二次函数恒成立问题42147

二次函数恒成立问题的方法二次函数恒成立问题是指对于任意实数x,都存在一个正实数a和正整数b,使得以下的二次函数f(x)满足以下条件:1. f(a) = 02. f(b) = 03. f(x)在区间[a,b]上连续。

下面介绍几种解决二次函数恒成立问题的方法:方法一:利用函数图像如果我们能够画出二次函数f(x)的图像,那么我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x 取何值时,函数f(x)恒成立。

具体而言,我们可以通过观察图像来确定二次函数f(x)在区间[a,b]上的取值,并检查是否满足条件1、2、3。

方法二:利用配方和边界条件我们可以使用二次函数的配方来解决这个问题。

设二次函数f(x)的顶点坐标为c(c<0),则有f(x) = (x-c)(x-c-1)。

我们可以使用这个配方来检查当x取何值时,函数f(x)是否恒成立。

具体而言,我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

方法三:利用函数性质我们还可以通过函数的性质来解决这个问题。

例如,我们可以利用二次函数的对称性来检查当x取何值时,函数f(x)是否恒成立。

具体而言,我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

方法四:利用数学软件如果我们想要更加高效地解决二次函数恒成立问题,可以使用数学软件。

例如,我们可以使用MATLAB或其他数学软件来检查二次函数f(x)是否满足条件1、2、3。

通过使用软件,我们可以快速地画出函数图像,并检查函数的取值是否满足条件。

以上就是几种解决二次函数恒成立问题的方法,这些方法各有优缺点,我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决该问题。

二次函数恒成立问题2016年8月东莞莞美学校一、恒成立问题的基本类型：类型1：设，)0()(2≠++=a c bx ax x f （1）上恒成立；R x x f ∈>在0)(00<∆>⇔且a （2）上恒成立。

R x x f ∈<在0)(00<∆<⇔且a 类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f （1）当时，上恒成立，0>a ],[0)(βα∈>x x f 在⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或上恒成立],[0)(βα∈<x x f 在⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当时，上恒成立0<a ],[0)(βα∈>x x f 在⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f 上恒成立],[0)(βα∈<x x f 在⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或类型3：。

αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切二、恒成立问题常见的解题策略：策略一：利用二次函数的判别式对于一元二次函数有：),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=（1）上恒成立；R x x f ∈>在0)(00<∆>⇔且a （2）上恒成立R x x f ∈<在0)(00<∆<⇔且a 例1.若不等式的解集是R ，求m 的范围。

二次函数恒成立问题洋葱数学摘要：I.二次函数的定义和性质- 二次函数的定义- 二次函数的图象和性质II.二次函数恒成立问题的类型- 二次函数恒成立问题的定义- 常见二次函数恒成立问题的类型III.解决二次函数恒成立问题的方法- 判别式法- 韦达定理法- 完全平方公式法IV.二次函数恒成立问题的应用- 二次函数恒成立问题在实际生活中的应用- 二次函数恒成立问题在考试中的常见题型和解题技巧正文：二次函数是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

洋葱数学为我们提供了一种解决二次函数恒成立问题的方法。

首先，我们需要了解二次函数的定义和性质。

二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c 是常数，且a 不等于0。

二次函数的图象是一个抛物线，其性质包括开口方向、对称轴、顶点等。

其次，我们需要了解二次函数恒成立问题的类型。

二次函数恒成立问题是指在一定的条件下，二次函数的值恒为某个常数。

常见的问题类型包括二次函数的值恒为正、恒为负、恒为零等。

解决二次函数恒成立问题的方法有多种，其中最常用的方法是判别式法。

判别式法是根据二次函数的判别式Δ= b^2 - 4ac 来判断二次函数的值是否恒为某个常数。

当Δ > 0 时，二次函数的值恒为正；当Δ < 0 时，二次函数的值恒为负；当Δ = 0 时，二次函数的值恒为零。

另外，韦达定理法和完全平方公式法也是解决二次函数恒成立问题的常用方法。

韦达定理法是利用二次函数的韦达定理来求解二次函数的值；完全平方公式法是将二次函数化为完全平方的形式，从而求解二次函数的值。

二次函数恒成立问题在实际生活中有着广泛的应用，如物理、化学、工程等领域。

在考试中，二次函数恒成立问题也是常见题型，掌握解决二次函数恒成立问题的方法和技巧，对于提高数学成绩具有重要意义。

二次函数恒成立问题的方法二次函数恒成立问题是指在抛物线或二次函数的图像上,要求其对应的二次函数在该点处必须恒成立。

这个问题的解决方法有很多,下面我们将介绍其中两种常用的方法。

方法一:利用配方求解当要求二次函数在点P处恒成立时,我们可以将抛物线或二次函数进行配方,从而将其转化为一次函数的形式。

具体来说,我们可以将二次函数写成以下形式: f(x) = ax^2 + bx + c将点P的坐标代入该式中,得到:ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 + k(x-g)其中,a、b、c、h、g、k都是已知常数,而a、b、c、h、g、k中的任意一个都可以作为点P的坐标。

然后,我们只需要要求出k(x-g)的值即可。

由于k(x-g)是一个二次函数,因此我们可以将其进行配方,得到:k(x-g) = k[(x-h)^2 - 4gh]将k(x-g)代入上式中,得到:k[(x-h)^2 - 4gh] = k[(x-h)^2 - (x-g)^2 + 2gh]化简后得到:k[(x-h)^2 - (x-g)^2] = -2gh因此,如果二次函数在点P处恒成立,则-2gh必须在点P处成立。

我们可以通过对-2gh求导,得到:f"(x) = 2ax + 2b当-2gh在点P处成立时,即f"(x) = 2ax + 2b = 0时,我们才能要求出k(x-g)的值,从而使得二次函数在点P处恒成立。

方法二:利用图像法求解当要求二次函数在点P处恒成立时,我们可以通过图像法求解。

具体来说,我们可以将抛物线或二次函数绘制在平面直角坐标系中,然后找到点P和该函数的图像之间的交点,该交点的横坐标就是要求出的k(x-g)的值。

假设我们已经找到了与二次函数在点P处的交点C,该交点的横坐标为c。

那么,我们可以将点P的坐标代入一次函数f(x) = ax^2 + bx + c中,得到:ax^2 + bx + c = ax^2 + bx + c - 2gh将ax^2 + bx + c - 2gh代入上式中,得到:ax^2 + bx + c = ax^2 + bx + c + 2gh化简后得到:2a = 0因此,a = 0。

二次函数 【2 】恒成立问题2016年8月东莞莞美黉舍一.恒成立问题的根本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ,（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ; （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a . 类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或, ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切.类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切二.恒成立问题常见的解题策略： 策略一：应用二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ; （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例1.若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R,求m 的规模.解析：要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m,所以要评论辩论m-1是否是0.（1）当m-1=0时,不等式化为2>0恒成立,知足题意;（2）01≠-m 时,只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ,所以,)9,1[∈m . 策略二:应用函数的最值（或值域）（1）m x f ≥)(对随意率性x 都成立m x f ≥⇔min )(;（2）m x f ≤)(对随意率性x 都成立max )(x f m ≥⇔.简略计作：“大的大于最大的,小的小于最小的”.由此看出,本类问题本质上是一类求函数的最值问题.例2.已知a ax x x f -++=3)(2,若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立,求a 的取值规模.解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于随意率性2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立⇔2)(],2,2[m in≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-237)2()(22m in a f x f a或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222m in a a a f x f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ,即a 的取值规模为]222,5[+--. 策略三：应用零点散布例3.已知a ax x x f -++=3)(2,若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立,求a 的取值规模.解析 本题可以斟酌f (x )的零点散布情形进行分类评论辩论,分无零点.零点在区间的左侧.零点在区间的右侧三种情形,即Δ≤0或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0)2(0)2(220f f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0)2(0)2(220f f a ,即a 的取值规模为[-7,2].点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以斟酌函数的零点散布情形,请求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了.变式：设22)(2+-=mx x x f ,当),1[+∞-∈x 时,m x f ≥)(恒成立,求实数m 的取值规模. 2当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时,0)(>x F 显然成立; 当0≥∆时,如图,0)(≥x F 恒成立的充要前提为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m .综上可得实数m 的取值规模为)1,3[-. 策略四：分别参数法若所给的不等式能经由过程恒等变形使参数与主元分别于不等式两头,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数规模.这种方法本质也照样求最值,但它思绪更清楚,操作性更强.一般地有：1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔ 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔例4.函数),1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f ,若对随意率性),1[+∞∈x ,0)(>x f 恒成立,求实数a 的取值规模.解：若对随意率性),1[+∞∈x ,0)(>x f 恒成立,即对),1[+∞∈x ,02)(2>++=xax x x f 恒成立, 斟酌到不等式的分母),1[+∞∈x ,只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立,只要x x a 22-->在),1[+∞∈x 时恒成立.而易求得二次函数x x x h 2)(2--=在),1[+∞上的最大值为3-,所以3->a .变式：已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立,求实数a 的取值规模.解： 将问题转化为xx x a 24-<对]4,0(∈x 恒成立.令xx x x g 24)(-=,则min )(x g a <由144)(2-=-=xxx x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数,故0)4()(min ==g x g ∴0<a 即a 的取值规模为)0,(-∞.注：分别参数后,偏向明白,思绪清楚能使问题顺遂得到解决. 策略五：肯定主元在给出的含有两个变量的不等式中,学生习惯把变量x 算作是主元（未知数）,而把另一个变量a 算作参数,在有些问题中如许的解题进程繁琐.假如把已知取值规模的变量作为主元,把请求取值规模的变量看作参数,则可简化解题进程.例5.若不等式)1(122->-x m x 对知足22≤≤-m 的所有m 都成立,求x 的规模.解析：我们可以用转变主元的方法,将m 视为主变元,即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ,;令)12()1()(2---=x x m m f ,则22≤≤-m 时,0)(<m f 恒成立,所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ,所以x 的规模是)231,271(++-∈x 总结：应用了一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 变式：对随意率性]1,1[-∈a ,不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立,求x 的取值规模.剖析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式,但若把a 算作主元,则问题可转化为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题.解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ,则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）. 当2=x 时,可得0)(=a f ,不合题意.当2≠x 时,应有⎩⎨⎧>->0)1(0)1(f f 解之得31><x x 或.故x 的取值规模为),3()1,(+∞-∞ .策略六：消元转化例6.已知f (x )是界说在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时,若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立,求实数t的取值规模.解析 本题不等式中有三个变量,是以可以经由过程消元转化的策略,先消去一个变量,轻易证实f (x )是界说在[-1,1]上的增函数,故 f (x )在[-1,1]上的最大值为f (1)=1,则12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立⇔1212+-≤at t 对于所有的]1,1[-∈a 恒成立,即022≤-t ta 对于所有的]1,1[-∈a 恒成立,令22)(t ta a g -=,只要⎩⎨⎧≤≤-0)1(0)1(g g ,022=≥-≤∴t t t 或或．点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以依据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略,只是分别从某个侧面入手去商量不等式中参数的取值规模.事实上,这些策略不是孤立的,在具体的解题实践中,往往须要分解斟酌,灵巧应用,才能使问题得以顺遂解决. 三、巩固演习1.（1）若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞,求实数a 的取值规模;（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集,求实数a 的取值规模．解：（1）设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a（2）设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥.2. 若函数y =R 上恒成立,求m 的取值规模.剖析：该题就转化为被开方数2680mx mx m +++≥在R 上恒成立问题,并且留意对二次项系数的评论辩论.略解：要使y =R 上恒成立,即2680mx mx m +++≥在R 上恒成立.10m =时,80≥0m ∴=成立20m ≠时,()()236483210m m m m m >⎧⎪⎨∆=-+=-≤⎪⎩,01m ∴<≤ 由1,2可知,01m ≤≤3. 已知向量2(,1),(1,),a x x b x t =+=-若函数()b a x f⋅=在区间()1,1-上是增函数,求t 的取值规模.解：依界说,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则()x f 在区间()1,1-上是增函数等价于()0>'x f 在区间()1,1-上恒成立;而()0>'x f 在区间()1,1-上恒成立又等价于x x t 232->在区间()1,1-上恒成立;设()()1,1,232-∈-=x x x x g 进而()x g t >在区间()1,1-上恒成立等价于()()1,1,max -∈≥x x g t斟酌到()()1,1,232-∈-=x x x x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1上是减函数,在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31上是增函数,则()()51max =-=g x g .于是, t 的取值规模是5≥t .4. 已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax '=+-=--,个中()'f x 是()f x 的导函数.对知足11a -≤≤的一切a 的值,都有()0g x <,求实数x 的取值规模;解法1.由题意()2335g x x ax a =-+-,这一问表面上是一个给出参数a 的规模,解不等式()0g x <的问题,现实上,把认为x 变量的函数()g x ,改为认为a 变量的函数,就转化为不等式的恒成立的问题,即令()()2335a x a x ϕ=-+-,()11a -≤≤,则对11a -≤≤,恒有()0g x <,即()0a ϕ<,从而转化为对11a -≤≤,()0a ϕ<恒成立,又由()a ϕ是a 的一次函数,因而是一个单调函数,它的最值在界说域的端点得到.为此只需()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320,380.x x x x ⎧--<⎨+-<⎩解得213x -<<.故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,对知足11a -≤≤的一切a 的值,都有()0g x <.解法2.斟酌不等式()23350g x x ax a =-+-<.由11a -≤≤知,236600a a ∆=-+>,于是,不等式的解为66a a x <<.但是,这个成果是不准确的,因为没有斟酌a 的前提,还应进一步完美.为此,设()(),66a a g a h a +==.不等式化为()(),11g a x h a a <<-≤≤恒成立,即()()max min ,11g a x h a a <<-≤≤.因为()6a g a =在11a -≤≤上是增函数,则()()max 213g a g ==-,()6a h a +=在11a -≤≤上是减函数,则()()min 1 1.h a h ==所以, 213x -<<.故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,对知足11a -≤≤的一切a 的值,都有()0g x <.5. 若对随意率性的实数x ,2sin 2cos 220x k x k +--<恒成立,求k 的取值规模. 解法一：原不等式化为2cos 2cos 210x k x k -++>令cos t x =,则1t ≤,即()222()22121f t t kt k t k k k =-++=--++在[]1,1t ∈-上恒大于0.⑴若1k <-,要使()0f t >,即(1)0f ->,12k >-k ∴不消失⑵若11k -≤≤,若使()0f t >,即2()210f k k k =-++>11k ∴<<11k ≤ ⑶若1k >,要使()0f t >,即(1)0f >,1k >由⑴,⑵,⑶可知,1k ∴>解法二：2()2210f t t kt k =-++>,在[]1,1-上恒成立.⑴221011k k k ∆=--<∴<<+⑵2210(1)0(1)011k k f f k k ⎧∆=--≥⎪>⎪⎨-<⎪⎪><-⎩或1k ∴≥+由⑴,⑵可知,1k >6. 已知函数2()10f x x ax =++≥对于一切1(0,]2x ∈成立,求a 的取值规模.7. 已知函数2()4f x x x m =-≥对于(0,1]x ∈恒成立,,求m 的取值规模.8. 若不等式2296260x ax a a -+--≥在1133x -≤≤内恒成立,求a 的取值规模.9.已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的界说域为R,求实数a 的取值规模. 解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立,即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或.所以实数a 的取值规模为),31()1,(+∞--∞ . 10.已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,若对随意率性[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,试肯定a 的取值规模.解：依据题意得：21ax x+->在[)2,x ∈+∞上恒成立,即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立, 设()23f x x x =-+,则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时,()max 2f x = 所以2a >11.已知(],1x ∈-∞时,不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立,求a 的取值规模. 解：令2x t =,(],1x ∈-∞(]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t+-<, 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立,只须求出()21t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可. ()22211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()()min 324f t f ∴==234a a ∴-<1322a ∴-<<。

二次函数恒创造问题之阳早格格创做2016年8月东莞莞好书院一、恒创造问题的基础典型：典型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒创造00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒创造00<∆<⇔且a .典型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒创造⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒创造⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒创造⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒创造⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 典型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切. 典型4：二、恒创造问题罕睹的解题战术：战术一：利用二次函数的判别式对付于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒创造00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒创造00<∆<⇔且a02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，供m 的范畴.剖析：要念应用上头的论断，便得包管是二次的，才有判别式，然而二次项系数含有参数m ，所以要计划m-1是可是0.（1）当m-1=0时，不等式化为2>0恒创造，谦脚题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m .战术二:利用函数的最值（或者值域）（1）m x f ≥)(对付任性x 皆创造m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对付任性x 皆创造max )(x f m ≥⇔.简朴计做：“大的大于最大的，小的小于最小的”.由此瞅出，本类问题真量上是一类供函数的最值问题.例2.已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒创造，供a 的与值范畴. 剖析 本题不妨化归为供函数f (x )正在关区间上的最值问题,只消对付于任性2)(],2,2[min ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒创造⇔2)(],2,2[min ≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-237)2()(22min a f x f a 或者⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222min a a a f x f a 或者⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22min a f x f a ，即a 的与值范畴为]222,5[+--.战术三：利用整面分散例3.已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒创造，供a 的与值范畴.剖析 本题不妨思量f (x )的整面分散情况举止分类计划，分无整面、整面正在区间的左侧、整面正在区间的左侧三种情况，即Δ≤0或者⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0)2(0)2(220f f a 或者⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0)2(0)2(220f f a ，即a 的与值范畴为[-7，2].面评 对付于含参数的函数正在关区间上函数值恒大于等于整的问题,不妨思量函数的整面分散情况,央供对付应关区间上函数图象正在x 轴的上圆或者正在x 轴上便止了.变式：设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒创造，供真数m 的与值范畴. 解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，(x F 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒创造的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m .综上可得真数m 的与值范畴为)1,3[-. 战术四：分散参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分散于不等式二端，从而问题转移为供主元函数的最值，从而供出参数范畴.那种要领真量也仍旧供最值，然而它思路更浑晰，支配性更强.普遍天有：1）为参数）a a g x f )(()(<恒创造max )()(x f a g >⇔ 2）为参数）a a g x f )(()(>恒创造max )()(x f a g <⇔),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f ，若对付任性),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒创造，供真数a 的与值范畴.解：若对付任性),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒创造，即对付),1[+∞∈x ，02)(2>++=xa x x x f 恒创造， 思量到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 正在),1[+∞∈x 时恒创造而得022>++a x x 正在),1[+∞∈x 时恒创造，只消x x a 22-->正在),1[+∞∈x 时恒创造.而易供得二次函数x x x h 2)(2--=正在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a . 变式：已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒创造，供真数a 的与值范畴.解： 将问题转移为x x x a 24-<对付]4,0(∈x 恒创造. 令x x x x g 24)(-=，则min )(x g a < 由144)(2-=-=x xx x x g 可知)(x g 正在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g∴0<a 即a 的与值范畴为)0,(-∞.注：分散参数后，目标精确，思路浑晰能使问题成功得到办理. 战术五：决定主元正在给出的含有二个变量的不等式中，教死习惯把变量x 瞅成是主元（已知数），而把另一个变量a 瞅成参数，正在有些问题中那样的解题历程烦琐.如果把已知与值范畴的变量动做主元，把央供与值范畴的变量瞅做参数，则可简弥合题历程.)1(122->-x m x 对付谦脚22≤≤-m 的所有m 皆创造，供x 的范畴.剖析：咱们不妨用改变主元的办法，将m 视为主变元，将要元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒创造，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范畴是)231,271(++-∈x 归纳：利用了一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：变式：对付任性]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒创造，供x 的与值范畴.分解：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，然而若把a 瞅成主元，则问题可转移为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 正在]1,1[-∈a 上恒创造的问题.解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则本问题转移为0)(>a f 恒创造（]1,1[-∈a ）.当2=x 时，可得0)(=a f ，分歧题意.当2≠x 时，应有⎩⎨⎧>->0)1(0)1(f f 解之得31><x x 或.故x 的与值范畴为),3()1,(+∞-∞ .战术六：消元转移例6.已知f (x )是定义正在[-1,1]上的偶函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对付于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒创造，供真数t 的与值范畴.剖析 本题不等式中有三个变量，果此不妨通过消元转移的战术，先消来一个变量，简单说明f (x )是定义正在[-1,1]上的删函数,故 f (x )正在[-1,1]上的最大值为f (1)=1,则12)(2+-≤at t x f 对付于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒创造⇔1212+-≤at t 对付于所有的]1,1[-∈a 恒创造，即022≤-t ta 对付于所有的]1,1[-∈a 恒创造，令22)(t ta a g -=，只消⎩⎨⎧≤≤-0)1(0)1(g g ，022=≥-≤∴t t t 或或． 面评 对付于含有二个以上变量的不等式恒创造问题,不妨根据题意依次举止消元转移,从而转移为只含有二变量的不等式问题,使问题得到办理.以上介绍的几种罕睹不等式恒创造问题的供解战术，不过分别从某个正里进脚来探讨不等式中参数的与值范畴.究竟上，那些战术不是孤坐的，正在简直的解题试验中，往往需要概括思量，机动使用，才搞使问题得以成功办理.三、坚韧训练1.（1）若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，供真数a 的与值范畴；（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，供真数a 的与值范畴．解：（1）设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 正在()+∞∞-,上恒创造()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a（2）设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 正在()+∞∞-,上能创造()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或者2a ≥. 2. 若函数y =R 上恒创造，供m 的与值范畴. 分解：该题便转移为被启圆数2680mx mx m +++≥正在R 上恒创造问题，而且注意对付二次项系数的计划. 略解：要使y =R 上恒创造，即2680mx mx m +++≥正在R 上恒创造. 10m =时，80≥0m ∴=创造 20m ≠时，()()2036483210m m m m m >⎧⎪⎨∆=-+=-≤⎪⎩，01m ∴<≤ 由1，2可知，01m ≤≤3. 已知背量2(,1),(1,),a x x b x t =+=-若函数()b a x f ⋅=正在区间()1,1-上是删函数，供t 的与值范畴.解：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-= .23)(2t x x x f ++-='则()x f 正在区间()1,1-上是删函数等价于()0>'x f 正在区间()1,1-上恒创造;而()0>'x f 正在区间()1,1-上恒创造又等价于x x t 232->正在区间()1,1-上恒创造;设()()1,1,232-∈-=x x x x g 从而()x g t >正在区间()1,1-上恒创造等价于()()1,1,max -∈≥x x g t思量到()()1,1,232-∈-=x x x x g 正在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1上是减函数,正在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31上是删函数,则()()51max =-=g x g .于是, t 的与值范畴是5≥t .4. 已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax '=+-=--，其中()'f x 是()f x 的导函数.对付谦脚11a -≤≤的十足a 的值，皆有()0g x <，供真数x 的与值范畴； 解法1.由题意()2335g x x ax a =-+-，那一问表面上是一个给出参数a 的范畴，解不等式()0g x <的问题，本量上，把以x 为变量的函数()g x ，改为以a 为变量的函数，便转移为不等式的恒创造的问题，即 令()()2335a x a x ϕ=-+-，()11a -≤≤，则对付11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，从而转移为对付11a -≤≤，()0a ϕ<恒创造，又由()a ϕ是a 的一次函数，只需()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320,380.x x x x ⎧--<⎨+-<⎩解得213x -<<.故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对付谦脚11a -≤≤的十足a 的值，皆有()0g x <. ()23350g x x ax a =-+-<.由11a -≤≤知,236600a a ∆=-+>,于是,不等式的解为 223660366066a a a a a a x -+-+<<. 然而是,那个截止是不精确的,果为不思量a 的条件,还应进一步完备.为此,设()()2236603660a a a a a a g a h a --++-+==. 不等式化为()(),11g a x h a a <<-≤≤恒创造,即()()max min ,11g a x h a a <<-≤≤.由于()23660a a a g a --+=正在11a -≤≤上是删函数,则()()max 213g a g ==-,()6a h a +=正在11a -≤≤上是减函数,则()()min 1 1.h a h ==所以, 213x -<<. 故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对付谦脚11a -≤≤的十足a 的值，皆有()0g x <. 5. 若对付任性的真数x ，2sin 2cos 220x k x k +--<恒创造，供k 的与值范畴. 解法一：本不等式化为2cos 2cos 210x k x k -++> 令cos t x =，则1t≤，即()222()22121f t t kt k t k k k =-++=--++正在[]1,1t ∈-上恒大于0.⑴若1k <-，要使()0f t >，即(1)0f ->，12k >-k ∴不存留 ⑵若11k -≤≤，若使()0f t >，即2()210f k k k =-++>11k ∴<<11k <≤ ⑶若1k >，要使()0f t >，即(1)0f >，1k >由⑴，⑵，⑶可知，1k ∴> 解法二：2()2210f t t kt k =-++>，正在[]1,1-上恒创造.⑴221011k k k ∆=--<∴<<⑵2210(1)0(1)011k k f f k k ⎧∆=--≥⎪>⎪⎨-<⎪⎪><-⎩或1k ∴≥由⑴，⑵可知，1k >6. 已知函数2()10f x x ax =++≥对付于十足1(0,]2x ∈创造，供a 的与值范畴.7. 已知函数2()4f x x x m =-≥对付于(0,1]x ∈恒创造，，供m 的与值范畴.8. 若不等式2296260x ax a a -+--≥正在1133x -≤≤内恒创造，供a 的与值范畴.])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，供真数a 的与值范畴. 解：由题设可将问题转移为不等式0)1(22>+-+a x a x 对付R x ∈恒创造，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或.所以真数a 的与值范畴为),31()1,(+∞--∞ . ()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对付任性[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试决定a 的与值范畴. 解：根据题意得：21a x x+->正在[)2,x ∈+∞上恒创造，即：23a x x >-+正在[)2,x ∈+∞上恒创造，设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > (],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒创造，供a 的与值范畴. 解：令2x t =，(],1x ∈-∞(]0,2t ∴∈ 所以本不等式可化为：221t a a t +-<， 要使上式正在(]0,2t ∈上恒创造，只须供出()21t f t t +=正在(]0,2t ∈上的最小值即可.。

二次函数的恒成立问题例 (1)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解 由题意知2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，符合题意，a ∈R ；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16， 因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 所以当x ＝1时，不等号右边式子取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. (2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则实数a 的最大值为．答案 2解 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2， 又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.(3)(2019·九江调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是． 答案 (－∞，－2)解 由题意知f (x )在R 上是增函数，结合f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，知－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立，∴mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒ m ∈(－∞，－2)．素养提升逻辑推理是指从一些事实命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的思维过程，逻辑推理也是我们解决数学问题最常用、最重要的手段．二次函数的恒成立问题的求解中处处渗透了逻辑推理，此类题目可帮助我们养成严谨、缜密的思维习惯.。

解题方法系列③——与二次函数相关的恒成立问题素养解读：二次函数恒成立问题涉及的知识较广，是学习中的一个难点，下面我们把它的常用类型及破解方法归纳如下表：【典例】 (1)已知函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－ax ＋1a .若函数的定义域为R ，则实数a的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．[切入点] 转化为二次函数恒成立问题． [关键点] 借助恰当的方法求出参数的取值范围．[规范解答] (1)(判别式法)∵a ≠0，函数的定义域为R ，则ax 2－ax ＋1a >0恒成立，∴⎩⎨⎧a >0，Δ＝(－a )2－4a ·1a <0，解得0<a <2.∴实数a 的取值范围是(0,2)．(2)解法一：(分类讨论法)当a >0时，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋2－1a ，由f (x )>0，x ∈(1,4)得⎩⎨⎧1a ≤1，f (1)＝a －2＋2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧1<1a <4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2－1a >0或⎩⎨⎧1a ≥4，f (4)＝16a －8＋2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ 14<a <1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤14，a ≥38，所以a ≥1或12<a <1或∅，即a >12；当a <0时，f (4)＝16a －8＋2≥0，解得a ∈∅；当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，因为f (1)＝0，f (4)＝－6，所以不符合题意．综上可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.解法二：(分离参数法)由f (x )>0，即ax 2－2x ＋2>0，x ∈(1,4)，得a >－2x 2＋2x 在(1,4)上恒成立．令g (x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，因为1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，所以g (x )max＝g (2)＝12，所以要使f (x )>0在(1,4)上恒成立，只要a >12即可，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.[答案] (1)(0,2) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞由不等式恒成立求参数取值范围一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，分类讨论．两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .1．(2019·温州十校联考)已知函数f (x )＝x －m x ＋5，当1≤x ≤9时，f (x )>1有解，则实数m 的取值范围为( )A ．m <133 B ．m <5 C ．m <4D ．m ≤5[解析] 令t ＝x ，则当1≤t ≤3时，g (t )＝t 2－mt ＋5>1有解，即m <t ＋4t 在1≤t ≤3时有解．因为函数u ＝t ＋4t 在区间[1,2]上是减函数，在区间[2,3]上是增函数，且u ＝t ＋4t ∈[4,5]，所以只需m <5.故选B.[答案] B2．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] 由条件有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ·m －1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，化简得⎩⎨⎧m 2<12，2m 2＋3m <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－22<m <22，－32<m <0，所以－22<m <0.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0。