八年级下册《17.1 勾股定理的应用》课件

专题05勾股定理的应用十种最常考类型（解析版）

类型一大树折断问题

【典例1】（2023春•德庆县期末）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树

顶端刚好落在地面上，此处离树底部8m处．

【思路引领】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：62+x2＝（16﹣6）2，

解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．

故答案为：8．

【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平

方和等于斜边的平方．

【变式训练】1．（2023•南宁模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折

者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问

折断处离地面（）尺．

A．4B．3.6C．4.5D．4.55

【思路引领】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即

可．

【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，

设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，

即折断处离地面4.55尺．

故选：D．

【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．类型二水杯中的筷子问题及类似问题

【典例2】（2023春•陕州区期中）如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面

盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小

忽略不计）的取值范围是（）

A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13

【思路引领】如图，过A作AB⊥BC于B，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：如图，过A作AB⊥BC于B，

人教版八年级数学下册《勾股定理》

勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。在直角三角形中，斜边（即直角对边）的平方等于其他两边（即直角边）的平方和。这个定理不仅在我国古代就已经被发现，而且在全球范围内也被广泛接受和应用。

勾股定理的表达式为：a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。

这个定理的发现和应用对于几何学的发展具有重要意义。它不仅解决了许多实际问题，如测量、建筑、工程等，而且在数学研究中也起到了关键作用。通过勾股定理，我们可以轻松地计算出直角三角形中任意一边的长度，只要我们知道其他两边的长度。

在学习勾股定理的过程中，我们不仅要掌握定理的表达式和推导过程，还要学会如何应用它解决实际问题。通过勾股定理的学习，我们可以培养逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。

勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它不仅在我国古代就已经被发现，而且在全球范围内也被广泛接受和应用。学习勾股定理不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以培养我们的数学思维能力。因此，我们应该认真学习和掌握勾股定理，为将来的学习和生活打下坚实的基础。

人教版八年级数学下册《勾股定理》

勾股定理的发现和应用对于几何学的发展具有重要意义。它不仅解决了许多实际问题，如测量、建筑、工程等，而且在数学研究中也起到了关键作用。通过勾股定理，我们可以轻松地计算出直角三角形中任意一边的长度，只要我们知道其他两边的长度。

在学习勾股定理的过程中，我们不仅要掌握定理的表达式和推导过程，还要学会如何应用它解决实际问题。通过勾股定理的学习，我们可以培养逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。

1. 我们假设有一个直角三角形，其中直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。

3. 然后，我们将直角三角形的两个直角边分别放在正方形的两个相邻边上，使得直角三角形的斜边与正方形的对角线重合。

4. 通过观察，我们可以发现，正方形的面积等于两个直角三角形的面积之和，即a² + b² = c²。

初中数学勾股定理解析

勾股定理是勾股定理、直角三角形的一个性质，在初中数学中有着广泛的应用，是初中数学的基础知识之一。勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果有三个直角边，那么就有三个等腰三角形。

初中数学中涉及勾股定理的题型主要有：

（2）、直角三角形斜边和直角边长的比为1;

（3）、直角三角形斜边上的中线和斜边所对的直角边上的高相等。

一、勾股定理的一般形式

勾股定理的一般形式是：“直角三角形斜边的平方等于斜边上的高的平方”，即a^2+b^2=c^2。

（1）、直角三角形中，斜边上的高和斜边所在直线上的高，在直角三角形中不是同一个点，但是它们可以组成一个等边三角形。

二、勾股定理的推证

在初中数学中，有很多的证明方法，其中以证明直角三角形的斜边和直角边的比为1的证明方法最为常见，也最为常用。

首先我们来看勾股定理的推证方法：

1、直角三角形斜边与对角线的比是1;

在初中数学中，以直角三角形斜边和直角边长的比为1进行推证，只需要我们将两个直角三角形转化成一个直角三角形就可以了。 三、勾股定理在初中数学中的应用

勾股定理在初中数学中的应用主要有以下几种：

（1）、根据勾股定理的逆定理，求出三角形的外接圆。

（2）、利用勾股定理解决一元二次方程问题。

（3）、利用勾股定理证明某些图形的面积等。

（4）、利用勾股定理计算两个三角形的相似比。

四、勾股定理在几何中的证明

勾股定理在几何中的证明主要有：（1）、直角三角形斜边上的中线和斜边所对的直角边上的高所成的角是直角三角形；（2）、直角三角形三边长与斜边长的比为3:3=2;（3）中线和斜边所对的直角边上的高所成的角是钝角三角形。

勾股定理在初中数学中具有十分重要的作用，是初中数学中重要的基础知识之一，是初中数学中需要掌握与理解、应用最为广泛的基本内容之一。勾股定理在初中数学中应用广泛，是初中数学中比较重要和基础、重点内容之一，同时也是中考必考点。在中考试题中，勾股定理主要考查学生对各种条件之间关系的分析判断能力和综合应用能力，以及对数学知识结构和知识体系掌握程度。

第十七章 勾股定理（应用题篇）

知识梳理+九大例题分析+经典同步练习

知识梳理

方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：

1．审题—分析实际问题；

2．建模—建立相应的数学模型；

3．求解—运用勾股定理计算；

4．检验—是否符合实际问题的真实性．

题型总结：确定几何体上的最短路线，先将立体图形展开成平面图形，注意展开方式，再构造直角三角形来求解最短距离；

在求一些高度、长度、距离、宽度等量时，首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题再利用勾股定理进行求解。

关键词：直角三角形（寻找直角三角形、构造直角三角形）

典型例题

例题1．如图，是一高为2m，宽为1.5m的门框，李师傳有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；①号木板长2.8m，宽2.8m；①号木板长4m，宽2.4m．可以从这扇门通过的木板是（ ）

A．①号 B．①号 C．①号 D．均不能通过

【答案】C

【解析】

根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可．解：如图，由勾股定理可得：

2242.252.5,EFOFOE

所以此门通过的木板最长为2.5m，

所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米．所以选①号木板．

故选C.

例题2．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是（ ）

A．2m B．4m C．6m D．8m

【答案】D 【解析】

由题意可知OB=7m，OA=24m，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB=DC，又由题意可知OD=15m，进而得出答案．解：在直角三角形AOB中，因为AO=24m，OB=7m，

由勾股定理得：AB=22AOBO=25（m），