第3讲 绝对值

第七讲 绝对值一、相反数的定义定义：只有 不同的两个数叫做互为相反数. 特别地， 的相反数是0.相反数的求法：求一个数的相反数就是在这个数的前面加上“－”号，即a 的相反数是－a ，其实质是改变这个数的符号．例1 分别写出下列各数的相反数．－3，2，4.5，0，－ .练1 如图，表示互为相反数的两个数的点是________．二、多重符号的化简例2 化简下列各数：(1)－[＋(－1)]；(2)－{－[－…(－1) …]}. (2n －1)个负号，n 为正整数练1化简下列各数：(1)－[－(＋2)]＝______； (2)－[－(－2 017)]＝________；(3)－[＋(－18)]＝__________； (4) ． 三、相反数的性质－2.5与＋2.5，＋1与－1，＋3与－3性质：每一对数在数轴上的对应点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．在一个数的前面添上“＋”号表示这个数本身．在一个数的前面添上“－”号表示原来这个数的相反数．例3 填空：(1) 的相反数为_______； (2)2是______的相反数；(3)x －y 的相反数为_______； (4)π－3的相反数是_______.练1 下列说法：①m 与－m 互为相反数，因此它们一定不相等；②相反数等于它本身的数只有0；③正数和负数互为相反数；④负数的相反数是正数；⑤a 的相反数一定是负数．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4四、绝对值的定义定义：一般地，数轴上表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |.(这里的数a 可以是正数、负数和0).代数定义：一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；0的绝对值是 ；任意一个数的绝对值为 ． 用式子表示为： 2=3⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭－＋－＋859－000a a a a ⎧⎪=⎨⎪（＞）；（＝）；163例4 写出下列各数的绝对值：，0， ， ，－4.5，－5. 五、绝对值的性质性质：互为相反数的两个数的绝对值 .1. 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.非负性：任何有理数的绝对值都是 ，即 例6 下列各式中无论m 为何值，一定是正数的是( ) A. B. C. +1 D.－(－m )例7 已知 ，求x 与y 的相反数.练1若|a －1|＝a －1，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ＜1D ．a ＞1六、有理数的大小比较用数轴比较两数的大小：1. 在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数 ．2. 利用数轴比较大小关键有两步：一是在数轴上 ；二是观察表示数的点在数轴上的 ．有理数大小比较法则：a.正数都大于零，负数都小于零， 正数都大于负数．b.两个负数比较大小，绝对值大的反而小例8 已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图，下列结论错误的是( )A ．|a |＜1＜|b |B ．1＜－a ＜bC ．1＜|a |＜bD ．－b ＜a ＜－1例9 下列说法正确的是( )A ．一个数的绝对值一定比0大B ．一个数的相反数一定比它本身小C ．绝对值等于它本身的数一定是正数D ．最小的正整数是115432－132－0.a m 1＋m m 42=0－＋＋x y七、课堂小练1．只有________不同的两个数互为相反数．相反数具有以下四个特征：(1) 相反数是________出现的；(2) 0的相反数是 ；(3) 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，到原点的距离________．2. 下列说法：①－2是相反数；② 2是相反数；③－2是2的相反数；④－2和2互为相反数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．运用相反数的意义化简多重符号，若数字前面的负号有偶数个，则结果为______数；若数字前面的负号有________数个，则结果为负数．4. 下列各组数中，不相等的是( )A ．－(＋2)和＋(－2)B ．－7和－(＋7)C ．＋(－5)和－(－5)D ．－[＋(－8)]和－[－(＋8)]5. 若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是( )A ．正数B ．正数或零C ．负数D ．负数或零6. 如图，已知A ，B ，C ，D 四个点在一条没有标明原点的数轴上． (1)若点A 和点C 表示的数互为相反数，则原点为________；(2)若点B 和点D 表示的数互为相反数，则原点为________；(3)若点A 和点D 表示的数互为相反数，请在数轴上标出原点O 的位置．7. 是一个正方体纸盒的平面展开图，若在其中三个正方形A ，B ，C 内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形A ，B ，C 内的数分别是多少？8. 数轴上表示数a 的点与原点的________，叫做数a 的绝对值，记作________，读作____________．9. 点M ，N ，P ，Q 在数轴上的位置如图所示，其中表示的数的绝对值最大的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q 10. 一个正数的绝对值是它________；一个负数的绝对值是它的_________；______的绝对值是0.任何数都有且只有一个绝对值；互为相反数的两数绝对值_______，任何数的绝对值不可能是___数． 11. 若|x |＝4，则x 的值是( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D. 12.有理数比较大小的规定： (1)正数______0，0______负数，正数______负数．(2)两个负数比较大小，绝对值大的__________．1413.已知a＝－1，b＝－2，则()A．a<b B．|a|>|b| C．|a|<|b| D．a>|b|14.若a，b为有理数，a>0，b<0且|a|<|b|，那么a，b，－a，－b的大小关系是()A．b<－a<－b<a B．b<－b<－a<a C．b<－a<a<－b D．－a<－b<b<a 15.如果－a的相反数是最小的正整数，b是绝对值最小的数，求a＋b的值．16.有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示．(1) 在横线上填入“＞”或“＜”：a______0，b______0，c______0，|c|______|a|；(2)试在数轴上找出表示－a，－b，－c的点；(3)试用“＜”将a，－a，b，－b，c，－c，0连接起来．。

第三讲绝对值【课程解读】————小学初中课程解读————初中课程【知识衔接】————小学知识回顾————一、整数：整数包括正整数、负整数和0.二、分数：1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。

在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

学-科网把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。

2.分数的分类按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数三、百分数1、百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。

百分数通常用"%"来表示。

百分号是表示百分数的符号。

2、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。

3、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。

四、小数1.小数是分数的一种特殊形式，但不能说小数就是分数.2.小数的分类小数包括有限小数和无限小数，无限小数有包括无限循环小数和无限不循环小数.注：分数又可分为正分数和负分数，小数也可分为正小数和负小数.————初中知识链接————（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。

注：这里可以是正数，也可以是负数和0.（2）绝对值的性质：1.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.代数表示（数学语言）是：字母可个有理数。

当是正数时，a =a ；当是负数时，a =-a ；当是0时，a =0.3.互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）有理数的比较大小。

1.在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

2. 正数大于0，也大于负数，0大于负数。

3. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

第三讲：数轴与绝对值模块一 绝对值及其性质：观察图形，探究知识：在图中，我们能得到下面的信息：1. 大象在数轴上表示的数为___________，这个数到原点的距离为____________。

2. 两只小狗在数轴上表示的数分别是－3与3，我们知道－3与3是相反数，它们只有符号 不同，它们什么相同呢？答：它们到原点的距离____________，都等于___________。

学习归纳：在数轴上，一个数所对应点与原点的________，叫做这个数的绝对值。

导学练习：1. －3的绝对值是表示－3的点到原点的距离，－3的绝对值是_______，记作33=-； 3的绝对值是表示_______________________，3的绝对值是______，记作：________。

2. =-12____________，=325____________，=-5.0____________。

学习归纳：1. 一个正数的绝对值是它_______，一个负数的绝对值是它的_______，0的绝对值是____。

即：当a 是正数时，____=a ；当a 是负数时，____=a ；当a 是零时，____=a 。

2. 如果a 表示有理数，那么a 表示_________________________________；从而可知：a 是一个_______数或________，即a 是一个非负数。

3. 若a 、b 为有理数，且0=+b a ，则=a _______，=b _______。

4. 互为相反数的两个数的绝对值____________。

即：若6=a ，则=a 。

模块二 利用绝对值比较两个负数的大小做一做：（1）在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：5.1- 3- 1- 5-（2）求出（1）中各数的绝对值，并比较它们的大小：（3）你发现了什么？两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

典型例题讲解(理解新知识)：题型一：利用绝对值求有理数例1（1）若2=x ，则=x ；(2) 已知2=a ，3=b ，且b a >，求a 、b 的值。

第三讲 绝对值【思想方法.知识要点回顾与拓展】1.绝对值的定义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 2.绝对值的几何意义a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．3.去绝对值符号的方法：零点分段法（1）化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a 的正负（即0a >，0a <还是0a =）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论． （2）分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．【例题之 能力提升】例1. a ，b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b = （3）||||;a b b a -=-（4）若||a b =则a b = （5）若||||a b <，则a b < （6）若a b >，则||||a b >变式练习：x 是什么样的有理数时，下列等式成立？（1）|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- （2）|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-例2. 若m 是方程|2000|2000||x x -=+的解，则|2001|m -等于（ ）A. m −2001B. −m −2001C. m +2001D. –m +200例3. 已知关于x 的方程||(1)a x a x =+-的解是1，则有理数a 的取值范围是______________.例 4. 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则321ax bx cx +++的值是多少？例5.如果在数轴上表示a ，b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ）A.2aB.2a -C.0D.2b变式练习：已知有理数a ，b 的和a+b 及差a −b 在数轴上如图所示：化简：227a b a b +---。

第3讲 绝对值姓名 学校 日期【知识要点】一、绝对值的概念1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。

2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。

3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。

4绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。

5．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。

6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。

二、绝对值的求法绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 （1）(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）(0)(0)a a a a a ≥⎧⎨-<⎩ （3）(0)(0)a a a a a >⎧⎨-≤⎩ 【典型例题】例1 求下列各数的绝对值。

（1）34= ； （2）13-= ； （3）144-= ； （4）132= ； 例2 （1）一个数的绝对值是3，则这个数是 。

（2）一个数的绝对值是0，则这个数是 。

（3）有没有一个数的绝对值是-4？ 。

思考：a 与0的大小关系例3 （1）若2m -=，求m 的值；（2）若a b =，则a b 与的关系是什么？例4 写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。

例5 如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，那么a 与b 的和是多少?例6 数b a ,在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：（1）比较a 和b 的大小；（2）比较a 和b 的大小； （3）判断b a a b b a b a ⨯--+,,,的符号；（4）试化简a b b a -+--经典练习一、填空题1．31-的绝对值是 ，31的绝对值是 ， 的绝对值是31．2.一个正数的绝对值为8，这个数是 ，一个负数的绝对值为8，这个数是 ．3. 的绝对值是它本身， 的绝对值是它的相反数．4.若0>a ，则=a ；若0<a ，则=a ；若0=a ，则=a ．5.若a a =，则a 0，若a a -=，则a 0．6. 的绝对值比它的本身大．7.一个数的绝对值不大于3，则满足条件的最大的负数是 ．二、选择题1．下列等式中，成立的是（ ）A 、33±=+B 、()33--=-C 、33±=±D 、3131=--2．下列计算中，错误的是（ ）A 、1257=-+-B 、04.03.034.0=---C 、535154=-- D 、311312213=---a b3．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必满足（ ）A 、相等B 、都是0C 、互为相反数D 、相等或互为相反数4．下列各式中，不正确的是（ ）A 、01.001.0->-B 、001.001.0->-C 、⎪⎭⎫⎝⎛--<--3131D 、2.32.3->--5．下列判断正确的是（ ）A 、若b a =，则b a =B 、若b a =，则b a =C 、若b a <，则b a <D 、若b a >，则b a >三、解答题1．试写出：（1）绝对值小于5的所有负整数 ；（2）绝对值小于5.2而又大于2.1的所有整数 ．2．已知一组数；4，－3，21-，+5.1，214-，0，－2.2．在这组数中：（1）绝对值最大的数为 ；绝对值最小的数为 ；（2）相反数最大的数为 ；相反数最小的数为 ．3．如图，直线上有三个不同的点A 、B 、C ，且AB ≠BC ，那么，到A 、B 、C 三点距离的和最小的点（ ）（A ）是B 点 （B ）是AC 的中点 （C ）是AC 外一点 （D ）有无穷多个4．对任意有理数a ，式子1a -，1a +，1a -+，1a +中，取值不为0的是 。

第3讲 绝对值【知识扫描】知识点一 对绝对值的几何定义的理解1. 数轴上表示数a 的点与原点的距离叫数a 的绝对值，记作|a |。

它是一个非负数，即|a |≥0。

拓展：若干个非负数之和为0，则每一个非负数都为0。

即|a |＋|b |＋…＋＝0，则有|a |＝0，|b|＝0，……，所以a ＝0，b ＝0，……2. 绝对值等于同一个整数的有理数有2个，它们互为相反数；反之，互为相反数的两个数绝对值相等，如|a |＝5，则a ＝±5。

知识点二 对绝对值的代数定义的理解一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数。

即：对于任何有理数a ，都有()()()⎪⎩⎪⎨⎧0000＜－＝＞＝a a a a a a知识点三 有理数的大小比较（1）两个正数比较，绝对值大的数较大； （2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小。

【典型例题】考点一 利用绝对值的定义求解 【例1】－6的绝对值是（ ）A ．6B ．61 C ．61－ D ．－6 【解答】A【变式】（1）在－3，－3.5，－3.75中，绝对值最小的数是________，离原点最远的是________（2）化简：|3.14－π|＝____________【解答】（1）|－3|＝3，|－3.5|＝3.5，|－3.75|＝3.75 ∵3＜3.5＜3.75∴绝对值最小的数是－3，离原点最远的是－3.75 （2）∵3.14－π＜0∴|3.14－π|＝－(3.14－π)＝π－3.14考点二 已知一个数的绝对值，求这个数【例2】已知一个数的绝对值等于2018，则这个数是____________ 【解答】∵|2018|＝2018，|－2018|＝2018，∴绝对值等于2018的数是±2018． 故答案为：±2018．【变式】绝对值小于3的所有整数是________________ 【解答】绝对值小于3的所有整数有：－2，－1，0，1，2． 【例3】如果|a |＝2，|b |＝3，且a ＜b ，求a 、b 的值。

第三讲绝对值【解析】原点两侧各有一个点到原点的距离为3，分别是表示3和－3的点．故选D．【答案】D．【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）．A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C．（方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C．【答案】C．【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________．【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6．所以a＋b＝2＋（－6）＝－4．【答案】－4．知识点2 有理数比较大小（1）利用有理数的性质比较大小①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.②比较两个负数大小的步骤：a.分别求出这两个负数的绝对值；b.比较这两个绝对值的大小；c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．（2）利用数轴比较大小数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．【注意】比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小．【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）．A．0 B．C．－2 D．【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小．（方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论．【答案】C．【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，0，1.5，－2.5．【解析】先把数2，－0.5，0，1.5，－2.5分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论．【答案】由数轴可得，－2.5＜－0.5＜0＜1.5＜2 ．【例7】 已知a ＞0，b ＞0，且|a|＞|b|，则a ，－a ，b ，－b 的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a ＞0，b ＞0，且|a|＞|b|，可以得到a ＞b ＞0．由此再得到－a ＜－b ＜0，所以a ，－a ，b ，－b 的大小关系是－a ＜－b ＜b ＜a ．【答案】－a ＜－b ＜b ＜a ．1.互为相反数的两个数的绝对值_____.2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____. 9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_____，b =_____，c =_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21|（2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| 14.计算（1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____ （3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____ 15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于0 16.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（ ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？1．在数轴上看，零 一切负数，零 一切正数；两个数，右边的数 左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越 ，即离原点越远，表示的数越 ，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而 。

绝对值【学习目标】1、能准确理解绝对值的几何意义和代数意义,并能准确熟练地求一个有理数的绝对值。

2、能掌握有理数大小的比较方法，初步培养学生观察、分析、归纳和概括的思维能力。

【知识要点】1．绝对值的定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。

2、数a 的绝对值的意义①几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离。

数a 的绝对值记作|a|。

强调：表示0的点与原点的距离是0，所以|0|＝0。

表示“距离”的数是非负数，所以绝对值是一个非负数。

②代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。

即： a （a>0）, a （a 0）|a|= 0(a=0), 或|a|=-a(a<0), -a （a<0）3、有理数的大小比较在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大．由此，我们也可得到有理数大小比较的法则：1.正数都大于0；2.负数都小于0；3.正数大于一切负数；4.两个负数，绝对值大的其值反而小．5.离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。

6.互为相反数的两个数绝对值相等。

如：|2|=2，|-2|=2【经典例题】例1、求8,－8,41,－41，0的绝对值。

例2、利用数轴求下列各数的绝对值：-3、211、0、4、-0.5。

例3、画一条数轴，并在数轴上找出与原点距离为2、3、0的点。

例4、比较下列每组数的大小：（1）2和-2 ； （2）0和│-32│； （3）-1和-5； （4）7.265--和； （5）||a 和0.例5、讨论一下│a │+a 的值的情况。

★例6、数b a ,在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：（1）比较a 和b 的大小；（2）比较a 和b 的大小；（3）判断b a a b b a b a ⨯--+,,,的符号；（4）试化简a b b a -+--a b【经典练习】一、填空题1、0.618的符号是，绝对值是2、绝对值是9的数是；绝对值是9的正数是3、数轴上到原点的距离为5的数所表示的数是4、绝对值是1的数是5、用“ ＞ ”、“＜”号填空： -8 -6； 0 -18； +0.01 0；6、有理数中,绝对值最小的数是 。

第3讲 绝对值（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。

注：这里可以是正数，也可以是负数和0.因为点B 、D 表示的数互为相反数，且它们的绝对值相等，合作探究1：在数轴上表示出下列各数，并求出它们的绝对值。

-2，1.5，0，7，-3.5，5．解：依题意得：数轴可表示为：如图所示数轴上的A 、B 、O 、C 、D 、E 分别表示-2，1.5，0，7，-3.5，5．|-2|=2，|1.5|=1.5，|0|=0，|7|=7，|-3.5|=3.5，|5|=5．根据此题的结果我们可归纳总结正数的绝对值、负数的绝对值、0的绝对值各有的特点，因此可得出（2）合作探究2：绝对值的性质：1.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.代数表示（数学语言）是：字母可个有理数。

(1)当是正数时，a = a ； (2) 当是负数时，a = -a ；(3)当是0时，a = 0 . 3.对于任意的有理数a ，0a ，即任意的有理数a 的绝对值是一个非负数，绝对值最小的有理数是0. 合作探究3：例题：写出下列各数的绝对值：6，-8，-3.9，52，2-11，100,0 解：55226=6-8=8-3.9=3.9=-=100=1000=0221111，，，，，，. （3）合作探究4：有理数的比较大小。

下列各数表示北京某一天4个时间的气温，122，-0.5，1，-2．则它们的大小关系是-2＜-0.5＜1＜122． 把上述各数的点在数轴上表示出来，然后观察它们在数轴上的位置关系如图所示：a a a a a a a a122=2.5， 结论：1.在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

2. 正数大于0，也大于负数，0大于负数。

3. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例题精讲：比较下列各组数的大小．（1）54-与43- （2）31，21-，|31|--， 0． 解：（1）|-54|=54=2016，|-43|=43=2015， 因为2016>2015,所以-54 ＜-43； （2）因为-|-31|=-31>-21,所以 31 ＞0＞-|-31|＞-21． （4）拓展延伸已知：|a-1|+|b+2|=0，求a 、b 的值.解：因为|a-1|+|b+2|=0，且|a-1|≥0，|b+2|≥0，所以根据非负数的性质可得：|a-1|=0，|b+2|=0，所以a-1=0，b+2=0，所以a=1，b=-2.（5）巩固练习1.求 +8、-12、-3、+3、－1.6的绝对值．解：|+8|=8 ；|-12|=12 ； |-3|= 3； |+3|= 3 ；∣-1.6∣=1.6.三、课堂小结：这节课我们学习了哪些知识？1、数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

第3讲 绝对值⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩绝对值的非负性比较大小绝对值数轴与绝对值绝对值的几何意义 知识点1 绝对值的非负性绝对值的性质：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(0)(0)a a a a a ≥⎧⎪=⎨⎪-<⎩(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩互为相反数的两数绝对值相等.若|x|=a （a≥0），则x=±a.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.【典例】1.若|a|=3，|b|=2，且a ＜0＜b ，则a 的相反数与b 的和为________． 【解析】解：因为|a|=3，|b|=2， 所以a=±3，b=±2， 因为a ＜0＜b ， 所以a=﹣3，b=2，所以a 的相反数与b 的和=3+2=5． 故答案为：5．【方法总结】根据绝对值的性质即可求得a ，b 的值，然后代入数据即可求解．本题考查了绝对值的性质，正确确定a ，b 的值是解题的关键. 2.已知|x -2017|+|y ﹣2016|=0，则x+y=____ 【解析】解：由|x -2017|+|y ﹣2016|=0，得x-2017=0，y﹣2016=0，解得x=2017，y=2016．x+y=4033，【方法总结】此题主要考查了绝对值的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．由“若几个非负数的和为0，则每一个数都为0”可得x+2017=0，y﹣2016=0，计算出x、y的值，进而可得答案．【随堂练习】1．（2019秋•孝义市期末）|x﹣1|+|y+3|＝0，则y﹣x﹣的值是（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．1【解答】解：∵|x﹣1|+|3+y|＝0，∴x﹣1＝0，3+y＝0，解得y＝﹣3，x＝1，∴y﹣x﹣＝﹣3﹣1﹣＝﹣4．故选：A．2．（2020•东莞市校级一模）若|x﹣1|+|y+2|＝0，则x﹣3y的值为．【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴x＝1，y＝﹣2；∴x﹣3y＝1﹣3×（﹣2）＝1+6＝7．故答案为：7．3．（2019秋•阳江期中）若|a+5|+|b﹣2|+|c+4|＝0，求÷的值．【解答】解：∵|a+5|+|b﹣2|+|c+4|＝0，∴a+5＝0，b﹣2＝0，c+4＝0，解得a＝﹣5，b＝2，c＝﹣4，÷＝×＝×＝5，即÷的值是5．知识点2比较大小两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．【典例】1.有理数﹣2，0，﹣3.2，4中最小的数是（）A. ﹣2B. 0C. ﹣3.2D. 4【解析】解：利用绝对值比较两数大小的方法，将4个数两两比较后按由小到大的顺序排列，得﹣3.2＜﹣2＜0＜4，所以最小的数是﹣3.2，故选C.【方法总结】先将各数两两比较，再按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．此题考查了有理数比较大小，牢记两个有理数比较大小的方法是解本题的关键．【随堂练习】1．（2020春•绥棱县期末）在﹣5，﹣0.9，0，﹣0.01这四个数中，最大的负数是（）A．﹣5B．﹣0.9C．0D．﹣0.01【解答】解：∵|﹣5|＞|﹣0.9|＞|﹣0.01|，∴﹣5＜﹣0.9＜﹣0.01，∴在﹣5，﹣0.9，0，﹣0.01这四个数中，最大的负数是﹣0.01．故选：D．2．（2020•兰山区模拟）下列各数中，比1大的是（）A．2B．0C．﹣1D．﹣2【解答】解：∵2＞1，∴选项A符合题意；∵0＜1，∴选项B不符合题意；∵﹣1＜1，∴选项C符合题意；∵﹣2＜1，∴选项D不符合题意．3．（2019秋•崇川区校级期末）比较大小：﹣1＜﹣（填“＞”“＜”或“＝”）【解答】解：∵|﹣1|＞||，∴．故答案为：＜知识点3数轴与绝对值绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.在数轴上，小于0的点在原点左边，大于0的点在原点右边.【典例】1.已知|a|=2，|b|=2，|c|=4，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试求a，b，c的值．【解析】解：∵|a|=2，|b|=2，|c|=4，∴a=±2，b=±2，c=±4，由数轴可知a＜0，b＞0，c＞0，∴a=﹣2，b=2，c=4．【方法总结】先根据绝对值的意义得到a=±2，b=±2，c=±4，然后根据数轴表示数的方法得到a＜0，b＞0，c＞0，从而得a、b、c的值．本题考查了绝对值的性质和数在数轴上的表示，体现了数形结合的思想.【随堂练习】1．（2018秋•沙坪坝区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c|+|c ﹣a|＝．【解答】解：由图知：c＜b＜0＜a，∴b﹣c＞0，c﹣a＜0，∴|b﹣c|﹣|c|+|c﹣a|＝b﹣c+c+a﹣c＝a+b﹣c．故答案为：a+b﹣c．2．（2017秋•渝中区校级期末）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，则化简|a|﹣|b ﹣a|+|c﹣a|＝a﹣b﹣c．【解答】解：由数轴得：c＜a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴b﹣a＞0，c﹣a＜0，∴|a|﹣|b﹣a|+|c﹣a|＝﹣a﹣b+a+a﹣c＝a﹣b﹣c，故答案为：a﹣b﹣c．知识点4 绝对值的几何意义式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离.∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.【典例】1.有理数a、b、c、d所表示的点在数轴上的位置如图所示，若|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，则|b﹣c|=______【解析】解：∵|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，即表示a的点与表示c的点之间的距离为4，表示b的点与表示d的点之间的距离为4，表示a的点与表示d的点之间的距离为5，∴表示a的点与表示b的点之间的距离为5﹣4=1，表示c的点与表示d的点之间的距离为5﹣4=1，∴表示b的点与表示c的点之间的距离为4﹣1=3．即|b﹣c|=3.【方法总结】根据绝对值的几何意义，将两个数的差的绝对值看成是这两个点之间的距离，在数轴上由线段的和差关系可求|a﹣b|，|c﹣d|，再根据线段的和差关系即可求解．本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．2. 同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是___________，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________．（3）如果|x﹣2|=5，则x=___________．（4）同理|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是______________________．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．【解析】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7，故答案为：7；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；（3）通过数轴可知，到点2距离为5的数是7和-3，故答案为：7或﹣3；（4）∵|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x-（-3）|+|x﹣1|=4，∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；（5）|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上有理数x所对应的点到3和6所对应的点的距离之和，由数轴可知，x应为数轴上3到6当中的任一点，且最短距离为3，故有最小值，最小值是3．【方法总结】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，体现了数形结合的思想.式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离，式子∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.数形结合往往能使问题变得直观、简洁，省去复杂的分析过程.【随堂练习】1．（2017秋•卫辉市期中）|x+1|+|x﹣3|的最小值是_____．【解答】解：当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣3|=﹣x﹣1﹣x+3=﹣2x+2，则﹣2x+2≥4；当﹣1＜x≤3时，|x+1|+|x﹣3|=x+1﹣x+3=4；当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|=x+1+x﹣3=2x﹣2，则2x﹣2＞4．综上所述|x+1|+|x﹣3|的最小值为4．故答案为：4．2．（2017秋•宜兴市期中）当有理数a满足______条件时，|a+4|+|a﹣5|的值最小．【解答】解：当a＜﹣4时，|a+4|+|a﹣5|=﹣a﹣4+5﹣a=1﹣2a＞9；当﹣4≤a≤5时，|a+4|+|a﹣5|=a+4+5﹣a=9；当a＞5时，|a+4|+|a﹣5|=a+4+a﹣5=2a﹣1＞9；故当﹣4≤a≤5时，|a+4|+|a﹣5|的值最小．故答案为：﹣4≤a≤5．3．（2017秋•高新区期末）阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若|x ﹣3|=|x+1|，则x=____； （2）式子|x ﹣3|+|x+1|的最小值为____； （3）若|x ﹣3|+|x+1|=7，求x 的值．【解答】解：（1）根据绝对值的意义可知，此点必在﹣1与3之间，故x ﹣3＜0，x+1＞0，∴原式可化为3﹣x=x+1， ∴x=1；（2）根据题意，可知当﹣1≤x≤3时，|x ﹣3|+|x+1|有最小值． ∴|x ﹣3|=3﹣x ，|x+1|=x+1， ∴|x ﹣3|+|x+1|=3﹣x+x+1=4；（3）∵|x ﹣3|+|x+1|=7，若x ＞3，则原式可化为（x ﹣3）+（x+1）=7，x=； 若﹣1≤x≤3，则﹣（x ﹣3）+（x+1）=7，x 不存在； 若x ＜﹣1，则﹣（x ﹣3）﹣（x+1）=7，x=﹣； ∴x=或x=﹣．故答案为：1，4，x=或x=﹣．综合集训1.在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣23|中，负数有_______________.【解析】解：因为﹣（﹣2）=2，﹣|﹣7|=-7，﹣|+1|=-1，|﹣23|=23，负数有﹣|﹣7|，﹣|+1|．故答案为﹣|﹣7|，﹣|+1|.2.若|m|=|﹣7|，则m=__________． 【解析】解：∵|﹣7|=7， ∴|m|=|﹣7|=7， ∴m=±7， 故答案为：±7．3.在数﹣5，﹣13，−25，−16中，大于﹣15的数有___________.【解析】解：∵|﹣5|=5，|﹣15|=15，5＞15，∴﹣5＜﹣15； ∵|﹣13|=13，|﹣15|=15，13＞15，∴﹣13＜﹣15； ∵|﹣25|=25，|﹣15|=15，25＞15，∴﹣25＜﹣15；∵|﹣16|=16，|﹣15|=15，16＜15，∴﹣16＞﹣15． 故答案为−16. 4.填空：（1）﹣34的绝对值的相反数是________，﹣0.3的相反数的绝对值是________； （2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是________；（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为________和________；（4）相反数等于它本身的数是________，相反数等于它的绝对值的数是_______． 【解析】解：（1）﹣34的绝对值的相反数是﹣34，﹣0.3的相反数的绝对值是 0.3； （2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是±2；（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为 3和﹣3； （4）相反数等于它本身的数是 0，相反数等于它的绝对值的数是非正数，故答案为：﹣3，0.3；±2；3，﹣3；0，非正数．45.已知|x﹣2|+|y-3|=0，则x+y=________．【解析】解：∵|x﹣2|+|y-3|=0，∴x=2，y=3，∴x+y=2+3=5．故答案为：5．6.若|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，求|x|+|y|+|z|的值．【解析】解：∵|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，∴x+1=0，y﹣2=0，z+3=0，解得：x=﹣1，y=2，z=﹣3，∴|x|+|y|+|z|=|﹣1|+|2|+|﹣3|=6．7.如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|=10，|p ﹣s|=12，|q﹣s|=9，求|q﹣r|的值.【解析】解：∵|p﹣r|=10，|p﹣s|=12，|q﹣s|=9，∴| r﹣s|=12-10=2，∴|q﹣r|=9-2=7．8.已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，求式子a+2b+3c的值．【解析】解：∵|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，∴a﹣2=0，b﹣3=0，c﹣4=0，∴a=2，b=3，c=4，∴a+2b+3c=2+6+12=20．9.如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？【解析】本题就是在数轴上存在一个点x，它到3和-1的距离之和为4，由数轴可知符合条件的x应在3和-1（包括3和-1）之间，此时该点到3和-1的距离之和为4，即∣x-3∣+∣x+1∣=4，所以-1≤x≤3。