下载文档原格式
第五章-贝塞尔函数n阶第一类贝塞尔函数()J xn第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()H xn第一类变形的贝塞尔函数()I xn开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。
从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5.1）得22222()V VVT a T x y∂∂'=+∂∂或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+=（5.4）22220V VV x y λ∂∂++=∂∂ （5.5）从（5.4）得2()a t T t Ae λ-=方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
贝塞尔函数和球贝塞尔函数前言：贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，它是傅里叶变换的基础。
贝塞尔函数在物理学、工程学、计算机科学等学科中都有着重要的应用。
本文将重点介绍贝塞尔函数及其应用中常用到的球贝塞尔函数，分别从定义、性质、运算及应用等多个角度进行解释。
一、贝塞尔函数的定义贝塞尔函数，又称为柏松函数或泊松函数，是一个数学函数系列，其名称是为了纪念德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel）而得名。
贝塞尔函数最初是为了解决圆形振动、电磁场、流体力学等问题而被引入的。
具体地说，贝塞尔函数是微分方程中的一类特殊解，其通式如下：$$ J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x/2)^{n+2k}}{k!(n+k)!} $$式中，Jn(x)代表了一类常微分方程的解，其中n代表了贝塞尔函数中的次数，x代表自变量，通常被称为“辐角”。
由于贝塞尔函数满足贝塞尔微分方程，因此它有许多重要的性质和应用。
（1）奇偶性：贝塞尔函数具有两种奇偶性，一种是关于自变量x的奇偶性，另一种是关于次数n的奇偶性。
$$ J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x) $$（2）正交性：当n≠m时，两个不同次数的贝塞尔函数在区间[0,a]上的积分为0。
$$\int_{0}^{a}xJ_n(\alpha_n x)J_m(\alpha_mx)dx=\frac{\delta_{mn}}{\alpha_n}\frac{(J'_{n}(\alpha_n a))^2-(J_{n}(\alpha_n a))^2}{2}$$其中，δmn是Kronecker δ 符号，当n=m时为1，否则为0。
（3）渐近行为：在辐角趋近于无穷大时，贝塞尔函数的渐近行为为：$$ J_n(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos(x-\frac{n\pi}{2}-\frac{\pi}{4}) $$（4）级数展开：贝塞尔函数能用级数的形式表示：（1）递推关系：以Jn(x)为例，它的递推关系可以表示为：（2）德拜函数：德拜函数是一个和贝塞尔函数非常相似的函数，它用来描述球面波的性质。
图1 贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。
实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。
贝塞尔函数维基百科，自由的百科全书贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。
通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。
由于贝塞尔微分方程是二阶常微分方程，需要由两个独立的函数来表示其标准解函数。
典型的是使用第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数来表示标准解函数：注意，由于 在 x=0 时候是发散的（无穷），当取 x=0 时，相关系数 必须为0时，才能获得有物理意义的结果。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或复数α变化而变化（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情形为α是整数n，对应解称为n 阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。
贝塞尔函数也被称为柱谐函数、圆柱函数或圆柱谐波，因为他们是于拉普拉斯方程在圆柱坐标上的求解过程中被发现的。
目录1 历史2 现实背景和应用范围3 定义3.1 第一类贝塞尔函数3.1.1 贝塞尔积分3.1.2 和超几何级数的关系3.2 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）3.3 第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）3.4 修正贝塞尔函数3.5 球贝塞尔函数3.6 黎卡提-贝塞尔函数4 渐近形式5 性质6 参考文献7 外部连接历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。
题目: 贝塞尔函数及其应用摘要贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。
贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。
它在物理和工程中,有着十分广泛的应用。
本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解,即贝塞尔函数。
其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论,如递推公式,零点性质等，并对他们进行了深入的分析。
第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过m ａtlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。
最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用,着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。
关键词:贝塞尔函数,傅里叶-贝塞尔级数,渐近公式目录一、起源ﻩ错误!未定义书签。
（一）贝塞尔函数的提出ﻩ错误!未定义书签。
（二）贝塞尔方程的引出.................................................................... 错误!未定义书签。
二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。
(一) 贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。
1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。
２．第二类贝塞尔函数.................................................................. 错误!未定义书签。
貝塞爾函數（Bessel Function），它們的數值可由查有關貝塞爾函數曲線或查表得出，貝塞爾函數值與m f的關係如圖4-6所示。
表4-1載頻、邊頻振幅與關係表圖4-1第一類貝塞爾函數根據式（4-18），可以得出如下結論︰1.一個調頻波除了載波頻率外，還包含無窮多的邊頻，相鄰邊頻之間的頻率間隔仍是。
第條譜線與載頻之差為。
2.每一個分量的最大振幅等於。
而由貝塞爾函數決定。
理論上，相角調變信號的邊頻分量是無限多的，也就是說，它的頻譜是無限寬的。
一路信號要佔用無限寬的頻帶，是我們不希望的。
實際上，已調信號的能量絕大部分是集中在載頻附近的一些邊頻分量上，從某一邊頻起，它的幅度便非常小（工程上習慣，凡是振幅小於未調變載波振幅的10%的邊頻分量可以忽略不計）。
根據貝塞爾函數的特點，當階數時，貝塞爾函數的數值隨著n的增加而迅速減小。
所以，實際上我們可以認為，也即高低邊頻的總數等於個，因此調頻波的頻譜有效寬度為，即頻帶寬度可以方便地算出，為(4-19）由於，所以式(4-19)也可寫成下列形式，即(4-20)這與調變頻率相同的調幅波比起來，調角波的頻帶要寬。
通常，所以相角調變的頻帶要比調幅波寬得多。
因此，在同樣的波段中，能容納相角調變信號的數目，要少於調幅信號的數目。
因此，調頻只宜用於頻率較高的、甚高頻和超高頻段中。
關於頻帶寬度區分以下兩點說明：3.當，也就是寬頻帶FM（WBFM）情況，式(4-19)及式(4-20)適用之。
4.當，為窄頻帶FM（NBFM），此時式（4-19）及（4-20）不再適用，由表6-1可以看出，邊頻只取一對就夠了，即窄頻帶調頻頻譜寬度為。
怎么用贝塞尔函数
贝塞尔函数是数学中一种重要的特殊函数，用于解决许多物理问题，如振动、波动、电磁场等。
下面介绍贝塞尔函数的一些基本应用：
1.求解边值问题。
贝塞尔函数可用于求解拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程等边值问题，例如声学和电磁学中的边界值问题。
通过将解表示为贝塞尔函数的级数和积分形式，可以获得适当的解，并满足所需的边界条件。
2.求解微分方程。
贝塞尔函数是许多微分方程解的关键。
例如，在电磁物理中，它们经常用于描述边缘衍射或光学过滤现象。
它们也可以用于求解热传导方程和扩散方程等非线性微分方程。
3.光学应用。
贝塞尔函数被广泛应用于光学中，例如在干涉测量中的 Fourier 分析，或用于光纤等的模式分析。
此外，通过将光在非球面透镜的传输描述为贝塞尔函数形式，可以计算光的光斑大小和焦距长度的公式。
4.数学物理方面的应用。
贝塞尔函数还可以用于计算各种复杂数学物理问题，在量子力学、振动学、量子场论和统计物理学中都有广泛的应用。
总之，贝塞尔函数是一种非常重要的特殊函数，广泛应用于数学、物理、工程和科学等众多领域。
贝塞尔函数及其应用题目：贝塞尔函数及其应用摘要贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的，因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。
贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。
它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。
本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。
其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等，并对他们进行了深入的分析。
第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析，得到了它们的逼近情况。
最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差；一个是在信号处理中调频制的应用，得到了特殊情况下的公式算法。
关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式目录一、起源1（一）贝塞尔函数的提出1（二）贝塞尔方程的引出1二、贝塞尔函数的基本概念4（一）贝塞尔函数的定义41.第一类贝塞尔函数52.第二类贝塞尔函数73.第三类贝塞尔函数104.虚宗量的贝塞尔函数10（二）贝塞尔函数的递推公式11（三）半奇数阶贝塞尔函数13（四）贝塞尔函数的零点14（五）贝塞尔函数的振荡特性16三、Fourier-Bessel级数16（一）傅里叶-贝塞尔级数的定义16（二）将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开17四、贝塞尔函数的应用24（一）贝塞尔函数在光学中的应用24（二）贝塞尔函数在调频制中的应用26附录30一、起源（一）贝塞尔函数的提出随着科学技术的发展，数学的应用更为广泛。
在许多科技领域中，微积分及常微分方程已经不能够满足我们的需要，数学物理方程理论已经成为必须掌握的数学工具。
它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了物理现象和过程的基本规律。
它的重要性，早在18世纪初就被人们认识。
在1715年，泰勒将弦线的横向振动问题归结为著名的弦振动方程。
常见贝塞尔公式展开式1. 贝塞尔函数简介贝塞尔函数是数学中一类重要的特殊函数，由德国数学家弗里德里希·贝塞尔首次引入。
贝塞尔函数广泛应用于物理学、工程学和数学领域中，特别是在波动和振动的描述中发挥着重要作用。
2. 贝塞尔公式的展开式贝塞尔公式的展开式是一种将贝塞尔函数表达为无穷级数的方法。
常见的贝塞尔公式展开式有以下几种形式：2.1 第一类贝塞尔函数展开式第一类贝塞尔函数的展开式可以表示为：J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots这是贝塞尔函数的0阶形式，其中 `J_0(x)` 表示第一类贝塞尔函数的0阶。
2.2 第二类贝塞尔函数展开式第二类贝塞尔函数的展开式可以表示为：Y_0(x) = -\frac{2}{\pi} (\ln\frac{x}{2} + \gamma) J_0(x) +\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} J_{2n}(x) 这是贝塞尔函数的0阶形式，其中 `Y_0(x)` 表示第二类贝塞尔函数的0阶，`\gamma` 是欧拉常数。
2.3 第一类贝塞尔函数的递推关系第一类贝塞尔函数的展开式还可以运用其递推关系进行简化：x J_{n}(x) = n J_{n-1}(x) - x J_{n-2}(x)其中 `J_{n}(x)` 表示第一类贝塞尔函数的 `n` 阶。
3. 应用举例贝塞尔公式展开式在科学与工程领域中具有广泛应用。
例如，在电磁学中，贝塞尔函数可用于描述柱坐标系中的电磁场分布；在信号处理中，贝塞尔函数可用于信号的滤波和逼近；在声学中，贝塞尔函数可用于描述声波在圆柱体内的传播等。
4. 总结贝塞尔公式展开式是一种重要的数学工具，用于表达贝塞尔函数的级数形式。
通过贝塞尔公式展开式，我们可以对贝塞尔函数进行计算和应用，进一步推动科学与工程的发展。
贝塞尔函数的应用1ω1二、按贝塞尔函数展开求定解问题的解下面将举例说明如何用贝塞尔函数求定解问题的解。
例2：有一质量均匀的金属圆柱体，半径为，0r 柱高为l ，圆柱侧面绝热，而上下两底面的温度分别保持为和，)(2r f )(1r f 试求圆柱体内部稳定时的温度分布。
解：由于温度分布趋于稳定，圆柱体内部温度函数),,(z r u 满足定解问题由于边界条件与无关，所以定解问题的解也与无关，只能取常数，这对应于m=0的情况。
ϕϕ)(ϕΦ事实上把),,(z r u ϕ代入边界条件可得12()()(0)(),()()()().R r Z f r R r Z l f r ϕϕΦ=Φ=根据上两个等式可知()ϕΦ只能取常数。
2''()()0(4.3)()(2),'()'(2)m ϕϕϕϕϕϕππ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ+Φ=Φ+⎩固有值问题求解可得固有值为22,0,1,2,...n n m ==求解可得固有函数为()cos sin n n n n n A B ϕϕϕ=+Φ方程(4.5)的解为),3,2,1(,)(:0,)(:00000 =+=≠+==-n eD eC z ZD z C z Z zn zn n n n n ωωωω根据线性叠加原理，原定解问题(4.2)的一般解为''()()0,(4.5)Z z Z z λ-=2000,0,n nn λλωω=≥==0001(,,)()(),(4.6)n n zzn n n n u r z C z D C eD eJ r ωωϕω∞-==+++∑其中系数将由上下两底面的边界条件确定。
n n D C ,注：例3：设有半径为1的均匀薄圆盘，边界温度为零，ϕ1⎧11441 1比较等式两边系数，得22 21R tω。
贝塞尔函数的基本概念及其实际应用贝塞尔函数是数学分析中的一类特殊函数，是解决物理、工程、数学等领域中一些具有圆对称性问题的有力工具。
在本文中，我们将介绍贝塞尔函数的基本概念及其实际应用。
一、贝塞尔函数的定义及性质贝塞尔函数最初是由德国数学家贝塞尔在求解一个普遍的圆形问题时发现的。
贝塞尔函数有两类，即第一类和第二类，一般用Jn(x)和Yn(x)表示。
其中Jn(x)表示第一类贝塞尔函数，Yn(x)表示第二类贝塞尔函数。
贝塞尔函数和它们的导数满足贝塞尔微分方程：x^2*d^2y/dx^2 + x*dy/dx + (x^2-n^2)y = 0其中n为贝塞尔函数的度数，它的值可以是任意实数或零。
当n为整数时，贝塞尔函数是一种完整的函数，当n为小数或分数时，贝塞尔函数是一种不完整的函数。
贝塞尔函数具有一些特殊的性质，例如：对于第一类贝塞尔函数Jn(x)，当x→0时Jn(x)≠0；当x→∞时，Jn(x)是振荡型函数，即Jn(x)近似于sin(x-nπ/2)。
而对于第二类贝塞尔函数Yn(x)，当x→0时Yn(x)是无穷大；当x→∞时，Yn(x)也是振荡型函数。
二、贝塞尔函数的实际应用1.电学中的应用：贝塞尔函数可以用来描述无限长圆筒形导线和矩形波导内部电磁场的分布。
此外，在计算电磁波在介质中传播时，也可以用到第一类贝塞尔函数。
2.声学中的应用：贝塞尔函数可以用来表示大气中声波的传播过程。
同时，它还可以描述圆形共振腔内空气的压力分布和管道内的声波传输。
3.视觉中的应用：贝塞尔函数可以用来刻画景深和焦距。
此外，它还可以指导图像的锐化和去噪。
4.计算机图形学中的应用：贝塞尔函数可以被用来构建连续的Bézier曲线，从而描述出计算机图形学中重要的对于帧的插值和物体的平滑变形。
结语贝塞尔函数是一种特殊的函数，在各个领域中都有着重要的应用，特别是在电学中、声学中、视觉中以及计算机图形学中。
了解贝塞尔函数的基本概念和性质，对于掌握这些领域的相关知识非常重要。
