2020-2021学年河南省豫南九校高二上学期第二次联考试题 数学(理)

河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）数学（理）试题一、单选题(★★) 1. 已知数列为等差数列，，，则（）A．39B．38C．35D．33(★★★) 2. 在中，，，，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 在数列中，，（，），则（）A．B．1C．D．2(★★) 4. 已知中，，其中 A， B， C为的内角， a， b， c分别为 A， B， C的对边，则（）A．B．C．D．(★) 5. 等差数列中，其前项和为，满足，，则的值为（）A．B．21C．D．28(★★★) 6. 在锐角中，已知，则的范围是（）A．B．C．D．(★★)7. 已知数列为等比数列，，且，若，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 若数列满足，则（）A．136B．120C．68D．40(★★★) 9. 若的面积为，且为钝角，的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，则的周长取最大值时面积为（）A．B．C．D．4(★★★) 11. 著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（）频率半音C D E F G A B C（八度）A．B．G C．D．A(★★★) 12. 设数列满足，，，数列前 n项和为，且（且）.若表示不超过 x的最大整数，，数列的前 n项和为，则（）A．2019B．2020C．2021D．2022二、填空题(★★★) 13. 已知等差数列的前项和为，且，，则取得最大值时_______.(★★) 14. 海伦（ Heron，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a， b， c计算其面积的公式 S △ABC＝，其中，若 a＝5， b＝6， c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ ABC的内切圆的半径 r的值是_______．(★★) 15. 已知中，内角 A、 B、 C的对边分别是 a、 b、 c，且，，，则____________.(★★★★) 16. 已知数列的前 n项和为，数列的前 n项和为，满足，，且．若对，恒成立，则实数的最小值为____________．三、解答题(★★★) 17. 已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.(★★★) 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，依次成等比数列，求的值．(★★★) 19. 在中，三个内角，，所对的边分别是，，，且.（1）求的大小；（2）若，且的面积为，求的值.(★★★) 20. 设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.(★★★) 21. 设的内角、、的对边分别是，且三个内角、、依次成等差数列.（1）若，求角；（2）若为钝角三角形，且，求的取值范围.(★★★) 22. 已知数列中，，且当，时满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，若对任意的，数列是单调递减数列，求实数的取值范围.。

河南省信阳市豫南中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若y=，则y′=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】导数的乘法与除法法则．【分析】因为的导数为，对于函数的导数，直接代入公式计算即可．【解答】解：∵，∴y′==故选A2. 执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于100，则输入的整数k的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：B 【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=0满足条，0≤k，S=3，n=1满足条件1≤k，S=7，n=2满足条件2≤k，S=13，n=3满足条件3≤k，S=23，n=4满足条件4≤k，S=41，n=5满足条件5≤k，S=75，n=6满足条件6≤k，S=141，n=7…若使输出的结果S不大于100，则输入的整数k不满足条件6≤k，即5≤k＜6，则输入的整数k的最大值为5．故选：B．3. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（）A．[0，] B．（0，）C．[﹣，] D．（0，]参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程，根据条件确定圆心C到直线y=kx﹣2的距离d≤R+1=2，利用圆心到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣4）2+y2=1，则圆心C坐标为（4，0），半径R=1，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则等价为圆心C到直线y=kx﹣2的距离d≤R+1=2，即圆心到直线kx﹣y﹣2=0的距离d=，即|2k﹣1|≤，平方得3k2﹣4k≤0，解得0≤k≤，故选：A4. 在中, ，,点在上且满足,则等于( )A． B． C． D．参考答案：D5. 已知中，，，，那么角等于（）A． B． C． D．参考答案：C6. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为A. B. C. D.参考答案：D 3a+2b+0c=2即3a+2b=2,所以，因此。

豫南九校2020－2021学年上期第二次联考高二化学试题(考试时间：90分钟试卷满分：100分)可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 Mg24 S32 K39 Cr52 Ag108一、选择题(本大题共16题，每小题3分，共48分。

每个小题只有一个选项符合题意)1.Pd－Co－硅藻土可作NaBH4释氢时的催化剂，则向释氢反应NaBH4＋2H2O4H2↑＋NaBO2△H＝－75 kJ·mol－1中加入该催化剂后△H将A.增大B.减小C.不变D.无法判断2.一种利用蓝绿藻制氢贮氢及氢气应用的图示如下。

下列说法正确的是A.能量的转化方式只有2种B.氢气液化过程吸收能量C.蓝绿藻分解水产生H2，同时释放能量D.能量利用率：燃料电池比H2直接燃烧高3.某反应A＋B＝C＋D在低温下能自发进行，在高温下不能自发进行，对该反应过程△H、△S的判断正确的是A.△H<0，△S>0B.△H>0，△S>0C.△H<0，△S<0D.△H>0，△S<04.《本草纲目·29卷·杏》中对药物浸出过程有如下叙述：“药液釜盛之，釜上安盆，盆上钻孔，用弦悬车辖至釜底，以纸塞孔，勿令泄气，初着糠火，一日三动车辖，以衷其汁”下列实验与文中叙述最接近的是5.常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A.0.1 mol·L－1 NaHSO4溶液：Mg2＋、K＋、Cr2O72－、NO3－B.滴入酚酞呈红色的溶液：Na＋、Cu2＋、HCO3－、NO3－C.0.1 mol·L－1 KNO，溶液：H＋、K＋、SO42－、I－D.0.1 mol·L－1 Na2S2O3溶液：H＋、Na＋、Cl－、SO42－6.H2与ICl的反应分①、②两步进行，其能量曲线如图所示，下列有关说法错误．．的是A.反应①、反应②均为放热反应B.反应①、反应②均为氧化还原反应C.反应①比反应②的速率慢，与相应正反应的活化能无关D.反应①、反应②的焓变之和为△H＝－218 k·mol－17.在一个不传热的恒容密闭容器中，可逆反应N 2(g)＋3H2(g)2NH3(g)达到平衡的标志是①反应速率v(N2)：v(H2)：v(NH3)＝1：3：2 ②各组分的物质的量不变③体系的压强不再发生变化④混合气体的密度不变(相同状况)⑤体系的温度不再发生变化⑥2v正(N2)＝v逆(NH3)⑦单位时间内3 mol H－H键断裂的同时2 mol N－H键也断裂A.①②③⑤⑥B.②③④⑤⑥C.②③⑤⑥D.②③④⑥⑦8.25℃、101 kPa时，强酸与强碱的稀溶液发生中和反应的中和热为57.3 kJ·mol－1，辛烷的燃烧热为5518 kJ·mol－1。

豫南九校2020-2021学年高二上学期第二次联考数学（文）试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

)1.若数列{a n }的通项公式为a n ＝n(n －2)，其中n ∈N *，则a 6＝A.8B.15C.24D.352.若a<b ，则下列不等式中正确的是A.ac 2<bc 2B.|a|<|b|C.11a b> D.a ＋b<2b3.在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，BC ＝2，则AC ＝ 3 3 3 34.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a A b B=，则△ABC 的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形5.若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝132，a 8＋a 9＝272，则S 3＝ A.35 B.78 C.98 D.1276.设方程x 2－2ax －a ＝0的两实根满足x 1<x 2<1，则实数a 的取值范围为A.(－13，1)B.(－∞，－13)∪(0，1)C.(－∞，－1)∪(0，13)D.(－1，13) 7.一艘海盗船从C 处以30km/h 的速度沿着南偏东40°的方向前进，在C 点北偏东20°距离为30km 的A 处有一海警船，沿着南偏东10°的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为A.30km/hB.40km/hC.50km/h 38.已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝14，且a n ＝n+1n b b ，则b 2020＝ A.22017 B.22018 C.22019 D.220209.“三斜求积”法是由我国著名数学家秦九韶提出的求三角形面积的方法，公式为S ＝2222221[()]42a cb ac +--a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若c 2sinA ＝4sin(A ＋B)，(a －c)2＝b 2－4，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为A.2C.12D.210.在△ABC中，若sin2(A＋B)＝4sinAsinBcosC，则角C的余弦值的最小值为A.16B.6C.13D.3请考生在[模块一][模块二]中任选一个模块作答。

2020-2021学年河南省豫南九校高二上学期第一次联考（9月）数学（理）试题一、单选题1．已知数列{}n a 为等差数列，23a =，515a =，则11a =（） A ．39 B ．38C ．35D ．33答案：A利用等差数列的通项公式即可得出． 解：∵数列{}n a 为等差数列，23a =，515a =， ∴1533d =+， ∴4d =，∴112933639a a d =+=+=， 故选：A ． 点评：本题考查等差数列的通项公式，属于基础题． 2．在ABC 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（）A．10B．5CD答案：C试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC =∠sin 10BAC ∠=. 【考点】解三角形. 3．在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-（2n ≥，n ∈+N ），则2020a =（）A ．12B ．1C ．1-D ．2答案：A通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案. 解：2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=， 可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202036731112a a a ⨯+∴===. 故选：A. 点评：本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题. 4．已知ABC 中，()()sin sin sin sin a b c A B C a B +++-=，其中A ，B ，C 为ABC 的内角，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，则C =（）A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π 答案：B根据正弦定理整理得到222a b c ab +-=-，再利用余弦定理计算得到答案. 解：由题意结合正弦定理得()()2222a b c a b c a ab b c ab +++-=++-=，即222a b c ab +-=-，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，()0,C π∈，则23C π=. 故选：B . 点评：本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，利用正弦定理对题中的条件进行合理变形并结合余弦定理求解是解题的关键.5．等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，满足346a a +=，529a =，则7S 的值为（） A ．352B ．21C ．492D ．28答案：C利用基本量法求解首项与公差，再利用求和公式求解7S 即可. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()111236249a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得1121a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩.故71764971222S ⨯=⨯+⨯=. 故选：C 点评：本题主要考查了等差数列基本量的求解以及求和公式，属于基础题. 6．在锐角ABC 中，已知2A C =，则ac的范围是（） A ．()0,2 B．)2C．D．)2答案：C由锐角三角形，及已知求得C 角的范围，由正弦定理有sin sin 2sin sin a A C c C C==，再由二倍角化简后复余弦函数性质可得结论． 解：在ABC 中，由正弦定理有sin sin 22cos sin sin a A C C c C C===，又A B C π++=，2A C =又ABC 为锐角三角形，32A C C πππ--=-<，又24C π<，∴64C ππ<<，所以cos 22C ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭ac <<故选：C ． 点评：本题考查正弦定理边角转化，考查二倍角公式，余弦函数的性质，解题关键是用正弦定理边角转换后把问题转化为求三角函数的取值范围．7．已知数列{}n a 为等比数列，0n a >，且6122mm m m a a a ++=，若6p q +=，则p q a a ⋅=（） A ．72 B ．82C ．92D ．102答案：B利用等比数列的性质求出1m a +，然后转化求解即可． 解：数列{}n a 为等比数列，0n a >，且6122mm m m a a a ++=，可得3612mm a +=，所以212mm a +=，∴222n n a -=，又6p q +=， 则222222p q p q a a --=⋅⋅()42822p q +-==．故选：B 点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题. 8．若数列{}n a 满足1π2|sin |122n n n a a n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则128a a a +++=（）A ．136B ．120C ．68D ．40答案：D利用递推公式逐一把各项用1a 表示出来即可得到答案. 解：∵1π2|sin|122n n n a a n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴212a a =+，32142a a a =-+=-+，43168a a a =+=-+，4158=a a a =-+，6511010a a a =+=+， 761122a a a =-+=-+，8711416a a a =+=-+.∴1234567840a a a a a a a a +++++++=． 故选：D ． 点评：本题考查数列的递推公式.已知递推公式，可以由数列的前一项(或前几项)求出后一项，进而可以求出所有项.当所求项的项数较小时，直接逐一列举即可；当所求项的项数较大时，则要找出规律或求出通项公式.9．若ABC 222)a cb +-，且C ∠为钝角，c a 的取值范围是（）A ．()0,2B ．C ．)+∞D ．(2,)+∞答案：D由余弦定理和三角形面积可求得B ，用正弦定理化sin sin c C a A=，再化为A 的三角函数，由三角函数知识可得取值范围． 解：∵2222cos a c b ac B =+-，∴2221()2cos sin 442ABC S a c b ac B ac B =+-==△，tan B = ()0,B π∈∴3B π=，∴23A C π+=，又∵C 为钝角，∴06A π<<，∴0tan 3A <<1tan A >，由正弦定理得21sin()sin sin 322sin sin sin A A Ac Ca AA Aπ-+===11122tan 222A =+>=， 故选：D ． 点评：本题考查余弦定理，正弦定理，考查三角形面积公式，解题关键是根据正弦定理把ca转化为A 的三角函数后可得其取值范围．10．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c，2sin a C =，1a =，则ABC 的周长取最大值时面积为（） ABC．4D ．4答案：C由2sin a C =以及正弦定理可得sin A =，根据锐角三角形可得3A π=，根据正弦定理可得b B，c C =，将周长转化为关于B 的三角形函数，利用正弦函数的最值可得ABC 为等边三角形时，周长取得最大值，根据面积公式可求得面积. 解：∵2sin a C =，∴2sin sin A C C =， 由0C π<<，则sin 0C ≠，∴sin 2A =， .∵ABC 为锐角三角形，∴3A π=.由正弦定理，得sin sin sin b c a B C A ===，∴b B =，c C =，所以1a b c B C ++=+21sin()3B B π=-221cos cos sin )33B B B ππ=-1cos B B B =+++1cos B B =+12sin()6B π=++，∴当3B π=，即ABC为等边三角形时，周长取得最大值，此时面积为211sin 602S ︒=⨯⨯=， 故选：C. 点评：本题考查了正弦定理、考查了两角和的正弦公式，考查了三角形的面积公式，属于中档题.11．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋯表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋯ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D，则该半音为（）A ．#FB ．GC ．#GD ．A答案：B利用对数与指数的转化，得到数列1213,,,a a a ⋯为等比数列，公比1122q =，然后求得所求半音对应的数列的项数，从而得到答案. 解：依题意可知()01,2,,13n a n >=⋯.由于1213,,,a a a ⋯满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋯ ⎪⎝⎭，则12111122,2i i i i a a a a ++⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭， 所以数列1213,,,a a a ⋯为等比数列，公比1122q =，#D 对应的频率为4a ，题目所求半音与#D 41131222⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以所求半音对应的频率为4112482a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即对应的半音为G . 故选：B . 点评：本题考查等比数列的应用，涉及对数运算，等比数列的判定，等比数列的性质，属中档题.12．设数列{}n a 满足12a =，26a =，312a =，数列{}n a 前n 项和为n S ，且211131n n n n S S S S +-+-+=-+（n *∈N 且2n ≥）.若[]x 表示不超过x 的最大整数，()21n n n b a ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2020T =（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022答案：C根据递推公式，可知{}1n n a a +-从第2项起是等差数列，可得122n n a a n +-=+，再根据累加法，可得()1n a n n =+，由此可得当2n ≥时，()211n n n b a ⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又()211112b a +==，由此即可求出nT .解： 当2n ≥时，211131n n n n S S S S +-+-+=-+，211131n n n n a a a a ++++++∴=+，2122n n n a a a ++∴-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，{}1n n a a +∴-从第2项起是等差数列.又12a =，26a =，312a =，()()32212a a a a ∴---=，()142122n n a a n n +∴-=+-=+，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()1221222212n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+， ()211nn n a n++∴=（2n ≥）， ∴当2n ≥时，()2111n n n n b a n ⎡⎤++⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 又()211112b a +==，2222020122020232021220192021T a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选：C. 点评：本题主要考查了数列的递推公式、等差数列的概念，以及累加法在求通项公式中的应用，属于中档题.二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且856a a -=-，9475S S -=，则n S 取得最大值时n =_______. 答案：14设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可求得数列的首项和公差，得到数列的通项公式，然后由等差数列的性质可得n 值. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11369843947522d d da a =-⎧⎪⎨⨯⨯+--=⎪⎩， 解得1227d a =-⎧⎨=⎩，故292n a n =-，故当114n ≤≤时，0n a >；当15n ≥时，0n a <，所以当14n =时，n S 取最大值. 故答案为：14 点评：本题考查利用基本量的运算求等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项和n S 的应用，考查推理能力，属于基础题.14．海伦（Heron ，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a ，b ，c 计算其面积的公式S △ABC2a b cp ++=，若a ＝5，b ＝6，c ＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC 的内切圆的半径r 的值是_______．首先根据海伦公式求得三角形ABC 的面积，然后根据三角形内切圆计算公式，计算出三角形ABC 的内切圆. 解：567922a b c p ++++===，S △ABC= 由于()12ABC S a b c r ∆=++⋅，所以225673S r a b c ⨯===++++．故答案为：3点评：本小题主要考查三角形面积的计算，考查三角形内切圆半径的计算，属于基础题. 15．已知ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且sin sin 3sin 0A B C +-=，4a b c ++=，29ABCab S =△，则22sin sin a b a A b B+=+____________.答案：94由正弦定理化角为边后，结合已知可求得1c =，利用三角形面积公式可得sin C ，这样由正弦定理可把sin A 用a 表示，sin B 用b 表示，代入求值式可得结论． 解：∵sin sin 3sin 0A B C +-=，∴由正弦定理得30a b c +-=，又4a b c ++=，则34c c +=，则1c =，又21sin 92ABC ab S ab C ==△，∴4sin 9C =， 由正弦定理9sin sin sin 4a b c A B C ===得4sin 9A a =，4sin 9B b =， ∴222222944sin sin 499a b a b a A b B a b ++==++．故答案为：94． 点评：本题考查正弦定理、三角形面积公式，掌握正弦定理的边角互化是解题基础． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11a =，3()()n n S n m a m R =+∈，且15n n a b =．若对*n N ∀∈，n T λ>恒成立，则实数λ的最小值为____________． 答案：25当1n =时，解得2m =，当2n ≥时，由1333n n n a S S -=-化简得111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得(1)2n n n a +=，进而得21151n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项求和法得2121515n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，因此利用对*n N ∀∈，n T λ>恒成立即可求解. 解：解析：当1n =时，11133(1)S a m a ==+，解得2m =．当2n ≥时，由113S (2)3S (12)n nn n n a n a --=+⎧⎨=-+⎩，得111n n a n a n -+=-． 依据叠乘法（累乘法）可得(1)2n n n a +=． 由15n n a b =，得22115(1)51n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，于是211111152231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2121515n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭． 由于对*n N ∀∈，n T λ>恒成立，25λ≥， 故实数λ的最小值为25． 故答案为：25点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大. 三、解答题17．已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*2n n b n a n N =+∈，求{}nb 的前n 项和nS.答案：（1）12n na ；（2）221nn S n n =++-.（1）利用等差中项的性质列方程，由此求得q ，进而求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用分组求和法求得n S . 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，则21a a q q ==，2231a a q q ==，由于2a 是1a 和31a -的等差中项，即21321a a a =+-，即22q q =，解得2q.因此，数列{}n a 的通项公式为1111122n n n n a a q ---==⨯=； （2）1222n n n b n a n -=+=+，()()()()012112322426222n n n S b b b b n -∴=++++=++++++++()212(22)12(2462)122221212n n n n n n n n -+-=+++++++++=+=++--.点评：本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列的通项公式，考查分组求和法，属于中档题.18．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小；（2）若a ，b ，c 依次成等比数列，求11tan tan A C+的值．答案：（1）3π；（2）3． （1）利用正弦定理进行边化角，再利用两角差的余弦公式进一步化简可求得tan B ，从而求得角B ；（2）由等比数列的性质可得2b ac =，再利用正弦定理进行边化角，带入11tan tan A C+通分后的式子即可得解. 解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，又ABC 中，sin 0A ≠，故1sin cos cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，即sin B B =，化简得tan B = 又(0,)B π∈，所以角B 的大小为3π． （2）由a ，b ，c 依次成等比数列得2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，故11cos cos sin()sin 1tan tan sin sin sin sin sin sin sin 3A C A CB AC A C A C A C B ++=+====．点评：本题考查正弦定理、两角差的余弦公式，属于中档题.19．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且()tan 2tan b A c b B =-.（1）求A 的大小；（2）若a =，且ABC 的面积为b c +的值. 答案：（1）3π；（2）14. （1）由正弦定理边化角，利用三角函数恒等变换化简，得到cos A 的值，进而求得； （2）利用三角形的面积公式，得到48bc =，进而结合余弦定理求解. 解：解：（1）由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：()2sin sin sin sin sin cos cos C B BB A A B-⋅= 在ABC 中，0B π<<，0C π<<,∴sin 0B ≠，sin 0C ≠ ∴()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=- 即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=∴()sin 2sin cos A B C A +=,即sin 2sin cos C C A = 又sin 0C ≠,∴1cos 2A =,又0A π<<,∴3A π=；（2）∵1sin 24ABC S bc A ===△∴48bc = 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-,∴()222523b c bc b c bc =+-=+- ∴()234852196b c +=⨯+=,∴14b c +=. 点评：本题考查正余弦定理，三角形的面积公式，涉及两角和差的三角函数公式，属中档题.关键要熟练掌握利用正弦定理进行边角互化，利用两角和差的三角函数公式进行化简求值.20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，2121a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足()214n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n R .答案：（1）()*21n a n n N=-∈；（2）1131494n n n R -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，求出1,a d ，即得解； （2）由题得114n n n b --=，再利用错位相减法求和得解. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由424S S =，2121a a =+得1111468421a d a d a d a +=+⎧⎨+=+⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，因此()*1(1)21n a a n d n n N =+-=-∈；（2）由题意知：122144n n n n a n b ---==， 所以012101214444n n n R --=++++， 则1211012144444n n n n n R ---=++++， 两式相减得12111131111144144444414n n n n nn n R --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=--11111344n n n --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭131(1)34n n +=-， 因此，1431131149494n n n n n R -++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点评：本题主要考查等差数列通项的基本量的求法，考查等差数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，且三个内角A 、B 、C 依次成等差数列.（1）若2sin sin sin B A C =，求角A ；（2）若ABC 为钝角三角形，且a c >21cos cos 2222A A C -+的取值范围.答案：（1）3A π=；（2）14⎛⎝⎭. （1）由A 、B 、C 依次成等差数列结合三角形的内角和定理可求得3B π=，由2sin sin sin B A C =得出2b ac =，由余弦定理得出a c =，判断出ABC 的形状，由此可得出角A 的值； （2）由已知条件可得23A C π+=且223A ππ<<，利用三角恒等变换思想化简得出211cos cos sin 222226A A C A π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，求得6A π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围. 解： （1）A 、B 、C 依次成等差数列，2B A C B π=+=-∴，3B π∴=.2sin sin sin B A C =，2b ac ∴=.由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，22a c ac ac +-=∴，即2()0a c -=，a c ∴=，ABC ∴为正三角形，3A π∴=；（2）由已知23A C π+=，211cos 112cos cos cos 22222223A A C C A A A π+⎛⎫-+=-+=-- ⎪⎝⎭1cos 4A A A =+-11cos sin 426A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. a c >，且ABC 为钝角三角形，223A ππ<<∴，25366A πππ<+<∴，可得1sin 26A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭，11sin 426A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭∴21cos cos 2222A A C -+的取值范围是1,44⎛ ⎝⎭. 点评：本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形中三角代数式的取值范围的求解，考查计算能力，属于中等题.22．已知数列{}n a 中，121a a ==，且当2n ≥，*n N ∈时满足()11n n na n a +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设112nn n b a λ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意的*n N ∈，数列{}n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围.答案：（1）1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩；（2）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭.（1）已知式变形为()121n n a a n n n +=≥+，得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭当2n ≥时为常数列，从而可得数列通项公式；（2）求出n b ，利用1422021nn n b b n n λ+⎛⎫-=--< ⎪++⎝⎭恒成立，转化为求函数的最大值，从而得λ的范围． 解：（1）由已知得()121n na a n n n+=≥+， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭当2n ≥时为常数列，且各项为12 ∴2n ≥时2n na =，又∵11a = ∴1,1,22n n a nn =⎧⎪=⎨≥⎪⎩. （2）由（1）知，112221nn n n b a n λλ+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 若对意的n N ∈，数列{}n b 是单调递减数列， 则1422021nn n b b n n λ+⎛⎫-=--<⎪++⎝⎭对任意的n N ∈恒成立，即max4221n n λ⎛⎫>-⎪++⎝⎭，又()()4222221123n n n n n n n-==++++++， 因为函数()20y x x x=+>在区间(上单调递减，在)+∞上单调递增，所以由对勾函数的性质可知， 当1n =或2n =时，23n n ++取得最小值6，即4221n n -++取得最大值13， 故实数λ的取值范围为1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭. 点评：本题考查由递推关系求数列的通项公式，考查数列的单调性，求通项公式的解题关键是构造出新数列，新数列是等差数列或等比数列或常数数列，从而易得通项公式，单调性问题利用单调性的定义转化为不等式恒成立，从而可转化为求函数的最值．。

豫南九校2020学年下期第二次联考高二数学（理）试题一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若是函数的导函数，则的值为（）A. 1B. 3C. 1或3D. 4【答案】B【解析】【分析】先求出函数的导函数，然后求出函数值即可．【详解】∵，∴∴.故选C．【点睛】本题考查导函数的求法，解题的关键是熟记基本初等函数的求导公式和求导法则，属于简单题．2.如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围。

【详解】转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.【点睛】本题考查了焦点在轴上的椭圆的方程特征、解分式不等式.3.的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】首先求解不等式，然后确定其必要不充分条件即可.【详解】求解不等式可得，结合所给的选项可知的一个必要不充分条件是.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，充分条件与必要条件的理解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.函数的单调减区间是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，令，解不等式即可。

【详解】函数的定义域为，，由得，得，得，即函数的单调递减区间为．故选D．【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间知识，属于基础题。

5.如图，在平行六面体中，为的中点，设，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的几何运算可得结果．【详解】根据向量的三角形法则得到.【点睛】本题考查空间向量以及线性运算，属于基础题.6.在等差数列中，，则该数列前9项的和等于（）A. 15B. 18C. 21D. 27【答案】B【解析】【分析】根据微积分基本定理可求得，由等差数列的求和公式结合等差数列的性质可得结果.【详解】，，故选B.【点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用、等差数列的性质以及等差数列的求和公式，属于中档题. 解等差数列有关的问题时，一定要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.7.下列有关命题的叙述错误．．的是（）A. 命题“，”的否定是“，”B. 命题“，则”的逆否命题为“若，则”C. 命题“，”是真命题D. 若“”为真命题，则命题、中至多有一个为真命题【答案】C【解析】【分析】逐一选项判断：选项A,对全称命题的否定就是把全称量记改为特称量词同时否定结论；选项B,原命题的逆否命题就是原命题的逆命题的否命题；选项C，就是判断是不是对于都成立；对于本题来说，就是要看方程=0的判别式是不是小于零，如果小于零就是真命题，否则为假命题；选项D，”为真命题，则一定是假命题，通过命题的真假确定规则，就可以判断本选项是否正确。

2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x2﹣4x﹣3≤0的解集是（）A．（∞，−12]∪[32，+∞）B．[−12，32]C．（∞，−32]∪[12，+∞）D．[−32，12]2．命题“∀x∈（0，1），x2﹣x＜0”的否定是（）A．∃x0∉（0，1），x02−x0≥0B．∃x0∈（0，1），x02−x0≥0C．∀x0∉（0，1），x02−x0＜0D．∀x0∈（0，1），x02−x0≥03．在△ABC中，已知a＝5√2，c＝10，A＝30°，则B等于（）A．105°B．60°C．15°D．105°或15°4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，2S3＝2a4+S2，则a8＝（）A．8B．9C．16D．155．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若sinCsinB＜cosA，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．已知等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，若T2＝T9＝512，则T8＝（）A．1024B．2048C．4096D．81927．设m＝log0.30.6，n=12log20.6，则（）A．m﹣n＞m+n＞mn B．m﹣n＞mn＞m+n C．m+n＞m﹣n＞mn D．mn＞m﹣n＞m+n8．不等式组{x+y≥1，x−2y≤4表示的平面区域为D，则（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≥2B．∀（x，y）∈D，x+2y≤2C．∃（x，y）∈D，x+2y≥﹣2D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣29．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为（ ） A ．√3B ．√32C ．12D ．110．“对任意正整数n ，不等式nlga ＜（n +l ）lga a （a ＞l ）都成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＞2D ．a ＞311．已知数列{a n }满足2a 1+22a 2+…+2n a n ＝n （n ∈N *），数列{1log 2a n log 2a n+1}的前n 项和为S n ，则S 1•S 2•S 3•…•S 10＝（ ） A ．110B ．111C ．211D ．1512．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝4，sin B +2sin C cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝2，cosA =13，则a ＝ ． 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且cos C =2√23，b cos A +a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为 ．15．已知变量x ，y 满足条件{x ≥1x −y ≤0x +2y −9≤0，若目标函数z ＝ax +y 仅在点（3，3）处取得最小值，则a 的取值范围是 ．16．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝S 3+2S 6，则S 6+1S 3取得最小值时，S 9的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝b −√32c ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若B =π6，AC ＝4，求BC 边上的中线AM 的长．18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式log2(x+1)−2≥m2−3m恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤(12)x−1成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=1a n+1+1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知向量m→=（√3sinx，sinx），n→=（cos x，sin x），函数f（x）=m→⋅n→−12（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为满足b2＝ac，且f(B)=12，求1tanA+1tanC的值．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，asinA+bsinB−csinCsinBsinC=2√33a．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．22．设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n，满足S n=32(b n−1)且a2＝b1，a5＝b2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n为数列{nS n}的前n项和，求T n．2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x 2﹣4x ﹣3≤0的解集是（ ） A ．（∞，−12]∪[32，+∞）B ．[−12，32]C ．（∞，−32]∪[12，+∞）D ．[−32，12]【解答】解：解4x 2﹣4x ﹣3≤0得，−12≤x ≤32； ∴原不等式的解集是[−12，32]． 故选：B ．2．命题“∀x ∈（0，1），x 2﹣x ＜0”的否定是（ ） A ．∃x 0∉（0，1），x 02−x 0≥0 B ．∃x 0∈（0，1），x 02−x 0≥0 C ．∀x 0∉（0，1），x 02−x 0＜0D ．∀x 0∈（0，1），x 02−x 0≥0【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“∀x ∈（0，1），x 2﹣x ＜0”的否定是∃x 0∈（0，1），x 02−x 0≥0， 故选：B ．3．在△ABC 中，已知a ＝5√2，c ＝10，A ＝30°，则B 等于（ ） A ．105°B ．60°C ．15°D ．105°或15°【解答】解：∵知a ＝5√2，c ＝10，A ＝30° 根据正弦定理可知a sinA=c sinC∴sin C ═sinA⋅c a=√22 ∴C ＝45°或135° B ＝105° 或15° 故选：D ．4．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，2S 3＝2a 4+S 2，则a 8＝（ ） A ．8B ．9C ．16D ．15【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1＝1，2S 3＝2a 4+S 2，得6+6d ＝4+7d ， 解得d ＝2，所以a 8＝a 1+7d ＝1+2×3＝15． 故选：D ．5．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sinC sinB＜cosA ，则△ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解答】解：∵由已知可得：sin C ＜sin B cos A ，∴可得：sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ＜sin B cos A ， 整理得：sin A cos B ＜0， ∵sin A ≠0， ∴cos B ＜0． ∵B ∈（0，π），∴B 为钝角，三角形ABC 为钝角三角形． 故选：A ．6．已知等比数列{a n }的前n 项的乘积记为T n ，若T 2＝T 9＝512，则T 8＝（ ） A ．1024B ．2048C ．4096D ．8192【解答】解：依题意，等比数列{a n }的前n 项的乘积记为T n ，T 2＝T 9＝512， 所以T 9T 2=1，即a 3•a 4•……•a 9＝1，所以a 67=1，即a 6=a 1q 5=1，又因为a 1a 2=a 12q =512，所以q 9=1512，即q =12， 所以a 1＝32，∴a 9=a 1⋅q 8=32×128=18． 所以T 8=T 9a 9=51218=4096．故选：C ．7．设m ＝log 0.30.6，n =12log 20.6，则（ ）A ．m ﹣n ＞m +n ＞mnB ．m ﹣n ＞mn ＞m +nC ．m +n ＞m ﹣n ＞mnD ．mn ＞m ﹣n ＞m +n【解答】解：m ＝log 0.30.6＞log 0.31＝0，n =12log 20.6＜12log 21＝0，则mn ＜0．1m+1n=log 0.60.3+log 0.64＝log 0.61.2＜log 0.60.6＝1，∴m +n ＞mn ． ∴m ﹣n ＞m +n ＞mn ． 故选：A ． 8．不等式组{x +y ≥1，x −2y ≤4表示的平面区域为D ，则（ ） A ．∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≥2 B ．∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≤2 C ．∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≥﹣2D ．∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≤﹣2【解答】解：根据题意，不等式组{x +y ≥1x −2y ≤4其表示的平面区域如图所示，其中A （2，﹣1）设Z ＝x +2y ，则y =−12x +Z 2，Z 的几何意义为直线Z ＝x +2y 在y 轴上的截距， 分析可得：当{x =2y =−1时，直线Z ＝x +2y 在y 轴上的截距最小，截距最小值为0，即Z ＝x +2y 取得最小值0，无最大值，即x +2y ≥0， 据此分析选项：ABD 错误；C 正确； 故选：C ．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为（ ）A ．√3B ．√32C ．12D ．1【解答】解：因为：a 2sin C ＝2sin A ， 由正弦定理可得：a 2c ＝2a ，得ac ＝2， 则由（a +c ）2＝6+b 2，得a 2+c 2﹣b 2＝6﹣2ac ＝6﹣2×2＝2， 则S △ABC =√14[4−(22)2]=√32． 故选：B ．10．“对任意正整数n ，不等式nlga ＜（n +l ）lga a （a ＞l ）都成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＞2D ．a ＞3【解答】解：对任意正整数n ，若不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）都成立， 则nlga ＜a （n +1）lga （a ＞1）；lga ＞0；成立． 即：n ＜a （n +1）；a ＞nn+1=1−1n+1，对任意正整数n ，有a 要大于（1−1n+1）的最大值成立． （1−1n+1）的最大值设为x ，则n 趋近于无穷大正整数时，x 趋近于1， ∴a 大于趋近于1的数x ，即：a ＞x ＞0，x 趋近于1∴不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）都成立能推出a ＞0，故a ＞0是不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）都成立的必要条件．若a ＞0时，不能推出a ＞x ＞0，x 趋近于1，故不能推出不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）成立能；根据充分条件和必要条件的定义可选A 成立． 故选：A ． 11．已知数列{a n }满足2a 1+22a 2+…+2n a n ＝n （n ∈N *），数列{1log 2a n log 2a n+1}的前n 项和为S n ，则S 1•S 2•S 3•…•S 10＝（ ） A ．110B ．111C ．211D ．15【解答】解：由2a 1+22a 2+…+2n a n ＝n ， 得2a 1＝1，即a 1=12；当n ≥2时，2a 1+22a 2+…+2n ﹣1a n ﹣1＝n ﹣1， ∴2n a n ＝1，即a n =12n （n ≥2）， 当n ＝1时，上式成立， ∴a n =12n ， 则1log 2a n log 2a n+1=1log 22⋅log 22=1n(n+1)=1n −1n+1．则S n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=n n+1． ∴S 1•S 2•S 3•…•S 10=12⋅23⋅34⋯1011=111． 故选：B ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝4，sin B +2sin C cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．4【解答】解：∵sin B +2sin C cos A ＝0， ∴sin （A +C ）+2sin C cos A ＝0， 即sin A cos C +cos A sin C +2sin C cos A ＝0， 即sin A cos C +3cos A sin C ＝0， 得a •b 2+a 2−c 22ab+3×b 2+c 2−a 22bc×c ＝0， 整理得2b 2＝a 2﹣c 2， ∵ac ＝4，∴a =4c， ∴b 2=16c 2−c 22=82−c 22， ∴cos B =a 2+c 2−b22ac=16c 2+c 2−(8c 2−c 22)8=8c 2+3c 228≥2√8c2×3c228=√32，当且仅当c 28=3c 22，即c 2=4√33，b 2=4√33，a 2＝4√3时取等号， ∴B ∈（0，π6]， ∴sin B ≤12，则△ABC面积的最大值为S=12ac sin B≤12×4×12=1，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝2，cosA=13，则a＝3．【解答】解：∵b＝3，c＝2，cosA=1 3，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得a2＝9+4﹣2×3×2×13=9，解得a＝3．故答案为：3．14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos C=2√23，b cos A+a cos B＝2，则△ABC的外接圆面积为9π．【解答】解：∵b cos A+a cos B＝2，∴由余弦定理可得：b×b2+c2−a22bc+a×a2+c2−b22ac=2，整理解得：c＝2，又∵cos C=2√23，可得：sin C=13，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R=csinC=213=6，可得：R＝3，∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝9π．故答案为：9π．15．已知变量x，y满足条件{x≥1x−y≤0x+2y−9≤0，若目标函数z＝ax+y仅在点（3，3）处取得最小值，则a的取值范围是a＜﹣1．【解答】解：条件{x≥1x−y≤0x+2y−9≤0对应的平面区域如图：因为目标函数z＝ax+y，仅在（3，3）处取得最小值所以目标函数z＝ax+y的位置应如图所示，故其斜率需满足k＝﹣a＞1⇒a＜﹣1．故答案为：a＜﹣1．16．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝S 3+2S 6，则S 6+1S 3取得最小值时，S 9的值为7√33． 【解答】解：依题意，因为S 9＝S 3+2S 6，所以q ≠1，所以a 1(1−q 9)1−q=a 1(1−q 3)1−q+2a 1(1−q 6)1−q，即（q 3﹣2）（q 3﹣1）（q 3+1）＝0，因为数列{a n }为正项数列，所以q 3＝2．当S 6+1S 3取得最小值时，S 6•S 3＝1，即(a11−q )2⋅(1−q 6)(1−q 3)=1，所以a 11−q=−√33， 所以S 9=a 11−q (1−q 9)=−√33×(1−23)=7√33．故填：7√33． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝b −√32c ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若B =π6，AC ＝4，求BC 边上的中线AM 的长． 【解答】解：（Ⅰ）∵a cos C ＝b −√32c ，由正弦定理可得sin A cos C ＝sin B −√32sin C ， ∵sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ， ∴cos A sin C =√32sin C ， ∵sin C ≠0， ∴cos A =√32，∴A =π6，（Ⅱ）由A ＝B =π6，则C =2π3， ∴BC ＝AC ＝4，AB ＝4√3， ∴AM ＝2，由余弦定理可得AM 2＝BM 2+AB 2﹣2BM •AB cos B ＝4+48﹣16√3•√32=28， ∴AM ＝2√7．18．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式log 2(x +1)−2≥m 2−3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[﹣1，1]，使得m ≤(12)x −1成立． （1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．【解答】解：（1）对任意x ∈[0，1]，不等式log 2(x +1)−2≥m 2−3m 恒成立， 当x ∈[0，1]，由对数函数的性质可知当x ＝0时，y ＝log 2（x +1）﹣2的最小值为﹣2， ∴﹣2≥m 2﹣3m ，解得1≤m ≤2．因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．（2）存在x ∈[﹣1，1]，使得m ≤(12)x −1成立，∴m ≤[(12)x −1]max =1． 命题q 为真时，m ≤1．∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，则{1≤m ≤2m ＞1解得1＜m ≤2；当p 假q 真时，{m ＜1或m ＞2m ≤1，即m ＜1．综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]． 19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ﹣n ．（Ⅰ）证明数列{a n +1}是等比数列，求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）记b n =1an+1+1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（Ⅰ）证明：令n ＝1，得a 1＝2a 1﹣1，由此得a 1＝1． 由于S n ＝2a n ﹣n ，则S n +1＝2a n +1﹣（n +1）， 两式相减得S n +1﹣S n ＝2a n +1﹣（n +1）﹣2a n +n ， 即a n +1＝2a n +1．∴a n +1+1＝2a n +1+1＝2（a n +1），即a n+1+1a n+1=2，故数列{a n +1}是等比数列，其首项为a 1+1＝2， 故数列{a n +1}的通项公式是a n +1＝2•2n ﹣1＝2n ， 故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n =1a n+1+1a n a n+1=a n +1a n a n+1=2n(2n −1)(2n+1−1)， =(2n+1−1)−(2n−1)(2n −1)(2n+1−1)=12n −1−12n+1−1， 所以T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝（121−1−122−1）+（122−1−123−1）+…+（12n −1−12n+1−1，），=121−1−122−1+122−1−123−1+⋯+1n −12n+1−1， ＝1−12n+1−1，数列{b n }的前n 项和T n ＝1−12n+1−1．20．已知向量m →=（√3sinx ，sinx ），n →=（cos x ，sin x ），函数f （x ）=m →⋅n →−12（x ∈R ）． （Ⅰ）求函数f （x ）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为满足b 2＝ac ，且f(B)=12，求1tanA+1tanC的值．【解答】解：（I ）f （x ）=√3sin x cos x +sin 2x −12=√32sin2x −12cos2x ＝sin （2x −π6），∴f （x ）的最大值为1，最小正周期为T =2π2=π． （II ）∵f （B ）＝sin （2B −π6）=12，∴2B −π6=π6+2k π或2B −π6=5π6+2k π，k ∈Z ， 又B ∈（0，π）， ∴B =π6或B =π2．若B =π2，则b 2＝a 2+c 2＝ac ，与a 2+c 2≥2ac 矛盾． ∴B =π6，∵b 2＝ac ，∴sin A sin C ＝sin 2B =14，∴1tanA+1tanC=cosA sinA+cosC sinC=sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=sin(A+C)sinAsinC=sinB sin B=1sinB=2．21．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，asinA+bsinB−csinC sinBsinC=2√33a ． （1）求角C ；（2）若△ABC 的中线CD 的长为1，求△ABC 的面积的最大值． 【解答】解：（1）∵asinA+bsinB−csinCsinBsinC=2√33a ，由正弦定理化简：a 2+b 2−c 2bsinC=2√33a由余弦定理得：cosC =a 2+b 2−c 22ab=√33sinC ， 即tanC =√3， ∵0＜C ＜π． ∴C =π3．（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）＝22+c 2＝4+c 2， 由三角形余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣ab ，消去c 2得：4−ab =a 2+b 2≥2ab ，ab ≤43（当且仅当a ＝b 时，等号成立）， 即S △ABC =12absinC ≤12×43×√32=√33．22．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n ，满足S n =32(b n −1)且a 2＝b 1，a 5＝b 2． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设T n 为数列{nS n }的前n 项和，求T n ．【解答】解：（1）数列{b n }的前n 项和S n ，满足S n =32(b n −1)，① 当n ＝1时，解得b 1＝3，当n ≥2时，S n−1=32(b n−1−1)，② ①﹣②得b n ＝3b n ﹣1， 整理得b n b n−1=3（常数），所以数列{b n }是以3为首项3为公比的等比数列， 所以b n =3⋅3n−1=3n ．由于数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，且a 2＝b 1，a 5＝b 2． 则{a 1+d =3a 1+4d =9，解得{a 1=1d =2，所以a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1．（2）由于列{b n }的前n 项和S n ，所以S n =3(3n−1)3−1=32(3n −1)．则nS n =32⋅n ⋅3n −32⋅n ． 设c n =n ⋅3n ，所以K n =1⋅31+2⋅32+⋯+n ⋅3n ①， 3K n =1⋅32+2⋅32+⋯+n ⋅3n+1②， ①﹣②整理得K n =(3n 2−34)⋅3n +32． 所以T n =32(3n 2−34)⋅3n +94−32⋅n(n+1)2， =n 4⋅3n+2−3n+28+94−3n 2+3n4．。

2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x2﹣4x﹣3≤0的解集是（）A．（∞，]∪[，+∞）B．[，]C．（∞，]∪[，+∞）D．[，]2．命题“∀x∈（0，1），x2﹣x＜0”的否定是（）A．∃x0∉（0，1），B．∃x0∈（0，1），C．∀x0∉（0，1），＜D．∀x0∈（0，1），3．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B等于（）A．105°B．60°C．15°D．105°或15°4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，2S3＝2a4+S2，则a8＝（）A．8B．9C．16D．155．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若＜，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．已知等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，若T2＝T9＝512，则T8＝（）A．1024B．2048C．4096D．81927．设m＝log0.30.6，n log20.6，则（）A．m﹣n＞m+n＞mn B．m﹣n＞mn＞m+n C．m+n＞m﹣n＞mn D．mn＞m﹣n＞m+n8．不等式组，表示的平面区域为D，则（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≥2B．∀（x，y）∈D，x+2y≤2C．∃（x，y）∈D，x+2y≥﹣2D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣29．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若a2sin C＝2sin A，（a+c）2＝6+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．110．“对任意正整数n，不等式nlga＜（n+l）lga a（a＞l）都成立”的一个必要不充分条件是（）A．a＞0B．a＞1C．a＞2D．a＞311．已知数列{a n}满足2a1+22a2+…+2n a n＝n（n∈N*），数列{}的前n项和为S n，则S1•S2•S3•…•S10＝（）A．B．C．D．12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，sin B+2sin C cos A＝0，则△ABC面积的最大值为（）A．1B．C．2D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝2，，则a＝．14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos C，b cos A+a cos B ＝2，则△ABC的外接圆面积为．15．已知变量x，y满足条件，若目标函数z＝ax+y仅在点（3，3）处取得最小值，则a的取值范围是．16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，S9＝S3+2S6，则S6取得最小值时，S9的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a cos C＝b c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若B，AC＝4，求BC边上的中线AM的长．18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知向量（，），（cos x，sin x），函数f（x）（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为满足b2＝ac，且，求的值．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，，，．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．22．设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n，满足且a2＝b1，a5＝b2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n为数列{nS n}的前n项和，求T n．2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x2﹣4x﹣3≤0的解集是（）A．（∞，]∪[，+∞）B．[，]C．（∞，]∪[，+∞）D．[，]【解答】解：解4x2﹣4x﹣3≤0得，；∴原不等式的解集是，．故选：B．2．命题“∀x∈（0，1），x2﹣x＜0”的否定是（）A．∃x0∉（0，1），B．∃x0∈（0，1），C．∀x0∉（0，1），＜D．∀x0∈（0，1），【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“∀x∈（0，1），x2﹣x＜0”的否定是∃x0∈（0，1），，故选：B．3．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B等于（）A．105°B．60°C．15°D．105°或15°【解答】解：∵知a＝5，c＝10，A＝30°根据正弦定理可知∴sin C═∴C＝45°或135°B＝105°或15°故选：D．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，2S3＝2a4+S2，则a8＝（）A．8B．9C．16D．15【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a1＝1，2S3＝2a4+S2，得6+6d＝4+7d，解得d＝2，所以a8＝a1+7d＝1+2×3＝15．故选：D．5．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若＜，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解答】解：∵由已知可得：sin C＜sin B cos A，∴可得：sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＜sin B cos A，整理得：sin A cos B＜0，∵sin A≠0，∴cos B＜0．∵B∈（0，π），∴B为钝角，三角形ABC为钝角三角形．故选：A．6．已知等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，若T2＝T9＝512，则T8＝（）A．1024B．2048C．4096D．8192【解答】解：依题意，等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，T2＝T9＝512，所以1，即a3•a4•……•a9＝1，所以1，即a61，又因为a1a2512，所以q9，即q，所以a1＝32，∴a932．所以T84096．故选：C．7．设m＝log0.30.6，n log20.6，则（）A．m﹣n＞m+n＞mn B．m﹣n＞mn＞m+n C．m+n＞m﹣n＞mn D．mn＞m﹣n＞m+n【解答】解：m＝log0.30.6＞log0.31＝0，n log20.6＜log21＝0，则mn＜0．log0.60.3+log0.64＝log0.61.2＜log0.60.6＝1，∴m+n＞mn．∴m﹣n＞m+n＞mn．故选：A．8．不等式组，表示的平面区域为D，则（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≥2B．∀（x，y）∈D，x+2y≤2C．∃（x，y）∈D，x+2y≥﹣2D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣2【解答】解：根据题意，不等式组其表示的平面区域如图所示，其中A（2，﹣1）设Z＝x+2y，则y x，Z的几何意义为直线Z＝x+2y在y轴上的截距，分析可得：当时，直线Z＝x+2y在y轴上的截距最小，截距最小值为0，即Z＝x+2y取得最小值0，无最大值，即x+2y≥0，据此分析选项：ABD错误；C正确；故选：C．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若a2sin C＝2sin A，（a+c）2＝6+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．1【解答】解：因为：a2sin C＝2sin A，由正弦定理可得：a2c＝2a，得ac＝2，则由（a+c）2＝6+b2，得a2+c2﹣b2＝6﹣2ac＝6﹣2×2＝2，则S△ABC．故选：B．10．“对任意正整数n，不等式nlga＜（n+l）lga a（a＞l）都成立”的一个必要不充分条件是（）A．a＞0B．a＞1C．a＞2D．a＞3【解答】解：对任意正整数n，若不等式nlga＜（n+1）lga a（a＞1）都成立，则nlga＜a（n+1）lga（a＞1）；lga＞0；成立．即：n＜a（n+1）；a＞1，对任意正整数n，有a要大于（1）的最大值成立．（1）的最大值设为x，则n趋近于无穷大正整数时，x趋近于1，∴a大于趋近于1的数x，即：a＞x＞0，x趋近于1∴不等式nlga＜（n+1）lga a（a＞1）都成立能推出a＞0，故a＞0是不等式nlga＜（n+1）lga a（a＞1）都成立的必要条件．若a＞0时，不能推出a＞x＞0，x趋近于1，故不能推出不等式nlga＜（n+1）lga a（a＞1）成立能；根据充分条件和必要条件的定义可选A成立．故选：A．11．已知数列{a n}满足2a1+22a2+…+2n a n＝n（n∈N*），数列{}的前n项和为S n，则S1•S2•S3•…•S10＝（）A．B．C．D．【解答】解：由2a1+22a2+…+2n a n＝n，得2a1＝1，即；当n≥2时，2a1+22a2+…+2n﹣1a n﹣1＝n﹣1，∴2n a n＝1，即（n≥2），当n＝1时，上式成立，∴，则．则．∴S1•S2•S3•…•S10．故选：B．12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，sin B+2sin C cos A＝0，则△ABC面积的最大值为（）A．1B．C．2D．4【解答】解：∵sin B+2sin C cos A＝0，∴sin（A+C）+2sin C cos A＝0，即sin A cos C+cos A sin C+2sin C cos A＝0，即sin A cos C+3cos A sin C＝0，得a•3c＝0，整理得2b2＝a2﹣c2，∵ac＝4，∴a，∴b2，∴cos B，当且仅当，即c2，b2，a2＝4时取等号，∴B∈（0，]，∴sin B，则△ABC面积的最大值为S ac sin B41，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝2，，则a＝3．【解答】解：∵b＝3，c＝2，，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得a2＝9+4﹣29，解得a＝3．故答案为：3．14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos C，b cos A+a cos B ＝2，则△ABC的外接圆面积为9π．【解答】解：∵b cos A+a cos B＝2，∴由余弦定理可得：b a2，整理解得：c＝2，又∵cos C，可得：sin C，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R6，可得：R＝3，∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝9π．故答案为：9π．15．已知变量x，y满足条件，若目标函数z＝ax+y仅在点（3，3）处取得最小值，则a的取值范围是a＜﹣1．【解答】解：条件对应的平面区域如图：因为目标函数z＝ax+y，仅在（3，3）处取得最小值所以目标函数z＝ax+y的位置应如图所示，故其斜率需满足k＝﹣a＞1⇒a＜﹣1．故答案为：a＜﹣1．16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，S9＝S3+2S6，则S6取得最小值时，S9的值为．【解答】解：依题意，因为S9＝S3+2S6，所以q≠1，所以2，即（q3﹣2）（q3﹣1）（q3+1）＝0，因为数列{a n}为正项数列，所以q3＝2．当取得最小值时，S6•S3＝1，即1，所以，所以S9．故填：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a cos C＝b c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若B，AC＝4，求BC边上的中线AM的长．【解答】解：（Ⅰ）∵a cos C＝b c，由正弦定理可得sin A cos C＝sin B sin C，∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴cos A sin C sin C，∵sin C≠0，∴cos A，∴A，（Ⅱ）由A＝B，则C，∴BC＝AC＝4，AB＝4，∴AM＝2，由余弦定理可得AM2＝BM2+AB2﹣2BM•AB cos B＝4+48﹣16•28，∴AM＝2．18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．【解答】解：（1）对任意x∈[0，1]，不等式恒成立，当x∈[0，1]，由对数函数的性质可知当x＝0时，y＝log2（x+1）﹣2的最小值为﹣2，∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．（2）存在x∈[﹣1，1]，使得成立，∴．命题q为真时，m≤1．∵p且q为假，p或q为真，∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，则＞解得1＜m≤2；＜或＞，即m＜1．当p假q真时，综上所述，m的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）证明：令n＝1，得a1＝2a1﹣1，由此得a1＝1．由于S n＝2a n﹣n，则S n+1＝2a n+1﹣（n+1），两式相减得S n+1﹣S n＝2a n+1﹣（n+1）﹣2a n+n，即a n+1＝2a n+1．∴a n+1+1＝2a n+1+1＝2（a n+1），即2，故数列{a n+1}是等比数列，其首项为a1+1＝2，故数列{a n+1}的通项公式是a n+1＝2•2n﹣1＝2n，故数列{a n}的通项公式是a n＝2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n，，所以T n＝b1+b2+…+b n＝（）+（）+…+（，），，＝1，数列{b n}的前n项和T n＝1．20．已知向量（，），（cos x，sin x），函数f（x）（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为满足b2＝ac，且，求的值．【解答】解：（I）f（x）sin x cos x+sin2x sin2x cos2x＝sin（2x），∴f（x）的最大值为1，最小正周期为T π．（II）∵f（B）＝sin（2B），∴2B2kπ或2B2kπ，k∈Z，又B∈（0，π），∴B或B．若B，则b2＝a2+c2＝ac，与a2+c2≥2ac矛盾．∴B，∵b2＝ac，∴sin A sin C＝sin2B，∴2．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，，，．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．【解答】解：（1）∵，由正弦定理化简：由余弦定理得：，即，∵0＜C＜π．∴．（2）由三角形中线长定理得：2（a2+b2）＝22+c2＝4+c2，由三角形余弦定理得：c2＝a2+b2﹣ab，消去c2得：，（当且仅当a＝b时，等号成立），即．22．设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n，满足且a2＝b1，a5＝b2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n为数列{nS n}的前n项和，求T n．【解答】解：（1）数列{b n}的前n项和S n，满足，①当n＝1时，解得b1＝3，当n≥2时，，②①﹣②得b n＝3b n﹣1，整理得（常数），所以数列{b n}是以3为首项3为公比的等比数列，所以．由于数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，且a2＝b1，a5＝b2．则，解得，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）由于列{b n}的前n项和S n，所以．则．设，所以①，3②，①﹣②整理得．所以，．。

豫南九校2020学年上期第二次联考高二数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】全称命题的否定为存在命题，命题：，，则为，，选B.2. 在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理，，选C. 3. 在中，角，，所对边分别是，，，若，，且，满足题意的有（）A. 0个B. 一个C. 2个D. 不能确定【答案】B【解析】，，,为锐角，且， b，满足题意的有一个，选B.4. 设是等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是等差数列的前项和，,选D.5. 设的内角，，所对的边长分别为，，，若，，，则（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】，则为锐角，根据正弦定理，，则，则，选C.6. 设为等比数列，若，，，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据等比数列的性质设为等比数列，若，，，，则，反过来设数列为常数列1，1，1，1……,任意两项的积相等，但项数和不等，所以不必要，那么为等比数列，若，，，，则是的充分不必要条件,选A.7. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】时，符合题意，时，关于的不等式的解集为，只需，综上可知实数的取值范围是，选B.8. 在中，内角，，所对的边分别是，，，且，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，，，，，，选B.9. 设是等比数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等比数列首项为，公比为，，，则，，，，选D.10. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，，，，选B. 11. 椭圆（）的两个焦点是，，若为其上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，则，则，，，又，椭圆离心率的取值范围是，选C.12. 已知变量，满足约束条件则目标函数（）的最大值为16，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】...............第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 100以内的正整数有__________个能被7整除的数．【答案】14【解析】它们分别为，共计14个.14. 等比数列的前项和，若，为递增数列，则公比的取值范围__________．【答案】【解析】时，有，恒成立，若，，即成立，若只要，若，需要恒成立，当时，恒成立，当时，也恒成立，当时，若为偶数时，也不可能恒成立，所以的取值范围为15. 在中，，，是的中点，，则等于__________．【答案】【解析】延长至N，使，连接，则四边形为平行四边形，，在中，，在中，，，.16. 设，实数，满足若，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】根据题意得可行域所围成的三角形必在两平行线和之间，由图可知，实数的取值范围是，填.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知：，：（），若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】【解析】试题分析：首先落实集合A与B，解一元二次不等式求出集合A，由于解一元二次不等式得出集合B，根据p找出非p,由于若是的充分不必要条件，说明非p对应的集合是q对应的集合的真子集，借助集合的包含关系列出不等式，解出a的范围；试题解析：由得，由得．又因为是的充分不必要条件,所以解得．【点睛】有关充要条件问题有两种解释，第一是从逻辑关系的角度去解决，若，但推不出，则是的充分不必要条件；第二从命题所对应的集合的包含关系的角度去解决，是的充分不必要条件说明对应的集合是所对应的集合的真子集.18. 为数列的前项和，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：当数列提供与之间的递推关系时，一般把原式中的n替换为n+1得到另一个式子，然后两式作差，从而把与的关系转化为与的关系，然后在求通项公式，第二步为数列求和问题，由于通项公式符合使用裂项相消法，所以借助裂项相消法求和后证明不等式.试题解析：（1），两式作差得：，成等差数列又当时，．（2）由可知则故．【点睛】当数列提供与之间的递推关系时，常规方法是把原式中的n替换为n+1得到另一个式子，然后两式作差，从而把与的关系转化为与的关系，然后在求通项公式，第二步为数列求和问题，常规方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法. 19. 设：实数满足，其中；：实数满足（1）若，且为真，为假，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：第一步首先把a=1代入求出p所表示的含义，解不等式组搞清q的含义，根据为真，为假，求出x的范围，第二步是的充分不必要条件的等价关系为，说明所表示的集合是所表示的集合的真子集，针对为正、负两种情况按要求讨论解决.试题解析：（1）当为真时，当为真时，因为为真，为假，所以，一真一假，若真假，则，解得；若假真，则，解得，综上可知，实数的取值范围为.（2）由（1）知，当为真时，，因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，因为为真时，若，有且是的真子集，所以，解得：，因为为真时，若，有且是的真子集，所以，不等式组无解．综上所述：实数的取值范围是．【点睛】解含参一元二次不等式时，若已知参数值可代入后求解，若不知参数值需要讨论后求解，涉及含有逻辑联结词的命题的真假问题需要按照真值表考虑简单命题的真、假，按照要求求出参数的范围，当遇到是的充分不必要条件时，要按照互为逆否命题同真假去转化为等价关系为，然后再去解决.20. 已知在中，，，分别为角，，所对的边长，且．（1）求角的值；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：第一步利用正弦定理进行“边转角”化为三角函数关系，借助两角和公式进行恒等变形，求出角A的余弦值，进而求出角A；第二步利用余弦定理，转化为b+c与bc的关系，然后利用基本不等式“等转不等”，求出b+c的范围，再根据三角形两边之和大于第三边，求出范围.试题解析：（1）依题意由正弦定理可得：又．（2）由余弦定理知：（当且仅当时成立），又故的取值范围是．【点睛】有关解斜三角形问题，常用正弦定理、余弦定理、面积公式等，多用正弦定理和余弦定理进行“边角转化”，求范围或最值问题常用方法有两种，第一边化角，利用三角函数式恒等变形转化为某个角的三角函数式，根据角的范围研究函数值的范围，另一种方法是化边，利用基本不等式求范围或最值.21. 已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，本题第二步数列求和，由于通项公式符合使用错位相减法，所以利用错位相减法求出数列的和.试题解析：（1）当时，，当时，当时，不满足上式，故（2），令①②①—②得：，．【点睛】已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.22. 已知椭圆：（）的离心率为，左焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．（1）求椭圆的方程；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：首先利用椭圆的离心率和焦点坐标列方程求出a,b写出椭圆方程，第二步设出直线方程和直线与椭圆的交点坐标，利用设而不求思想解题，联立方程组，代入整理后写出根与系数关系，求出弦AB中点的坐标，根据等腰三角形三线合一，底边的中线也是高线，根据垂直关系列出等式求出参数，利用弦长公式求出底边长，计算出面积.试题解析：（1）由已知得，，解得，又所以椭圆E的方程为．（2）设直线的方程为，由消去得设的坐标分别为，AB中点为，，因为AB是等腰的底边，所以，所以的斜率，此时又点P到直线AB：的距离所以的面积．【点睛】求椭圆的标准方程基本方法就是到顶系数法，利用椭圆的离心率和焦点坐标列方程求出a,b写出椭圆方程，直线和椭圆相交问题，一般都是利用设而不求思想解题，联立方程组，代入整理后，第一是判别式大于零，第二是写出根与系数关系，有时需要求出弦长，然后根据题意借助坐标处理问题.。

绝密★启用前河南省豫南九校联考联盟2020-2021学年高二年级上学期期末质量联考监测物理试题（考试时间：90分钟试卷满分：110分）一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，第1~7题只有一项符合题目要求，第8~12题有多项符合题目要求.多选题全部选对的得4分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分）1.奥斯特的电流磁效应实验具有划时代的意义，揭示了电与磁之间的联系。

下列现象中进一步揭示电与磁之间联系的实验现象是A.摩擦起电现象B.互感现象C.电流热效应D.霍尔效应2.下列说法正确的是A.磁通量是矢量，其正负代表方向B.运动的电荷，在磁场中一定会受到磁场力的作用C.自感电动势总与原电流方向相反D.穿过线圈的磁通量变化越快，产生的感应电动势越大3.如图所示，两平行直导线cd和ef竖直放置，通以方向相反、大小相等的电流，A、B、C三点位于同一条直线上，两导线分别为AB、BC连线的中垂线。

下列说法正确的是A. A点的磁场方向垂直纸面向外B. B点的磁感应强度为零C. C点的磁场方向垂直纸面向里D. ef导线受到cd导线的作用力方向向左4.如图所示，E为电池，L是电阻可忽略不计、自感系数足够大的线圈，D1、D2是两个规格相同且额定电压足够大的灯泡，S是控制电路的开关.对于这个电路.下列说法正确的是A.刚闭合开关S的瞬间，通过D1电流大于通过D2的电流B.刚闭合开关S的瞬间，通过D1电流小于通过D2的电流C.闭合开关S待电路达到稳定，D1熄灭，D2比原来更亮D.闭合开关S待电路达到稳定，再将S断开，D1、D2均闪亮一下再熄灭5. 2020年12月17日，“嫦娥五号”探测器圆满完成我国首次月球采样返回任务。

“嫦娥五号”的电子仪器及各种动作的控制主要靠太阳能电池供电的。

在正常照射下，太阳能电池的光电转换效率可达23%。

单片单晶硅太阳能电池可产生0.6 V 的电动势，可获得0.1 A的电流，则每秒照射到单片单晶硅太阳能电池上太阳光的能量大约是A. 0.48 JB. 0.12 JC. 0.26 JD. 0.52 J6.如图所示在纸面内有一直角三角形ABC，P1是AB的中点，P2是AP1的中点，A∠=︒。

2020-2021学年度河南省豫南九校高二上学期期末联考理科数学试卷【含解析】一、单选题1．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0 B ．53C ．73D ．3【答案】B【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+=故选：B2．设222,1a x x b x =-+=-，则实数a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b > B ．a b =C ．a b <D ．与x 有关【答案】A【分析】由22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭可得答案【详解】因为22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立 所以a b > 故选：A3．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ） A ．()3,0- B ．[)3,0-C ．[]3,0-D ．(]3,0-【答案】D【分析】分0k =，0k ≠两种情况，当0k =，308-<对x ∈R 恒成立，当0k ≠时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立. 【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立；当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩， 解得,0()3k ∈-， 综上(3,0]k ∈-. 故选：D4．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =，BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 作为空间的一组基底表示向量OG 应为（ ）A ．111363OG OA OB OC =++ B ．111344OG OA OB OC =++ C ．111336OG OA OB OC =++D ．111443OG OA OB OC =++【答案】B【分析】连接ON ，由向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可得解. 【详解】连接ON ，如图，则由向量加法的平行四边形法则可得()()1121122322OG OM ON OA OB OC =+=⨯+⨯+ 111344OA OB OC =++. 故选：B.5．已知x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．32【答案】A【分析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：11y x y =-⎧⎨+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A -，据此可知目标函数的最大值为：max 2213z =⨯-=. 故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 6．如图，无人机在离地面高200m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°，已知060MCN ∠=，则山的高度MN 为（ ）A ．1503mB ．2003mC ．3003mD ．300m【答案】D【分析】根据题中条件，先得到22002AC AB m ==，45AMC ∠=︒，在AMC 中，根据正弦定理，即可得出结果.【详解】∵//AD BC ，∴45ACB DAC ∠=∠=︒，∴22002AC AB m ==， 又180604575MCA ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，∴45AMC ∠=︒， 在AMC 中，sin sin MC AC MAC AMC =∠∠，∴2002sin602003sin45MC m ︒==︒， ∴sin 2003sin60300MN MC MCN m =∠=︒=. 故选：D ．7．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞【答案】D【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()xf xg x e=，所以，()()()()()()2x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.8．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()π2f f e f <<B ．()()()2πf f e f '''<<C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<【答案】D【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D .【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.9．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．10B 6C 10D 15【答案】C【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥， 所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ， 则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =， 则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则()()1122221610sin cos ,3312n BC n BC n BC θ⋅-=<>===⋅-+⨯+-. 故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.10．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（ ） A ．4×20162－1 B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×20182【答案】C【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】由题意可得：323a a =，211a a = ，32211a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首先为1，公差为2的等差数列， 则()111221n na n n a +=+-⨯=-， 所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，20192018220181aa =⨯-， 所以()()2202020202019201820192019220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.11．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）. A ．13B ．12C ．2D ．3 【答案】C【分析】设点2(1)4m P m +，，将22()0OP OF F P +⋅=坐标化运算，可求出45m =，再分别计算12||,||PF PF 的值，即可得答案； 【详解】1a =，2b=，∴5c =1(5F -，，2(5F ，，设点2(1)4m P m +，，∴222222()(15)(15)150444m m m OP OF F P m m m +⋅=+⋅+=+-+=，，，∴2165m =，45m =， 则3545(P ±，221354580504555PF ⎛⎫⎛⎫=--+±== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.【点睛】利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键.12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞【答案】B【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案. 【详解】∵()()2x f x e f x -=，∴()()()x x xf xe f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∴()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∴()()211211a a ef a e f a +++≥+，∴()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+， 解得，203a -≤≤， 故选：B .【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e --==-，根据左右相同的形式，构造函数()()xg x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211ae f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.二、填空题13．已知函数()32f x ax x =+()14f '=，则a =__________．【答案】1【分析】先求出函数()f x 的导函数()23f x ax x'=+，由()14f '=可得答案. 【详解】由题意()23f x ax x'=+，所以()1314f a '=+=解得1a = 故答案为：114．设等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则55S a =________. 【答案】3116【分析】根据等比数列的求和公式与通项公式，由题中条件，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以()5151123112a S a -==-，所以4511216a a a ==，所以515131311616S a a a ==. 故答案为：3116.15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”，“股”，“弦”，且“勾2＋股2=弦2”设直线l 交抛物线214y x =于,A B 两点，若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”"股”(O 为坐标原点)，则此直线l 恒过定点__________． 【答案】()0,4【分析】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与抛物线方程联立写出韦达定理，由条件可得即OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，将韦达定理代入可得答案.【详解】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx b --= 则12124,4x x k x x b +==-若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”“股”（O 为坐标原点） 可得222OA OB AB += 所以OA OB ⊥，即OA OB ⊥所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，()2221212121114416y y x x x x =⨯=所以()()2212121212114401616OA OB x x y y x x x x b b ⋅=+=+=-+⨯-= 即240b b -=，解得40b b ==或（舍） 所以直线AB 的方程为4y kx =+，恒过点()0,4 故答案为：()0,4【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系和直线过定点问题，解答本题的关键是由条件得出OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，得到240b b -=，属于中档题.16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____. 【答案】2【分析】令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()xg e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()x e a h x x<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称， 所以函数()f x 为R 上的偶函数，令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->， 所以()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x xe f e e ax axf ax -+->恒成立， 即()()x x x e f e e axf ax ax ->-，即()()xg e g ax >，所以e x ax >，当0x >时，()xe a h x x <=，则()()21x e x h x x-'=，可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()min 1h x h e ==， 所以a e <，此时最大的正整数a 为2，2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，综上所述：正整数a 的最大值为2， 故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()xg e g ax >，利用单调性可得e x ax >，再分类参数求最值.三、解答题17．已知命题：“{}|22x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设关于x 的不等式()()80x a x a ---<的解集为N ，若“x ∈N ”是“x M ∈”的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，；（2）124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，． 【分析】（1）利用参数分离法将m 用x 表示，结合二次函数的性质求出m 的取值范围，从而可求集合M ；（2）若x ∈N 是x M ∈的必要条件，则M N ⊆即可得到不等式，从而求出参数的取值范围；【详解】解：（1）由题意可知20x x m --=，所以221124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为{}|22x x x ∈-<<，所以21116244x ⎛⎫⎡⎫--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，，即164m -≤<，则实数m 的取值集合M=164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，； （2）由()()80x a x a ---<，可得()8N a a =+，，因为“x N ∈”是“x M ∈”的必要条件，所以M N ⊆，则1486a a ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩，解得124a -≤<-，所以a 的取值范围为124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】本题考查必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则判断计算： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18．已知ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()sin sin sin a A c C a b B -=-.（1）求角C 的大小；（2）若边长3c =ABC 的周长最大值. 【答案】（1）3π；（2）33【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得出222a b c ab +-=，利用余弦定理求出cos C 的值，再结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用正弦定理结合三角函数可得2336π⎛⎫++=+⎪⎝⎭a b c A ，由203A π<<可得5666A πππ<+<，结合正弦函数的基本性质可求得ABC 的周长最大值.【详解】（1）()sin sin sin a A c C a b B -=-，根据正弦定理得，()22a c ab b -=-，即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又()0,C π∈，所以3C π=；（2）3C π=，3c =23A B π+=，由正弦定理得32sin sin sin 3a b cA B C ====，可得：2sin a A =，22sin 2sin 3b B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭，23132sin 2sin 32sin 2sin 32a b c A A A A A π⎫⎛⎫∴++=+-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3sin 3cos 323sin 36A A A π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由203A π<<可得5666A πππ<+<，可得1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.(23323,336a b c A π⎛⎫∴++=+ ⎪⎝⎭.因此，ABC 的周长的最大值为33【点睛】方法点睛： 1.解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”；2.求三角形周长的最值也是解三角形中一种常见类型的问题，主要方法有两类： （1）找到边与边的关系，利用余弦定理列等式，结合基本不等式求最值；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角为自变量的三角函数，利用函数思想的求最值. 19．数列{}n a 满足()()1123231221n n a a a na n n +++++=-+≥.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S . 【答案】（1）2nn a =；（2）()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+ 【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 【详解】解：（1）由题意，12a =.由()()1123231221n n a a a na n n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+≥，① 得()()()12312312222nn a a a n a n n -+++⋅⋅⋅+-=-⋅+≥，②①-②，得()()()112222222n n nn na n n n n +⎡⎤⎡⎤=-⋅+--⋅+=⋅≥⎣⎦⎣⎦，所以()22nn a n =≥又因为当1n =时，上式也成立，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（2）由题意，21212n n n n n b a ++==，所以 123123357212222n n n n S b b b b +=+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅， ③ 234113572121222222n n n n n S +++=+++⋅⋅⋅++， ④ ③-④，得123234113572135721212222222222n n n n n n n S ++++⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 234131111212222222n n n ++⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111122121212212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+⨯--()1512522n n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭从而()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．20．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =，设点M 在线段EF 上运动.（1）证明：BC AM ⊥；（2）设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求θ的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3π.【分析】（1）由平面几何知识，余弦定理可得BC AC ⊥.，再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；（2）由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，由二面角的向量求解方法可表示()2cos 34θλ=-+，由二次函数的性质可求得最值.【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，所以2AB =，所以2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥.因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =， 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .所以BC ⊥AM ；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，)3,0,0A，()0,1,0B ，(),0,1M λ.∴()3,1,0AB =-，(),1,1BM λ=-.设(),,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30,0,x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()1,3,3n λ=，∵()1,0,0m =是平面FCB 的一个法向量，∴()()22||cos 133134n m n mθλλ⋅===++-⨯-+∵03λ≤≤∴当3λ=cos θ有最大值12，θ的最小值为3π.【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。