(精品)数学讲义六年级春季班第2讲：绝对值提高-教师版

分类讨论的数学思想是中考数学的一大难点，而在绝对值这一部分，我们会第一次系统性的接触到分类讨论的数学方法．另外，同学们要理解绝对值的代数意义和几何意义，并运用其进行解题．对于任意实数a，一定有0a ．【例1】判断：（1）a一定是正数；（）（2）一个数的绝对值的相反数不是正数．（）【难度】★【答案】（1）×；（2）√．【解析】（1）任意数的绝对值是非负数，不一定为正数，为0也行．【总结】考察绝对值的非负性．绝对值提高内容分析知识结构模块一：绝对值的非负性知识精讲例题解析2 / 21【例2】 是否存在x ，使得11x +=？是否存在x ，使得10x +=？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由． 【难度】★【答案】存在，0；不存在，理由见解析． 【解析】因为11=+x ，所以0=x ，所以0=x ； 因为01=+x ，所以1-=x ，因为任何数的绝对值为非负数，则不存在这样的x ． 【总结】考察绝对值的非负性．【例3】 当x ______时，10x +>；当x ______时，10x +=；当x ______时，10x +<． 【难度】★★【答案】1-≠；1-=；不存在．【解析】因为01≥+x ，所以当01≠+x ，即1-≠x 时，01>+x ， 而1+x 为非负数，则不存在这样的x 使得01<+x ． 【总结】考察绝对值的非负性．【例4】 已知23x y -=-+，则x + y =_______． 【难度】★★ 【答案】-1．【解析】由题意可得：032=++-y x ，因为2-x 和3+y 均为非负数， 所以02=-x 且03=+y ， 所以2=x 且3-=y ， 所以1-=+y x ． 【总结】考察绝对值的非负性．【例5】 已知a 、b 、c 都是负数，且0x a y b z c -+-+-=，则x + y + z ______0．（填“>”、“<”、“=”）． 【难度】★★ 【答案】<．【解析】因为a x -、b y -、c z -为非负数， 所以0=-a x 且0=-b y 且0=-c z所以c z b y a x ===且且， 所以c b a z y x ++=++．因为a 、b 、c 都是负数， 所以z y x ++为负数，即0<++z y x ． 【总结】考察绝对值的非负性．符号a 表示数a 的绝对值．()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．【例6】 化简：34ππ-+-=______． 【难度】★ 【答案】1【解析】因为03>-π，04<-π， 所以34341ππππ-+-=-+-=．【总结】考察绝对值的性质的运用．模块二：符号已知的绝对值运算知识精讲例题解析4 / 21【例7】 （1）化简：2x -（2x <）； （2）化简：6a --（6a >-）． 【难度】★【答案】（1）x -2；（2）6+a ．【解析】（1）因为2<x ，所以02<-x ，所以x x -=-22；（2）因为6->a ，所以06<--a ，所以66+=--a a ． 【总结】考察含绝对值的化简．【例8】 10x -≤<，化简13x x -+-=______． 【难度】★ 【答案】x 24-．【解析】因为10x -≤<，所以01<-x ，03>-x ，所以131342x x x x x -+-=-+-=-． 【总结】考察含绝对值的化简．【例9】 若201622017x =，求12345x x x x x x +-+-+-+-+-的值． 【难度】★★ 【答案】9． 【解析】因为201622017x =，所以0>x ，01>-x ，02>-x ，03<-x ，04<-x ，05<-x ， 所以12345x x x x x x +-+-+-+-+-123459x x x x x x =+-+-+-+-+-=．【总结】考察含绝对值的化简，注意判定绝对值里面的式子的符号．ab 0【例10】 （1）若0x >，则25x x x-=________；（2）已知3x <-，化简321x +-+=______． 【难度】★★ 【答案】（1）51；（2）x -． 【解析】（1）因为0>x ，所以05>x ，所以22155555x x x x x x xxxx ---====； （2）因为3-<x ，所以01<+x ，所以()3213213333x x x x x x +-+=+++=++=-+=-=-． 【总结】考察取绝对值的方法．绝对值里面有绝对值，先从里面开始取绝对值．【例11】 如图，化简：a b b a a b b +--+--=_______． 【难度】★★ 【答案】b a 2+-．【解析】由数轴可得：0<+b a ，0<-a b ，0>a ，0<b ， 所以a b b a a b b +--+--()()()a b b a a b b =-++-+---22a b b a a b a b =--+-+-=-+．【总结】考察数轴上有理数比较大小和绝对值的求法．【例12】 设a < 0，且ax a≤，试化简：12x x +--． 【难度】★★ 【答案】3-．【解析】因为0<a ，所以1-=-=≤aaa a x ， 所以01≤+x ，02<-x ， 所以()()1212123x x x x x x +--=-+---=--+-=-⎡⎤⎣⎦． 【总结】考察含绝对值的化简，注意先判定符号，再去绝对值．6 / 21【例13】 已知0a <，0ab <，求15b a a b -+---的值． 【难度】★★ 【答案】4-．【解析】因为0a <，0ab <，所以0>b ， 所以01>+-a b ，05<--b a ，所以()1515154b a a b b a a b b a a b -+---=-+----=-++--=-⎡⎤⎣⎦．【总结】考察含绝对值的化简，注意先判定符号，再去绝对值．【例14】 如果010m <<并且10m x ≤≤，那么代数式1010x m x x m -+-+--化简后得到的结果是多少？ 【难度】★★★ 【答案】20+-x ．【解析】因为010m <<并且10m x ≤≤， 所以0≥-m x ，010≤-x ，010<--m x 所以1010x m x x m -+-+--1010x m x m x =-+-++- 20x =-+．【总结】考察含绝对值的化简，注意先判定符号，再去绝对值．如果题干中没有直接给出相关式子的正负情况，则在进行绝对值化简时，需要先确定相关式子的符号，然后再进行绝对值化简．这种题型大致分为两种：（1）根据已知条件，可以先判断出相关式子正负情况；（2）条件中没有给出能够判断正负情况的条件，需自主进行讨论，运用零点讨论法．【例15】 化简：（1）x ； （2）2x +． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）当0x >时，x x =；当0x =时，0x =；当0<x 时，x x -=；（2）当20x +>，即2x >-时，22x x +=+； 当20x +=，即2x =-时，20x +=；当20x +<，即2x <-时，22--=+x x ． 【总结】考察含绝对值的化简，注意要分类讨论．【例16】 22a a -=-，则a 的取值范围是_____________． 【难度】★ 【答案】2≤a ．【解析】由题意可得：02≤-a ，所以2≤a ． 【总结】考察对绝对值性质的理解及运用．模块三：符号未知的绝对值运算知识精讲例题解析8 / 21【例17】 若0a a +=，则化简12a a ---=______． 【难度】★★【答案】1-．【解析】因为0a a +=，所以0≤a ，所以01<-a ，02<-a ， 所以()1212121a a a a a a ---=----=-+-=-⎡⎤⎣⎦．【总结】本题综合性较强，要先根据题目中条件判定a 的取值范围，从而再对后面的式子进行化简求值．【例18】 若20072007x x +=-，则x 的取值范围是__________． 【难度】★★ 【答案】2007-≤x ．【解析】当2007-≤x 时，则20072007--=+x x ，20072007--=-x x ，此时左边=右边；当02007<<-x ，则20072007+=+x x ，20072007--=-x x ，此时左边≠右边； 当0≥x ，则20072007+=+x x ，20072007-=-x x ，此时左边≠右边． 所以x 的取值范围是2007-≤x ．【总结】本题综合性较强，主要考查对绝对值化简的综合理解及运用．【例19】 如果51x x -++是一个常数，则x 的取值范围是____________． 【难度】★★ 【答案】5≤x ．【解析】因为当61515=++-=++-x x x x 是，结果为一个常数，符合题意， 所以05≤-x ，即5≤x ．【总结】考察对绝对值性质的理解及运用．【例20】 化简：33x x --．【难度】★★【答案】见解析． 【解析】当3>x 时，13333=--=--x x x x ； 当3<x 时，13333-=--=--x x x x ． 【总结】考察含绝对值的化简，注意分类讨论．【例21】 化简：23x x ++-． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】当2-<x 时，232321x x x x x ++-=--+-=-+；当32≤≤-x 时，23235x x x x ++-=++-=； 当3>x 时，232321x x x x x ++-=++-=-．【总结】考察含绝对值的化简，令02=+x ，可得2-=x ；令03=-x ，可得3=x ，则2-和 3将有理数分为三个范围2-<x 、32≤≤-x 、3>x ，故此题需要分三种情况讨论，这种讨 论方法也称作“零点分段法”．【例22】 已知2x <-，化简：11x -+． 【难度】★★ 【答案】2--x ．【解析】因为2-<x ，所以01<+x ，02<+x ， 所以111122x x x x -+=++=+=--．【总结】考察含绝对值的化简．10 / 21【例23】 已知54x -=，35y +=，求2x y +的值． 【难度】★★【答案】4或-6或10或20．【解析】因为54x -=，35y +=， 所以45±=-x ，53±=+y ，所以19x =或，82y =-或， 当18x y ==-，时，62-=+y x ； 当12x y ==，时，42=+y x ； 当98x y ==-，时，102=+y x ； 当92x y ==，时，202=+y x ． 【总结】考察含绝对值的化简及求值，注意要先分类讨论．【例24】 若0ab ≠，则a b ab a b ab++=______． 【难度】★★ 【答案】3或-1．【解析】当b a 、同为正数时，1113a b ab a b aba b ab a b ab++=++=++=； 当b a 、同为负数时，1111a b ab a b ab a b ab a b ab++=++=--+=---；当b a 、异号时，1111a b ab a b aba b ab a b ab++=++=--=---．【总结】考察含绝对值的化简，注意分类讨论．【例25】 （1）当x 取何值时，x 可取得最小值？并求出此最小值； （2）当x 取何值时，2x -可取得最小值？并求出此最小值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】（1）因为0≥x ，所以x 可取得最小值，最小值为0，此时0x =；（2）因为02≥-x ，所以2-x 可取得最小值，最小值为0，此时2=x ． 【总结】考察绝对值的非负性的运用．【例26】 求12x x -++的最小值． 【难度】★★★ 【答案】3【解析】当2-<x 时，121221x x x x x -++=---=--， 因为2-<x ，所以42>-x ，所以312>--x ； 当12≤≤-x 时，12123x x x x -++=-++=； 当1>x 时，121221x x x x x -++=-++=+， 因为1>x ，所以22>x ，所以312>+x ；综上所述，123x x -++≥， 所以12x x -++有最小值3．【总结】本题综合性较强，主要是利用“零点分段法”对绝对值进行化简．【例27】 化简123a a a ++-+-． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】当1-<a 时，12312334a a a a a a a ++-+-=--+-+-=-+；当21≤≤-a 时，1231236a a a a a a a ++-+-=++-+-=-； 当32≤≤a 时，1231232a a a a a a a ++-+-=++-+-=+；当3>a 时，12312334a a a a a a a ++-+-=++-+-=-．【总结】本题综合性较强，主要是利用“零点分段法”对绝对值进行化简．【例28】 （1）求123x x x -+-+-的最小值； （2）求1234x x x x -+-+-+-的最小值． 【难度】★★★【答案】（1）2；（2）4．12 / 21【解析】（1）当1<x 时，12312336x x x x x x x -+-+-=-+-+-=-+，因为1<x ，所以33->-x ，所以363>+-x ，即1233x x x -+-+->； 当21≤≤x 时，1231234x x x x x x x -+-+-=-+-+-=-+，因为21≤≤x ，所以12-≤≤-x ，所以342≤+-≤x ，即21233x x x ≤-+-+-≤； 当32<<x 时，123123x x x x x x x -+-+-=-+-+-=， 因为32<<x ，所以21233x x x <-+-+-<；当3≥x 时，12312336x x x x x x x -+-+-=-+-+-=-，因为3≥x ，所以93≥x ，所以363≥-x ，所以1233x x x -+-+-≥； 综上所述，1232x x x -+-+-≥，所以123x x x -+-+-的最小值为2． （2）当1<x 时，12341234410x x x x x x x x x -+-+-+-=-+-+-+-=-+， 因为1<x ，所以44->-x ，所以6104>+-x ，即12346x x x x -+-+-+->； 当21≤≤x 时，1233123428x x x x x x x x x -+-+-+-=-+-+-+-=-+， 因为21≤≤x ，所以224-≤-≤-x ，所以6824≤+-≤x ， 即412346x x x x ≤-+-+-+-≤；当32<<x 时，123412344x x x x x x x x -+-+-+-=-+-+-+-=， 当43≤≤x 时，1234123422x x x x x x x x x -+-+-+-=-+-+-+-=-， 因为43≤≤x ，所以826≥≤x ，所以6224≥-≤x ， 所以412346x x x x ≤-+-+-+-≤；当4>x 时，12341234410x x x x x x x x x -+-+-+-=-+-+-+-=-， 因为4>x ，所以164>x ，所以6104>-x ，所以12346x x x x -+-+-+->； 综上所述，12344x x x x -+-+-+-≥， 所以1234x x x x -+-+-+-的最小值为4．【总结】本题综合性较强，主要是利用“零点分段法”对绝对值进行化简．【例29】 化简：121x x --++． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】当1-<x 时，121111122x x x x x x x =--++=--++=----=--原式； 当11≤≤-x 时，121111122x x x x x x x =--++=--++=+++=+原式； 当31<<x 时，12131314x x x x x x =--++=-++=-++=原式； 当3≥x 时，121313122x x x x x x x =--++=-++=-++=-原式． 【总结】本题综合性较强，主要是利用“零点分段法”对绝对值进行化简．【例30】 若245134x x x +-+-+恒为常数，求x 的取值范围． 【难度】★★★【答案】5431≤≤x ．【解析】若245134x x x +-+-+恒为常数，则要使得4513x x -+-的结果中出现x 2-， 而当4513453123x x x x x -+-=-+-=-+时，结果中有x 2-，所以054≥-x 且031≤-x ， 所以5431≤≤x ． 【总结】本题综合性较强，主要是利用绝对值的性质进行化简．14 / 21【习题1】 计算：111111102101103102103101-+---． 【难度】★【答案】0．【解析】111111102101103102103101-+---1111111011021021031011031111111011021021031011030⎛⎫=-+--- ⎪⎝⎭=-+--+= 【总结】考察含绝对值的化简，注意先判定符号，再去绝对值．【习题2】 已知0x x +=，则x 的取值范围是_________． 【难度】★ 【答案】0≤x ．【解析】因为0x x +=，所以x x -=，所以0≤x ．【总结】考察含绝对值的化简，注意先判定符号，再去绝对值．【习题3】 已知2x <-，求11x -+化简后的结果． 【难度】★ 【答案】2--x ．【解析】因为2x <-， 所以111122x x x x -+=++=+=--．【总结】考察含绝对值的化简，注意先判定符号，再去绝对值．随堂检测【习题4】 若2123034a b ++-=，则3b a -=________． 【难度】★★【答案】127．【解析】因为绝对值都是非负数， 所以0322=+a 且0413=-b ， 所以31-=a 且121=b ， 所以1273112133=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=-a b ．【总结】考察绝对值的非负性的应用．【习题5】 化简：（1）5a -； （2）23x x --． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当05>-a ，即5<a 时，a a -=-55；当05=-a ，即5=a 时，05=-a ； 当05<-a ，即5>a 时，55-=-a a ；（2）令0=x ，则0=x ；令03=-x ，则3=x ；当0<x 时，则()3323232--=+--=---=--x x x x x x x ； 当30≤≤x 时，则()333232-=--=--x x x x x ； 当3>x 时，则()33232+=--=--x x x x x ．【总结】考察绝对值的化简，注意第（2）小题利用“零点分段法”进行化简．16 / 21acb0 1 【习题6】 化简：a b c abc++=_______．【难度】★★【答案】3或1或1-或3-． 【解析】当c b a 、、同为正数时，则3=++=++ccb b a ac cb b a a ；当c b a 、、有一个为正数，另两个为负数时，1111-=--=-+-+=++c cb b a ac c b b a a ；当c b a 、、有两个为正数，另一个为负数时，1111=-+=-+-+=++ccb b a ac c b b a a ；当c b a 、、同为负时，则3-=-+-+-=++ccb b a ac c b b a a ．【总结】考察含绝对值的化简，注意先判定符号，再去绝对值，此题要分类讨论．【习题7】 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求式子a b a b b c ++++-化简结果．【难度】★★ 【答案】c b +．【解析】因为01<<-a ，c b <<1，所以0>+b a ，0<-c b ，所以a b a b b c ++++-()a b a b b c =-+++--a b a b b c b c =-+++-+=+． 【总结】考察含绝对值的化简，注意先判定符号，再去绝对值．【习题8】 a > 0，b < 0，a b <，化简：a b a b a b b a +--+----． 【难度】★★★ 【答案】a 4-．【解析】因为a > 0，b < 0，a b <，所以b a -<，0<+b a ，0>-b a ，()0>+-=--b a b a ，0<-a b ， 所以a b a b a b b a +--+----()()()=a b a b a b b a ----+--+- 4a b a b a b b a a =---+--+-=-．【总结】考察含绝对值的化简，注意先判定符号，再去绝对值．【习题9】 已知5a =，3b =，且a b b a -=-，求a + b ． 【难度】★★★ 【答案】2-或8-．【解析】因为5a =，3b =，所以5=a 或5-，3=b 或3-， 因为a b b a -=-，所以0<-b a ， 所以5-=a ，3=b 或5-=a ，3-=b ， 所以2-=+b a 或8a b +=-．【总结】本题主要考查对绝对值性质的综合运用，注意两种情况的讨论．【习题10】 化简：5710x x x ++-++． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】令05=+x ，则5-=x ；令07=-x ，则7=x ；令010=+x ，则10-=x ，当10-<x 时，8310751075--=--+---=++-++x x x x x x x ； 当510-≤≤-x 时，1210751075+-=+++---=++-++x x x x x x x ； 当75≤<-x 时，2210751075+=+++-+=++-++x x x x x x x ； 当7>x 时，8310751075+=++-++=++-++x x x x x x x ． 【总结】本题综合性较强，主要是利用“零点分段法”对绝对值进行化简．18 / 21ba 0【作业1】 已知66a a -=-，则a 的范围是________． 【难度】★ 【答案】6≤a ．【解析】因为06≤-a ，所以6≤a ． 【总结】考察对绝对值的意义的理解及运用．【作业2】 已知13x <<，化简下列各式：（1）3131x x x x --+--； （2）13x x -+-． 【难度】★【答案】（1）0；（2）2．【解析】因为31<<x ，所以x x -=-33，11-=-x x ， 所以（1）31311103131x x x x x x x x ----+=+=-+=----；（2）23131=-+-=-+-x x x x ．【总结】考察含绝对值的化简，注意先判定符号，再去绝对值．【作业3】 数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简：a b b a b a a ++-+--． 【难度】★★ 【答案】b ．【解析】由题意可得：0<a ，0>b ，0<+b a ，0>-a b ， 所以a b b a b a a ++-+-- ()a b b a b a a =--+-+--- a b b a b a a =--+-+-+ ()2a b b a b a =--+-+-- b=【总结】考察绝对值的化简和数轴上实数比较大小．课后作业acb1【作业4】 若3x -与2x y -+互为相反数，求2x y +的值． 【难度】★★ 【答案】11．【解析】因为3x -与2x y -+互为相反数， 所以023=+-+-y x x ， 所以03=-x 或02=+-y x ， 所以3=x 或5=y ， 所以115322=+⨯=+y x ． 【总结】考察绝对值的非负性的运用．【作业5】 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简： 11a a b a b b c a b ++-+++-++-．【难度】★★ 【答案】c b +2．【解析】因为01<<-a ，c b <<1，所以01>+a ，0<-b a ，0>+b a ，0<+-a c b ，01<-b 所以11a a b a b b c a b ++-+++-++-=112a a b a b b c a b b c +-+++-+--+=+．【总结】考察绝对值的化简和数轴上的数的大小比较．【作业6】 已知3x π=-，求123491011x x x x x x x +-+++-++++-+++的值．【难度】★★ 【答案】4x =-+． 【解析】∵13-<-=πx ， ∴01<+x ，02>+x ，03>+x ，．．．．．．011>+x ， 所以123491011x x x x x x x +-+++-++++-+++()()()()()()123491011x x x x x x x =---+++-++++-+++1234567891011x x x x x x x x x x x =----++--++--++--++--++4x =-+．【总结】考察含绝对值的化简，注意先判定符号，再去绝对值．20 / 21【作业7】 已知x > 0，y < 0，z < 0，且x y >，z x >，化简：x z y z x y +-+-+． 【难度】★★ 【答案】x 2-．【解析】因为x > 0，y < 0，z < 0，且x y >，z x >， 所以y x ->，x z >-， 所以0<+z x ，0<+z y ，0>+y x ， 所以x z y z x y +-+-+2x z y z x yx =--++--=-．【总结】考察含绝对值的化简，注意先判定符号，再去绝对值．【作业8】 化简：（1）x x x-； （2）3121x x ++-．【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】（1）当0>x ，则0x x x x xx --==，当0<x 时，222x x x x x xxxxx-----====-； （2）当013=+x 时，31-=x ；当012=-x 时，21=x ，当31-<x 时，312131215x x x x x ++-=---+=-；当2131≤≤-x 时，312131212x x x x x ++-=+-+=+； 当21>x 时，312131215x x x x x ++-=++-=． 【总结】考察绝对值的化简，注意第（2）小题利用“零点分段法”进行化简．【作业9】 求10394201201x x -++的最小值． 【难度】★★★ 【答案】201197． 【解析】令0201103=-x ，则201103=x ； 令020194=+x ，则20194-=x ； 当20194-<x 时，10394103943220120120120167x x x x x -++=---=-， 因为20194-<x ，所以2011882-<x ，2011882>-x ，所以2011972673>-x ； 当20110320194≤≤-x 时，1039410394197201201201201201x x x x -++=-++=； 当201103>x 时，10394103943220120120120167x x x x x -++=-++=-， 因为201103>x ，所以2012062>x ，所以2011976732>-x ， 综上所述：10394197201201201x x -++≥，故10394201201x x -++的最小值为201197． 【总结】考察利用“零点分段法”进行化简，综合性较强，注意对取值范围进行判定．【作业10】 已知1a b c a b c ++=，求abcbc ac ab abc bc ac ab ⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭的值． 【难度】★★★【答案】1-． 【解析】当c b a 、、同为正时，则3=++=++cc b b a a c c b b a a ； 当c b a 、、有一个为正数，另两个为负数时，1111-=--=-+-+=++cc b b a a c c b b a a ； 当c b a 、、有两个为正数，另一个为负数时，1111=-+=-+-+=++cc b b a a c c b b a a ； 当c b a 、、同为负时，则3a b c a b c a b c a b c ---++=++=-； 所以c b a 、、有两个为正数，另一个为负数， 所以0<abc所以111abcbc ac ab abc bc ac ab abc bc ac ab abc bc ac ab ⎛⎫-⎛⎫÷=÷=-÷=- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题综合性较强，主要是根据题目中给出的条件先判定a 、b 、c 的符号，然后计算．。