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晋中市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若a ＞0，b ＞0，a+b=1，则y=+的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 2． 的外接圆圆心为，半径为2，为零向量，且，则在方向上ABC ∆O OA AB AC ++ ||||OA AB =CA BC 的投影为（ ）A ．-3B ．C ．3D 3． 如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm ），则此几何体的表面积是（）A ．8cm 2B ． cm 2C ．12 cm 2D ． cm 24． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除5． 如图，已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，直线PF 2交y 轴于点A ，△AF 1P 的内切圆切边PF 1于点Q ，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y=±xB ．y=±3xC ．y=±xD ．y=±x6． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinB=2sinC ，a 2﹣c 2=3bc ，则A 等于（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7． 设x ，y 满足线性约束条件，若z=ax ﹣y （a ＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．C ．D ．38． 下面的结构图，总经理的直接下属是（）A ．总工程师和专家办公室B ．开发部C ．总工程师、专家办公室和开发部D ．总工程师、专家办公室和所有七个部9． 直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A ． =﹣0.2x+3.3B ． =0.4x+1.5C ． =2x ﹣3.2D ． =﹣2x+8.611．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（）A ．S 10B ．S 9C ．S 8D ．S 712．函数（，）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）()2cos()f x x ωϕ=+0ω>0ϕ-π<<A. B. C. D. 32-1-【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.二、填空题13．曲线y=x+e x 在点A （0，1）处的切线方程是 ．14．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．15．已知奇函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0的实数m 的取值范围是 ． 16．已知是数列的前项和，若不等式对一切恒成立，则的取值范围是n S 1{}2n n -n 1|12n n n S λ-+<+｜n N *∈λ___________．【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力．17．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ． 18．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．三、解答题19．已知抛物线C ：x 2=2y 的焦点为F ．（Ⅰ）设抛物线上任一点P （m ，n ）．求证：以P 为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n ；（Ⅱ）若过动点M （x 0，0）（x 0≠0）的直线l 与抛物线C 相切，试判断直线MF 与直线l 的位置关系，并予以证明．20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．()|21|f x x =-（1）若不等式的解集为，求实数的值；1(21(0)2f x m m +≤+>(][),22,-∞-+∞ m （2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．()2|23|2yy af x x ≤+++,x y R ∈a 21．（本小题满分12分）已知函数．1()ln (42)()f x m x m x m x=+-+∈R （1）时，求函数的单调区间；当2m >()f x （2）设，不等式对任意的恒成立，求实数的[],1,3t s ∈|()()|(ln 3)(2)2ln 3f t f s a m -<+--()4,6m ∈a 取值范围．【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．22．（本小题满分12分）数列满足：，，且.{}n b 122n n b b +=+1n n n b a a +=-122,4a a ==（1）求数列的通项公式；{}n b （2）求数列的前项和.{}n a n S23．（本小题满分13分）椭圆:的左、右焦点分别为、，直线经过点与椭圆交于点C 22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F :1l x my =-1F C ，点在轴的上方．当时，M M x 0m =1||MF =（Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）若点是椭圆上位于轴上方的一点， ，且，求直线的方程．N C x 12//MF NF 12123MF F NF F S S ∆∆=l 24．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD 绕AD旋转一周所成几何体的表面积．晋中市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴y=+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．∴y=+的最小值是4．故选：C．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．2．【答案】B【解析】考点：向量的投影．3．【答案】C【解析】解：由已知可得：该几何体是一个四棱锥，侧高和底面的棱长均为2，故此几何体的表面积S=2×2+4××2×2=12cm2，故选：C．【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积，空间几何体的三视图，根据已知判断几何体的形状是解答的关键．4．【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故应选B．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．5．【答案】D【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，|PF1|=m，|QF1|=n，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，|MF2|=|NF1|=n，即有m﹣1=n，②由①②解得a=1，由|F1F2|=4，则c=2，b==，由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，即有渐近线方程为y=x．故选D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键． 6．【答案】C【解析】解：由sinB=2sinC，由正弦定理可知：b=2c，代入a2﹣c2=3bc，可得a2=7c2，所以cosA===﹣，∵0＜A＜180°，∴A=120°．故选：C．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查． 7．【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=ax﹣y（a＞0）得y=ax﹣z，∵a＞0，∴目标函数的斜率k=a＞0．平移直线y=ax﹣z，由图象可知当直线y=ax﹣z和直线2x﹣y+2=0平行时，当直线经过B时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．当直线y=ax﹣z和直线x﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件．此时a=．故选：B．8．【答案】C【解析】解：按照结构图的表示一目了然，就是总工程师、专家办公室和开发部．读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．故选C．【点评】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读．9．【答案】A【解析】解：直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是：=．故选：A．10．【答案】A【解析】解：变量x与y负相关，排除选项B，C；回归直线方程经过样本中心，把=3， =2.7，代入A 成立，代入D 不成立．故选：A ． 11．【答案】C【解析】解：∵S 16＜0，S 17＞0，∴=8（a 8+a 9）＜0，=17a 9＞0，∴a 8＜0，a 9＞0，∴公差d ＞0．∴S n 中最小的是S 8．故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．【答案】D【解析】易知周期，∴.由（），得112(1212T π5π=-=π22T ωπ==52212k ϕπ⨯+=πk ∈Z 526k ϕπ=-+π（），可得，所以，则，故选D.k Z ∈56ϕπ=-5()2cos(2)6f x x π=-5(0)2cos(6f π=-=二、填空题13．【答案】 2x ﹣y+1=0 ．【解析】解：由题意得，y ′=（x+e x ）′=1+e x ，∴点A （0，1）处的切线斜率k=1+e 0=2，则点A （0，1）处的切线方程是y ﹣1=2x ，即2x ﹣y+1=0，故答案为：2x ﹣y+1=0．【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于基础题． 14．【答案】【解析】（2a ＋b ）·a ＝（2，－2＋t ）·（1，－1）＝2×1＋（－2＋t ）·（－1）＝4－t ＝2，∴t ＝2.答案：215．【答案】 [﹣，] ．【解析】解：∵函数奇函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，∴不等式f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0等价为f （1﹣m ）＜﹣f （1﹣2m ）=f （2m ﹣1），即，即，得﹣≤m ≤，故答案为：[﹣，]【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．注意定义域的限制． 16．【答案】31λ-<<【解析】由，…2211111123(1)2222n n n S n n --=+⨯+⨯++-⋅+ A 211112222n S =⨯+⨯+，两式相减，得，所以，111(1)22n n n n -+-⋅+⋅2111111212222222n n n n n S n -+=++++-⋅=- 1242n n n S -+=-于是由不等式对一切恒成立，得，解得．12|142n λ-+<-｜N n *∈|12λ+<｜31λ-<<17．【答案】 ﹣1054 ．【解析】解：∵2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，∴2a n +a n+1=3，2a n a n+1=b n ，∵a 1=2，∴a 2=﹣1，同理可得a 3=5，a 4=﹣7，a 5=17，a 6=﹣31．则b 5=2×17×（﹣31）=1054．故答案为：﹣1054．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．【答案】 180 【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n ﹣r b r 可设含x 2项的项是T r+1=C 7r （2x ）r 可知r=2，所以系数为C 102×4=180，故答案为：180．【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．三、解答题19．【答案】【解析】证明：（Ⅰ）由抛物线C：x2=2y得，y=x2，则y′=x，∴在点P（m，n）切线的斜率k=m，∴切线方程是y﹣n=m（x﹣m），即y﹣n=mx﹣m2，又点P（m，n）是抛物线上一点，∴m2=2n，∴切线方程是mx﹣2n=y﹣n，即mx=y+n …（Ⅱ）直线MF与直线l位置关系是垂直．由（Ⅰ）得，设切点为P（m，n），则切线l方程为mx=y+n，∴切线l的斜率k=m，点M（，0），又点F（0，），此时，k MF====…∴k•k MF=m×（）=﹣1，∴直线MF⊥直线l …【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线垂直的条件等，属于中档题．20．【答案】【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．21．【答案】【解析】（1）函数定义域为(0,)+∞令，得2分()0f x '=112x =当时，4m =()0f x '≤当时，由，得24m <<()0f x '>所以函数()f x 当时，由，得4m >()0f x '>所以函数()f x6分请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．【答案】（1）；（2）．122n n b +=-222(4)n n S n n +=-++【解析】试题分析：（1）已知递推公式，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比122n n b b +=+数列的通项公式可得，变形形式为；（2）由（1）可知，n b 12()n n b x b x ++=+122(2)n n n n a a b n --==-≥这是数列的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由{}n a 112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+ 求得．211()a a a +-+试题解析：（1），∵，112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+1222n n b b ++=+又，121224b a a +=-+=∴.2312(21)(2222)22222221n nn n a n n n +-=++++-+=-+=-- ∴.224(12)(22)2(4)122n n n n n S n n +-+=-=-++-考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由直线经过点得，:1l x my =-1F 1c =当时，直线与轴垂直，0m =l x 21||b MF a ==由解得的方程为． （4分）21c b a=⎧⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 2212x y +=（Ⅱ）设，，由知.1122(,),(,)M x y N x y 120,0y y >>12//MF NF 12121122||3||MF F NF F S MF y S NF y ∆∆===联立方程，消去得，解得22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩x22(2)210m y my +--=y =∴，同样可求得， （11分）1y =2y =由得，解得，123y y =123y y =3=1m =直线的方程为． （13分）l 10x y -+=24．【答案】【解析】解：四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成的几何体，如右图：S 表面=S 圆台下底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=πr 22+π（r 1+r 2）l 2+πr 1l 1===。
山西省晋中市上湖中学2018-2019学年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交 B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行ks5u参考答案：C2. 设双曲线的焦距为，一条渐近线方程为，则此双曲线方程为（）A. B. C.D.参考答案：D略3. 为定义在上的奇函数，当时，，则（）A.-1B.-4C.1D.4参考答案：B4. （5分）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一定点，P是圆上任意一点．线段AP 的垂直平分线l 和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（）C∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，则QA﹣Q0=QP﹣QO=OP=R即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线故选C．5. 在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，平面平面，E、F分别为AB、BC的中点，M为底面ABCD内一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹是（）A．线段DE B．线段DFC．以D、E为端点的一段圆弧 D．以D、F为端点的一段圆弧参考答案：A6. 己知双曲线离心率为2，该双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：A7. 曲线与坐标轴围成的面积是A. 4B.C.3 D. 2参考答案：C略8. 函数的定义域为（）A.(,1)B.(,1)∪（1，+∞） C（1，+∞） D.(,∞)参考答案：B9. 若条件p：, 条件q：, 则p是q的 ()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件参考答案：B10. 若定义在R上的函数，则它能取到的最大值为A．2 B．4 C．2 D．2－1参考答案：D＝，当且仅当x2＋1＝时取等号，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义运算为:例如，,则函数f(x)=的值域为参考答案：12. 若关于的不等式(R)的解集为，则的取值范围是．参考答案：13. 曲线上的点到直线距离的最小值为________。
2019学年山西省高二上期末文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 直线x=1的倾斜角是（）A．0 B． C． D．不存在2. 过圆（x﹣1） 2 +y 2 =3的圆心，且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是（） A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=03. 已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（）A．α ∥ β _________ ________ B．α与β相交C．α与β重合 D．α ∥ β或α与β相交4. 下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直5. 下列命题中，真命题是（）A．∀ x ∈ R，x 2 ≥xB．命题“若x=1，则x 2 =1”的逆命题C．∃ x ∈ R，x 2 ≥xD．命题“若x≠y，则sinx≠siny”的逆否命题6. “a和b都不是偶数”的否定形式是（）A．a和b至少有一个是偶数 B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数 D．a和b都是偶数7. 在极坐标系中，直线ρsin（θ+ ）=2，被圆ρ=3截得的弦长为（）A．2 B．2 C．2 D．28. 已知，则p是q的（）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件C．充要条件 ___________________________________ D．既不充分也不必要条件9. 点M、N分别是正方体ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 的棱A 1 B 1 、A 1 D 1 中点，用过A、M、N和D、N、C 1 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依次为图2中的（）A．①、②、③ B．②、③、④ C．①、③、④ D．②、④、③10. 圆C的方程为x 2 +y 2 ﹣8x+15=0．若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（）A．0 B． C． D．﹣111. 设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12. 若⊙ O 1 ：x 2 +y 2 =5与⊙ O 2 ：（x﹣m） 2 +y 2 =20（m ∈ R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13. 与参数方程为（t为参数）等价的普通方程为___________ ．14. 已知双曲线x 2 ﹣y 2 =1，点F 1 ，F 2 为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF 1 ⊥ PF 2 ，则|PF 1 |+|PF 2 |的值为_________ ．15. 已知圆O：x 2 +y 2 =4，直线l的方程为x+y=m，若圆O上恰有三个点到直线l的距离为1，则实数m=_________ ．16. 若点P（x，y）在曲线（θ为参数，θ ∈ R）上，则的取值范围是 _________ ．三、解答题17. 已知A是曲线ρ=4cosφ上任意一点，求点A到直线距离的最大值和最小值．18. 在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，求z=3x+8y的取值范围．19. 已知过点M（1，2）的直线l与抛物线x 2 =4y交于A、B两点，且M恰为A、B的中点，求直线l的方程．20. 已知椭圆上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B 1 ，B 2 的连线分别与x轴交于P，Q两点，O为椭圆的中心，求 |OP| |OQ|的值．21. 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠ DAB= ∠ DBF=60° ，AB=2，且FA=FC．（1）求证：AC ⊥ 平面BDEF；（2）求三棱锥E﹣ABD的体积．22. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的两个顶点恰好是双曲线y 2 ﹣x 2 =1的两个焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）点P（2，1），Q（2，﹣1）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，满足于∠ APQ= ∠ BPQ ，试求直线AB的斜率．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
山西省晋中市2018-2019学年高二上学期期末调研测试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A. B.C. D. 或2.下列说法错误的是（）A. 棱柱的侧面都是平行四边形B. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥C. 用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形D. 将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥3.已知直线l1的方程为2x+（5+m）y=8，直线l2的方程为（3+m）x+4y=5-3m，若l1∥l2，则m=（）A. 或B.C.D.4.已知圆O1：x2+y2-4x+4y-41=0，圆O2：（x+1）2+（y-2）2=4，则两圆的位置关系为（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切5.某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A. 三棱柱B. 三棱锥C. 四棱柱D. 四棱锥6.下列命题中，真命题的个数是（）①若“p∨q”为真命题，则“p∧q”为真命题；②“∀a∈（0，+∞），函数y=a x在定义域内单调递增”的否定；③l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；④“∀x∈R，x2≥0”的否定为“∃x0∉R，x02＜0”．A. B. C. D.7.已知F1，F2是双曲线=1的左右焦点，P是双曲线右支上一点，M是PF1的中点，若|OM|=1，则|PF1|是（）A. 10B. 8C. 6D. 48.在正四面体P-ABC中，M是棱PA的中点，则异面直线MB与AC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.9.对于直线m，n和平面α，β，则α∥β的一个充分条件是（）A. ，，，B. ，，C. ，⊥，⊥D. ⊥，⊥，⊥10.已知直线l2：3x-4y-6=0，直线l2：y=-2，抛物线x2=4y上的动点P到直线l1与直线l2距离之和的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D.11.实数xy满足x=，则的最小值是（）A. B. C. 2 D. 312.如图，表面积为12π的球O内切于正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知直线l1的方向向量为=（3，2，1），直线l2的方向向量为=（0，m，-4），且l1⊥l2，则实数m的值为______．14.已知命题“∃x0∈[1，2]，x02-2ax0+1＞0”是真命题，则实数a的取值范围为______．15.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，P，Q为双曲线上关于原点对称的两点，若=0，且∠POF＜，则该双曲线的离心率的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.直线x-y+1=0的倾斜角为______．17.已知p：x2-4ax+3a2＜0（a＞0），q：＜1，且￢q是￢p的充分不必要条件，求a的取值范围．18.如图，已知点E是正方形ABCD边AD的中点，现将△ABE沿BE所在直线翻折成到△A'BE，使AC=BC，并连接A'C，A'D．（1）求证：DE∥平面A'BC；（2）求证：A'E⊥平面A'BC．19.已知物线C：y2=2px（p＞0）过点M（4，-4）．（1）求抛物线C的方程；（2）设F为抛物线C的焦点，直线l：y=2x-8与抛物线C交于A，B两点，求△FAB的面积．20.已知动直线l1：x+my-2m=0与动直线l2：mx-y-4m+2=0相交于点M，记动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点P（-1，0）作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P-AE-B的余弦值．22.已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为M，过点F且斜率为-1的直线与l交于点N，若sin∠FON（O为坐标原点），求k的值．参考答案1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】B11.【答案】B12.【答案】C13.【答案】2【解析】解：∵l1⊥l2；∴；∴；∴m=2．故答案为：2．根据直线方向向量的概念及l1⊥l2即可得出，从而得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．考查直线方向向量的概念，向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．14.【答案】（-∞，）【解析】解：命题“∃x0∈[1，2]，x02-2ax0+1＞0”是真命题，即有2a＜x0+在[1，2]的最大值，由x0+在[1，2]递增，可得x0=2取得最大值，则2a＜，可得a＜，则实数a的取值范围为（-∞，）．故答案为：（-∞，）．由题意可得2a＜x0+在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a 的范围．本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．15.【答案】（1，）【解析】解：=0，可得PF⊥QF，在Rt△PQF中，|OF|=c，∴|PQ|=2c，在直角三角形PQF中，∠POF＜，0＜∠PQF＜，可得|PF|=2csin∠PQF，|QF|=2ccos∠PQF，取左焦点F'，连接PF'，QF'，可得四边形PFQF'为矩形，∴||QF|-|PF||=|PF'|-|PF|=-2csin∠PQF+2ccos∠PQF=2a，∴e===∈（1，）．故答案为：（1，）．运用三角函数的定义可得|PF|=2csin∠PQF，|QF|=2ccos∠PQF，取左焦点F'，连接PF'，QF'，可得四边形PFQF'为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．16.【答案】60°【解析】解：设直线x-y+1=0的倾斜角为θ．由直线x-y+1=0化为y=x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ=60°．故答案为：60°．把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．本题考查了斜截式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．17.【答案】解：由x2-4ax+3a2＜0（a＞0），得a＜x＜3a，a＞0，由＜1得-1＜0，即＜0，得命题（x-9）（x-1）＞0，得x＞9或x＜1，因为￢q是￢p的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件，所以（a，3a）⊊{x|x＞9或x＜1}的真子集，所以0＜3a≤1或a≥9，得0＜a≤或a≥9，所以a的取值范围是0＜a≤或a≥9．【解析】根据不等式的解法求出p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的解法求出p，q的等价条件是解决本题的关键．18.【答案】证明：（1）∵正方形ABCD中，DE∥BC，又DE⊄平面A′BC，BC平面A′BC，∴DE∥平面A′BC．……………（5分）（2）不妨设正方形ABCD的边长为a，连接EC．在△A′CE中，，EC=，A′C=a，满足A′E2+A′C2=EC2，∴A′E⊥A′C，又A′E⊥A′B，且A′B∩A′C=A′，A′B平面A′BC，A′C平面A′BC，∴A'E⊥平面A'BC．……………（12分）【解析】（1）推导出DE∥BC，由此能证明DE∥平面A′BC．（2）设正方形ABCD的边长为a，连接EC．推导出A′E⊥A′C，A′E⊥A′B，由此能证明A'E⊥平面A'BC．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）因为抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（4，-4），所以（-4）2=8p=32，解得p=4，所以抛物线C的方程为y2=8x．（2）由抛物线的方程可知F（2，0），直线l：y=2x-8与x轴交于点P（4，0），联立直线与抛物线方程，消去x可得y2-4y-32=0，所以y1+y2=4，y1y2=-32，所以S△FAB=|PF||y1-y1|==12，所以△FAB的面积为12．【解析】（1）将点的坐标代入抛物线，进行求解即可．（2）联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解．本题主要考查抛物线方程的求解，以及直线和抛物线位置关系的应用，利用设而不求思想结合三角形的面积公式是解决本题的关键．20.【答案】解：（1）动直线l1：x+my-2m=0过定点E（0，2），动直线l2：mx-y-4m+2=0过定点F（4，2）．又l1⊥l2，∴点M在以EF为直径的圆上（不包含点F），圆心为C（2，2），半径r=2，所以动点M的轨迹方程为：（x-2）2+（y-2）2=4（x≠4）．（2）由题可知：|PA|2=|PB|2=|PC|2-r2=9，所以点A与点B均在圆心为P，半径为3的圆（x+1）2+y2=9上，将两圆方程相减可得直线AB的方程为：3x+2y-6=0．【解析】（1）动直线l1：x+my-2m=0过定点E（0，2），动直线l2：mx-y-4m+2=0过定点F（4，2）．由方程可得l1⊥l2，因此点M在以EF为直径的圆上（不包含点F），即可得出方程．圆（2）由题可知：|PA|2=|PB|2=|PC|2-r2=9，可得点A与点B均在圆心为P，半径为3的圆上，将两圆方程相减可得直线AB的方程．本题考查了圆的定义标准方程及其性质、直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）矩形ABCD中，AB∥CD，∵AB⊄面PCD，CD平面PCD，∴AB∥平面PCD，……………（2分）又AB⊄平面ABE，平面PCD∩平面ABE=EF，∴AB∥EF，……………（4分）∵EF⊄面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB．……………（6分）（2）取AD中点O，连结OP，∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，连接OB，则OB为PB在平面ABCD内的射影，∴∠PBO为PB与平面ABCD所成角，根据题意知sin∠PBO=，∴tan∠PBO=，由题OB=，∴PO=2 ……………（7分）取BC中点G，连接OG，以O为坐标原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，4，0），设P（0，0，2），C=（-1，4，0），E（-，2，1），，，，，设平面PAE的法向量为，，，于是，令x=2，则y=1，z=1∴平面PAE的一个法向量=（2，1，1），……………（8分）同理平面ABE的一个法向量为=（2，0，3），……………（9分）∴cos＜，＞=……………（11分）可知二面角P-AE-B为钝二面角所以二面角P-AE-B的余弦值为-．……………（12分）【解析】（1）利用AB∥平面PCD，可得AB∥EF，即可证明（2）取AD中点O，连结OP，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AE-B的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是中档题．22.【答案】解：（1）由题意可知，解得a2=16，b2=12（负值舍去），所以椭圆方程为；（2）设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标（x2，y2），由题可知y1＞y2＞0，故|MN|sin∠FON=y1-y2，因为，而，所以，由，可得，所以，由，消去x，可得，易知直线NF的方程为x+y-2=0，由，消去x，可得，所以，整理得52k2-96k+27=0，解得或．。
山西省晋中市2018-2019学年高二上学期期末调研测试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是A. B.C. D. 或2.下列说法错误的是A. 棱柱的侧面都是平行四边形B. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥C. 用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形D. 将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥3.已知直线的方程为，直线的方程为，若，则A. 或B.C.D.4.已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切5.实数x，y满足，则的最小值是A. 7B. 4C.D.6.某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是A.三棱柱B. 三棱锥C. 四棱柱D. 四棱锥7.下列命题中，真命题的个数是若“”为真命题，则“”为真命题；“，函数在定义域内单调递增”的否定；为直线，，为两个不同的平面，若，，则；“，”的否定为“，”．A. B. C. D.8.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A. B. C. D.9.已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，M是的中点，若，则是A. 10B. 8C. 6D. 410.在正四面体中，M是棱PA的中点，则异面直线MB与AC所成角的余弦值为A. B. C. D.11.对于直线m，n和平面，，则的一个充分条件是A. ，，，B. ，，C. ，，D. ，，12.已知的两个极值点分别为，，且，则函数A. B. C. 1 D. 与b有关二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知，则14.已知命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为______．15.已知直线与椭圆交于A，B两点，且A，B中点的横坐标为3，则椭圆的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.直线的倾斜角为______．17.已知p：，q：，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．18.已知物线C：过点求抛物线C的方程；设F为抛物线C的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，求的面积．19.如图，在四棱锥中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，，，为正三角形，且平面平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．求证：；求三棱锥的体积．20.已知动点M到点与点的距离之比等于2，记动点M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程；过点作曲线C的切线，求切线方程．21.已知函数．当时，求在处的切线方程；讨论的单调性．22.已知椭圆的右焦点为，且过点求椭圆的标准方程；设直线l：与椭圆在第一象限的交点为M，过点F且斜率为的直线与l交于点N，若与的面积之比为3：为坐标原点，求k的值．山西省晋中市2018-2019学年高二上学期期末调研测试数学（文）试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）23.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是A. B.C. D. 或【答案】D【解析】解：曲线表示椭圆，，解得，且．故选：D．曲线表示椭圆，列出不等式组，解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．24.下列说法错误的是A. 棱柱的侧面都是平行四边形B. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥C. 用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形D. 将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥【答案】B【解析】解：由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，则A正确；所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥，比如正八面体的各个面都是正三角形，则B错误；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可得截面图形是五边形，则C正确；由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥，则D正确．故选：B．由棱柱的性质可判断A；可举正八面体可判断B；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可判断C；由圆锥的定义可判断D．本题考查空间多面体和旋转体的定义，考查定义法的运用，考查判断能力和推理能力，属于基础题．25.已知直线的方程为，直线的方程为，若，则A. 或B.C.D.【答案】C【解析】解：由，化为：，解得，．经过验证时，两条直线重合，舍去．．故选：C．由，解得经过验证即可得出．本题考查了直线平行、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．26.已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】解：由于圆：，即，表示以为圆心，半径等于7的圆．圆：，表示以为圆心，半径等于2的圆．由于两圆的圆心距等于故两个圆相内切．故选：D．把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距等于5，与半径差的关系，可得两个圆关系．本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系，圆的标准方程的求法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．27.实数x，y满足，则的最小值是A. 7B. 4C.D. 【答案】C【解析】解：由实数x，y满足作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率，由图形可得，的最小值为．故选：C．由约束条件作出可行域，由的几何意义可知，z为可行域内的动点与定点连线的斜率，求出MA的斜率得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．28.某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是A. 三棱柱B. 三棱锥C. 四棱柱D. 四棱锥【答案】D【解析】解：根据三视图知，该几何体是一个立放的四棱锥，如图所示；故选：D．根据三视图知该几何体是一个立放的四棱锥．本题考查了利用三视图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题．29.下列命题中，真命题的个数是若“”为真命题，则“”为真命题；“，函数在定义域内单调递增”的否定；为直线，，为两个不同的平面，若，，则；“，”的否定为“，”．A. B. C. D.【答案】A【解析】解：若“”为真命题，可知两个命题至少一个是真命题，判断为“”为真命题；不正确；“，函数在定义域内单调递增”的否定：“，函数在定义域内单调递减”；例如，在定义域内单调递减；所以正确，为直线，，为两个不同的平面，若，，则；也可能，所以不正确；“，”的否定为“，”不满足命题的否定形式，所以不正确；只有是真命题；故选：A．利用复合命题的真假判断的正误；利用指数函数的单调性判断的正误；直线与平面垂直关系判断的正误；命题的否定判断的正误；本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复合命题的真假，指数函数的单调性，命题的否定直线与平面的位置关系的应用，是基本知识的考查．30.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则由导函数的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点即函数的极大值点在x轴上的右侧，排除B，故选：D．根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数的图象可能本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．31.已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，M是的中点，若，则是A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】A【解析】解：是的中点，O是中点，，，，是双曲线右支上一点，，故选：A．利用三角形中位线性质，求出，利用双曲线定义，求出本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题解题时要认真审题，注意双曲线定义和三角形中位线性质的灵活运用．32.在正四面体中，M是棱PA的中点，则异面直线MB与AC所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：取PC中点N，连结MB，MC，设正四面体的棱长为2，则，，且，是异面直线MB与AC所成角或所成角的补角，故异面直线MB与AC所成角的余弦值为：．故选：B．取PC中点N，连结MB，MC，则，是异面直线MB与AC所成角或所成角的补角，由此能求出异面直线MB与AC所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．33.对于直线m，n和平面，，则的一个充分条件是A. ，，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】解：这种情况下，，可能相交，让m，n都和交线平行即可；B.这种情况下，，可能相交，让m，n都和交线平行即可；C.，，，又，同时和一直线垂直的两平面平行，；D.如果，也存在，且，．故选：C．A，B，D三个选项下的，相交时，也满足每个选项的条件，所以由A，B，D中的条件得不出，而选项C可以得到平面，同时和一条直线垂直，所以，所以C中的条件是的充分条件．本题考查线面平行的判定定理，两条平行直线分别和两个平面平行，这两个平面可能相交，平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，同时垂直于一条直线的两平面平行．34.已知的两个极值点分别为，，且，则函数A. B. C. 1 D. 与b有关【答案】B【解析】解：，故，，而，联立解得：，，，故，故，故选：B．求出函数的导数，求出，，，从而求出的值即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）35.已知，则【答案】【解析】解：，，，故答案为：．先求导，再代值计算．本题考查了导数的运算法则，属于基础题．36.已知命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：若命题“，”是真命题，则“，，即恒成立，，，即实数a的取值范围是，故答案为：．利用参数分离法求出在上对应函数的最值即可．本题主要考查全称命题的应用，利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键．37.已知直线与椭圆交于A，B两点，且A，B中点的横坐标为3，则椭圆的离心率为______．【答案】【解析】解：设，，则．由，得，，椭圆的离心率e，．故答案为：．设，，则利用直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理求出，即可求解椭圆的离心率．本题考查了直线与椭圆的位置关系，及椭圆离心率，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）38.直线的倾斜角为______．【答案】【解析】解：设直线的倾斜角为．由直线化为，，．故答案为：．把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．本题考查了斜截式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．39.已知p：，q：，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【答案】解：由，得，，由得，即，得命题，得或，因为p是q的充分不必要条件，所以或的真子集，所以或，得或，所以a的取值范围是或．【解析】根据不等式的解法求出p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的解法求出p，q的等价条件是解决本题的关键．40.已知物线C：过点求抛物线C的方程；设F为抛物线C的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，求的面积．【答案】解：因为抛物线C：过点，所以，解得，所以抛物线C的方程为．由抛物线的方程可知，直线l：与x轴交于点，联立直线与抛物线方程，消去x可得，所以，，所以，所以的面积为12．【解析】将点的坐标代入抛物线，进行求解即可．联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解．本题主要考查抛物线方程的求解，以及直线和抛物线位置关系的应用，利用设而不求思想结合三角形的面积公式是解决本题的关键．41.如图，在四棱锥中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，，，为正三角形，且平面平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．求证：；求三棱锥的体积．【答案】解：证明：在矩形ABCD中，，面PCD，平面PCD，平面PCD，又平面ABE，平面平面，；由可知，为PC中点，为PD中点，平面平面ABCD，平面PAD，．【解析】先利用线面平行的判定定理得AB平行平面PCD，再用线面平行的性质定理得AB，EF平行；通过转换顶点把问题转化为求的体积，求解就容易了．此题考查了线面平行的判定与性质，转化顶点求三棱锥的体积等，难度适中．42.已知动点M到点与点的距离之比等于2，记动点M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程；过点作曲线C的切线，求切线方程．【答案】解：设动点M的坐标为，则，，所以，化简得，因此，动点M的轨迹方程为；当过点P的直线无斜率时，直线方程为，圆心到直线的距离等于半径2，此时直线与曲线C相切；当切线有斜率时，不妨设斜率为k，则切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径可知，，解得．所以，切线方程为．综上所述，切线方程为或．【解析】设点M的坐标为，根据距离公式列等式，化简即可得出曲线C的方程；对切线斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于2可得出切线的方程．本题考查动点的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，解决本题的关键在于将直线与圆利用几何法进行转化，考查计算能力，属于中等题．43.已知函数．当时，求在处的切线方程；讨论的单调性．【答案】解：当时，，，，又，故切线方程为，即；函数的定义域是，，令，当时，，即，则在递减，当时，的图象如图所示：，则在上，，在上，则在递减，在递增，综上，时，在递减，当时，在递减，在递增．【解析】代入a的值，求出函数的导数，求出切线方程即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是一道常规题．44.已知椭圆的右焦点为，且过点求椭圆的标准方程；设直线l：与椭圆在第一象限的交点为M，过点F且斜率为的直线与l交于点N，若与的面积之比为3：为坐标原点，求k的值．【答案】解：由题意可知，解得，负值舍去，所以椭圆的标准方程方程为．设点M的坐标为，点N的坐标，由题可知，与的面积之比为3：2，与的面积之比为2：5，也即．由，消去x，可得易知直线NF的方程为，由，消去x，可得，所以，整理得，解得或．。
山西省晋中市2019-2020学年高二上学期期末调研测试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是A. B.C. D. 或2.下列说法错误的是A. 棱柱的侧面都是平行四边形B. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥C. 用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形D. 将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥3.已知直线的方程为，直线的方程为，若，则A. 或B.C.D.4.已知圆，圆，则两圆的位置关系为（）．A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切5.实数x，y满足，则的最小值是A. 7B. 4C.D.6.某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是A. 三棱柱B. 三棱锥C. 四棱柱D. 四棱锥7.下列命题中，真命题的个数是①若“”为真命题，则“”为真命题；②“，函数在定义域内单调递增”的否定；③为直线，，为两个不同的平面，若，，则；④“，”的否定为“，”．A. B. C. D.8.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A. B.C. D.9.已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，M是的中点，若，则是A. 10B. 8C. 6D. 410. 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.11.对于直线m，n和平面，，则的一个充分条件是A. ，，，B. ，，C. ，，D. ，，12.已知的两个极值点分别为，，且，则函数A. B. C. 1 D. 与b有关二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知，则_________.14.已知命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为______．15.已知直线与椭圆交于A，B两点，且A，B中点的横坐标为3，则椭圆的离心率为______．16.直线的倾斜角为______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）17.已知p：，q：，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．18.已知物线C：过点求抛物线C的方程；设F为抛物线C的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，求的面积．19.如图，在四棱锥中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，，，为正三角形，且平面平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．求证：；求三棱锥的体积．20.已知动点M到点与点的距离之比等于2，记动点M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程；过点作曲线C的切线，求切线方程．21.已知函数．当时，求在处的切线方程；讨论的单调性．22.已知椭圆的右焦点为，且过点求椭圆的标准方程；设直线l：与椭圆在第一象限的交点为M，过点F且斜率为的直线与l交于点N，若与的面积之比为3：为坐标原点，求k的值．山西省晋中市2019-2020学年高二上学期期末调研测试数学（文）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是A. B.C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据曲线表示椭圆列出不等式组，解出即可得的取值范围．【详解】由题设可得，解得，故选D．【点睛】对于曲线，（1）如果该曲线为椭圆，则，更一步地，如果表示焦点在轴上的椭圆，则有；如果表示焦点在的椭圆，则；（2）如果该曲线为双曲线，则，更一步地，如果表示焦点在轴上的双曲线，则有；如果表示焦点在的双曲线，则．2.下列说法错误的是A. 棱柱的侧面都是平行四边形B. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥C. 用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形D. 将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥【答案】B【解析】【分析】由棱柱的性质可判断A；可举正八面体可判断B；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可判断C；由圆锥的定义可判断D．【详解】由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，则A正确；所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥，比如正八面体的各个面都是正三角形，则B错误；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可得截面图形是五边形，则C正确；由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥，则D正确．故选：B．【点睛】本题考查空间几何的性质，属于基本题．3.已知直线的方程为，直线的方程为，若，则A. 或B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据两条直线平行得到系数满足的方程，解得的值后检验即可得到的值．【详解】因为，故，整理得到，解得或．当时，，，两直线重合，舎；当时，，，两直线平行，符合；故，选C．【点睛】如果，，（1）平行或重合等价于；（2）垂直等价于．4.已知圆，圆，则两圆的位置关系为（）．A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】由于圆，即，表示以为圆心，半径等于的圆．圆，表示以为圆心，半径等于的圆．由于两圆的圆心距等于．故两个圆相内切．故选：．5.实数x，y满足，则的最小值是A. 7B. 4C.D.【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义可知，为可行域内的动点与定点连线的斜率，由数形结合求得最小值即可．【详解】可行域如图所示，的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率，由图形可得，故，故选C．【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．6.某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是A. 三棱柱B. 三棱锥C. 四棱柱D. 四棱锥【答案】D【解析】【分析】根据三视图知该几何体是一个立放的四棱锥．【详解】根据三视图知，该几何体是一个立放的四棱锥，如图所示；故选：D．【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，属于基础题．7.下列命题中，真命题的个数是①若“”为真命题，则“”为真命题；②“，函数在定义域内单调递增”的否定；③为直线，，为两个不同的平面，若，，则；④“，”的否定为“，”．A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复合命题的真假判断的正误；利用指数函数的单调性判断的正误；利用直线与平面垂直关系判断的正误；利用命题的否定判断的正误.【详解】①若“”为真命题，可知两个命题至少一个是真命题，若它们为一真一假，则“”为假命题，不正确；②“，函数在定义域内单调递增”的否定：“，函数在定义域内单调递减”；例如，在定义域内单调递减，所以②正确；③为直线，为两个不同的平面，若，，则，也可能，所以③不正确；④“”的否定为“”，所以④不正确；只有②是真命题；故选：A．【点睛】复合命题的真假判断为“一真必真，全假才假”，的真假判断为“全真才真，一假比假”，的真假判断是“真假相反”．对于立体几何中点、线、面的位置关系的判断题，要动态考虑它们的位置关系．8.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】结合导函数与原函数单调性的关系，绘制图像，即可。
山西省晋中市2018-2019学年高二上学期期末调研测试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A. B.C. D. 或2.下列说法错误的是（）A. 棱柱的侧面都是平行四边形B. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥C. 用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形D. 将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥3.已知直线l1的方程为2x+（5+m）y=8，直线l2的方程为（3+m）x+4y=5-3m，若l1∥l2，则m=（）A. 或B.C.D.4.已知圆O1：x2+y2-4x+4y-41=0，圆O2：（x+1）2+（y-2）2=4，则两圆的位置关系为（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切5.某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A. 三棱柱B. 三棱锥C. 四棱柱D. 四棱锥6.下列命题中，真命题的个数是（）①若“p∨q”为真命题，则“p∧q”为真命题；②“∀a∈（0，+∞），函数y=a x在定义域内单调递增”的否定；③l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；④“∀x∈R，x2≥0”的否定为“∃x0∉R，x02＜0”．A. B. C. D.7.已知F1，F2是双曲线=1的左右焦点，P是双曲线右支上一点，M是PF1的中点，若|OM|=1，则|PF1|是（）A. 10B. 8C. 6D. 48.在正四面体P-ABC中，M是棱PA的中点，则异面直线MB与AC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.9.对于直线m，n和平面α，β，则α∥β的一个充分条件是（）A. ，，，B. ，，C. ，⊥，⊥D. ⊥，⊥，⊥10.已知直线l2：3x-4y-6=0，直线l2：y=-2，抛物线x2=4y上的动点P到直线l1与直线l2距离之和的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D.11.实数xy满足x=，则的最小值是（）A. B. C. 2 D. 312.如图，表面积为12π的球O内切于正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知直线l1的方向向量为=（3，2，1），直线l2的方向向量为=（0，m，-4），且l1⊥l2，则实数m的值为______．14.已知命题“∃x0∈[1，2]，x02-2ax0+1＞0”是真命题，则实数a的取值范围为______．15.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，P，Q为双曲线上关于原点对称的两点，若=0，且∠POF＜，则该双曲线的离心率的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.直线x-y+1=0的倾斜角为______．17.已知p：x2-4ax+3a2＜0（a＞0），q：＜1，且￢q是￢p的充分不必要条件，求a的取值范围．18.如图，已知点E是正方形ABCD边AD的中点，现将△ABE沿BE所在直线翻折成到△A'BE，使AC=BC，并连接A'C，A'D．（1）求证：DE∥平面A'BC；（2）求证：A'E⊥平面A'BC．19.已知物线C：y2=2px（p＞0）过点M（4，-4）．（1）求抛物线C的方程；（2）设F为抛物线C的焦点，直线l：y=2x-8与抛物线C交于A，B两点，求△FAB 的面积．20.已知动直线l1：x+my-2m=0与动直线l2：mx-y-4m+2=0相交于点M，记动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点P（-1，0）作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P-AE-B的余弦值．22.已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为M，过点F且斜率为-1的直线与l交于点N，若sin∠FON（O为坐标原点），求k的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵曲线表示椭圆，∴，解得-2＜k＜2，且k≠0．故选：D．曲线表示椭圆，列出不等式组，解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，则A正确；所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥，比如正八面体的各个面都是正三角形，则B错误；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可得截面图形是五边形，则C正确；由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥，则D正确．故选：B．由棱柱的性质可判断A；可举正八面体可判断B；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可判断C；由圆锥的定义可判断D．本题考查空间多面体和旋转体的定义，考查定义法的运用，考查判断能力和推理能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由（5+m）（3+m）-8=0，化为：m2+8m+7=0，解得m=-1，-7．经过验证m=-1时，两条直线重合，舍去．∴m=-7．故选：C．由（5+m）（3+m）-8=0，解得m．经过验证即可得出．本题考查了直线平行、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由于圆O1：x2+y2-4x+4y-41=0，即（x-2）2+（y+2）2=49，表示以C1（2，-2）为圆心，半径等于7的圆．圆O2：（x+1）2+（y-2）2=4，表示以C2（-1，2）为圆心，半径等于2的圆．由于两圆的圆心距等于=5=7-2．故两个圆相内切．故选：D．把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距等于5，与半径差的关系，可得两个圆关系．本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系，圆的标准方程的求法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：根据三视图知，该几何体是一个立放的四棱锥，如图所示；故选：D．根据三视图知该几何体是一个立放的四棱锥．本题考查了利用三视图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题．6.【答案】A【解析】解：①若“p∨q”为真命题，可知两个命题至少一个是真命题，判断为“p∧q”为真命题；不正确；②“∀a∈（0，+∞），函数y=a x在定义域内单调递增”的否定：“∃a∈（0，+∞），函数y=a x在定义域内单调递减”；例如a=，y=x在定义域内单调递减；所以②正确，③l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；也可能lα，所以③不正确；④“∀x∈R，x2≥0”的否定为“∃x0∉R，x02＜0”．不满足命题的否定形式，所以④不正确；只有②是真命题；故选：A．利用复合命题的真假判断①的正误；利用指数函数的单调性判断②的正误；直线与平面垂直关系判断③的正误；命题的否定判断④的正误；本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复合命题的真假，指数函数的单调性，命题的否定直线与平面的位置关系的应用，是基本知识的考查．7.【答案】A【解析】解：∵M是PF1的中点，O是F1F2中点，∴|OM|=|PF2|，∵|OM|=1，∴|PF2|=2，∵P是双曲线右支上一点，∴|PF1|-|PF2|=8，∴|PF1|=10故选：A．利用三角形中位线性质，求出|PF2|=2，利用双曲线定义，求出|PF1|．本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意双曲线定义和三角形中位线性质的灵活运用．8.【答案】B【解析】解：取PC中点N，连结MB，MC，设正四面体的棱长为2，则BM=BC==，MC=1，且MC∥AC，∴∠BMC是异面直线MB与AC所成角（或所成角的补角），故异面直线MB与AC所成角的余弦值为：cos∠BMC===．故选：B．取PC中点N，连结MB，MC，则MC∥AC，∠BMC是异面直线MB与AC所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线MB与AC所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．9.【答案】C【解析】解：A．这种情况下，α，β可能相交，让m，n都和交线平行即可；B．这种情况下，α，β可能相交，让m，n都和交线平行即可；C．∵m∥n，m⊥α，∴n⊥α，又n⊥β，同时和一直线垂直的两平面平行，∴α∥β；D．如果α⊥β，也存在m⊥n，且m⊥α，n⊥β．故选：C．A，B，D三个选项下的α，β相交时，也满足每个选项的条件，所以由A，B，D 中的条件得不出α∥β，而选项C可以得到平面α，β同时和一条直线垂直，所以α∥β，所以C中的条件是α∥β的充分条件．本题考查线面平行的判定定理，两条平行直线分别和两个平面平行，这两个平面可能相交，平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，同时垂直于一条直线的两平面平行．10.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点坐标为F（0，1），准线方程为y=-1，过P作PB垂直直线y=-2角y=-2于A，交y=-1于B，由抛物线的定义得|PB|=|PF|，|PB|=|PA|-1则点P到直线l1与直线l2距离之和|PC|+|PA|=|PC|+|PA|=|PB|+1+|PC|=|PF|+|PC|+1≥|FD|+1，此时最小值为F到直线3x-4y-6=0的距离d=|FD|==，则抛物线x2=4y上的动点P到直线l1与直线l2距离之和的最小值是d+1=2+1=3，故选：B．根据抛物线的定义进行转化，结合图象利用点到直线的距离公式进行求解即可．本题主要考查抛物线性质和定义的应用，利用图象，转化为点到直线的距离问题是解决本题的关键．利用数形结合是解决本题的关键．11.【答案】B【解析】解：x=⇒x2+y2=1（x≥0）表示半圆，如图：=1+设t=，则tx-y+t-2=0与圆x2+y2=1相切时t取最小值，由=1得t=，所以原式的最小值为1+=，故选：B．x=⇒x2+y2=1（x≥0）表示半圆；=1+，转化为求的最小值，即求过P（-1，-2）的圆的切线的斜率．本题考查了基本不等式及其应用，圆的切线，数形结合思想，属中档题．12.【答案】C【解析】解：设球的半径为r，由球O得表面积为12π，得4πr2=12π，则r=，即正方体棱长为，根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π×=2π．故选：C．根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积．本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，是中档题．13.【答案】2【解析】解：∵l1⊥l2；∴；∴；∴m=2．故答案为：2．根据直线方向向量的概念及l1⊥l2即可得出，从而得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．考查直线方向向量的概念，向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．14.【答案】（-∞，）【解析】解：命题“∃x0∈[1，2]，x02-2ax0+1＞0”是真命题，即有2a＜x0+在[1，2]的最大值，由x0+在[1，2]递增，可得x0=2取得最大值，则2a＜，可得a＜，则实数a的取值范围为（-∞，）．故答案为：（-∞，）．由题意可得2a＜x0+在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a的范围．本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．15.【答案】（1，）【解析】解：=0，可得PF⊥QF，在Rt△PQF中，|OF|=c，∴|PQ|=2c，在直角三角形PQF中，∠POF＜，0＜∠PQF＜，可得|PF|=2csin∠PQF，|QF|=2ccos∠PQF，取左焦点F'，连接PF'，QF'，可得四边形PFQF'为矩形，∴||QF|-|PF||=|PF'|-|PF|=-2csin∠PQF+2ccos∠PQF=2a，∴e===∈（1，）．故答案为：（1，）．运用三角函数的定义可得|PF|=2csin∠PQF，|QF|=2ccos∠PQF，取左焦点F'，连接PF'，QF'，可得四边形PFQF'为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．16.【答案】60°【解析】解：设直线x-y+1=0的倾斜角为θ．由直线x-y+1=0化为y=x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ=60°．故答案为：60°．把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．本题考查了斜截式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．17.【答案】解：由x2-4ax+3a2＜0（a＞0），得a＜x＜3a，a＞0，由＜1得-1＜0，即＜0，得命题（x-9）（x-1）＞0，得x＞9或x＜1，因为￢q是￢p的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件，所以（a，3a）⊊{x|x＞9或x＜1}的真子集，所以0＜3a≤1或a≥9，得0＜a≤或a≥9，所以a的取值范围是0＜a≤或a≥9．【解析】根据不等式的解法求出p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的解法求出p，q的等价条件是解决本题的关键．18.【答案】证明：（1）∵正方形ABCD中，DE∥BC，又DE⊄平面A′BC，BC平面A′BC，∴DE∥平面A′BC．……………（5分）（2）不妨设正方形ABCD的边长为a，连接EC．在△A′CE中，，EC=，A′C=a，满足A′E2+A′C2=EC2，∴A′E⊥A′C，又A′E⊥A′B，且A′B∩A′C=A′，A′B平面A′BC，A′C平面A′BC，∴A'E⊥平面A'BC．……………（12分）【解析】（1）推导出DE∥BC，由此能证明DE∥平面A′BC．（2）设正方形ABCD的边长为a，连接EC．推导出A′E⊥A′C，A′E⊥A′B，由此能证明A'E⊥平面A'BC．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）因为抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（4，-4），所以（-4）2=8p=32，解得p=4，所以抛物线C的方程为y2=8x．（2）由抛物线的方程可知F（2，0），直线l：y=2x-8与x轴交于点P（4，0），联立直线与抛物线方程，消去x可得y2-4y-32=0，所以y1+y2=4，y1y2=-32，所以S△FAB=|PF||y1-y1|==12，所以△FAB的面积为12．【解析】（1）将点的坐标代入抛物线，进行求解即可．（2）联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解．本题主要考查抛物线方程的求解，以及直线和抛物线位置关系的应用，利用设而不求思想结合三角形的面积公式是解决本题的关键．20.【答案】解：（1）动直线l1：x+my-2m=0过定点E（0，2），动直线l2：mx-y-4m+2=0过定点F（4，2）．又l1⊥l2，∴点M在以EF为直径的圆上（不包含点F），圆心为C（2，2），半径r=2，所以动点M的轨迹方程为：（x-2）2+（y-2）2=4（x≠4）．（2）由题可知：|PA|2=|PB|2=|PC|2-r2=9，所以点A与点B均在圆心为P，半径为3的圆（x+1）2+y2=9上，将两圆方程相减可得直线AB的方程为：3x+2y-6=0．【解析】（1）动直线l1：x+my-2m=0过定点E（0，2），动直线l2：mx-y-4m+2=0过定点F（4，2）．由方程可得l1⊥l2，因此点M在以EF为直径的圆上（不包含点F），即可得出方程．圆（2）由题可知：|PA|2=|PB|2=|PC|2-r2=9，可得点A与点B均在圆心为P，半径为3的圆上，将两圆方程相减可得直线AB的方程．本题考查了圆的定义标准方程及其性质、直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）矩形ABCD中，AB∥CD，∵AB⊄面PCD，CD平面PCD，∴AB∥平面PCD，……………（2分）又AB⊄平面ABE，平面PCD∩平面ABE=EF，∴AB∥EF，……………（4分）∵EF⊄面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB．……………（6分）（2）取AD中点O，连结OP，∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，连接OB，则OB为PB在平面ABCD内的射影，∴∠PBO为PB与平面ABCD所成角，根据题意知sin∠PBO=，∴tan∠PBO=，由题OB=，∴PO=2 ……………（7分）取BC中点G，连接OG，以O为坐标原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过O作AB 的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，4，0），设P（0，0，2），C=（-1，4，0），E（-，2，1），，，，，设平面PAE的法向量为，，，于是，令x=2，则y=1，z=1∴平面PAE的一个法向量=（2，1，1），……………（8分）同理平面ABE的一个法向量为=（2，0，3），……………（9分）∴cos＜，＞=……………（11分）可知二面角P-AE-B为钝二面角所以二面角P-AE-B的余弦值为-．……………（12分）【解析】（1）利用AB∥平面PCD，可得AB∥EF，即可证明（2）取AD中点O，连结OP，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过O 作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AE-B的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是中档题．22.【答案】解：（1）由题意可知，解得a2=16，b2=12（负值舍去），所以椭圆方程为；（2）设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标（x2，y2），由题可知y1＞y2＞0，故|MN|sin∠FON=y1-y2，因为，而，所以，由，可得，所以，由，消去x，可得，易知直线NF的方程为x+y-2=0，由，消去x，可得，所以，整理得52k2-96k+27=0，解得或．【解析】（1）根据题意列出有关a2、b2的方程组，求出这两个数的值，即可求出椭圆的标准方程；（2）设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标（x2，y2），利用已知条件sin∠FON，得出，然后将直线l的方程分别与椭圆方程和直线NF的方程联立，求出点M、N的坐标，结合条件可求出k的值．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆综合问题的求解，解决本题的关键在于求出一些关键的点和直线方程，考查计算能力，属于中等题．。
2017-2018学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若集合A={x|x﹣1＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B等于（）A．（﹣1，2）B．（0，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）2．为了检查某高三毕业班学生的体重状况，从该班随机抽取了10位学生进行称重，如图为10位学生体重的茎叶图，其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这10位学生体重的平均数与中位数之差为（）（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.43．如图是一个程序框图，则输出的S的值是（）A．﹣1 B．0 C．8 D．94．已知直线2x+my﹣1=0与直线3x﹣2y+n=0垂直，垂足为（2，p），则p﹣m﹣n的值为（）A．﹣6 B．6 C．4 D．105．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C．D．6．已知a，b是两条直线，α是一个平面，则下列判断正确的是（）A．a⊥α，b⊥α，则a⊥b B．a∥α，b⊂α，则a∥bC．a⊥b，b⊂α，则a⊥α D．a∥α，b⊂α，a⊄α，则a∥α7．“﹣2＜k＜3“是“x2+kx+1＞0在R上恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．9．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．210．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称11．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|：|MN|等于（）A．2：3 B．3：4 C．3：5 D．4：512．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的体积为2，则球O的表面积为（）A．18π B．20π C．24π D．20π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．“∀x∈R，e x﹣x＞0”的否定为．14．已知函数f（x）=，则f（f（8））=．15．已知向量，的夹角为，||=，||=2，则•（﹣2）=．16．已知函数f（x）=（a≠0），且f（0）=1，若函数f（x）在（m，m+）上单调递增，则m的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，a，b，c是角A、B、C的对边，且b=2asinB，A为锐角．（1）求角A的大小；（2）若b=1，c=2，求a．18．已知p：x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，q：3＜x≤4．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．平行四边形ABCD的一组邻边所在直线的方程分别为x﹣2y﹣1=0与2x+3y﹣9=0，对角线的交点坐标为（2，3）．（1）求已知两直线的交点坐标；（2）求此平行四边形另两边所在直线的方程．20．已知圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0．（1）求过点M（﹣6，﹣5）的圆C的切线方程；（2）过点N（1，3）作直线与圆C交于A、B两点，求△ABC的最大面积及此时直线AB 的斜率．21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，且b=c，椭圆的上顶点到右顶点的距离为2．（1）求椭圆的方程；（2）已知点F是椭圆的右焦点，C（m，0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使得AC|=|BC|，并说明理由．22．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的最小值．2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若集合A={x|x﹣1＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B等于（）A．（﹣1，2）B．（0，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）【考点】交集及其运算．【分析】根据集合A和集合B的范围，然后求出集合A∩B即可．【解答】解：∵A={x|x﹣1＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B（﹣2，1）．故选：C．2．为了检查某高三毕业班学生的体重状况，从该班随机抽取了10位学生进行称重，如图为10位学生体重的茎叶图，其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这10位学生体重的平均数与中位数之差为（）（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【考点】茎叶图．【分析】先分别求出中位数和平均数，由此能求出结果．【解答】解：平均数=.8，中位数为：，∴这10位学生体重的平均数与中位数之差为：54.8﹣54.5=0.3．故选：C．3．如图是一个程序框图，则输出的S的值是（）A．﹣1 B．0 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0，i=6时满足条件S＜i，退出循环，输出S的值为0，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得S=27，i=1满足条件S是奇数，S=26，i=2不满足条件S是奇数，S=15，i=3满足条件S是奇数，S=10，i=4不满足条件S是奇数，S=9，i=5满足条件S是奇数，S=0，i=6满足条件S＜i，退出循环，输出S的值为0．故选：B．4．已知直线2x+my﹣1=0与直线3x﹣2y+n=0垂直，垂足为（2，p），则p﹣m﹣n的值为（）A．﹣6 B．6 C．4 D．10【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由直线的垂直关系可得m值，再由垂足在两直线上可得np的方程组，解方程组计算可得．【解答】解：∵直线2x+my﹣1=0与直线3x﹣2y+n=0垂直，∴2×3+（﹣2）m=0，解得m=3，由垂直在两直线上可得，解得p=﹣1且n=﹣8，∴p﹣m﹣n=4，故选：C．5．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件求得sinα和cosα的值，再根据cos（α﹣π）=﹣cosα求得结果．【解答】解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故选：C．6．已知a，b是两条直线，α是一个平面，则下列判断正确的是（）A．a⊥α，b⊥α，则a⊥b B．a∥α，b⊂α，则a∥bC．a⊥b，b⊂α，则a⊥α D．a∥α，b⊂α，a⊄α，则a∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面关系的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，由a⊥α，b⊥α，则a∥b，故A错误；对于B，a∥α，b⊂α，则a∥b或者a，b异面；故B 错误；对于C，a⊥b，b⊂α，则a与α位置关系不确定；故C错误；对于D，满足线面平行的判定定理；故D 正确．故选：D．7．“﹣2＜k＜3“是“x2+kx+1＞0在R上恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x2+kx+1＞0在R上恒成立⇔△=k2﹣4＜0，解得即可判断出结论．【解答】解：x2+kx+1＞0在R上恒成立⇔△=k2﹣4＜0，解得﹣2＜k＜2，∴“﹣2＜k＜3“是“x2+kx+1＞0在R上恒成立”的必要不充分条件．故选：B．8．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项及求和公式，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}，a7=9a3，∴a1+6d=9（a1+2d），∴a1=﹣d，∴==9，故选：A．9．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上底虚线部分，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2，故选D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，可得=π，求得ω=2，f（x）=sin（2x+φ）．其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（2x）的图象，故有sin[2（x﹣）+φ]=sin2x，故可取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈Z，求得x=+，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：A．11．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|：|MN|等于（）A．2：3 B．3：4 C．3：5 D．4：5【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率．过M作MH⊥l于H，根据抛物线物定义得|FM|=|HM|．Rt△MHN中，根据tan∠MNP=，从而得到|HN|=|HM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：x2=12y的焦点为F（0，3），点A坐标为（4，0），∴抛物线的准线方程为l：y=﹣3，直线AF的斜率为k=﹣，过M作MH⊥l于H，根据抛物线物定义得|FM|=|HM|，∵Rt△MHN中，tan∠MNH=﹣k=，∴=，可得|HN|=|HM|，得|MN|=|PM|因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=3：5．故选：C．12．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的体积为2，则球O的表面积为（）A．18π B．20π C．24π D．20π【考点】球的体积和表面积．【分析】由三棱锥P﹣ABC的体积为2，求出PA，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的体积为2，∴=2，∴PA=2，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA 的一半，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC外接圆的半径r=2，∴球的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．“∀x∈R，e x﹣x＞0”的否定为∃x∈R，e x﹣x≤0．【考点】的否定．【分析】根据全称的否定是特称进行判断即可．【解答】解：是全称，则的否定是：∃x∈R，e x﹣x≤0，故答案为：∃x∈R，e x﹣x≤014．已知函数f（x）=，则f（f（8））=﹣4．【考点】函数的值．【分析】先求f（8），再代入求f（f（8））．【解答】解：f（8）=﹣log28=﹣3，f（f（8））=f（﹣3）=4﹣23=﹣4，故答案为：﹣4．15．已知向量，的夹角为，||=，||=2，则•（﹣2）=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出2和，将•（﹣2）展开得出答案．【解答】解：==﹣2，2=||2=2，∴•（﹣2）=2﹣2=2+2×2=6．故答案为：6．16．已知函数f（x）=（a≠0），且f（0）=1，若函数f（x）在（m，m+）上单调递增，则m的最大值为．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出a的值，得到函数的单调区间，从而得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：由f（0）=1，得：a=﹣1，则f′（x）=，令f′（x）＞0，得：x＜2且x≠1，∴f（x）在（﹣∞，1），（1，2）递增，∴m+≤1或，解得：m≤或1≤m≤，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，a，b，c是角A、B、C的对边，且b=2asinB，A为锐角．（1）求角A的大小；（2）若b=1，c=2，求a．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得sinB=2sinA•sinB，结合sinB＞0可得sinA=，又A为锐角，即可解得A的值．（2）利用余弦定理即可解得a的值．【解答】（本题满分为10分）解：（1）在△ABC中，∵b=2asinB，∴sinB=2sinA•sinB，sinB＞0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=…6分（2）∵a2=b2+c2﹣2bccosA=1+12﹣4=7，∴a=…10分18．已知p：x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，q：3＜x≤4．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合的真假．【分析】（1）p：x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，解得：a＜x＜4a；由于a=1，p化为：1＜x ＜4．利用p∧q为真，求交集即可得出．（2）p是q的必要不充分条件，可得q⇒p，且p推不出q，设A=（a，4a），B=（3，4]，则B⊊A，即可得出．【解答】解：（1）p：x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，解得：a＜x＜4a；q：3＜x≤4．∵a=1，∴p化为：1＜x＜4．∵p∧q为真，∴，解得3＜x≤4，∴实数x的取值范围是（3，4]．（2）p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p推不出q，设A=（a，4a），B=（3，4]，则B⊊A，∴，解得1＜a≤3．∴实数a的取值范围是1＜a≤3．19．平行四边形ABCD的一组邻边所在直线的方程分别为x﹣2y﹣1=0与2x+3y﹣9=0，对角线的交点坐标为（2，3）．（1）求已知两直线的交点坐标；（2）求此平行四边形另两边所在直线的方程．【考点】待定系数法求直线方程；两条直线的交点坐标．【分析】（1）解方程组，求出交点坐标即可；（2）求出与点（3，1）相对的一个顶点为（1，5），根据平行四边形的性质求出另两边所在直线方程即可．【解答】解：（1）由，解得：，即两直线的交点坐标是（3，1）；（2）由（1）得已知两直线的交点坐标为（3，1），对角线的交点坐标为（2，3），因此，与点（3，1）相对的一个顶点为（1，5），由平行四边形的性质得另两边与已知两边分别平行，因此另两边所在直线方程分别是：y﹣5=﹣（x﹣1）与y﹣5=（x﹣1），即x﹣2y+9=0与2x+3y﹣17=0．20．已知圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0．（1）求过点M（﹣6，﹣5）的圆C的切线方程；（2）过点N（1，3）作直线与圆C交于A、B两点，求△ABC的最大面积及此时直线AB 的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点M在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程．（2）当直线AB的斜率不存在时，△ABC的面积S=3，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，圆心（﹣2，3）到直线AB的距离d=，线段AB的长度|AB|=2，由此能求出△OAB的最大面积和此时直线AB的斜率．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0，即（x+2）2+（y﹣3）2=16，表示以（﹣2，3）为圆心，半径等于4的圆．由于点M（﹣6，﹣5）到圆心的距离等于=4，大于半径4，故点M在圆的外部．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=﹣6符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y+5=k（x+6），即kx﹣y+6k﹣5=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=4，解得k=，此时，切线为3x﹣4y﹣2=0．综上可得，圆的切线方程为x=﹣6，或3x﹣4y﹣2=0．（2）当直线AB的斜率不存在时，x=1，y=3±，△ABC的面积S=3当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，圆心（﹣2，3）到直线AB的距离d=，线段AB的长度|AB|=2，∴△ABC的面积S=|AB|d=≤=8当且仅当d2=8时取等号，此时=2，解得k=±2．所以，△OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为±2．21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，且b=c，椭圆的上顶点到右顶点的距离为2．（1）求椭圆的方程；（2）已知点F是椭圆的右焦点，C（m，0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使得AC|=|BC|，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得b=c，=2，由此能求出椭圆方程．（2）由（1）得F（2，0），0≤m≤2，设l的方程为y=k（x﹣2），代入=1，得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线垂直，结合已知条件能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，且b=c，椭圆的上顶点到右顶点的距离为2，∴，解得，∴椭圆方程为=1．（2）由（1）得F（2，0），∴0≤m≤2，假设存在满足题意的直线l，则直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为y=k（x﹣2），代入=1，得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，设AB的中点为M，则M（，﹣），∵|AC|=|BC|，∴CM⊥AB，∴k CM•k AB=﹣1，∴•k=﹣1，化简，得，当0≤m＜1时，k=，即存在这样的直线l满足条件，当l≤m≤2时，k不存在，即不存在这样的直线l满足条件．22．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，代入切线方程整理即可；（2）求出导函数，令导函数为0求出根，通过讨论根与区间[1，e]的关系，判断出函数的单调性，求出函数的最小值【解答】解：（1）a=2，f（x）=x2﹣2lnx，f′（x）=x﹣，f′（1）=﹣1，f（1）=，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程是：2x+2y﹣3=0；（2）由f′（x）=，由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0得x=，①若≤1即0＜a≤1在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）min=f（1）=；②若1＜＜e，即1＜a＜e2；在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此在[1，e]上，f（x）min=f（）=a（1﹣lna）；③若≥e，即a≥e2在（1，e）上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=e2﹣a综上，当0＜a≤1时，f（x）min=；当1＜＜e时，f（x）min=a（1﹣lna）；当a≥e2时，f（x）min=e2﹣a．2016年7月7日。
山西省2018-2019学年高二上学期期末测评考试文科数学(II)试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的.1.设命题p ：2≥1，命题q ：{1}⊆{0，1，2}，则下列命题中为真命题的是A.p ∧qB.⌝p ∧qC.p ∧⌝qD.⌝p ∨⌝q2.与直线l 1：x－1＝0垂直且过点(－1)的直线l 2的方程为A.x－2＝0＋y ＝0 C.xy －4＝0x ＋y －＝03.命题“∀x ∈R ，x 2≠2x ”的否定是A.∀x ∈R ，x 2＝2xB.∃x 0∉R ，x 02＝2x 0C.∃x 0∈R ，x 02≠2x 0D.∃x 0∈R ，x 02＝2x 04.下列导数运算正确的是 A.211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭ B.()sin cos x x '=- C.()33x x '= D.()1ln x x '= 5.下列命题中，假命题．．．的是 A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.B.平行于同一平面的两条直线一定平行.C.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.D.若直线l 不平行于平面α，且l 不在平面α内，则在平面α内不存在与l 平行的直线.6.曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的 A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等7.已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，若△OAB 为正三角形，则实A.2B.2C.2或－2D.228.若双曲线221y x m -=的一个顶点在抛物线212y x =的准线上，则该双曲线的离心率为9.设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.设函数f(x)＝13x 3＋(a －2)x 2＋ax ，若函数f(x)为奇函数，则曲线y ＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为A.y ＝－2xB.y ＝－xC.y ＝2xD.y ＝x11.矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝2，沿AC 将三角形ADC 折起，得到四面体A －BCD ，当四面体A －BCD 的体积取最大值时，四面体A －BCD 的表面积为2 ＋212.已知函数f(x)＝xe x －ax ，x ∈(0，＋∞)，当x 2＞x 1时，不等式()()12210f x f x x x －＜恒成立，则实数a 的取值范围为A.(－∞，2e ]B.(－∞，2e ) C.(－∞，e] D.(－∞，e) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为 .14.曲线y ＝2lnx ＋1在点(1，1)处的切线方程为 .15.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AA 1＝2，则点A 到平面A 1BC 1的距离为 .16.已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆上一点，AF 2垂直于x 轴，且△A F 1F 2为等腰三角形，则椭圆的离心率 .三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知p ：对任意的实数k ，函数f(k)＝log 2(k －a)(a 为常数)有意义，q ：存在实数k ，使方程22113x y k k+=+-表示双曲线.若⌝q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 18.(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0.(1)若直线l ：x －2y ＋t ＝0与圆C 相切，求t 的值；(2)若圆M ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝r 2与圆C 相外切，求r 的值.19.(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0).(1)若直线x －y －2＝0经过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的准线方程；(2)若斜率为－1的直线经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，当|AB|＝2时，求抛物线C 的方程.20.(12分)已知函数f(x)＝2lnx －ax 2.(1)若a ＝1，证明：f(x)＋1≤0；(2)当a ＝1e时，判断函数f(x)有几个零点. 21.(12分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，该椭圆经过点B(0，2)，且离心率为2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设M 是圆x 2＋y 2＝12上任意一点，由M 引椭圆C 的两条切线MA ，MB ，当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值.22.(12分)已知函数f(x)＝(x 2－ax －1)e x .(1)若a ＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)当a ≥0时，若函数g(x)＝f(x)＋2e x 在x ＝1处取得极小值，求函数g(x)的极大值.。
山西省晋中市2018-2019学年高二上学期期末调研测试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是A. B.C. D. 或【答案】D【解析】解：曲线表示椭圆，，解得，且．故选：D．曲线表示椭圆，列出不等式组，解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.下列说法错误的是A. 棱柱的侧面都是平行四边形B. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥C. 用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形D. 将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥【答案】B【解析】解：由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，则A正确；所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥，比如正八面体的各个面都是正三角形，则B 错误；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可得截面图形是五边形，则C正确；由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥，则D正确．故选：B．由棱柱的性质可判断A；可举正八面体可判断B；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可判断C；由圆锥的定义可判断D．本题考查空间多面体和旋转体的定义，考查定义法的运用，考查判断能力和推理能力，属于基础题．3.已知直线的方程为，直线的方程为，若，则A.或 B. C. D.【答案】C【解析】解：由，化为：，解得，．经过验证时，两条直线重合，舍去．．故选：C．由，解得经过验证即可得出．本题考查了直线平行、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】解：由于圆：，即，表示以为圆心，半径等于7的圆．圆：，表示以为圆心，半径等于2的圆．由于两圆的圆心距等于故两个圆相内切．故选：D．把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距等于5，与半径差的关系，可得两个圆关系．本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系，圆的标准方程的求法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．5.实数x，y满足，则的最小值是A. 7B. 4C.D.【答案】C【解析】解：由实数x，y满足作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率，由图形可得，的最小值为．故选：C．由约束条件作出可行域，由的几何意义可知，z为可行域内的动点与定点连线的斜率，求出MA的斜率得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6.某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是A. 三棱柱B. 三棱锥C. 四棱柱D. 四棱锥【答案】D【解析】解：根据三视图知，该几何体是一个立放的四棱锥，如图所示；故选：D．根据三视图知该几何体是一个立放的四棱锥．本题考查了利用三视图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题．7.下列命题中，真命题的个数是若“”为真命题，则“”为真命题；“，函数在定义域内单调递增”的否定；为直线，，为两个不同的平面，若，，则；“，”的否定为“，”．A. B. C. D.【答案】A【解析】解：若“”为真命题，可知两个命题至少一个是真命题，判断为“”为真命题；不正确；“，函数在定义域内单调递增”的否定：“，函数在定义域内单调递减”；例如，在定义域内单调递减；所以正确，为直线，，为两个不同的平面，若，，则；也可能，所以不正确；“，”的否定为“，”不满足命题的否定形式，所以不正确；只有是真命题；故选：A．利用复合命题的真假判断的正误；利用指数函数的单调性判断的正误；直线与平面垂直关系判断的正误；命题的否定判断的正误；本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复合命题的真假，指数函数的单调性，命题的否定直线与平面的位置关系的应用，是基本知识的考查．8.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则由导函数的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点即函数的极大值点在x轴上的右侧，排除B，故选：D．根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数的图象可能本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．9.已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，M是的中点，若，则是A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】A【解析】解：是的中点，O是中点，，，，是双曲线右支上一点，，故选：A．利用三角形中位线性质，求出，利用双曲线定义，求出本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题解题时要认真审题，注意双曲线定义和三角形中位线性质的灵活运用．10.在正四面体中，M是棱PA的中点，则异面直线MB与AC所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：取PC中点N，连结MB，MC，设正四面体的棱长为2，则，，且，是异面直线MB与AC所成角或所成角的补角，故异面直线MB与AC所成角的余弦值为：．故选：B．取PC中点N，连结MB，MC，则，是异面直线MB与AC所成角或所成角的补角，由此能求出异面直线MB与AC所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．11.对于直线m，n和平面，，则的一个充分条件是A. ，，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】解：这种情况下，，可能相交，让m，n都和交线平行即可；B.这种情况下，，可能相交，让m，n都和交线平行即可；C.，，，又，同时和一直线垂直的两平面平行，；D.如果，也存在，且，．故选：C．A，B，D三个选项下的，相交时，也满足每个选项的条件，所以由A，B，D中的条件得不出，而选项C可以得到平面，同时和一条直线垂直，所以，所以C中的条件是的充分条件．本题考查线面平行的判定定理，两条平行直线分别和两个平面平行，这两个平面可能相交，平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，同时垂直于一条直线的两平面平行．12.已知的两个极值点分别为，，且，则函数A. B. C. 1 D. 与b有关【答案】B【解析】解：，故，，而，联立解得：，，，故，故，故选：B．求出函数的导数，求出，，，从而求出的值即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知，则【答案】【解析】解：，，，故答案为：．先求导，再代值计算．本题考查了导数的运算法则，属于基础题．14.已知命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：若命题“，”是真命题，则“，，即恒成立，，，即实数a的取值范围是，故答案为：．利用参数分离法求出在上对应函数的最值即可．本题主要考查全称命题的应用，利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键．15.已知直线与椭圆交于A，B两点，且A，B中点的横坐标为3，则椭圆的离心率为______．【答案】【解析】解：设，，则．由，得，，椭圆的离心率e，．故答案为：．设，，则利用直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理求出，即可求解椭圆的离心率．本题考查了直线与椭圆的位置关系，及椭圆离心率，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.直线的倾斜角为______．【答案】【解析】解：设直线的倾斜角为．由直线化为，，．故答案为：．把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．本题考查了斜截式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．17.已知p：，q：，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【答案】解：由，得，，由得，即，得命题，得或，因为p是q的充分不必要条件，所以或的真子集，所以或，得或，所以a的取值范围是或．【解析】根据不等式的解法求出p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的解法求出p，q的等价条件是解决本题的关键．18.已知物线C：过点求抛物线C的方程；设F为抛物线C的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，求的面积．【答案】解：因为抛物线C：过点，所以，解得，所以抛物线C的方程为．由抛物线的方程可知，直线l：与x轴交于点，联立直线与抛物线方程，消去x可得，所以，，所以，所以的面积为12．【解析】将点的坐标代入抛物线，进行求解即可．联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解．本题主要考查抛物线方程的求解，以及直线和抛物线位置关系的应用，利用设而不求思想结合三角形的面积公式是解决本题的关键．19.如图，在四棱锥中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，，，为正三角形，且平面平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．求证：；求三棱锥的体积．【答案】解：证明：在矩形ABCD中，，面PCD，平面PCD，平面PCD，又平面ABE，平面平面，；由可知，为PC中点，为PD中点，平面平面ABCD，平面PAD，．【解析】先利用线面平行的判定定理得AB平行平面PCD，再用线面平行的性质定理得AB，EF平行；通过转换顶点把问题转化为求的体积，求解就容易了．此题考查了线面平行的判定与性质，转化顶点求三棱锥的体积等，难度适中．20.已知动点M到点与点的距离之比等于2，记动点M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程；过点作曲线C的切线，求切线方程．【答案】解：设动点M的坐标为，则，，所以，化简得，因此，动点M的轨迹方程为；当过点P的直线无斜率时，直线方程为，圆心到直线的距离等于半径2，此时直线与曲线C相切；当切线有斜率时，不妨设斜率为k，则切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径可知，，解得．所以，切线方程为．综上所述，切线方程为或．【解析】设点M的坐标为，根据距离公式列等式，化简即可得出曲线C的方程；对切线斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于2可得出切线的方程．本题考查动点的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，解决本题的关键在于将直线与圆利用几何法进行转化，考查计算能力，属于中等题．21.已知函数．当时，求在处的切线方程；讨论的单调性．【答案】解：当时，，，，又，故切线方程为，即；函数的定义域是，，令，当时，，即，则在递减，当时，的图象如图所示：，则在上，，在上，则在递减，在递增，综上，时，在递减，当时，在递减，在递增．【解析】代入a的值，求出函数的导数，求出切线方程即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是一道常规题．22.已知椭圆的右焦点为，且过点求椭圆的标准方程；设直线l：与椭圆在第一象限的交点为M，过点F且斜率为的直线与l交于点N，若与的面积之比为3：为坐标原点，求k的值．【答案】解：由题意可知，解得，负值舍去，所以椭圆的标准方程方程为．设点M的坐标为，点N的坐标，由题可知，与的面积之比为3：2，与的面积之比为2：5，也即．由，消去x，可得易知直线NF的方程为，由，消去x，可得，所以，整理得，解得或．【解析】根据题意列出有关、的方程组，求出这两个数的值，即可求出椭圆的标准方程；设点M的坐标为，点N的坐标，利用已知条件可得，然后将直线l的方程分别与椭圆方程和直线NF的方程联立，求出点M、N的坐标，结合条件可求出k的值．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆综合问题的求解，解决本题的关键在于求出一些关键的点和直线方程，考查计算能力，属于中等题．。
