2014年-高等工程数学试题-工程硕士基地班-2014-03-06

中南大学专业硕士“高等工程数学Ⅰ”考试试卷（开卷）考试日期： 2014 年月日时间 100 分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题 ( 本题 24 分，每小题 3 分 )1111324（1）如果Ax b, A 161，矩阵 A 1， A，利用 Gauss-Seidel 迭253113344代法求解此方程组是否收敛；答案：953，收敛，212解析： || A ||1为列范数，等于各列绝对值之和的最大值，||A ||为行范数，等于各行绝对值之和的最大值， A 为严格对角占优矩阵，根据课本P143定理 5.4.12 知， Jacobi 和 G-S 均收敛。

（ 2）利用迭代法求解非线性方程 f ( x) 2x e x0 的根，取初值 x0 0.5 。

给出一个根的存在区间，在该区间上收敛的迭代函数为；答案： [-1 ，0] ，g( x) 1 e x2解析：1 1 xf (1)20,f(0)10 ，故在[-10]g(x)e，根据课本P93定理 4.2.32e1可知迭代函数收敛的条件：（1）在[-1,0] 上一阶导数存在；（ 2）x [1,0] ，均有 | g(x) |[-1,0]；（3）| g' ( x) |max 1 ，2 1e x在[-1,0]上收敛。

故 g( x)2（3）设事件A发生的概率为p，在 n 次重复试验中事件m np近似服A 发生次数为m，当 n 充分大时，m )m(1n从的分布为；答案:N (0,1)解析：课本 P187 定理 7.2.4（4）设x1 , x2 , x3 , x4[ 1,1] ，若数值积分公式1 f (x)dx A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) A3 f ( x3 )A4 f ( x4 ) 的代数精度大于11，则A1A2A3A4；答案： 21解析：令 f ( x) 1 ，可得1dx2A1 A2A3A4。

1（ 5）已知y f ( x) 通过点(x i, y i), i0,1,2,3 ，则其Lagrange插值基函数l2( x)；答案： l 2 ( x)(x x0 )( x x1)( x x3 ) ( x2 x0 )( x2x1 )( x2x3 )解析：课本 P20 拉格朗日插值基函数的定义（式 2.3.2）。

(总分100, 考试时间90分钟)ABCD该题您未回答:х 该问题分值: 4答案:D实数a ，b 满足a ＞b ＞0，集合A=0，a ，b ，B=x|x=uv ，u ，v ∈A ，则集合B 的子集共有( )个． A ．2 B ．4 C ．8 D ．16A B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 4答案:D[解析] 由题意，知B={0，ab ，a 2，b 2}．所以集合B 的子集个数为24=16．故选D ．两个码头相距198km ，如果一艘客轮顺流而下行完全程需要6h ，逆流而上行完全程需要9h ，那么该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别是( )km/h ． A ．27.5和5.5 B ．27.5和11 C ．26.4和5.5 D ．26.4和11A B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 4答案:A[解析] 两个码头相距198km ，客轮顺流而行要6h ，逆流而行需要9h ， 因此顺流速度为，逆流速度为．顺流速度是客轮的航速加上水流速度，逆流速度是客轮的航速减去水流速度， 因此航速为，水流速度为33-27.5=5.5(km/h)． 故选A ．要使方程3x 2+(m-5)x+m 2-m-2=0的两个实根分别满足0＜x 1＜1和1＜x 2＜2，那么，实数m 的取值范围是( )．A ．-2＜m ＜-1B ．-4＜m ＜-1C ．-4＜m ＜-2D ．-3＜m ＜1A B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 4工程硕士(GCT)数学-341. [解析] 原式=故选D．2.3.4.答案:A[解析] 如右图所示，设f(x)=3x 2+(m-5)x+m 2-m-2，则f(x)开口向上，与x 轴交于(x 1，0)和(x 2，0)两点，有不等式组从而得m 2-m-2＞0；m 2-4＜0；m 2+m ＞0． 故选A ．设p 为质数，方程x 2-px-580p=0的两根均为整数，则p 属于范围是( )． A ．(0，10) B ．(10，20) C ．(20，30) D ．(30，40)A B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 4答案:C[解析]根据题意，有因为方程的根为整数，所以△=p 2+4×1×580p=p(p+4×4×5×29)为完全平方式．又因为p 为质数，所以p=29．故选C ． 若复数z 满足，z 1=1+2i ，则|z 1-z|的最大值是( )．ABCD该题您未回答:х 该问题分值: 4答案:A[解析] 由已知可得，即|z+1|2≤1，即|z+1|≤1，那么z 在复平面上的对应点就在以(-1，0)为圆心，以1为半径的圆内(包括圆周)，而|z 1-z|表示点z 1(1，2)到上述圆内一点的距离，显然其最大值应为．故选A ． 设圆柱体的底半径和高之比为1:2，若体积增大到原来的8倍，底半径和高的比值仍为1:2，则底半径增大到原来的( )．A ．4倍B ．3倍C ．2.5倍D ．2倍A B C D5. 6. 7.该题您未回答:х 该问题分值: 4答案:D[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为H ，则h=2r ，体积V=πr 2h=2πr 3．由题意，有，即，即r 1=2r ． 故底面的半径增大到原来的2倍．故选D ． 设，利用推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为( )．ABCD该题您未回答:х 该问题分值: 4答案:B[解析]设S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)， 则S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5) 2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+…+[f(-5)+f(6)]=S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=．故选B ．平面内有4个红点、6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任何三点不共线，过这10个点中任意两点确定的直线中，过红点的直线有( )条． A ．27 B ．28 C ．29 D ．30A B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 4答案:C[解析] 平面内任两点均可连成一线，故直线按照题意进行，可进行分类考虑． 1)只取一个红点和一个蓝点连线，共有条． 2)取两个红点连成的直线，共有条，共计有29条．故选C ．在共有10个座位的小会议室随机地坐上6个与会者，那么指定的4个座位被坐满的概率为( )．8.9. 10.ABCD该题您未回答:х 该问题分值: 4答案:D直线ax-by=0与圆x 2+y 2-ax+by=0(a ，b ≠0)的位置关系是( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．由a ，b 的值而定A B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 4答案:B[解析] 由圆x 2+y 2-ax+by=0(a ，b ≠0)，知圆心坐标为，半径r=则圆心到直线ax-by=0的距离所以直线与圆相切．故选B ．如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为( )．A ．4B ．6C ．8D ．10A B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 4答案:C[解析] 因为AB=10，AD=6，所以DB=4。

电大工程数学复习题库工程数学复习题（一）2014年12月一、单项选择题(将正确答案的序号填入括号，每小题2分，共计30分二、填空题(每小题3分，共15分}三、计算题{每小题16分，共64分)四、证明题(本题6分}答案工程数学复习题（二）2014年12月一、单项选择题(将正确答案的序号填入括号，每小题2分，共计30分二、填空题(每小题3分，共15分)三、计算题{每小题16分，共64分)四、证明题(本题6分}答案工程数学复习题（三）2014年12月一、单项选择题(将正确答案的序号填入括号，每小题2分，共计30分二、填空题(每小题3分，共15分}三、计算题{每小题16分，共64分)四、证明题(本题6分}答案工程数学复习题（四）2014年12月一、单项选择题(将正确答案的序号填入括号，每小题2分，共计30分二、填空题(每小题3分，共15分}三、计算题{每小题16分，共64分)四、证明题(本题6分}答案电大工程数学试题及答案2018电大工程数学(本)期末复习辅导一、单项选择题1.若100100200001000=aa ，则=a （12）．⒊乘积矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1253014211中元素=23c （10）． ⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是()AB B A --=11）．⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D）．D.-=-k A k An() ⒍下列结论正确的是（A. 若A 是正交矩阵则A -1也是正交矩阵）． ⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为（ C.5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ ）． ⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（A ≠0）⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()A C B '=-1（D）．D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A）．A.()A B A A B B+=++2222 ⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C.[,,]--'1122 ）． ⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（有唯一解）．⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ 3）．⒋设向量组为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111,0101,1100,00114321αααα，则（ααα123,, ）是极大无关组．⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．D. 齐次线性方程组一定有解 ⒏若向量组ααα12,,, s线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（ A ）成立．Ａ．λ是AB 的特征值10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ｃ．B PAP =-1⒈A B ,为两个事件，则（ B ）成立． B.()AB B A+-⊂ ⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件．C.A B =∅且A B U= ⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（ D.307032⨯⨯..）． 4. 对于事件A B ,，命题（C）是正确的． C. 如果A B ,对立，则A B,对立⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D.)1()1()1(223p p p p p -+-+-6.设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（6, 0.8）． 7.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的ab a b ,()<，E X ()=（A ）． A.xf x x ()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．B.f x x x ()s in ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a P D.f x x ab ()d ⎰）． 10.设X 为随机变量，EX D X (),()==μσ2，当（C ）时，有E Y D Y (),()==01．C. σμ-=X Y1.A 是34⨯矩阵，B 是52⨯矩阵，当C 为（ B 24⨯）矩阵时，乘积AC B ''有意义。

1高等工程数学题一、非空集合V 为数域P 上的线性空间，α∈V ，λ∈P ，θ为零元素，证明性质：1、0·α=θ 2、λ·θ=θ 3、（-1）α=-α 证明：1、∵α+0·α=（1+0）·α=α，由线性空间运算规则第3条规则 ∴0·α=θ 2、∵当λ≠0时，α+λ·θ=λ·（1/λ·α）+λ·θ=λ·(1/λ·α+θ) /由线性空间运算规则第3条规则λ·(1/λ·α+θ)= λ·(1/λ·α)= α /当λ=0时，α+λ·θ=α+0=α/由线性空间运算规则第3条规则 ∴λ·θ=θ3、∵α+（-1）α=（1+（-1））α=0·α=θ 由线性空间运算规则第4条规则 ∴（-1）α=-α二、在R 4中，有两组基：（1）α1=（1,0,0,0）；α2=（0,1,0,0）；α3=（0,0,1,0）；α4=（0,0,0,1）. （2）β1=（2,1,-1,1）；β2=（0,3,1,0）；β3=（5,3,2,1）；β4=（6,6,1,3）.求：1）从第（1）组到第（2）组基的过渡矩阵；2）向量χ=（ξ1，ξ2，ξ3，ξ4）对第（2）组基的坐标；3）对两组基有相同坐标的非零向量。

解：1）根据题意可得：β1=2α1+α2-α3+α4；β2=3α2+α3；β3=5α1+3α2+2α3+α4；β4=6α1+6α2+α3+3α 4由上式及（α1，α2，α3，α4）·A=（β1，β2，β3，β4）可得过渡矩阵A 为：A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3111211633165022) 设χ´为χ对第(2)基的坐标,则χ´=A -1·χ,下面通过坐标变换求A -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10003101010012110010633100016502=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10003101010012110001650200106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------10103230011075400021616000106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----10103230110043102001030000106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--43109700200103001100431010003101=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3/26313/79003/2003/10100310140103/5003/13001=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/710003/2003/1010027/233/19/427/100109/1113/19/40001=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/710003/2003/1010027/233/19/427/100109/1113/19/40001 ∴A -1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/73/2003/127/233/19/427/19/1113/19/4 ∴向量χ对第（2）组基的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--=-=--+=--+=432144134321243211*27/263/1*9/1*27/7'*3/2*3/1'*27/23*3/1*9/4*27/1'*9/11*3/1*9/4'ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ3)根据题意令χ´=χ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--=-=--+=--+=432144134321243211*27/263/1*9/1*27/7*3/2*3/1*27/23*3/1*9/4*27/1*9/11*3/1*9/4ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ 解方程组得ξ1=ξ2=ξ3=-ξ4,根据题意,存在任意非零向量(c,c,c,-c)(c ≠0)对两组基有相同坐标.三、设向量组1）α1=（1,0,2,1）；α2=（2,0,1,-1）；α3=（3,0,3,0），2）β1=（1,1,0,1）；β2=（4,1,3,1）. 若V 1=L(α1,α2,α3),V 2=L(β1,β2),求V 1+ V 2的维数及一组基。

工程数学试题及答案高级专工程数学试题及答案（高级专科）一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，意味着（）。

A. f(x) = LB. |f(x) - L| < ε，对任意的ε > 0，存在δ > 0，使得0 < |x - a| < δ时成立C. |f(x) - L| = 0D. f(x) ≠ L答案：B2. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 以下哪个函数是周期函数？（）A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B5. 以下哪个积分是发散的？（）A. ∫(0, +∞) e^(-x) dxB. ∫(0, +∞) x^2 dxC. ∫(0, +∞) e^x dxD. ∫(0, +∞) 1/x dx答案：D6. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？（）A. y'' + 2y' + y = 0B. y'' + 2y' + 3y = 0C. y'' + y' + y = 0D. y'' + y' = 0答案：A7. 以下哪个是二阶偏导数？（）A. ∂^2f/∂x∂yB. ∂^2f/∂x^2C. ∂^2f/∂y^2D. ∂^2f/∂x∂y^2答案：A8. 以下哪个是线性方程组的解？（）A. {x=1, y=2}B. {x=0, y=0}C. {x=1, y=1}D. {x=2, y=3}答案：C9. 以下哪个是矩阵的特征值？（）A. λ = 1B. λ = 2C. λ = 3D. λ = 4答案：A10. 以下哪个是傅里叶级数的系数？（）A. a_nB. b_nC. c_nD. d_n答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = sin(x)在x=π/2处的导数为______。

2014年工程硕士（GCT）数学真题试卷(总分52,考试时间90分钟)1. 选择题选择题（25题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 将一张正方形纸片沿对角线折叠，在得到的三角形的三个角各挖去一个圆洞，展开正方形纸片后得到的图形是( )．A. B.C. D.2. 甲和乙两人在300米的环形跑道上同时同地起跑，如果同向而跑，2分30秒甲追上乙；如果背向而跑，半分钟相遇，则甲的速度是( )米/秒。

A. 6B. 5．5C. 5D. 4．53. 设a1，a2，a3，a4，a5，a6是由自然数1，2，3，4，5，6组成的没有重复的数字的任意序列，则｜a1-a2｜+｜a2-a3｜+｜a3-a4｜+｜a4-a5｜+｜a5-a6｜+｜a6-a1｜的最大值是( )。

A. 20B. 18C. 16D. 144. ( )．A. 2B. 1C. -1D. -25. 两张相同的矩形纸片，每张都画出7个大小相同的矩形，放置如右图所示，重叠的顶点记作A，顶点C在另一张纸片的分割线上，若，则AB的长是( )．A.B.C.D.6. 已知数列{an}对于任意正整数p和q，都有ap+aq=ap+q,若，则a2014=( )．A. 19B. 38C. 53D. 1067. 已知02+2x+cosa=0的两个实根x1，x2满足则α=( )．A.B.C.D.8. 两个正数a与b使得a，b，a+b成等比数列，则其公比是( )．A.B.C.D.9. 点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数在第一象限图像上的两点，如图所示，已知则△AOB 的面积等于( )．A.B.C.D.10. 已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2)，其中常数k≠0，且f(x)在区间(0，2]上有表达式f(x)=x(x，-2)，则( )．A.B.C.D.11. 已知i为虚数单位，则(i+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8+i9+i10)2=( )．A. 1+iB. -1+iC. 2iD. -2i12. 如图所示，两同心圆的半径分别为6厘米和8厘米，矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，它的周长等于( )厘米．A. 38．6B. 39．2C. 39．8D. 40．413. 椭圆如图所示，以点B1为圆心，椭圆的半长轴为半径画圆弧，交A1A2于点C1和C2，P为椭圆上的一点。

华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称： 课程类别考核形式学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________ 学号__________________姓名__________________任课教师___________________ 一、填空题（任选10小题，每小题2分，共计20分，多答不加分。

）1. 设33}{⨯=ij A A 的最小多项式为)3)(2)(1()(---=λλλλA m 则与A 相似的对角阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B . 2. 设矩阵n n C A ⨯∈满足等式：I A A 22=+，问A 是否可对角化_________. 3. 矩阵的谱半径是指________________________.4. 矩阵特征值的根空间维数等于_____________________________.5. 对任何非奇异矩阵A ，都有p A cond ）（ 1，当A 为正交矩阵时2）（A cond =___.6. 已知 9923606797742.=5，则其近似值2.23607有________位有效数字，通过四舍五入得到其有四位有效数字的近似值为___________.7. 已知14223+-=x x x f )(，则=],,,[3210f ___________，=],,,,[43210f __________. 8. 当n 为奇数时，等距节点的插值型)(C N -求积公式∑=-=ni i i n x f C a b I 1)()(至少有____次代数精度.9. )()(32-+=x x x λϕ，要使迭代法)(k k x x ϕ=+1局部收敛到3=*x ，则λ的取值范围是_____________.10. 试写出方程03=-=a x x f )(的牛顿迭代格式__________________.11. 设),,(n X X 1为),(~10N X 的样本，)()()(n X X X ≤≤≤ 21为次序统计量，则~)()()(22221n X X X +++ ____________.研究生 2014-12-16 应用高等工程数学12. 给出点估计评价的三个标准_________.13. 给出假设检验中显著性水平α与统计假设0H 的关系________.14. 设),,(n X X 1为),(~2σμN X 的样本，μ未知，2σ已知，μ的置信水平为α-1的双侧区间估计为___________.15. 使用方差分析时对数据的要求是_______.二、计算证明题（任选4题，每小题10分，满分40分，多答不加分。

课程名称：工程数学基础 课程编号：S131A035 学院名称： 教学班 学号： 姓名：一. 判断 （10分）1．设X 是数域K 上的线性空间,12,M M 是X 的子空间, 则12⋂M M 是X 的线性子空间. （ ） 2．设A C A nn ,⨯∈相似于对角阵的充分必要条件是其特征多项式无重零点 . （ ）3．设是],[b a 上以b x x x a n ≤<<<≤ 10为节点的Lagrange 插值基函数，则()1==∑nk k l x . （ ）4. 解线性方程组Ax b =，若A 是正定矩阵，则G-S 迭代格式收敛。

( )5. 设(,)x X ∈，当0x ≠时，必有0x >. ( )6. 差商与所含节点的排列顺序无关. （ ） 7．对任意,n nA ⨯∈A e 可逆.（ ）8. 若Jacobi 迭代格式收敛，则Seidel 迭代格式收敛.（ ） 9. 设(,)∈⋅x,y X ，则00,x,y x =⇔=或0y =.（ ）10.设33⨯∈C A 的Jordan 标准形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2212J ，则A 的最小多项式为 2(2)λ-. （ ）二. 填空(10分)1. 设 201361A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 则A 的Jordan 标准型为 . 2. 具有1n +个不同求积节点的插值型求积公式，至少具有 次代数精度3．设200010011A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则=∞)(A Cond . 4. Cotes 求积系数()n kC满足()0nn k k C ==∑ 。

5. 2()2-1f x x =，则0123[2,2,2,2]f = 。

课程名称：工程数学基础课程编号：S131A035学院名称：教学班学号：姓名：三. (12分) 设122224242A-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求A的Jordan标准形J.和有理标准形C. 四. (14分) 设011110101A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, （1）求A的最小多项式()ϕλ; （2）求e At.课程名称：工程数学基础课程编号：S131A035学院名称：教学班学号：姓名：五. (12分) 已知线性方程组为1232136 1408 2112xxx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1) 写出Jacob迭代格式和Seidel迭代格式，(2) 判断迭代格式收敛性. 六. (12分) 已知下列插值条件(1)用3次Newton插值多项式计算(78.60)f的近似值（结果保留到小数点后第5位）。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完整精准版)一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。

（1）下列曲线中有渐近线的是 （A ）sin y x x =+.(B)2sin y x x =+.(C)1sin y x x =+.(D)21sin y x x=+.【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]limsin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线【答案】C(2)设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ） (A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥. (B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(D)当0f '≥时，()()f x g x ≤【解析】当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()() f x g x ≤ 【答案】D(3)设(),f x y是连续函数，则110(,)ydy f x y -=⎰⎰（A）11110(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰.（B）1101(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰.（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin ).d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin ).d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰【解析】积分区域如图 0≤y ≤1.1x y ≤≤-用极坐标表示，即：D 1:,012r πθπ≤≤≤≤ D 2: 10,02cos sin r πθθθ≤≤≤≤+【答案】D （4）若{}2211,(cos sin )(cos sin )mina b Rx a x b x dx x a x b x dxππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（A ）2sin x π.(B)2cos x .(C) 2sin x π. (D)2cos x π. 【解析】令2(,)(cos sin )Z a b x a x b x dx ππ-=--⎰2(cos sin )(cos )0(1)2(cos sin )(sin )0(2)a bZ x a x b x x dx Z x a x b x x dx ππππ--⎧'=---=⎪⎨'=---=⎪⎩⎰⎰由（1）得 202cos 0axdx π=⎰故10,0a a ==由（2）得 0120sin 22sin x xdx b b xdxππ===⎰⎰【答案】A(5)行列式00000000a b abc d c d= （A ）（ad-bc ）2（B ）-（ad-bc ）2。

2014级《工程数学》复习题与答案一、单项选择题1． 设A ，B 为三阶可逆矩阵，且0k >，则下列（ B ）成立．A ． AB A B +=+ B ．AB A B '=C ． 1AB A B -=D ．kA k A =2. 设A 是n 阶方阵，当条件（ A ）成立时，n 元线性方程组AX b =有惟一解．A.r(A)=nB.r(A)<nC.|A|=0D.b=03．设矩阵1111A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值为0，2，则3A 的特征值为（ B ）。

A ．0，2 B ．0，6C ．0，0D ．2，64． 设12,,,n x x x 是来自正态总体()N μσ2，的样本，则 ( B ) 是统计量．A ． 2x σμ+B ．11n i i x n =∑ C ． 1x μσ- D ．1x μ 5．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( B )。

A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发6．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( C )。

A. X 和Y 独立。

B. X 和Y 不独立。

C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)7．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ D ）。

A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。

B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x f C. 00021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ， 8．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ A ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 29．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ A ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c.C. D(X-c)=D(X)-cD. D(cX)=cD(X)10． 设A ，B 都是n 阶方阵，则等式（ C ）成立．A ． AB A B +=+ B ．AB BA =C ． AB BA =D ．22()()A B A B A B +-=-11． 已知2维向量组1234,,,,αααα则1234(,,,)r αααα至多是（ B ）。

考试题及参考解答(参考)一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -； （B ）1~(0,1)1X N -； （C ）1~(0,1)9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+； （B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-． （2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他, 似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦．另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=， 确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t ===<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭． 九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测。

全国硕士研究生入学统一考试数学二真题2014年(总分130, 做题时间180分钟)选择题1.当x→0+时，若lnα(1+2x)，均是比x高阶的无穷小，则α的取值范围是______。

SSS_SINGLE_SELA (2，+∞)B (1，2)C （1/2，1）D （0，1/2）2.下列曲线中有渐近线的是______.SSS_SINGLE_SELA y=x+sinxB y=x²+sinxC y=x+sin(1/x)D y=x²+sin(1/x)3.设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上______.SSS_SINGLE_SELA 当f'(x)≥0时，f(x)≥g(x)．B 当f'(x)≥0时，f(x)≤g(x)．C 当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)．D 当f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)．4.曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是______.SSS_SINGLE_SELABCD5.设函数f(x)=arctanx．若函数f(x)=xf'(ξ)，则_______.SSS_SINGLE_SELA 1B 2/3C 1/2D 1/36.设函数u(x，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足则______.SSS_SINGLE_SELA u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得．B u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得．C u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得．D u(x，y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得．7.行列式______.SSS_SINGLE_SELA (ad-bc)²．B -(ad-bc)²．C a²d²-b²c²．D b²c²-a²d²．8.设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的______.SSS_SINGLE_SELA 必要非充分条件．B 充分非必要条件．C 充分必要条件．D 既非充分也非必要条件．填空题9.SSS_FILL10.设y=f(x)是周期为4的可导奇函数，且f'(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，则f(7)=______．SSS_FILL11.设z=z(x，y)是由方程确定的函数，则______.SSS_FILL12.曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点（r,θ）=（π/2,π/2）处的切线的直角坐标方程是______．SSS_FILL13.一根长度为l的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x)=-x²+2x+1，则该细棒的质心坐标=______.SSS_FILL14.设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是______.SSS_FILL解答题15.SSS_TEXT_QUSTI 16.SSS_TEXT_QUSTI 17.SSS_TEXT_QUSTI18.SSS_TEXT_QUSTI 19.SSS_TEXT_QUSTI 20.SSS_TEXT_QUSTI 21.SSS_TEXT_QUSTI 22.SSS_TEXT_QUSTI 23.SSS_TEXT_QUSTI1。

湖南大学研究生
课程考试命题专用纸
考试科目: 工程数学 (B) 专业年级: 2014级研究生
考试形式: 闭卷 考试时间: 120分钟
……………………………………………………………………………………………………………………… 注: 答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上, 否则无效。

（可以使用计算器）
一．每题10分, 共100分
二．用迭代法求方程 的在2附近的根, 请讨论你所用方法的收敛性, 并求出这个近似根,
误差要求 。

用矩阵的三角分解法求解:
1234123152197334319174262113x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
求符合数表的相应的Hermit 插值多项式.
设 有n 个互异的实根 , 证明
1100,02'(),1
k n j
j j k n x f x a k n -=≤≤-⎧=⎨=-⎩∑
四．利用差分证明
11223...(1)(1)(2)
n n n n n ⨯+⨯+++=++ 五． 求a,b,使得1
20(arctan )min x ax b dx --=⎰。

利用辛普森积分公式, 采用变步长的积分法, 求积分 , 要求事后误差不超过 。

确定下面积分公式中的待定参数, 使其代数精度尽量高, 并求出改公式的代数精度。

3
0()(1)(2)f x dx Af Bf ≈+⎰
求矩阵Q 的 以及Q 的条件数 , 其中,
111111*********
1Q ⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭。