,公差为1的等差数列,若数列{a n }是递增数列,且满足a n =b n lg b n ,则实数a 的取值范围是( )A.(23,1) B.(2,+∞)C.(23,1)∪(1,+∞) D.(0,23)∪(1,+∞) 4.(2020山东济宁实验中学高二上期中,)古代埃及数学中有一个独特现象:除23用一个单独的符号表示以外,其他分数都可写成若干个单分数和的形式.例如25=13+115,可这样理解:有两个面包,要平均分给5个人,每人13,余13,再将这13分成5份,每人得115,这样每人分得13+115.形如22a -1(n ≥3,n ∈N *)的分数的分解:25=13+115,27=14+128,29=15+145,按此规律,22a -1=(n ≥3,n ∈N *).5.(2021河南豫南九校高二联考,)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,其中a 1=1,3S n =(n +m )a n (m ∈R),且a n b n =15.若对任意n ∈N *,λ>T n 恒成立,则实数λ的最小值为 .6.(2021上海交通大学附属中学高三月考,)已知等差数列{a n }(公差不为零)和等差数列{b n },如果关于x 的方程2 021x 2-(a 1+a 2+…+a 2021)x +b 1+b 2+…+b 2021=0有实数解,那么以下 2 021个方程x 2-a 1x +b 1=0,x 2-a 2x +b 2=0,x 2-a 3x +b 3=0,……,x 2-a 2 021x +b 2 021=0中,无实数解的方程最多有个.7.(2021浙江宁波宁海中学高三二模,)已知{|a n |}是首项和公差均为1的等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,记m n 为|S n |的所有可能取值中的最小值,则m 1+m 2+…+m 2 020= .a n+1,②a n+1=a n+2,③8.(2021江苏南京三校高三期中联考,)在下列三个条件①a n+1=12S n=2a n-1中选择一个补充在题中横线处,并作答.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,对任意的n∈N*,都有,等比数列{b n}中,对任意的n∈N*,都有b n>0,2b n+2=b n+1+3b n,且b1=1,问:是否存在k∈N*,使得对任意的n∈N*,都有a n b k≤a k b n?若存在,试求出k的值;若不存在,请说明理由.9.(2020天津耀华中学高二上期中,)在数列{a n}中,已知a1=1,其前n项和为S n,且对任意的正整数n,都有2S n=(n+1)a n成立.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)已知关于n 的不等式a 3-2a 3·a 4-2a 4·…·a a -2a a <√2a +1对一切n ≥3,n ∈N *恒成立,求实数a 的取值范围;(3)已知c n =(11+a a)2,数列{c n }的前n 项和为T n ,试比较T n 与23的大小并证明.迁移创新10.(2019北京高考,)已知数列{a n },从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项(i 1<i 2<…<i m ),若a a 1<a a 2<…<a a a ,则称新数列a a 1,a a 2,…,a a a 为{a n }的长度为m 的递增子列.规定:数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列. (1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;(2)已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为a a 0,长度为q 的递增子列的末项的最小值为a a 0.若p <q ,求证:a a 0<a a 0;(3)设无穷数列{a n }的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{a n }的长度为s 的递增子列的末项的最小值为2s -1,且长度为s 且末项为2s -1的递增子列恰有2s -1个(s =1,2,…),求数列{a n }的通项公式.4.1~4.4综合拔高练五年高考练1.C由题意可设每层有n个环,则三层共有3n个环,∴每一环扇面形石板的块数构成以a1=9为首项,9为公差的等差数列{a n},且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1,中层总数为S2,下层总数为S3,∴S3-S2=[9(2a+1)×a+a(a-1)2×9]-9(n+1)×n+a(a-1)2×9=9n2=729,解得n =9(负值舍去).则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9+27×262×9=27×9+27×13×9=27×14×9=3402(块).故选C .2.D 对于A,a 2,a 4,a 6成等差数列,故A 成立;对于B,由b n +1=S 2n +2-S 2n =a 2n +2+a 2n +1,可得b n +1-b n =a 2n +2+a 2n +1-(a 2n +a 2n -1)=a 2n +2-a 2n +a 2n +1-a 2n -1=4d ,故{b n }是等差数列,则b 2,b 4,b 6也成等差数列,故B 成立;对于C,a 42=(a 1+3d )2=a 12+6a 1d +9d 2,a 2a 8=(a 1+d )·(a 1+7d )=a 12+8a 1d +7d 2,所以a 42-a 2a 8=2d 2-2a 1d =2d (d -a 1),当d =a 1时,a 42=a 2a 8成立;对于D,a 42=(a 1+a 2+12a )2=(2a 1+13d )2=4a 12+52a 1d +169d 2,b 2b 8=(a 1+a 2+4d )(a 1+a 2+28d )=(2a 1+5d )(2a 1+29d )=4a 12+68a 1d +145d 2,所以a 42-b 2b 8=24d 2-16a 1d =8d 2(3-2·a1a )≥8d 2>0,所以a 42≠b 2b 8,故D 不可能成立.故选D .3.A 设{a n }的公差为d ,依题意得,4a 1+4×32d =0①,a 1+4d =5②,联立①②,解得a 1=-3,d =2.所以a n =2n -5,S n =n 2-4n.故选A . 4.答案 3n 2-2n解析 ∵数列{2n -1}的项为1,3,5,7,9,11,13,…, 数列{3n -2}的项为1,4,7,10,13,…, ∴数列{a n }是首项为1,公差为6的等差数列, ∴a n =1+(n -1)×6=6n -5, ∴数列{a n }的前n 项和S n =(1+6a -5)×a2=3n 2-2n.5.答案 10 解析 数列{a (a +1)2}的前三项依次为1×22=1,2×32=3,3×42=6,∴所求和为1+3+6=10. 6.答案 4解析 设等差数列{a n }的公差为d , ∵a 2=3a 1,∴a 2=a 1+d =3a 1,∴d =2a 1, ∴S 10=10a 1+10×92d =100a 1,S 5=5a 1+5×42d =25a 1,又∵a 1≠0,∴a10a 5=4.7.答案 0;-10解析 解法一:设等差数列{a n }的公差为d , ∵a 2=-3,S 5=-10, ∴{a 1+a =-3,5a 1+5×42a =-10, 即{a 1+a =-3,a 1+2a =-2,解得{a 1=-4,a =1,∴a 5=a 1+4d =0,S n =na 1+a (a -1)2d =-4n +a 2-a 2=12(n 2-9n )=12(a -92)2-818,∵n ∈N *,∴n =4或n =5时,S n 取最小值,最小值为-10. 解法二:设等差数列{a n }的公差为d ,易得S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3,∵S 5=-10,∴a 3=-2,又a 2=-3,∴d =1,∴a 5=a 3+2d =0,∴(S n )min =S 4=S 5=-10.8.解析 (1)设{a n }的公差为d. 由S 9=-a 5得a 1+4d =0. 由a 3=4得a 1+2d =4. 于是a 1=8,d =-2.因此{a n }的通项公式为a n =10-2n. (2)由(1)得a 1=-4d ,故a n =(n -5)d ,S n =a (a -9)a2.由a 1>0知d <0,故S n ≥a n 等价于n 2-11n +10≤0,解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10,n ∈N }. 9.D 设等比数列{a n }的公比为q , 故a 2+a 3+a 4=q (a 1+a 2+a 3), 又a 2+a 3+a 4=2,a 1+a 2+a 3=1, ∴q =2,∴a 6+a 7+a 8=q 5(a 1+a 2+a 3)=25=32,故选D .10.D 由题意知,十三个单音的频率依次构成首项为f ,公比为√212的等比数列,设该等比数列为{a n },则a 8=a 1q 7,即a 8=√2712f ,故选D .11.答案1213解析 设{a n }的公比为q ,由a 42=a 6,得a 42=a 4·q 2,∴a 4=q 2.又∵a 4=a 1·q 3,∴a 1·q 3=q 2,又a 1=13,∴q =3.由等比数列求和公式可知S 5=13×(1-35)1-3=1213.12.解析 (1)设{a n }的公比为q ,则a n =a 1q n -1. 由已知得{a 1+a 1a =4,a 1a 2-a 1=8,解得{a 1=1,a =3.所以{a n }的通项公式为a n =3n -1. (2)由(1)知log 3a n =n -1.故S n =a (a -1)2.由S m +S m +1=S m +3得m (m -1)+(m +1)m =(m +3)(m +2),即m 2-5m -6=0, 解得m =-1(舍去)或m =6.13.解析 (1)证明:由题设得4(a n +1+b n +1)=2(a n +b n ), 即a n +1+b n +1=12(a n +b n ).又因为a 1+b 1=1,所以{a n +b n }是首项为1,公比为12的等比数列. 由题设得4(a n +1-b n +1)=4(a n -b n )+8,即a n +1-b n +1=a n -b n +2. 又因为a 1-b 1=1,所以{a n -b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知,a n +b n =12a -1,a n -b n =2n -1.所以a n =12[(a n +b n )+(a n -b n )]=12a +n -12,b n =12[(a n +b n )-(a n -b n )]=12a -n +12.14.答案 4 解析易知q ≠1,则{a n +b n }的前n 项和S n =na 1+a (a -1)2d +a 1(1-a a )1-a =a 2n 2+(a 1-a 2)n -a 11-a q n +a 11-a=n 2-n +2n-1, ∴a2=1,q =2,即d =2,q =2,∴d +q =4. 15.答案 7解析 令n =2k (k ∈N *),则有a 2k +2+a 2k =6k -1(k ∈N *), ∴a 2+a 4=5,a 6+a 8=17,a 10+a 12=29,a 14+a 16=41, ∴前16项的所有偶数项和S 偶=5+17+29+41=92, ∴前16项的所有奇数项和S 奇=540-92=448, 令n =2k -1(k ∈N *),则有a 2k +1-a 2k -1=6k -4(k ∈N *).∴a2k+1-a1=(a3-a1)+(a5-a3)+(a7-a5)+…+(a2k+1-a2k-1)=2+8+14+…+6k-4=a(2+6a-4)=k(3k-1)(k∈2N*),∴a2k+1=k(3k-1)+a1(k∈N*),∴a3=2+a1,a5=10+a1,a7=24+a1,a9=44+a1,a11=70+a1,a13=102+a1,a15=140+a1,∴前16项的所有奇数项和S奇=a1+a3+…+a15=8a1+2+10+24+44+70+102+140=8a1+392=448.∴a1=7.16.解析(1)设{a n}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8,(舍去),q2=2.解得q1=12由题设得a1=2,所以{a n}的通项公式为a n=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,b m=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.17.解析(1)a2=5,a3=7.猜想a n=2n+1.由已知可得a n+1-(2n+3)=3[a n-(2n+1)],a n-(2n+1)=3[a n-1-(2n-1)],……a2-5=3(a1-3).因为a1=3,所以a n=2n+1.(2)由(1)得2n a n=(2n+1)2n,所以S n=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n,①从而2S n=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1,②①-②得-S n=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1,所以S n=(2n-1)2n+1+2.知识拓展解决数列的求和问题,首先要得到数列的通项公式,再根据其特点选择相应的求和方法.数列求和的方法有以下几类:(1)公式法,等差或等比数列的求和用公式法;(2)裂项相消法,形如a n =1a (a +a )(k ≠0),可裂项为a n =1a ·(1a -1a +a);(3)错位相减法,形如c n =a n ·b n ,其中{a n }是等差数列,{b n }是等比数列;(4)分组求和法,形如c n =a n +b n ,其中{a n }是等差数列,{b n }是等比数列;(5)并项求和法.三年模拟练1.BC 因为S 10=S 20,所以10a 1+10×92d =20a 1+20×192d ,解得a 1=-292d.对选项A,因为无法确定a 1和d 的正负,所以无法确定S n 是否有最大值,故A 错误. 对选项B,S 30=30a 1+30×292d =30×(-292a )+15×29d =0,故B 正确.对选项C,a 10+a 22=2a 16=2(a 1+15d )=2(-292a +15a )=d >0,故C 正确.对选项D,a 10=a 1+9d =-292d +182d =-112d ,a 22=a 1+21d =-292d +422d =132d , 因为d <0,所以|a 10|=-112d ,|a 22|=-132d ,所以|a 10|<|a 22|,故D 错误. 故选BC .2.AB 由已知可得a n =4n -3,S n =2n 2-n ,a a a =2n -1,则数列{aaa }为等差数列,则其前10项和为10×(1+19)2=100,故A 正确; 若a 1,a 3,a m 成等比数列,则a 32=a 1·a m ,所以a m =81,即a m =4m -3=81,解得m =21,故B 正确; 因为1aa a a +1=14(14a -3-14a +1),所以∑a =1a1a a a a +1=141-15+15-19+…+14a -3-14a +1=a 4a +1>625,解得n >6,因为n ∈N *,所以n 的最小值为7,故C 错误;由等差数列的性质可知m +n =12,所以1a +16a =112(1a +16a )(m +n )=1121+a a +16aa+16≥112×(17+2×4)=2512,当且仅当a a =16aa,即n =4m =485时取等号,因为m ,n ∈N *,所以n =4m =485不成立,故D 错误.故选AB.3.D 由题意得log a b 1=2,log a b n +1-log a b n =log a a a +1a a=1, ∴b 1=a 2,a a +1a a=a ,∴{b n }是以a 2为首项,a 为公比的等比数列,∴b n =a n +1.∵a n =b n lg b n ,∴a n =a n +1lg a n +1=(n +1)a n +1·lg a ,∵{a n }为递增数列,∴a n +1-a n >0,即[(n +2)a -(n +1)]a n +1·lg a >0.①当a >1时,lg a >0,a n +1>0,∴(n +2)a -(n +1)>0,即a >a +1a +2=1-1a +2,∵1a +2>0,∴1-1a +2<1,∴只需a >1即可满足[(n +2)a -(n +1)]a n +1·lg a >0.②当0<a <1时,lg a <0,a n +1>0,∴(n +2)a -(n +1)<0,即a <1-1a +2,∵1a +2≤13,∴1-1a +2≥23,∴只需0<a <23即可满足[(n +2)a -(n +1)]a n +1·lg a >0.综上所述,实数a 的取值范围为(0,23)∪(1,+∞),故选D .4.答案1a +12a 2-a解析 由题意得,25=13+115, 即22×3-1=13+13×(2×3-1),27=14+128,即22×4-1=14+14×(2×4-1),29=15+145,即22×5-1=15+15×(2×5-1), 由此归纳出22a -1=1a +1a (2a -1)(n ≥3,n ∈N *).又1a +1a (2a -1)=2a -1+1a (2a -1)=22a -1,结论成立,∴22a -1=1a +12a 2-a . 解题模板由数列的前几项归纳其通项公式时,首先要分析项的结构,然后探究结构中的各部分与项的序号n 之间的函数关系,进而求得通项公式. 5.答案 25解析 当n =1时,3S 1=3a 1=(1+m )a 1,解得m =2.当n ≥2时,由{3a a =(a +2)a a ,3a a -1=(a -1+2)a a -1得(n -1)a n =(n +1)a n -1,即a a a a -1=a +1a -1.由累乘法可得a a a 1=a (a +1)2, 又a 1=1,所以a n =a (a +1)2,由a n b n =15,得b n =25a (a +1)=25(1a -1a +1), 所以T n =251-12+(12-13)+…+(1a -1a +1)=25(1-1a +1)<25.因为对任意n ∈N *,λ>T n 恒成立,所以λ≥25,故实数λ的最小值为25. 6.答案 1010解析 设等差数列{a n }的公差为d 1,d 1≠0,等差数列{b n }的公差为d 2,则a 1+a 2+…+a 2021=2021a 1011,b 1+b 2+…+b 2021=2021b 1011, 所以原方程可变为2021x 2-2021a 1011x +2021b 1011=0,由该方程有实数解可得(-2021a 1011)2-4×20212b 1011≥0,即a 10112≥4b 1011.要使方程x 2-a i x +b i =0(i ∈N *,i ≤2021)无解, 则需Δ=(-a i )2-4b i =a a 2-4b i <0(i ∈N *,i ≤2021).设y 1=a a 2=[a 1+(a -1)a 1]2,y 2=4b i =4[b 1+(i -1)d 2](i ∈N *,i ≤2021),易得y 1的图象为开口向上的抛物线的一部分,y 2的图象为直线的一部分, 又i =1011时,y 1≥y 2,所以满足y 1<y 2的i 的取值最多可有1010个, 即无实数解的方程最多有1010个. 7.答案 1010解析 因为{|a n |}是首项和公差均为1的等差数列,所以|a n |=1+n -1=n , 根据等差数列的性质,对任意p ,q ,r ,s ∈N *,若p +q =r +s ,则|a p |+|a q |=|a r |+|a s |, 所以存在满足p +q =r +s ,有a p +a q =-(a r +a s ). 当n =4k 时,S 4k =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+…+a 4k -3+a 4k -2+a 4k -1+a 4k ,为使|S 4k |取得最小值,只需a 2+a 3=-(a 1+a 4),a 5+a 8=-(a 6+a 7),……,a 4k -3+a 4k =-(a 4k -2+a 4k -1), 此时S 4k =k (a 1+a 2+a 3+a 4)=0,即|S 4k |的最小值m 4k =0; 当n =4k +1时,S 4k +1=a 1+(a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+…+a 4k -3+a 4k -2+a 4k -1+a 4k +a 4k +1),为使|S 4k +1|取得最小值,同n =4k 时,只需S 4k +1=a 1+k (a 2+a 3+a 4+a 5)=a 1, 此时S 4k +1=a 1,即|S 4k +1|的最小值m 4k +1=1; 当n =4k +2时,S 4k +2=a 1+a 2+(a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+…+a 4k -3+a 4k -2+a 4k -1+a 4k +a 4k +1+a 4k +2),为使|S 4k +2|取得最小值,同n =4k 时,只需S 4k +2=a 1+a 2+k (a 3+a 4+a 5+a 6)=a 1+a 2, 此时S 4k +1=a 1+a 2,当a 1=1,a 2=-2时,可使|S 4k +2|取得最小值m 4k +2=1; 当n =4k +3时,S 4k +3=a 1+a 2+a 3+(a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+…+a 4k -3+a 4k -2+a 4k -1+a 4k +a 4k +1+a 4k +2+a 4k +3),为使|S 4k +3|取得最小值,同n =4k 时,只需S 4k +3=a 1+a 2+a 3+k (a 4+a 5+a 6+a 7)=a 1+a 2+a 3,当a 1=1,a 2=2,a 3=-3时,可使|S 4k +3|取得最小值m 4k +3=0.所以m n 以4为周期,因此m 1+m 2+…+m 2020=505×(m 1+m 2+m 3+m 4)=1010.8.解析 设等比数列{b n }的公比为q.因为对任意的n ∈N *,都有2b n +2=b n +1+3b n , 所以2q 2=q +3,解得q =-1或q =32.因为对任意的n ∈N *,都有b n >0,所以q >0,从而q =32.又b 1=1,所以b n =(32)a -1.假设存在k ∈N *,使得对任意的n ∈N *,都有a n b k ≤a k b n ,即a a a a≤aa a a.记c n =aa a a,n ∈N *.下面分别选择①②③作为条件进行研究.选择①.因为a n +1=12a n +1,所以a n +1-2=12(a n -2). 又a 1=1,所以a 1-2=-1≠0,所以a n -2≠0,从而a a +1-2a a -2=12, 所以数列{a n -2}是以a 1-2=-1为首项,12为公比的等比数列,则a n -2=-(12)a -1,即a n =2-(12)a -1,所以c n =a a a a =2a -13a -1,从而a a +1a a=2a +1-13(2a -1).由2a +1-13(2a-1)≤1得2n≥2,解得n ≥1,当n =1时,c 1=c 2,当n >1时,c n +1<c n ,所以当n 的值为1或2时,c n 取得最大值,即aa a a取得最大值.所以对任意的n ∈N *,都有a a a a≤a 2a 2=a1a 1,即a n b 1≤a 1b n ,a n b 2≤a 2b n ,所以存在k 的值为1或2,使得对任意的n ∈N *,都有a n b k ≤a k b n . 选择②.因为a n +1=a n +2,所以a n +1-a n =2,所以数列{a n }是以1为首项,2为公差的等差数列,又a 1=1,所以a n =1+2(n -1)=2n -1, 所以c n =a a a a =(2n -1)(23)a -1>0,从而a a +1a a=2(2a +1)3(2a -1).由2(2a +1)3(2a -1)≤1得2n ≥5,解得n ≥52,当n ≤2时,c n +1>c n ,当n ≥3时,c n +1<c n , 又c 2=2,c 3=209,所以当n =3时,c n 取得最大值,即aa a a取得最大值.所以对任意的n ∈N *,都有a a a a≤a3a 3,即a n b 3≤a 3b n .所以存在k 的值为3,使得对任意的n ∈N *,都有a n b k ≤a k b n . 选择③.因为S n =2a n -1,所以S n +1=2a n +1-1,从而a n +1=S n +1-S n =2a n +1-1-(2a n -1)=2a n +1-2a n ,即a n +1=2a n . 又a 1=1>0,所以a n >0,且a a +1a a=2, 从而数列{a n }是以1为首项,2为公比的等比数列,所以a n =2n -1, 所以c n =a a a a =(43)a -1>0,从而a a +1a a =43>1,所以c n +1>c n ,所以不存在满足题意的k. 9.解析 (1)∵2S n =(n +1)a n ,① ∴当n ≥2时,2S n -1=na n -1,② ①-②并化简,得2a n =(n +1)a n -na n -1, 即(n -1)a n =na n -1(n ≥2), 又a 1=1≠0,∴a n ≠0,∴a a a a -1=aa -1(n ≥2), ∴a 2a 1=21,a 3a 2=32,……,a a a a -1=a a -1, ∴a n =a 2a 1·a 3a 2·…·a a a a -1·a 1=21·32·…·aa -1·1=n , 经检验,当n =1时,a 1=1也满足上式, ∴a n =n.(2)由(1)知a n =n ,设f (n )=a 3-2a 3·a 4-2a 4·…·a a -2a a·√2a +1(n ≥3,n ∈N *), 则f (n +1)-f (n )=a 3-2a 3·a 4-2a 4·…·a a -2a a ·(a a +1-2a a +1·√2a +3-√2a +1) =a 3-2a 3·a 4-2a 4·…·a a -2a a ·(a -1)√2a +3-(a +1)√2a +1a +1=a 3-2a 3·a 4-2a 4·…·a a -2a a ·√2a 3-a 2-4a +3-√2a 3+5a 2+4a +1a +1<0, ∴f (n )在n ≥3,n ∈N *上单调递减, ∴f (n )max =f (3)=√73,∴a >f (3)=√73,即实数a 的取值范围是(√73,+∞). (3)T n <23.证明如下:∵a n =n ,∴c n =(11+a a)2=(11+a )2=1a 2+2a +1<1a (a +2)=12(1a -1a +2),∴T n =c 1+c 2+c 3+…+c n =14+c 2+c 3+…+c n <14+1212-14+(13-15)+(14-16)+…+(1a -1a +2) =14+12(12+13-1a +1-1a +2) =23-12(1a +1+1a +2)<23, 即T n <23.10.解析 (1)1,3,5,6.(答案不唯一)(2)证明:设长度为q 且末项为a a 0的一个递增子列为a a 1,a a 2,…,a a a -1,a a 0. 由p <q ,得a a a ≤a a a -1<a a 0.因为{a n }的长度为p 的递增子列末项的最小值为a a 0, 且a a 1,a a 2,…,a a a 是{a n }的长度为p 的递增子列, 所以a a 0≤a a a .所以a a 0<a a 0. (3)由题设知,所有正奇数都是{a n }中的项.先证明:若2m 是{a n }中的项,则2m 必排在2m -1之前(m 为正整数). 假设2m 排在2m -1之后.设a a 1,a a 2,…,a a a -1,2m -1是数列{a n }的长度为m 且末项为2m -1的递增子列,则a a 1,a a 2,…,a a a -1,2m -1,2m 是数列{a n }的长度为m +1且末项为2m 的递增子列,与已知矛盾.再证明:所有正偶数都是{a n }中的项.假设存在正偶数不是{a n }中的项,设不在{a n }中的最小的正偶数为2m.因为2k 排在2k -1之前(k =1,2,…,m -1),所以2k 和2k -1不可能在{a n }的同一个递增子列中. 又{a n }中不超过2m +1的数为1,2,…,2m -2,2m -1,2m +1,所以{a n }的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为2×2×2×…×2⏟ (a -1)个×1×1=2m -1<2m,与已知矛盾.最后证明:2m 排在2m -3之后(m ≥2为整数).假设存在2m (m ≥2),使得2m 排在2m -3之前,则{a n }的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列的个数小于2m,与已知矛盾.综上,数列{a n }只可能为2,1,4,3,…,2m -3,2m ,2m -1,…. 经验证,数列2,1,4,3,…,2m -3,2m ,2m -1,…符合条件. 所以a n ={a +1,a 为奇数,a -1,a 为偶数.主编点评本题通过对数列中新概念的理解,考查逻辑推理、知识的迁移应用能力,重点考查逻辑推理、数学抽象的核心素养,渗透数学应用与创新意识,以及由特殊到一般的分类整合思想.。

2020-2021学年安徽省宣城市阳光、三中、六中、黄渡四校初中九年级（上）第一次联考数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）以x为自变量的函数：①y＝（x+2）（x﹣2）；②y＝（x+2）2；③y＝1+2x﹣3x2；④y＝x2﹣x（x﹣1）．是二次函数的有（）A．②③B．②③④C．①②③D．①②③④2．（4分）将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移3个单位后，所得的抛物线解析式为，则原抛物线的解析式是（）A．B．C．D．3．（4分）函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0 4．（4分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C （4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 5．（4分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（）A．B．C．D．6．（4分）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞07．（4分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一个十分关键的球，出手点为P，羽毛球距地面高度h（米）与其飞行的水平距离s（米）之间的关系式为h＝﹣s2+s+．如图，已知球网AB距原点5米，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为米，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是（）A．4＜m＜8+B．4﹣＜m＜5C．5＜m＜9D．5＜m＜4+ 8．（4分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16B．17C．18D．199．（4分）如图1，E为矩形ABCD为边AD上一点，点P从点B沿折线BE→ED→DC，运动到点C时停止；点Q从点B沿BC运动到点C时停止．它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（）A．BE＝10cm B．AB＝8cm C．AE＝6cm D．BC＝14cm10．（4分）对于任意实数x，y，z，定义运算“※”，满足x※y＝，且x※y※z＝（x※y）※z．在下列各结论中：①2※1＝5；②x※3＝6；③这一运算满足交换律，即x※y＝y※x；④2014※2013※2012※…※4※3※2＝19．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．11．（5分）计算：﹣的结果是．12．（5分）已知一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c的自变量和对应函数值如下表：x…﹣1024…y1…0135…x…﹣1134…y2…0﹣405…当y2＞y1时，自变量x的取值范围是．13．（5分）如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上P A段扫过的区域（阴影部分）的面积为．14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为6cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于cm．三．（本大题共4小题，每题8分，共32分）．15．（8分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．16．（8分）如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+7与y＝x交于A、B两点（A在B点左侧）．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线顶点C的坐标，并求△ABC面积．17．（8分）如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H不在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．18．（8分）找规律：观察算式13＝113+23＝913+23+33＝3613+23+33+43＝100…（1）按规律填空）13+23+33+43+…+103＝；13+23+33+43+…+n3＝．（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）四．（本大题共2小题，每题10分，共20分）19．（10分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，x1•x2﹣x1﹣x2＝，求m的值．20．（10分）为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：时间销售数量（个）销售收入（元）（销售收入＝售价×销甲种型号乙种型号售数量）第一月2281100第二月38242460（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种型号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．五．（本大题共2小题，每题12分，共24分）21．（12分）如图，某学生推铅球，铅球出手（点A 处）的高度是m，出手后的铅球沿一段抛物线y ＝﹣+bx+c运行，量得铅球落地点C与学生的水平距离OC＝10m．（1）求抛物线的解析式（注明x的取值范围）；（2）铅球运行中，最高是多少米？此时铅球与学生水平距离是多少米？22．（12分）美丽的九中我的家，为美化校园，我校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．（2）若平行于墙的一边长不小于8米，则垂直于墙的一边长为多少米时这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．六．（本题满分14分）23．（14分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．2020-2021学年安徽省宣城市阳光、三中、六中、黄渡四校初中九年级（上）第一次联考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）以x为自变量的函数：①y＝（x+2）（x﹣2）；②y＝（x+2）2；③y＝1+2x﹣3x2；④y＝x2﹣x（x﹣1）．是二次函数的有（）A．②③B．②③④C．①②③D．①②③④【解答】解：在①y＝（x+2）（x﹣2）；②y＝（x+2）2；③y＝1+2x﹣3x2；④y＝x2﹣x（x ﹣1）这些函数中，是二次函数的有：①y＝（x+2）（x﹣2）；②y＝（x+2）2；③y＝1+2x﹣3x2．故选：C．2．（4分）将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移3个单位后，所得的抛物线解析式为，则原抛物线的解析式是（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线先向右平移4个单位，再向上平移3个单位后，所得的抛物线解析式为，抛物线向左移4个单位，下移3个单位得原函数解析式，故选：B．3．（4分）函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0【解答】解：当k≠0时，抛物线与x轴有交点△＝62﹣4k×3≥0，解得k≤3，且k≠0；当k＝0时，一次函数y＝﹣6x+3的图象与x轴有交点．因此k≤3故选：C．4．（4分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C （4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1【解答】解：抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝2，所以A（﹣3，y1）到直线x＝2的距离为5，B（3，y2）到直线x＝2的距离为1，C（4，y3）到直线的距离为2，所以y2＜y3＜y1．故选：C．5．（4分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b ＜0，正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．故选：A．6．（4分）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【解答】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；若h＝6，则a＝﹣，故C正确；若h＝7，则a＝﹣，故D错误；故选：C．7．（4分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一个十分关键的球，出手点为P，羽毛球距地面高度h（米）与其飞行的水平距离s（米）之间的关系式为h＝﹣s2+s+．如图，已知球网AB距原点5米，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为米，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是（）A．4＜m＜8+B．4﹣＜m＜5C．5＜m＜9D．5＜m＜4+【解答】解：先求乙恰好扣中的情况，当h＝时，﹣s2+s+＝，解方程得：s1＝4+，s2＝4﹣．但扣球点必须在球网右边，即s＞5，∴s2＝4﹣（舍去），由于乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，∴5＜m＜4+．故选：D．8．（4分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16B．17C．18D．19【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB＝BC，DE＝DC，∠ABC＝∠D＝90°，∴sin∠CAB＝sin45°＝＝，即AC＝BC，同理可得：BC＝CE＝CD，∴AC＝BC＝2CD，又∵AD＝AC+CD＝6，∴CD＝＝2，∴EC2＝22+22，即EC＝2；∴S1的面积为EC2＝2×2＝8；∵∠MAO＝∠MOA＝45°，∴AM＝MO，∵MO＝MN，∴AM＝MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3＝9，∴S1+S2＝8+9＝17．解法二：设正方形四个顶点分别为ADFN，由勾股定理易得AF＝AN＝6，图中所有的三角形都是等腰直角三角形，易得S1的边长为AF＝2，所以S1＝（2）2＝8，S2＝（）2＝9，所以答案为17．故选：B．9．（4分）如图1，E为矩形ABCD为边AD上一点，点P从点B沿折线BE→ED→DC，运动到点C时停止；点Q从点B沿BC运动到点C时停止．它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（）A．BE＝10cm B．AB＝8cm C．AE＝6cm D．BC＝14cm【解答】解：当点P在BE上时，对应的函数图象是二次函数，∴BE＝10cm，当点P在ED上时，对应的函数图象和x轴平行，∴DE＝14﹣10＝4cm，根据图象可知当P到E点时，Q恰好到C点，∴BC＝BE＝10cm，∴S△BCE＝cm2，∴AB＝8cm，∴AE＝AD﹣DE＝10﹣4＝6（cm），故选：D．10．（4分）对于任意实数x，y，z，定义运算“※”，满足x※y＝，且x※y※z＝（x※y）※z．在下列各结论中：①2※1＝5；②x※3＝6；③这一运算满足交换律，即x※y＝y※x；④2014※2013※2012※…※4※3※2＝19．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①2※1＝＝；②将x※3＝6，变形得：＝＝6；③这一运算满足交换律，即x※y＝，y※x＝，两者不相等；④2014※2013※2012※…※4※3※2＝6※2＝＝19．故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．11．（5分）计算：﹣的结果是．【解答】解：＝2﹣＝．故答案为：．12．（5分）已知一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c的自变量和对应函数值如下表：x…﹣1024…y1…0135…x…﹣1134…y2…0﹣405…当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＞4或x＜﹣1．【解答】解：∵当x＝﹣1时，y1＝y2＝0；当x＝4时，y1＝y2＝5；∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），由表可得：﹣1＜x＜4时，y1＞y2，∴x＜﹣1或x＞4时，y2＞y1，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4．故答案为x＜﹣1或x＞4．13．（5分）如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上P A段扫过的区域（阴影部分）的面积为12．【解答】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），∴PO＝＝2，∠AOP＝45°，又∵AD⊥OP，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′＝2×2＝4，∴AD＝DO＝sin45°•OA＝×3＝，∴抛物线上P A段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4×＝12．故答案为：12．14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为6cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于2或4cm．【解答】解：∵∠DAE＝30°，∴AE＝＝4（cm），∵M为AE的中点，∴AM＝2cm，①如图1作PF⊥BC于F，交AE与G，则∠PFQ＝90°，PF＝AD，在Rt△PFQ和Rt△ADE中，，∴Rt△PFQ≌Rt△ADE（HL），∴∠FPQ＝∠DAE＝30°，∴∠APM＝90°+30°＝120°，∴∠AMP＝30°，∴∠DAE＝∠AMP＝30°，∵∠AMP＝∠PMG，∴△APM∽△PGM，∴＝，∴cot30°＝＝，∴＝，即＝∴AP＝2cm．②如图2所示：作PF⊥BC于F，同理Rt△PFQ≌Rt△ADE，∴∠FPQ＝∠DAE，∵∠FPQ+∠APM＝90°，∴∠DAE+∠APM＝90°，∴∠AMP＝90°＝∠D，∵∠P AM＝∠DAE，∴△APM∽△AED，∴＝，即＝，∴AP＝4cm．故答案为2或4．三．（本大题共4小题，每题8分，共32分）．15．（8分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．【解答】解：原式＝÷＝•＝，∵x≠0，2，∴当x＝1时，原式＝﹣1．16．（8分）如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+7与y＝x交于A、B两点（A在B点左侧）．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线顶点C的坐标，并求△ABC面积．【解答】解：（1）由题意得，，解得，或，∴A（2，1），B（7，）；（2）∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣4）2﹣1，∴顶点坐标为：C（4，﹣1）过C作CD∥x轴交直线于D，∵y＝，令y＝﹣1得y＝x＝﹣1，解得，x＝﹣2，∴CD＝6，∴S△ABC＝S△BCD﹣S△ACD＝﹣＝7.5．17．（8分）如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H不在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．【解答】证明：连接EG、GF、FH、HE，∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，∴EG、HF分别是△ABC与△DBC的中位线，∴EG＝BC，HF＝BC，∴EG＝HF．同理EH＝GF．∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相平分．18．（8分）找规律：观察算式13＝113+23＝913+23+33＝3613+23+33+43＝100…（1）按规律填空）13+23+33+43+…+103＝552；13+23+33+43+…+n3＝．（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）【解答】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝[]2＝552；13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）﹣（13+23+33+43+…+103）＝[]2﹣[]2＝1622600；（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）＝23×[]2＝8×12752．故答案为：552；．四．（本大题共2小题，每题10分，共20分）19．（10分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，x1•x2﹣x1﹣x2＝，求m的值．【解答】解：（1）根据题意得m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1且m≠0；（2）根据题意得x1+x2＝，x1•x2＝，∵x1•x2﹣x1﹣x2＝，即x1•x2﹣（x1+x2）＝，∴﹣＝，解得m＝﹣2．20．（10分）为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：时间销售数量（个）销售收入（元）（销售收入＝售价×销甲种型号乙种型号售数量）第一月2281100第二月38242460（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种型号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．【解答】解：（1）设甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为x元、y元，，解得，，答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；（2）由题意可得，，解得：50≤a≤55，w＝（30﹣25）a+（55﹣45）（80﹣a）＝﹣5a+800，故当a＝50时，w有最大值，最大为550，答：第三月的最大利润为550元．五．（本大题共2小题，每题12分，共24分）21．（12分）如图，某学生推铅球，铅球出手（点A 处）的高度是m，出手后的铅球沿一段抛物线y ＝﹣+bx+c运行，量得铅球落地点C与学生的水平距离OC＝10m．（1）求抛物线的解析式（注明x的取值范围）；（2）铅球运行中，最高是多少米？此时铅球与学生水平距离是多少米？【解答】解：（1）把A（0，），C（10，0）代入待定解析式y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）y＝﹣+x+＝﹣（x﹣4）2+3，∵﹣＜0，∴当x＝4时，y有最大值，最大值＝3，∴铅球运行中，最高是3米，此时铅球与学生水平距离4米．22．（12分）美丽的九中我的家，为美化校园，我校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．（2）若平行于墙的一边长不小于8米，则垂直于墙的一边长为多少米时这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）由题意得（30﹣2x）x＝72，解得：x1＝3，x2＝12，∵30﹣2x≤18，∴x≥6，∴x＝12；（2）设苗圃面积为ycm2，∴y＝（30﹣2x）x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，由题意得30﹣2x≥8，解得x≤11，又30x﹣2≤18，解得x≥6；∴6≤x≤11，∴当x＝7.5时，y最大＝112.5；（3）∵这个苗圃园的面积不小于100平方米，即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥100，如图，∴5≤x≤10，由（1）可知6≤x＜15，∴x的取值范围为6≤x≤10．六．（本题满分14分）23．（14分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH＝HG＝2，∴QG＝×2＝4，∴|﹣x2+3x|＝4，当﹣x2+3x＝4时，△＝9﹣16＜0，方程无实数根，当﹣x2+3x＝﹣4时，解得x＝﹣1或x＝4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．。

河南省中原名校（即豫南九校）2024-2024学年高一下学期第一次联考全真演练物理试题1一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题地球上只有百万分之一的碳是以碳14形式存在于大气中。

能自发进行衰变，关于发生衰变下列说法正确的是（）A．衰变放出的粒子来自于的核外电子B．衰变产生的新核是C．衰变产生的新核的比结合能比大D．衰变放出的粒子带负电，具有很强的电离能力第(2)题核污染水中含有的氚、锶-90、铯-137、碘-129等放射性元素，都有可能对人类和自然界造成损害。

其中锶（）半衰期为30年，它经β衰变转变为钇核。

下列说法正确的是（ ）A．锶经通过β衰变产生的电子来自锶原子的核外电子B．钇原子核内有52个中子C．钇核的比结合能比锶核大D．100个锶原子核经过30年，还剩50个第(3)题关于电磁波，以下说法中不正确的是（ ）A．微波炉利用了微波的热效应B．家用电器的遥控器大多采用红外线遥控的原理，它有一个有效使用的角度范围C．电磁波从空气中进入水中，频率不发生变化D．我们看到的电视直播节目，声音和画面基本同步，表明声波和光波传播速度十分接近第(4)题如图所示，某理想变压器原、副线圈的匝数比为2：1，电源输出的电压有效值恒为U，理想电流表A和滑动变阻器R与变压器原线圈连接，阻值为的定值电阻接在副线圈两端。

已知滑动变阻器R的最大阻值为，现调节滑动变阻器R的滑片，下列说法正确的是（ ）A．电流表的示数与滑动变阻器接入电路的阻值R之间的关系为B．电源输出的最小功率为C．当滑动变阻器接入电路的阻值为时，定值电阻两端的电压最大D．滑动变阻器的最大功率为第(5)题一物体做匀加速直线运动，连续经过B、C、D三点， B、C间的距离为4.5m，C、D间的距离为9.5m，通过 BC与CD的时间相同，则经过B点与C点的速度之比为（ ）A．3：5B．2：7C．9：19D．5：7第(6)题下列有关匀变速直线运动的认识正确的是( )A．物体在一条直线上运动，若在相等的时间内通过的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动B．加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动C．匀变速直线运动是速度变化量为零的运动D．匀变速直线运动的加速度是一个恒量第(7)题在带电量为的金属球的电场中，为测量球附近某点的电场强度E，现在该点放置一带电量为的点电荷，点电荷受力为，则该点的电场强度（ ）A．B．C．D．第(8)题福建南平茶文化久负盛名，“风过武夷茶香远”“最是茶香沁人心”。

2020-2021学年度河南省豫南九校高二上学期期末联考理科数学试卷【含解析】一、单选题1．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0 B ．53C ．73D ．3【答案】B【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+=故选：B2．设222,1a x x b x =-+=-，则实数a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b > B ．a b =C ．a b <D ．与x 有关【答案】A【分析】由22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭可得答案【详解】因为22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立 所以a b > 故选：A3．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ） A ．()3,0- B ．[)3,0-C ．[]3,0-D ．(]3,0-【答案】D【分析】分0k =，0k ≠两种情况，当0k =，308-<对x ∈R 恒成立，当0k ≠时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立. 【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立；当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩， 解得,0()3k ∈-， 综上(3,0]k ∈-. 故选：D4．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =，BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 作为空间的一组基底表示向量OG 应为（ ）A ．111363OG OA OB OC =++ B ．111344OG OA OB OC =++ C ．111336OG OA OB OC =++D ．111443OG OA OB OC =++【答案】B【分析】连接ON ，由向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可得解. 【详解】连接ON ，如图，则由向量加法的平行四边形法则可得()()1121122322OG OM ON OA OB OC =+=⨯+⨯+ 111344OA OB OC =++. 故选：B.5．已知x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．32【答案】A【分析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：11y x y =-⎧⎨+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A -，据此可知目标函数的最大值为：max 2213z =⨯-=. 故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 6．如图，无人机在离地面高200m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°，已知060MCN ∠=，则山的高度MN 为（ ）A ．1503mB ．2003mC ．3003mD ．300m【答案】D【分析】根据题中条件，先得到22002AC AB m ==，45AMC ∠=︒，在AMC 中，根据正弦定理，即可得出结果.【详解】∵//AD BC ，∴45ACB DAC ∠=∠=︒，∴22002AC AB m ==， 又180604575MCA ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，∴45AMC ∠=︒， 在AMC 中，sin sin MC AC MAC AMC =∠∠，∴2002sin602003sin45MC m ︒==︒， ∴sin 2003sin60300MN MC MCN m =∠=︒=. 故选：D ．7．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞【答案】D【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()xf xg x e=，所以，()()()()()()2x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.8．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()π2f f e f <<B ．()()()2πf f e f '''<<C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<【答案】D【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D .【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.9．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．10B 6C 10D 15【答案】C【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥， 所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ， 则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =， 则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则()()1122221610sin cos ,3312n BC n BC n BC θ⋅-=<>===⋅-+⨯+-. 故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.10．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（ ） A ．4×20162－1 B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×20182【答案】C【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】由题意可得：323a a =，211a a = ，32211a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首先为1，公差为2的等差数列， 则()111221n na n n a +=+-⨯=-， 所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，20192018220181aa =⨯-， 所以()()2202020202019201820192019220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.11．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）. A ．13B ．12C ．2D ．3 【答案】C【分析】设点2(1)4m P m +，，将22()0OP OF F P +⋅=坐标化运算，可求出45m =，再分别计算12||,||PF PF 的值，即可得答案； 【详解】1a =，2b=，∴5c =1(5F -，，2(5F ，，设点2(1)4m P m +，，∴222222()(15)(15)150444m m m OP OF F P m m m +⋅=+⋅+=+-+=，，，∴2165m =，45m =， 则3545(P ±，221354580504555PF ⎛⎫⎛⎫=--+±== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.【点睛】利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键.12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞【答案】B【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案. 【详解】∵()()2x f x e f x -=，∴()()()x x xf xe f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∴()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∴()()211211a a ef a e f a +++≥+，∴()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+， 解得，203a -≤≤， 故选：B .【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e --==-，根据左右相同的形式，构造函数()()xg x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211ae f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.二、填空题13．已知函数()32f x ax x =+()14f '=，则a =__________．【答案】1【分析】先求出函数()f x 的导函数()23f x ax x'=+，由()14f '=可得答案. 【详解】由题意()23f x ax x'=+，所以()1314f a '=+=解得1a = 故答案为：114．设等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则55S a =________. 【答案】3116【分析】根据等比数列的求和公式与通项公式，由题中条件，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以()5151123112a S a -==-，所以4511216a a a ==，所以515131311616S a a a ==. 故答案为：3116.15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”，“股”，“弦”，且“勾2＋股2=弦2”设直线l 交抛物线214y x =于,A B 两点，若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”"股”(O 为坐标原点)，则此直线l 恒过定点__________． 【答案】()0,4【分析】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与抛物线方程联立写出韦达定理，由条件可得即OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，将韦达定理代入可得答案.【详解】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx b --= 则12124,4x x k x x b +==-若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”“股”（O 为坐标原点） 可得222OA OB AB += 所以OA OB ⊥，即OA OB ⊥所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，()2221212121114416y y x x x x =⨯=所以()()2212121212114401616OA OB x x y y x x x x b b ⋅=+=+=-+⨯-= 即240b b -=，解得40b b ==或（舍） 所以直线AB 的方程为4y kx =+，恒过点()0,4 故答案为：()0,4【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系和直线过定点问题，解答本题的关键是由条件得出OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，得到240b b -=，属于中档题.16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____. 【答案】2【分析】令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()xg e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()x e a h x x<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称， 所以函数()f x 为R 上的偶函数，令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->， 所以()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x xe f e e ax axf ax -+->恒成立， 即()()x x x e f e e axf ax ax ->-，即()()xg e g ax >，所以e x ax >，当0x >时，()xe a h x x <=，则()()21x e x h x x-'=，可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()min 1h x h e ==， 所以a e <，此时最大的正整数a 为2，2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，综上所述：正整数a 的最大值为2， 故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()xg e g ax >，利用单调性可得e x ax >，再分类参数求最值.三、解答题17．已知命题：“{}|22x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设关于x 的不等式()()80x a x a ---<的解集为N ，若“x ∈N ”是“x M ∈”的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，；（2）124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，． 【分析】（1）利用参数分离法将m 用x 表示，结合二次函数的性质求出m 的取值范围，从而可求集合M ；（2）若x ∈N 是x M ∈的必要条件，则M N ⊆即可得到不等式，从而求出参数的取值范围；【详解】解：（1）由题意可知20x x m --=，所以221124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为{}|22x x x ∈-<<，所以21116244x ⎛⎫⎡⎫--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，，即164m -≤<，则实数m 的取值集合M=164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，； （2）由()()80x a x a ---<，可得()8N a a =+，，因为“x N ∈”是“x M ∈”的必要条件，所以M N ⊆，则1486a a ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩，解得124a -≤<-，所以a 的取值范围为124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】本题考查必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则判断计算： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18．已知ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()sin sin sin a A c C a b B -=-.（1）求角C 的大小；（2）若边长3c =ABC 的周长最大值. 【答案】（1）3π；（2）33【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得出222a b c ab +-=，利用余弦定理求出cos C 的值，再结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用正弦定理结合三角函数可得2336π⎛⎫++=+⎪⎝⎭a b c A ，由203A π<<可得5666A πππ<+<，结合正弦函数的基本性质可求得ABC 的周长最大值.【详解】（1）()sin sin sin a A c C a b B -=-，根据正弦定理得，()22a c ab b -=-，即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又()0,C π∈，所以3C π=；（2）3C π=，3c =23A B π+=，由正弦定理得32sin sin sin 3a b cA B C ====，可得：2sin a A =，22sin 2sin 3b B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭，23132sin 2sin 32sin 2sin 32a b c A A A A A π⎫⎛⎫∴++=+-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3sin 3cos 323sin 36A A A π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由203A π<<可得5666A πππ<+<，可得1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.(23323,336a b c A π⎛⎫∴++=+ ⎪⎝⎭.因此，ABC 的周长的最大值为33【点睛】方法点睛： 1.解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”；2.求三角形周长的最值也是解三角形中一种常见类型的问题，主要方法有两类： （1）找到边与边的关系，利用余弦定理列等式，结合基本不等式求最值；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角为自变量的三角函数，利用函数思想的求最值. 19．数列{}n a 满足()()1123231221n n a a a na n n +++++=-+≥.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S . 【答案】（1）2nn a =；（2）()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+ 【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 【详解】解：（1）由题意，12a =.由()()1123231221n n a a a na n n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+≥，① 得()()()12312312222nn a a a n a n n -+++⋅⋅⋅+-=-⋅+≥，②①-②，得()()()112222222n n nn na n n n n +⎡⎤⎡⎤=-⋅+--⋅+=⋅≥⎣⎦⎣⎦，所以()22nn a n =≥又因为当1n =时，上式也成立，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（2）由题意，21212n n n n n b a ++==，所以 123123357212222n n n n S b b b b +=+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅， ③ 234113572121222222n n n n n S +++=+++⋅⋅⋅++， ④ ③-④，得123234113572135721212222222222n n n n n n n S ++++⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 234131111212222222n n n ++⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111122121212212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+⨯--()1512522n n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭从而()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．20．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =，设点M 在线段EF 上运动.（1）证明：BC AM ⊥；（2）设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求θ的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3π.【分析】（1）由平面几何知识，余弦定理可得BC AC ⊥.，再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；（2）由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，由二面角的向量求解方法可表示()2cos 34θλ=-+，由二次函数的性质可求得最值.【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，所以2AB =，所以2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥.因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =， 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .所以BC ⊥AM ；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，)3,0,0A，()0,1,0B ，(),0,1M λ.∴()3,1,0AB =-，(),1,1BM λ=-.设(),,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30,0,x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()1,3,3n λ=，∵()1,0,0m =是平面FCB 的一个法向量，∴()()22||cos 133134n m n mθλλ⋅===++-⨯-+∵03λ≤≤∴当3λ=cos θ有最大值12，θ的最小值为3π.【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。