高二数学一元二次不等式及其解法试题

高二数学一元二次不等式及其解法试题

1. 如果不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为空集，那么（ ）

A．a<0,Δ>0 B．a<0,Δ≤0 C．a>0,Δ≤0 D．a>0,Δ≥0

【答案】C

【解析】只能是开口朝上，最多与x轴一个交点情况∴a>0,Δ≤0；故选C。

【考点】主要考查一元二次不等式解法。

点评：基本题型，记清不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集的各种情况。

2. 不等式(x+5)(3－2x)≥6的解集为（ ）

A．｛ｘ｜x≤－1或ｘ≥｝

B．｛ｘ｜－1≤ｘ≤｝

C．｛ｘ｜x≥1或ｘ≤－｝

D．｛ｘ｜－≤ｘ≤1｝

【答案】D

【解析】首先移项，合并同类项，分解因式可得－≤ｘ≤1，故选D。

【考点】主要考查一元二次不等式解法。

点评：基本题型，解不等式ax2+bx+c>0(<0)(a≠0)首选因式分解法，注意各因式中x系数化为正。

3. 若二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

x

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

y

6

0

－4

－6

－6

－4

0

6

则不等式ax2+bx+c>0的解集是 。

【答案】(－∞，－2)∪（3，＋∞）

【解析】两个根为2，－3，由函数值变化可知a>0∴ax2+bx+c>0的解集是(－∞，－2)∪（3，＋∞）。

【考点】主要考查一元二次不等式的概念及解法。

点评：基本题型，一元二次方程的根为“变号零点”。

4. 若集合Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ2－4ｘ＋3＜0},Ｂ＝｛ｘ∈Ｒ｜（ｘ－2）（ｘ－5）＜0｝，则Ａ∩Ｂ=_______________________________．

【答案】{x│2

【解析】因为，，所以Ａ∩Ｂ={x│2

【考点】主要考查一元二次不等式解法、集合的运算。

点评：基本题型，求集合的交集、并集，往往先解不等式，明确集合中的元素。借助数轴，避免出错。

5. 不等式（x-2）≥0的解集为________________．

【答案】{x│x≥3或x=2或x=-1} 【解析】 等价于x-2=0或x2-2x-3=0或取并集可得{x│x≥3或x=2或x=-1}。

【考点】主要考查一元二次不等式解法、简单高次不等式解法、无理不等式解法。

点评：基本题型，易错题。考虑问题要全面，特别注意“=”成立的情况。

6. 设f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)>0，f(1)>0

求证：（1）a>0，－2<<－1

（2）函数f(x)在（0，1）内有零点。

【答案】见解析。

【解析】（1）∵f(0)>0,f(1)>0∴c>0,3a+2b+c>0再由a+b+c=0,消去b，得a>c>0；消去c，得a+b<0,2a+b>0。故－2<<－1；

（2）抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为（，）。∵－2<<－1

∴。由于f()===<0而f(0)>0，f(1)>0，所以函数f(x)在（0，）和（，1）内各有一个零点

【考点】主要考查一元二次不等式解法、二次函数图象和性质。

点评：综合性较强，涉及“二次”问题，借助于二次函数图象和性质分析，往往是必须地。

7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；

（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，．

【解析】（1）要求离心率，只要找到一个关于的等式即可，观察已知条件说明是的中点，故可由垂直写出直线的方程，得出点坐标，列出关于的等式；（2）由（1）的外接圆的圆心就是，半径是，由直线与圆相切（圆心到切线的距离等于圆的半径）可求得；（3）本小题是探索性命题，直线与椭圆相交，一般设交点为，直线的方程为，把直线方程代入椭圆方程可得，从而有，以邻边的平行四边形是菱形，说明，为方便运算用向量表示为，这样可把表示为 的函数，由此可求得的取值范围．

试题解析：（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）

知

∵，∴，

由于，即F1为F2Q中点．

故 ∴b2=3c2=a2﹣c2，

故椭圆的离心率．

（2）由（1）知，得．于是，，

△AQF的外接圆圆心为，半径r=|FQ|=a 所以，解得a=2，∴c=1，b=，

所求椭圆方程为．

（3）由（Ⅱ）知F2（1，0）l：y=k（x﹣1）

代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0

设M（x1，y1），N（x2，y2）

则，y1+y2=k（x1+x2﹣2），

=（x1+x2﹣2m，y1+y2）

由于菱形对角线垂直，则

故k（y1+y2）+x1+x2﹣2m=0

则k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m=0k2

由已知条件知k≠0且k∈R∴∴

故存在满足题意的点P且m的取值范围是．

【考点】椭圆的几何性质，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系问题．

【名师点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，有一定的难度，解决此类问题的关键：一是结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，等；二是当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.

8. 在，三个内角、、所对的边分别为、、，若内角、、依次成等差数列，且不等式的解集为，则__________

【答案】

【解析】中，内角依次成等差数列， ,不等式的解集为的面积为，故答案为.

9. 设函数.

（1）当时，求关于的不等式的解集；

（2）若在上恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)详见解析;(2).

【解析】解含参的一元二次不等式，当二次项系数含参时，首先讨论二次项的系数，特别是不能忘记二次项系数为0的情况，当二次项的系数不为0时，分二次项系数大于0，和小于0两种情况，比较两根的大小，根据不等式的要求写出不等式的解集；分离参数法求参数的取值范围也是常见题型，首先分离参数，注意不等号的方向，求最值，利用“极值原理”求最值，给出参数的取值范围.

试题解析：

（1）若，原不等式可化为，解得；

若，原不等式可化为，解得或；

若，原不等式可化为，其解得情况应由与的大小关系确定，

当时，解得∅； 当时，解得；

当时，解得.

综上所述，当时，解集为或；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为∅；

当时，解集为.

（2）由得

在上恒成立，即在上恒成立

令，则只需

，当且仅当时等式成立.

.

【点睛】本题为解含参的一元二次不等式，若二次项的系数含有参数，先对二次项系数分类讨论，特别是不能忘记二次项系数为0的情况，当二次项的系数不为0时，分二次项系数大于0，和小于0两种情况，比较两根的大小，根据不等式的要求写出不等式的解集；当二次项的系数不含参数时，讨论判别式的情况，若有根则求根，若两根大小不定时，还要讨论两根的大小，根据不同情况，画出抛物线属性结合，写出解集. 分离参数法求参数的取值范围也是常见题型，首先分离参数，注意不等号的方向，求最值，利用“极值原理”求最值，给出参数的取值范围.

10. 已知函数.

(1)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1);(2)详见解析.

【解析】（1）对讨论，时不合题意；合题意；，利用判别式小于解不等式，求交集即可得到所求范围；（2）先将不等式化为，再对参数的取值范围进行讨论，利用一元二次不等式的解法分别解不等式即可.

试题解析：（1）当时，恒成立；

当时，要使对任意实数，恒成立，需满足，

解得，故实数的取值范围为.

（2）由不等式得，

即.

方程的两根是，.

①当时， ，不等式的解为或；

②当时，不等式的解为；

③当时，不等式的解为；

④当时，，不等式无解； ⑤当时，，不等式的解为.

【方法点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.