直线中点Bresenham算法

中点Bresenham算法是一种用于计算在直线上的格点的算法。

它是由Bresenham在1965年提出的，是一种高效的计算机图形学算法，通常用于直线、圆、椭圆等形状的绘制。

通过这篇文章，我们将详细介绍中点Bresenham算法的过程。

1. 背景知识在计算机图形学中，我们经常需要在屏幕上绘制直线、圆、椭圆等形状。

而计算机屏幕上的图像是由像素组成的，因此我们需要一种算法来计算出这些形状上的像素坐标，从而进行绘制。

中点Bresenham算法就是用来解决这个问题的。

2. 中点Bresenham算法的原理中点Bresenham算法的原理是通过巧妙的数学推导，找到离直线最近的像素点，从而确定需要绘制的像素坐标。

该算法通过利用误差项来判断下一个像素点的位置，具有高效、简洁的特点。

3. 中点Bresenham算法的过程中点Bresenham算法的过程可以分为以下几个步骤：3.1 初始化变量：首先需要确定直线的起点和终点，并初始化相关变量，如起点坐标(x0, y0)、终点坐标(x1, y1)、误差项d和增量变化量dx、dy等。

3.2 计算斜率k和误差项初始值：通过计算直线的斜率k，并根据斜率确定误差项的初始值。

3.3 循环计算像素点的坐标：根据误差项的大小，确定下一个像素点的位置，并更新误差项的值，直到绘制完整条直线。

4. 中点Bresenham算法的优势* 算法简洁高效：中点Bresenham算法通过简单的数学计算，即可确定直线上的像素坐标，避免了直接计算斜率导致的浮点数运算，因此在计算速度上具有较大优势。

* 适用范围广泛：中点Bresenham算法不仅适用于直线，还可以用于绘制圆、椭圆等图形，具有良好的通用性。

5. 中点Bresenham算法的应用中点Bresenham算法广泛应用于计算机图形学中的直线、圆、椭圆等图形的绘制。

其高效、简洁的特点使得它成为了计算机图形学中不可或缺的算法之一。

中点Bresenham算法是计算机图形学中的重要算法之一，通过巧妙的数学计算，实现了高效、简洁的直线绘制。

生成直线的bresenham算法
Bresenham算法是由Jack E. Bresenham在1962年提出的一种用于生成直线图形的算法。

它可以根据两个点的坐标来计算出中间所有点的位置，即通过这两个端点可以确定出整条直线的像素点。

Bresenham算法的核心思想是，沿着已知的两个点之间的点，从起点开始向终点靠近，沿途计算斜率的误差，依据误差大小判断是选择水平方向或者垂直方向上的点，从而确定最终的直线图形。

具体步骤如下：
（1）根据两个点坐标计算出斜率dx和dy；
（2）令x0=x1, y0=y1；
（3）计算当前点处斜率误差p，公式为：p=2dy-dx；
（4）根据p的大小，决定下一步是沿水平方向还是垂直方向：
（a）p>0时，下一步沿垂直方向前进，即y++；
（b）p<=0时，下一步沿水平方向前进，即x++；
（5）重复步骤3、4，直到到达终点。

生成直线的B resenham算法从上面介绍的DDA算法可以看到，由于在循环中涉及实型数据的加减运算，因此直线的生成速度较慢。

在生成直线的算法中，B resenham算法是最有效的算法之一。

B resenham算法是一种基于误差判别式来生成直线的方法。

一、直线Bresenham算法描述：它也是采用递推步进的办法，令每次最大变化方向的坐标步进一个象素，同时另一个方向的坐标依据误差判别式的符号来决定是否也要步进一个象素。

我们首先讨论m=△y/△x，当0≤m≤1且x1<x2时的B resenham算法。

从DDA直线算法可知这些条件成立时，公式(2-2)、(2-3)可写成：x i+1=x i+△x(2－2)y i+1=y i+△y(2－3)x i+1=x i+1 (2－6)y i+1=y i+m(2－7)有两种B resenham算法思想，它们各自从不同角度介绍了B resenham算法思想，得出的误差判别式都是一样的。

二、直线B resenham算法思想之一：由于显示直线的象素点只能取整数值坐标，可以假设直线上第i个象素点坐标为(x i，y i)，它是直线上点(x i，y i)的最佳近似，并且x i=x i(假设m<1），如下图所示。

那么，直线上下一个象素点的可能位置是(x i+1，y i)或(x i+1，y i+1)。

由图中可以知道，在x=x i+1处，直线上点的y值是y=m(x i+1)+b，该点离象素点(x i+1，y i)和象素点(x i+1，y i+1)的距离分别是d1和d2：这两个距离差是我们来分析公式(2-10)：(1)当此值为正时，d1>d2，说明直线上理论点离(x i+1，y i+1)象素较近，下一个象素点应取(x i+1，y i+1)。

(2)当此值为负时，d1<d2，说明直线上理论点离(x i+1，y i)象素较近，则下一个象素点应取(x i+1，y i)。

Bresenham算法是计算机图形学典型的直线光栅化算法。

∙从另一个角度看直线光栅化显示算法的原理o由直线的斜率确定选择在x方向或y方向上每次递增（减）1个单位，另一变量的递增（减）量为0或1，它取决于实际直线与最近光栅网格点的距离，这个距离的最大误差为0.5。

∙1)Bresenham的基本原理o假定直线斜率k在0~1之间。

此时，只需考虑x方向每次递增1个单位，决定y方向每次递增0或1。

设直线当前点为(xi,y)直线当前光栅点为(xi,yi)则下一个直线的点应为(xi+1,y+k)下一个直线的光栅点或为右光栅点(xi+1,yi)（y方向递增量0）或为右上光栅点(xi+1,yi+1)（y方向递增量1）记直线与它垂直方向最近的下光栅点的误差为d，有：d=(y+k)–yi，且0≤d≤1当d<0.5：下一个象素应取右光栅点(xi+1,yi)当d≥0.5：下一个象素应取右上光栅点(xi+1,yi+1)如果直线的（起）端点在整数点上，误差项d的初值：d0＝0，x坐标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即：d＝d + k。

一旦d≥1，就把它减去1，保证d的相对性，且在0-1之间。

令e=d-0.5，关于d的判别式和初值可简化成：e的初值e0= -0.5，增量亦为k;e<0时，取当前象素(xi,yi)的右方象素(xi+1,yi)；e>0时，取当前象素(xi,yi)的右上方象素(xi+1,yi+1)；e=0时，可任取上、下光栅点显示。

Bresenham算法的构思巧妙：它引入动态误差e，当x方向每次递增1个单位，可根据e 的符号决定y方向每次递增 0 或 1。

e<0，y方向不递增e>0，y方向递增1x方向每次递增1个单位，e = e + k因为e是相对量，所以当e>0时，表明e的计值将进入下一个参考点（上升一个光栅点），此时须：e = e - 1∙2)Bresenham算法的实施——Rogers 版o通过(0,0)的所求直线的斜率大于0.5，它与x=1直线的交点离y=1直线较近，离y=0直线较远，因此取光栅点(1,1)比(1,0)更逼近直线；o如果斜率小于0.5，则反之；o当斜率等于0.5，没有确定的选择标准，但本算法选择(1,1)（程序）▪//Bresenham's line resterization algorithm for the first octal.▪//The line end points are (xs,ys) and (xe,ye) assumed not equal.▪// Round is the integer function.▪// x,y, ∆x, ∆y are the integer, Error is the real.▪//initialize variables▪x=xs▪y=ys▪∆x = xe -xs▪∆y = ye -ys▪//initialize e to compensate for a nonzero intercept▪Error =∆y/∆x-0.5▪//begin the main loop▪for i=1 to ∆x▪ WritePixel (x, y, value)▪if (Error ≥0) then▪ y=y+1▪ Error = Error -1▪ end if▪ x=x+1▪ Error = Error +∆y/∆x▪next i▪finish∙3)整数Bresenham算法o上述Bresenham算法在计算直线斜率和误差项时要用到浮点运算和除法，采用整数算术运算和避免除法可以加快算法的速度。

实验名称 DDA 法，中点法，Bresenham 法画直线一、实验目的学会用DDA 法，中点法，Bresenham 法这三种思想画直线，同时，对画直线的操作有一定的了解。

二、实验原理及内容1. DDA 法的基本思想如下：已知过端点P0(x0,y0) , P1(x1,y1)的直线段L ：y=kx+b ,直线斜率为k=(y1-y0)/x1-x0 ,从x 的左端点x0开始，向x 右端点步进。

步长=1(个象素)，计算相应的y 坐标y=kx+b ；取象素点(x, round(y))作为当前点的坐标。

2. 中点法的基本思想如下：当前象素点为(xp, yp) 。

下一个象素点为P1 或P2 。

设M=(xp+1, yp+0.5)，为p1与p2之中点，Q 为理想直线与x=xp+1垂线的交点。

将Q 与M 的y 坐标进行比 较。

当M 在Q 的下方，则P2 应为下一个象素点；M 在Q 的上方，应取P1为下一点。

构造判别式:d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c ,其中a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0当d<0，M 在L(Q 点)下方，取右上方P2为下一个象素；当d>0，M 在L(Q 点)上方，取右方P1为下一个象素；当d=0，选P1或P2均可，约定取P1为下一个象素；但这样做，每一个象素的计算量是4个加法，两个乘法。

采用增量算法改进如下：d 是xp, yp 的线性函数，因此可采用增量计算，提高运算效率。

若当前象素处于d 0情况，则取正右方象素P1 (xp+1, yp), 要判下一个象素位置，应计算d1=F(xp+2, yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)+c=d+a ； 增量为a ，若d<0时，则取右上方象素P2 (xp+1, yp+1)。

要判断再下一象素，则要计算d2= F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b ；增量为a ＋b画线从(x0, y0)开始，d 的初值d0=F(x0+1, y0+0.5)=F(x0, y0)+a+0.5b =a+0.5b 。

布雷森汉姆直线算法布雷森汉姆直线算法（Bresenham's Line Algorithm）是一种计算机图形学中常用的直线绘制算法，其通过在离散的像素格上选择最接近实际直线路径的点来实现高效绘制直线的目的。

该算法由Jack Elton Bresenham在1962年首次提出，被广泛应用于图形显示、打印机及数码扫描仪等领域。

布雷森汉姆直线算法的核心思想是利用整数运算来代替浮点运算，从而提高计算效率。

该算法通过仅使用加法、减法和位移等基本运算，不需要乘法运算和浮点数运算，从而适用于资源有限的嵌入式系统和低成本的图形设备。

算法的基本步骤如下：1. 根据起点P1（x1，y1）和终点P2（x2，y2）确定直线斜率k。

2. 如果|k|≤1，则沿x轴方向递增遍历起点P1到终点P2，并在每个像素上绘制。

若k>1，则沿y轴方向递增遍历P1到P2，绘制每个像素。

3. 对于每一步，根据递增的方向选择相应的像素。

4. 根据斜率k来决定误差累积量，调整绘制位置，保证直线的连续性。

该算法的优势在于其简单而高效的原理，使得绘制直线的速度非常快。

与传统的基于浮点运算的算法相比，布雷森汉姆直线算法的计算开销较小，而且能够得到非常接近实际直线路径的结果，几乎没有明显的视觉差异。

这使得该算法在计算资源有限的场景下非常有用，例如在嵌入式系统中，可以利用该算法绘制图形界面的边界、线条等。

然而，布雷森汉姆直线算法也存在一些局限性。

由于只考虑了整数坐标，因此绘制出来的直线可能会有些锯齿状，这在一些高精度要求的场景下可能会表现出明显的视觉噪点。

此外，该算法仅适用于绘制直线，并不能直接应用于曲线、圆等其他形状的绘制。

总之，布雷森汉姆直线算法是一种非常经典和实用的绘制直线的算法。

它通过巧妙地利用整数计算来取代浮点计算，以提高效率和减少计算资源开销。

虽然存在一些局限性，但在大多数场景下，它仍然是一种高效且精确的绘制直线的选择，对于计算机图形学的发展和应用有着重要的指导意义。

先标明这转载自/xxxxxx91116/article/details/6295714直线扫描算法之---bresenham改进算法(任何斜率，任何方向)by zxx图形学神马的全都是数学，看来以后我不能搞这个，伤脑筋，所以先把我现在懂得先记录下来吧。

不过呢，我的水平实在有限，对于算法这种东西实在难以说明白，请大家包涵。

书上讲的实在是太过简略，所以这里我把一些简单的推导过程都记录下来：1.重温bresenham未改进算法（斜率在0-1之间的直线）我想要记录的是bresenham改进算法，所以在讲解改进算法之前，我先用一个简单的例子说明一下未改进算法的思想：这是一个斜率k在0-1之间的一条直线，我就用斜率为0-1之间的直线来重温：首先，如图1所示，假设x列的像素已定，其坐标为（x，y），那么下一个坐标一定是：（x+1，y+1）或者（x+1，y）。

而是哪一个取决于d的值，如果d>0.5那么就是（x+1，y+1），如果d<0.5,那么就是（x+1，y），而d是什么呢？当然是斜率了。

（原因如下：y=kx+b当x增加1时：y=kx+k+b所以当x增加1是，y方向的增量是d。

）所以每次我们只需要让d=d+k（k是斜率）即可，当d>=1时，就让d减一，这样就保证了d在0-1之间。

当d>0.5,下一个点取（x+1，y+1）当d<0.5,下一个点取（x+1，y）然后呢，我们为了判断的方便，让e=d-0.5，这样就变成了：当e>0，下一个点取（x+1，y+1）当e<0，下一个点取（x+1，y）2.过渡，重温之后，我们就想要改进，为什么要改进呢？因为我们这里面有0.5，还有k，k里面有dx/dy，这些除法和小数都不是我们想要的，我们想要的是，只有整数，且只有加法的算法，下面就全面讨论一下改进算法。

3.改进算法篇（不同斜率，不同方向）这里，我们主要分为4个角度来说明：A.斜率在0-1只间B.斜率在1-无穷之间C.斜率在0-（-1）之间D.斜率在（-1）-负无穷之间E．两种特殊情况，两条直线。

bresenham算法计算步骤Bresenham算法是一种经典的线段生成算法，其原理是利用递增的整数计算来逼近直线的路径，从而快速高效地绘制线段。

本文将详细介绍Bresenham算法的计算步骤。

1. 确定起点和终点我们需要确定线段的起点和终点的坐标。

假设起点为(x0, y0)，终点为(x1, y1)。

2. 计算斜率接下来，我们需要计算线段的斜率。

斜率可以通过以下公式来计算：m = (y1 - y0) / (x1 - x0)其中m表示斜率。

3. 判断斜率绝对值是否小于1判断斜率的绝对值是否小于1，如果小于1，则说明直线在x方向上变化的幅度更大；反之，如果斜率的绝对值大于等于1，则说明直线在y方向上变化的幅度更大。

4. 计算增量根据斜率的值，我们可以计算出在每个步骤中需要增加的x和y的值。

如果斜率的绝对值小于1，则每次x增加1，y增加斜率m；反之，如果斜率的绝对值大于等于1，则每次y增加1，x增加1/斜率m。

5. 计算初始误差计算初始误差值，初始误差值为0。

初始误差用于判断应该向x方向还是y方向进行绘制。

6. 迭代绘制线段根据初始误差值和增量，使用迭代的方式来绘制线段。

具体步骤如下：- 根据初始误差值，判断当前点应该绘制在哪个像素上。

如果误差大于等于0，则绘制在下一个像素上，同时误差减去1；反之，如果误差小于0，则绘制在当前像素上。

- 根据斜率的绝对值大小，更新初始误差的值。

如果斜率的绝对值小于1，则初始误差加上y的增量；反之，如果斜率的绝对值大于等于1，则初始误差加上x的增量。

- 根据斜率的绝对值大小，更新x和y的值。

如果斜率的绝对值小于1，则x加上1；反之，如果斜率的绝对值大于等于1，则y加上1。

7. 绘制结果将线段绘制在屏幕上，直到终点被绘制到。

通过以上步骤，我们可以使用Bresenham算法快速高效地绘制直线。

这个算法的优点是计算简单、速度快，并且不需要浮点运算，因此非常适合在计算能力较弱的设备上使用。