2013届高三数学(文)一轮复习：6.5 合情推理与演绎推理(广东专用版)(有答案)

合情推理与演绎推理
一、选择题
1．已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()
A．3n－1 B．4n－3
C．n2D．3n－1
2．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值
3
2a，
类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值()
A.
6
3a B.
6
4a
C.
3
3a D.
3
4a
3．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形
图6－5－1
那么下列图形中，
图6－5－2
可以表示A*D，A*C的分别是()
A．(1)(2) B．(2)(3)
C．(2)(4) D．(1)(4)
4．在△ABC中，若AB⊥AC，AC＝b，AB＝a，则△ABC的外接圆半径r＝a2＋b2
2，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S－ABC中，若
SA，SB，BC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体S－ABC的外接球半径R＝()
A.a2＋b2＋c2
2 B.
a2＋b2＋c2
3
C.3
a3＋b3＋c3
2 D.
3
a3＋b3＋c3
3
5．(2012·南昌模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
图6－5－3
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是()
A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
二、填空题
6．(2012·肇庆模拟)观察下列各式：9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．
7．把正整数1,2,3,4,5,6…按某种规律填入下表.
8．如果f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝1，则f(2)
f(1)
＋
f(4)
f(3)
＋…＋
f(2 010)
f(2 009)
＋
f(2 012)
f(2 011)
＝
________.
三、解答题
9．通过观察下列等式，猜想出一个一般性结论，并证明结论的真假． sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝3
2； sin 260°＋sin 2120°＋sin 2180°＝32； sin 245°＋sin 2105°＋sin 2165°＝32； sin 215°＋sin 275°＋sin 2135°＝32.
10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，试求：
(1)a 18的值；
(2)该数列的前n 项和S n .
11．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1
AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
答案及解析
1．【解析】 a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 【答案】 C
2．【解析】 正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积，设点到四个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，每个面的面积为34a 2，正四面体的体积为212a 3，
则有13×34a 2(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝2
12a 3， 得h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝6
3a . 【答案】 A
3．【解析】 由题意知，A 是“|”，B 是大正方形，C 是“—”，D 是小正方形，∴A *D 为小正方形中有竖线，即为(2)，A *C 为“＋”，即为(4)．
【答案】 C
4．【解析】从结构形式上看，A、D都符合类比推理的要求，但题中要求的是正确结论，所以还需要验证或证明．事实上，我们将四面体S－ABC以SA，SB，SC为三边可以补成一个长方体，四面体的外接球半径为长方体对角线长的一半，所以选A.
【答案】 A
5．【解析】由图形的规律可知，第n个三角形数为1＋2＋3…＋n＝n(n＋1)
2，
第n个正方形数为n2，其中A、B、C都是正方形数，分别令它们等于n(n＋1)
2求n，
知1 225是三角形数．
【答案】 C
6．【解析】由所给等式可知，等式左边为(n＋2)2－n2，等式右边是首项为8，公差为4的等差数列，故第n个等式的右边为4(n＋1)，故这个等式为(n＋2)2－n2＝4(n＋1)．
【答案】(n＋2)2－n2＝4(n＋1)
7．【解析】依题意知，这些数所出现的位置是以4为周期重复性地连续填入相应的位置；且从1开始的连续四个整数共填了3列．注意到2 011＝4×502＋3，因此2 011所填的位置与3所填的位置相对应，即应填在第三行；2 011所填的位置应是第502×3＋2＝1 508列，即2 011出现在第3行第1 508列．【答案】3,1508
8．【解析】∵f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1，
∴f(x＋1)＝f(x)·f(1)，即f(x＋1)
f(x)
＝f(1)＝1.
∴f(2)
f(1)
＝
f(4)
f(3)
＝…＝
f(2 010)
f(2 009)
＝
f(2 012)
f(2 011)
＝1，
∴f(2)
f(1)
＋
f(4)
f(3)
＋…＋
f(2 010)
f(2 009)
＋
f(2 012)
f(2 011)
＝1 006×1＝1 006. 【答案】 1 006
9．【解】猜想：sin2(α－π
3)＋sin
2α＋sin2(α＋π
3)＝
3
2.
证明 ∵左＝(sin αcos π3－cos αsin π3)2
＋sin 2α＋ (sin αcos π3＋cos αsin π
3)2 ＝32(sin 2α＋cos 2α)＝3
2＝右， ∴待证式成立．
10．【解】 (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.
(2)当n 为偶数时，
S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；
当n 为奇数时，
S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －1
2. 综上所述：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
52n (n 为偶数)
52n －1
2 (n 为奇数).
11．【证明】 如图所示，由射影定理 AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1
BD ·
DC
＝BC 2BD ·
BC ·DC ·BC ＝BC 2
AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1
AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·
AC 2
＝
1
AB2＋
1
AC2.
所以
1
AD2＝
1
AB2＋
1
AC2.
猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，
则
1
AE2＝
1
AB2＋
1
AC2＋
1
AD2.
证明：如图，连结BE并延长交CD于F，连结AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴
1
AE2＝
1
AB2＋
1
AF2.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴
1
AF2＝
1
AC2＋
1
AD2.
∴
1
AE2＝
1
AB2＋
1
AC2＋
1
AD2，故猜想正确．。