二次函数恒成立问题

二次函数恒成立问题的方法二次函数恒成立问题是指对于任意实数x,都存在一个正实数a和正整数b,使得以下的二次函数f(x)满足以下条件:1. f(a) = 02. f(b) = 03. f(x)在区间[a,b]上连续。

下面介绍几种解决二次函数恒成立问题的方法:方法一:利用函数图像如果我们能够画出二次函数f(x)的图像,那么我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x 取何值时,函数f(x)恒成立。

具体而言,我们可以通过观察图像来确定二次函数f(x)在区间[a,b]上的取值,并检查是否满足条件1、2、3。

方法二:利用配方和边界条件我们可以使用二次函数的配方来解决这个问题。

设二次函数f(x)的顶点坐标为c(c<0),则有f(x) = (x-c)(x-c-1)。

我们可以使用这个配方来检查当x取何值时,函数f(x)是否恒成立。

具体而言,我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

方法三:利用函数性质我们还可以通过函数的性质来解决这个问题。

例如,我们可以利用二次函数的对称性来检查当x取何值时,函数f(x)是否恒成立。

具体而言,我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

方法四:利用数学软件如果我们想要更加高效地解决二次函数恒成立问题,可以使用数学软件。

例如,我们可以使用MATLAB或其他数学软件来检查二次函数f(x)是否满足条件1、2、3。

通过使用软件,我们可以快速地画出函数图像,并检查函数的取值是否满足条件。

以上就是几种解决二次函数恒成立问题的方法,这些方法各有优缺点,我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决该问题。

二次函数恒成立问题洋葱数学摘要：I.二次函数的定义和性质- 二次函数的定义- 二次函数的图象和性质II.二次函数恒成立问题的类型- 二次函数恒成立问题的定义- 常见二次函数恒成立问题的类型III.解决二次函数恒成立问题的方法- 判别式法- 韦达定理法- 完全平方公式法IV.二次函数恒成立问题的应用- 二次函数恒成立问题在实际生活中的应用- 二次函数恒成立问题在考试中的常见题型和解题技巧正文：二次函数是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

洋葱数学为我们提供了一种解决二次函数恒成立问题的方法。

首先，我们需要了解二次函数的定义和性质。

二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c 是常数，且a 不等于0。

二次函数的图象是一个抛物线，其性质包括开口方向、对称轴、顶点等。

其次，我们需要了解二次函数恒成立问题的类型。

二次函数恒成立问题是指在一定的条件下，二次函数的值恒为某个常数。

常见的问题类型包括二次函数的值恒为正、恒为负、恒为零等。

解决二次函数恒成立问题的方法有多种，其中最常用的方法是判别式法。

判别式法是根据二次函数的判别式Δ= b^2 - 4ac 来判断二次函数的值是否恒为某个常数。

当Δ > 0 时，二次函数的值恒为正；当Δ < 0 时，二次函数的值恒为负；当Δ = 0 时，二次函数的值恒为零。

另外，韦达定理法和完全平方公式法也是解决二次函数恒成立问题的常用方法。

韦达定理法是利用二次函数的韦达定理来求解二次函数的值；完全平方公式法是将二次函数化为完全平方的形式，从而求解二次函数的值。

二次函数恒成立问题在实际生活中有着广泛的应用，如物理、化学、工程等领域。

在考试中，二次函数恒成立问题也是常见题型，掌握解决二次函数恒成立问题的方法和技巧，对于提高数学成绩具有重要意义。

1 / 13二次函数型 的恒成立与有解题型归纳一、知识点形如()()()2g x a f x bf x c =++⎡⎤⎣⎦的函数称为二次型函数，与二次型函数有关的恒成立或有解问题一般利用二次函数的性质求解.二、例题赏析(一)一元二次不等式在R 上的恒成立或有解问题 对于二次函数)0(0)(2≠>++=a c bx ax x f 有：1.R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；2.R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a . 基本题型：【例】 若不等式2kx 2+kx −38<0对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为 A ．(−3,0) B ．(−3,0]C ．(−∞,0]D ．(−∞,−3)∪[0,+∞)【详解】当k =0时，原不等式可化为−38<0，对x ∈R 恒成立；当k ≠0时，原不等式恒成立，需{2k <0Δ=k 2−4×2k ×(−38)<0 ，解得k ∈(−3,0)，综上k ∈(−3,0].故选B.【变式训练】 若关于x 的不等式221)(1)201k x k x x x -+-+>++（的解集为R ，则k 的范围为____________． 【详解】因为22131024⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭x x x ，所以221)(1)201k x k x x x -+-+>++（等价于21)(1)20（-+-+>k x k x 恒成立，当1k =时，20>成立，当1k ≠时，则()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩ ，解得19k << ， 综上：19k ≤<.故答案为：19k ≤<.2 / 13【变式训练】 若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)【解析】∵2kx 2＋kx －38<0为一元二次不等式，∴k ≠0，又2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有200k <⎧⎨∆<⎩，解得－3<k <0. 【变式训练】若函数22log (28)y kx kx =-+的定义域为一切实数，则实数k 的取值范围为____________． 【详解】因为函数22log (28)y kx kx =-+的定义域为一切R ，等价于228kx kx -+>0，对任意的实数x 恒成立.当0k =时，80>，符合条件.当0k ≠时，2084320k k k k >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩.综上08k ≤<. (二) 一元二次不等式在给定区间上的恒成立或有解问题 设（1）当时，上恒成立 上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立 类型一：构造二次函数分类讨论【例】设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 【分析】本题可转化为二次函数在闭区间上的最值，也可以通过分类参数求解. 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：2()(0).f x ax bx c a =++≠0>a ],[0)(βα∈>x x f 在,222()00()0.b b ba a af f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或],[0)(βα∈<x x f 在()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩0<a ],[0)(βα∈>x x f 在()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或3 / 13令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． （1）当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；（2）当m ＝0时，－6<0恒成立；（3）当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是{m |m <67}．【变式训练】已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意；当m ≠0时，f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即00m <⎧⎨∆<⎩，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知，不存在这样的m . 类型二：分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式； （2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或) ，得的取值范围．【例】 已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围为______. 【详解】()()3221143432f x x mx x f x x mx '=-+-∴=-+Q ，因为函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，所以240x mx -+≥在区间[]1,2上恒成立，即min 4(),[1,2]m x x x≤+∈,因为(),0f x λ≥D x ∈λλ()()g f x λ≥()()g f x λ≤()f x x D ∈()max ()g f x λ≥()()min g f x λ≤λ4 / 134y x x =+≥，当且仅当2x =时取等号，所以4y x x =+最小值为4，即4m ≤，故答案为：4m ≤ 【变式训练】已知()22xxf x -=-，若不等式()()230f x ax a f -++>对任意实数[]2,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【详解】1()2222xxx x f x -=-=-，因为2xy =与12xy =-均为实数集上的增函数， 所以()f x 为实数集上的增函数，又()22()x xf x f x --=-=-，所以()f x 为实数集上的奇函数，由不等式2()(3)0f x ax a f -++>对任意实数[2,3]x ∈恒成立， 得2()(3)(3)f x ax a f f -+>-=-对任意实数[2,3]x ∈恒成立， 则23x ax a -+>-，即2(1)3x a x -<+在[2,3]x ∈时恒成立，得223(1)2(1)44(1)2111x x x a x x x x +-+-+<==-++---，因为函数4(1)21u x x =-++-在[2,3]上单调递减， 所以4(1)21u x x =-++-的最小值为2226++=，所以6a <， 所以a 的取值范围是(,6)-∞，故答案为：(,6)-∞. 类型三：主参换位——反客为主法【例】（2020·上海中学高一期中）已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________. 【答案】3(3,)2-【解析】因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0(1)0≤-⎨≤⎧⎩f f ，即2242(2)21042(2)210----+≤+---+≤⎧⎨⎩p p p p p p ，整理得222390210+-≥-⎧⎩-⎨≥p p p p ，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.5 / 13【变式训练】已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．【解析】由题意可得()0f x <对于[,1]x m m ∈+上恒成立，即22()210(1)230f m m f m m m ⎧=-<⎨+=+<⎩，解得0m <<． 【变式训练】对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围． 【解析】由f(x)＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 则原问题转化为关于m 的一次函数问题．由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x<1或x>3. 故当x 的取值范围是(－∞，1)∴(3，＋∞)时，对任意的m∴[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零． (三) ()()20a f x bf x c ++>⎡⎤⎣⎦ 恒成立问题形如()()20a f x bf x c ++>⎡⎤⎣⎦的不等式恒成立问题，可设()t f x =，转化为一元二次不等式，但要注意()t f x =的范围.【例】（2019·湖南茶陵三中高一期中）函数12()2x x m f x n+-=+是R 上的奇函数，m 、n 是常数.（1）求m ，n 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明； （3）不等式()()33920xxx f k f ⋅+--<对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围.【分析】（1）依题意()f x 时R 上的奇函数，则采用特殊值法，(0)0(1)(1)f f f =⎧⎨-=-⎩即可求出参数的值；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可； （3）根据函数的奇偶性和单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，即()23(1)320xx k -+⋅+>对任意R x ∈恒成立，令3(0)x t t =>，即2(1)20t k t -++>，对0t >恒成立，令2()(1)2g t t k t =-++，根据二次函数的性质分析可得；,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(<x f m6 / 13【详解】（1）∴12()2x x mf x n +-=+是R 上的奇函数，∴(0)0(1)(1)f f f =⎧⎨-=-⎩∴12m n =⎧⎨=⎩ ∴12111()22221x x xf x +-==-++. （2）()f x 在R 上递增证明：设12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()121212121111222212212121x x x x x x f x f x --=--+=++++，∴12x x <∴12220x x -<又1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 是R 上的增函数.（3）由题意得：()()()3392932xxx x x f k f f ⋅<---=-+对任意x ∈R 恒成立又()f x 是R 上的增函数，∴3932x x x k ⋅<-+即()23(1)320xx k -+⋅+>对任意x ∈R 恒成立，令3(0)xt t =>，即2(1)20t k t -++>，对0t >恒成立，令2()(1)2g t t k t =-++，对称轴为12k t +=， （1）当102k +≤即1k ≤-时，()g t 在(0,)+∞为增函数，∴()(0)20g t g >=>成立，∴1k ≤-符合， （2）当102k +>即1k >-时，()g t 在10,2k +⎛⎫ ⎪⎝⎭为减，1,2k +⎛⎫+∞⎪⎝⎭为增， ∴22min 1(1)(1)()20242k k k g t g +++⎛⎫==-+> ⎪⎝⎭，解得11k -<<，∴11k -<<. 综上实数k的取值范围为1k <.【变式训练】若关于x 的不等式cos2sin 0x x a ++<恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【分析】把不等式转化为关于sin x 的一元二次不等式.【解析】2211cos 2sin 12sin sin 2sin 48x x a x x a x a ⎛⎫++=-++=--++ ⎪⎝⎭，当1sin 4x =时cos2sin x x a ++取得最小值18a +，所以实数a 的取值范围是1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.7 / 13【变式训练】设b ∈R ，若函数f (x )=4x −2x+1+b 在[−1,1]上的最大值是3，则其在[−1,1]上的最小值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．−1【解析】f (x )=4x −2x+1+b =(2x )2−2⋅2x +b.设2x =t,则f (x )=t 2−2t +b =(t −1)2+b −1. 因为x ∈[−1,1],所以t ∈[12,2].当t =1时，f (x )min =f (1)=b −1；当t =2时，f (x )max =3，即1+b −1=3,b =3.于是f (x )min =2.故选A. （四）、其它函数：对于二次函数)0(0)(2≠>++=a c bx ax x f 有： （1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立； （2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立；（3）恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）．【例】 不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 【分析】根据二次不等式的恒成立问题,先求解不等式左边的最小值,再求解二次不等式即可.【详解】因为()2225144x x x -+=-+≥,故243a a ≥-恒成立.即()()2340140a a a a --≤⇒+-≤,解得14a -≤≤.实数a 的取值范围为[]1,4-.故答案为：[]1,4-【例】（2019·甘肃高二期末（理））若关于x 的不等式24x x m -≥对任意[0,1]x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【解析】设24,24y x x y x '=-=-,令0y '=,得 2.x =∴24y x x =-在(),2-∞上是减函数，即在[]0,1x ∈上也是减函数，2min 143,3y m ∴=-=-∴≤-.【变式训练】【2019天津市和平区高三第二次质量调查】若不等式−x 2+2x +3≤21−3a 对任意实数x 都成立,则实数a 的最大值为________.【解析】设f(x)=−x 2+2x +3,不等式−x 2+2x +3≤21−3a 对任意实数x 都成立，只需满足f(x)max ≤()0f x >⇔min ()0f x >()f x ()0f x >⇔()f x ()0f x <⇔max ()0f x <()f x ()0f x <⇔()f x8 / 1321−3a ，即可.f(x)=−x 2+2x +3=−(x −1)2+4⇒f(x)max =4,所以有 4≤21−3a ⇒a ≤−13,因此实数a 的最大值为−13.三、跟踪训练1、（2020·福建厦门高二月考（理））已知函数3211()4332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数,实数m 的取值范围为( )A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．4m <D ．4m ≤【分析】求出3211()4332f x x mx x =-+-导函数,利用函数的单调性,推出4m x x ≤+不等式,利用基本不等式求解函数的最值,即可求得答案. 【详解】Q 函数3211()4332f x x mx x =-+-,∴2()4f x x mx '=-+, Q 函数3211()4332f x x mx x =-+-在区间上[1,2]是增函数,可得240x mx -+≥,在区间上[1,2]恒成立, 即:4,m x x ≤+在区间上[1,2]恒成立，Q 44x x +≥=,当且仅当2x =时取等号,可得4m ≤. 2．己知f(x)=x 2+2x +1+a ，∀x ∈R ，f(f(x))≥0恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[√5−12,+∞] B ．[√5−32,+∞] C ．[−1,+∞) D ．[0,+∞)【解析】设t =f(x)=(x +1)2+a ≥a ，∴f(t)≥0对任意t ≥a 恒成立，即(t +1)2+a ≥0对任意t ∈[a,+∞)都成立，当a ≤−1时f(t)min =f(−1)=a ，则a +a ≥0即a ≥0与讨论a ≤−1矛盾，当a >−1时，f(t)min =f(a)=a 2+3a +1，则a 2+3a +1≥0，解得a ≥√5−32，故选B ．3、若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．(),1-∞ C ．(],2-∞ D ．(),2-∞【解析】【分析】求()2f'x 6x 6mx 6=-+，根据题意可知()f'x 0≥在()1,∞+上恒成立，可设()2g x 6x 6mx 6=-+，法一：讨论V 的取值，从而判断()g x 0≥是否在()1,∞+上恒成立：0≤V 时，容易求出2m 2-≤≤，显然满足()g x 0≥；0V >时，得到关于m 的不等式组，这样求出m 的范围，和前面求出的m 范围求并集即可，法二：分离参数，求出m 的范围即可．9 / 13【详解】()2f'x 6x 6mx 6=-+；由已知条件知()x 1,∞∈+时，()f'x 0≥恒成立；设()2g x 6x 6mx 6=-+，则()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；法一：()1若()236m 40=-≤V ，即2m 2-≤≤，满足()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；()2若()236m 40=->V ，即m 2<-，或m 2>，则需()m 121660g m ⎧<⎪⎨⎪=-≥⎩解得m 2≤； m 2∴<-，∴综上得m 2≤， ∴实数m 的取值范围是(],2∞-；法二：问题转化为1m x x ≤+在()1,∞+恒成立，而函数1y x 2x=+≥，故m 2≤；故选C ． 4、已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．－1<b <0 B ．b >2 C ．b <－1或b >2D ．不能确定【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2.，由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.5．已知f (x )=m (x −2m )(x +m +3)，g (x )=4x −2，若对任意x ∈R ,f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是（ ）A ．(−72,+∞) B ．(−∞,14) C ．(−72,0) D ．(0,14) 【解析】∴g （x ）＝4x ﹣2，当x<12时,g (x )<0恒成立，当x ≥12时，g （x ）≥0，又∴∴x ∴R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0，∴f （x ）＝m （x ﹣2m ）（x +m +3）＜0在x ≥12时恒成立，即m （x ﹣2m ）（x +m +3）＜0在x ≥12时恒成立， 则二次函数y ＝m （x ﹣2m ）（x +m +3）图象开口只能向下，且与x 轴交点都在（12，0）的左侧，10 / 13∴{ m ＜0−m −3＜122m ＜12 ，即{m ＜0m ＞−72m ＜14 ，解得−72＜m ＜0，∴实数m 的取值范围是：（−72，0）．故选C ． 6．【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】已知平面向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=2，|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，若对于任意实数k ，不等式|ka ⃑+tb ⃑⃑|>1恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−√3)∪(√3,+∞) B ．(−∞,−√33)∪(√33,+∞) C ．(√3,+∞) D ．(√33,+∞) 【解析】设向量a →，b →的夹角为θ，|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=2，|a ⃑−b⃑⃑|=√7， 则（a ⃑−b ⃑⃑）2=a ⃑2+b ⃑⃑2−2a ⃑∙b ⃑⃑=1+4-2×1×2×cosθ=7，∴cosθ=−12，∴θ=120°，∴a ⃑∙b⃑⃑=−1, 又|ka ⃑+tb ⃑⃑|>1，∴（ka ⃑+tb ⃑⃑）2>1，即k 2a ⃑2+t 2b ⃑⃑2+2kta ⃑∙b ⃑⃑=k 2+4t 2−2kt >1对于任意实数k 恒成立，∴k 2−2kt +4t 2−1>0对于任意实数k 恒成立，∴∆=（2t ）2-4（4t 2−1）<0，∴t<−√33或t>√33，故选B ．7．【江西省宜丰中学2019届高三第二次月考】在R 上定义运算⊗：x ⊗y =x(1−y)，若不等式(x −a)⊗(x +a)<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ( )A ．−1<a <1B ．−12<a <32C ．−32<a <12D ．0<a <2【解析】根据题设新定义的运算，可得(x −a)⊗(x +a)=(x −a )(1−x −a )，所以(x −a)⊗(x +a)<1可转化为(x −a )(1−x −a )<1，即x 2−x +(1−a 2+a )>0恒成立，根据二次函数的性质可知Δ=1−4(1−a 2+a )<0，解得−12<a <32，故选B.8．【山东省滨州市2019届高三期中】若对于任意的x ＞0，不等式mx ≤x 2+2x+4恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，4]B ．（﹣∞，6]C ．[﹣2，6]D ．[6，+∞）【解析】当x ＞0时，mx ≤x 2+2x +4∴m ≤x +4x+2对任意实数x ＞0恒成立，令f （x ）＝x +4x+2，则m ≤f （x ）min ，∴f （x ）＝x +4x+2≥2√x ⋅4x+2＝6，∴m ≤6．故选B ．9．【宁夏银川一中2018届高三第二次模拟】已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则a 的取值范围是A ．[1,+∞)B ．[−1,4)C ．[−1,+∞)D ．[−1,6]11 / 13【解析】不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥yx −2(y x )2，对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，令t =yx ，则1≤t ≤3，∴a ≥t −2t 2在[1,3]上恒成立，∵y =−2t 2+t =−2(t −14)2+18，∴t =1时，y max =−1,∴a ≥−1，a 的取值范围是[−1,+∞)，故选C.10、若关于x 的二次不等式01)1(2<-+-+a x a ax 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【分析】利用a 的符号及判别式求解.【解析】由题意知，01)1(2<-+-+a x a ax 恒成立，所以⇔⎩⎨⎧<∆<00a ⎩⎨⎧<---<0)1(4)1(02a a a a ⇔⎩⎨⎧>--<012302a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<><3110a a a 或⇔31-<a . ∴a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31, 11． 不等式(acos 2x −3)sinx ≥−3对∀x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】令sin =t,−1≤t ≤1，则原函数化为g (t )=(−at 2+a −3)t ，即g (t )=−at 3+(a −3)t ， 由−at 3+(a −3)t ≥−3,−at (t 2−1)−3(t −1)≥0，(t −1)(−at (t +1)−3)≥0及t −1≤0知， −at (t +1)−3≤0，即a (t 2+t )≥−3，当t =0,−1时（1）总成立，对0<t ≤1,0<t 2+t ≤2，a ≥(−3t 2+t )max=−32；对−1<t <0，−14≤t 2+t <0，a ≤(−3t 2+t)min=12，从而可知−32≤a ≤12，故答案为[−32,12].12． 若不等式kx +3k > |x 2−4x −5|对x ∈[−1,5]恒成立，则实数k 的取值范围为______. 【解析】若不等式kx +3k > |x 2−4x −5|对x ∈[−1,5]恒成立， 则直线y =k (x +3)在y =|x 2−4x −5|， x ∈[−1,5]图象的上方，如图：联立：{y =k (x +3)y =5+4x −x2 ，可得x 2+(k −4)x +3k −5=012 / 13令∆=(k −4)2−4(3k −5)=0，k =2或18（舍去） ∴k >2，故答案为：k >213、 设函数2()2f x mx mx =--（1）若对于一切实数()0f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）若对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，求m 的取值范围.【分析】（1）由不等式220mx mx --<恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，整理得只需221xm x x >-+恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解.【详解】（1）由题意，要使不等式220mx mx --<恒成立，∴当0m =时，显然20-<成立，所以0m =时，不等式220mx mx --<恒成立；∴当0m ≠时，只需2080m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得80m -<<， 综上所述，实数m 的取值范围为(8,0]-.（2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，只需22mx mx m x -+>恒成立，只需()212m x x x -+>，又因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，只需221x m x x >-+，令222211111x y x x x x x x ===-+-++-，则只需max m y >即可，因为12x x +>=，当且仅当1x x =，即1x =时等式成立； 因为[1,3]x ∈，所以max 2y =，所以2m >.14．（2019·江苏南通一中高一期末）已知a ∴R ，函数f （x ）=x 2﹣2ax +5. （1）若a >1，且函数f （x ）的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值； （2）若不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∴[13，12]恒成立，求实数a 的取值范围. 【分析】（1）根据f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，知f （x ）在[1，a ]上单调递减，所以f （1）=a 求解即可.13 / 13（2）将不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∴[13，12]恒成立，去绝对值转化为a 2512x x -≥且a 2512x x+≤在 x ∴[13，12]恒成立，分别令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]，用二次函数求其最大值，令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]，求其最小值即可. 【详解】（1）∴f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，∴f （x ）在[1，a ]上单调递减， ∴f （1）=a ，即6﹣2a ＝a ，解得a =2..（2）不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∴[13，12]恒成立， 即x |2ax ﹣5|≤1对x ∴[13，12]恒成立， 故a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∴[13，12]恒成立，令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]，所以g （x ）max =g （25）258=， 所以258a ≥.令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]， 所以h （x ）min =h （12）=7，所以7a ≤.综上：2578a ≤≤.。

二次函数恒成立问题的方法二次函数恒成立问题是指在抛物线或二次函数的图像上,要求其对应的二次函数在该点处必须恒成立。

这个问题的解决方法有很多,下面我们将介绍其中两种常用的方法。

方法一:利用配方求解当要求二次函数在点P处恒成立时,我们可以将抛物线或二次函数进行配方,从而将其转化为一次函数的形式。

具体来说,我们可以将二次函数写成以下形式: f(x) = ax^2 + bx + c将点P的坐标代入该式中,得到:ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 + k(x-g)其中,a、b、c、h、g、k都是已知常数,而a、b、c、h、g、k中的任意一个都可以作为点P的坐标。

然后,我们只需要要求出k(x-g)的值即可。

由于k(x-g)是一个二次函数,因此我们可以将其进行配方,得到:k(x-g) = k[(x-h)^2 - 4gh]将k(x-g)代入上式中,得到:k[(x-h)^2 - 4gh] = k[(x-h)^2 - (x-g)^2 + 2gh]化简后得到:k[(x-h)^2 - (x-g)^2] = -2gh因此,如果二次函数在点P处恒成立,则-2gh必须在点P处成立。

我们可以通过对-2gh求导,得到:f"(x) = 2ax + 2b当-2gh在点P处成立时,即f"(x) = 2ax + 2b = 0时,我们才能要求出k(x-g)的值,从而使得二次函数在点P处恒成立。

方法二:利用图像法求解当要求二次函数在点P处恒成立时,我们可以通过图像法求解。

具体来说,我们可以将抛物线或二次函数绘制在平面直角坐标系中,然后找到点P和该函数的图像之间的交点,该交点的横坐标就是要求出的k(x-g)的值。

假设我们已经找到了与二次函数在点P处的交点C,该交点的横坐标为c。

那么,我们可以将点P的坐标代入一次函数f(x) = ax^2 + bx + c中,得到:ax^2 + bx + c = ax^2 + bx + c - 2gh将ax^2 + bx + c - 2gh代入上式中,得到:ax^2 + bx + c = ax^2 + bx + c + 2gh化简后得到:2a = 0因此,a = 0。

二次函数中“含参恒成立”问题求解策略二次函数是一个具有形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a$、$b$、$c$是常数，且$a\neq 0$。

在解题过程中，当给定一定的条件，要求找到使得二次函数“含参恒成立”的参数值，需要采取以下步骤。

第一步：理解含参恒成立的概念含参恒成立是指对于二次函数中的参数值，存在一个或一组满足特定条件的解使得方程恒成立。

通常来说，这些参数值可以是实数、整数或者满足特定要求的整数。

第二步：分析题目条件仔细阅读题目，分析所给条件以及问题的要求。

通常来说，问题中会涉及到函数图像的性质、方程的解的个数、方程的根的取值范围等。

第三步：确定参数的取值范围根据题目中给出的条件，确定参数的取值范围。

这方面通常包括参数的正负性质以及其他限制条件。

第四步：构建二次方程根据题目要求以及参数的取值范围，构建二次方程。

一般来说，可以通过给定条件构建出包含参数的二次方程。

第五步：解二次方程解二次方程的方法有多种，可以通过求根公式或者配方法解方程。

第六步：验证解的合法性将求得的解代入构建的二次方程中，验证是否满足题目给定的条件。

如果满足条件，则该参数取值使得二次函数“含参恒成立”。

第七步：总结答案将满足条件的参数值以及求得的二次方程的解进行总结，得出最终答案。

如果存在多个满足条件的参数值，需要将所有解都列出。

在实际解题过程中，每一步都要仔细思考、分析，并得出合理的解答。

需要注意的是，由于题目条件的不同，求解的策略也会有所差异。

因此，根据具体情况灵活运用解题策略是非常重要的。

二次函数的恒成立问题例 (1)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解 由题意知2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，符合题意，a ∈R ；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16， 因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 所以当x ＝1时，不等号右边式子取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. (2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则实数a 的最大值为．答案 2解 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2， 又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.(3)(2019·九江调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是． 答案 (－∞，－2)解 由题意知f (x )在R 上是增函数，结合f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，知－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立，∴mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒ m ∈(－∞，－2)．素养提升逻辑推理是指从一些事实命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的思维过程，逻辑推理也是我们解决数学问题最常用、最重要的手段．二次函数的恒成立问题的求解中处处渗透了逻辑推理，此类题目可帮助我们养成严谨、缜密的思维习惯.。