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导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。
如果xy ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x ex'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。
导数定义运算知识点总结一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。
具体来说，如果一个函数在某一点处的导数存在，那么这个导数就描述了函数在该点处的变化速率。
导数的定义可以通过极限的概念来给出，具体来说，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处函数f(x)的变化率为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增加量。
上面的定义是导数的一般形式，通过这个定义可以得到一些常用的导数计算方法。
比如对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数，我们可以通过导数的定义来计算它们在某一点处的导数。
另外，还可以通过导数的定义来证明某一函数在某一点处的导数的存在性和计算导数的值。
二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中的一个重要内容，它包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等方面的内容。
1. 导数的四则运算法则对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，它们的导数满足一些基本运算法则。
具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)分别在某一点x处的导数存在，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过以下公式求得：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2这些公式可以帮助我们在实际计算中求解复合函数的导数、隐函数的导数等问题。
2. 复合函数的导数复合函数是指一个函数中包含了另一个函数。
如果函数y=f(g(x))是一个复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来求解。
13导数的概念及运算1.变化率与导数 (1)平均变化率对于函数y ＝f (x )，□01f x 2－f x 1x 2－x 1＝ΔyΔx叫做函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率(2)导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 ΔyΔx＝limΔx →0 f x 0＋Δx －fx 0Δx，称它为函数y ＝f (x )在□04x ＝x 0处的导数，记为□05f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即□06f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝ limΔx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx2．导数的运算⎣⎢⎡⎦⎥⎤fx gx ′＝ f ′x g x －g ′x f xg 2x⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g x ′＝－g ′xg 2x3．谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．4．熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．5．求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数．(2)由外向内逐层求导．练习一1.下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3xlog 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln 2；③(e 1－x )′＝e 1－x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝x . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 ①中，(3x )′＝3x ln 3，错误；②中，(log 2x )′＝1x ·ln 2，正确；③中，(e1－x)′＝－e1－x，错误；④中，⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝0·ln x －1xln x2＝－1xln x2，错误，因此求导运算正确的个数为1.2.有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134答案 D解析 s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t ′＝2t －3t 2，当t ＝2时，s ′＝2×2－322＝134，所以该机器人在t ＝2时的瞬时速度为134. 3.已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x 图象的切线，则实数a ＝________.答案 e 2解析 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.4.设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则f ′(1)＝________.答案 0解析 因为f (x )＝x 3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，所以f ′(x )＝3x 2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1.所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1.解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1.所以f ′(x )＝3x 2－2x －1，所以f ′(1)＝0. 5．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； (2)y ＝x －sin2x cos2x ； (3)y ＝e x cos x ； (4)y ＝ln2x ＋1x.解 (1)因为y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1， 所以y ′＝18x 2＋4x －3.(2)因为y ＝x －sin2x cos2x ，所以y ＝x －12sin4x ，所以y ′＝1－12cos4x ×4＝1－2cos4x .(3)y ′＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′ ＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )． (4)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln2x ＋1x ′＝[ln2x ＋1]′x －x ′ln2x ＋1x 2＝2x ＋1′2x ＋1·x －ln2x ＋1x 2＝2x2x ＋1－ln 2x ＋1x 2＝2x －2x ＋1ln 2x ＋12x ＋1x 2.6.求下列函数的导数： (1)y ＝ln x ＋1x ；(2)y ＝sin xx；(3)y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x .解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝sin x ′x －sin x ·x ′x 2＝x cos x －sin xx 2.(3)y ′＝(x 2＋2x －1)′e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(e 2－x )′ ＝(2x ＋2)e2－x＋(x 2＋2x －1)(－e2－x)＝(3－x 2)e 2－x .7.曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________． 答案 y ＝3x解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .角度2 求切点坐标8.设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)答案 D解析 f ′(x )＝(x 3＋ax 2)′＝3x 2＋2ax ， 由题意得f ′(x 0)＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，所以⎩⎨⎧3x 20＋2ax 0＝－1， ①x 0＋x 30＋ax 20＝0， ②由①知x 0≠0，故②可化为1＋x 20＋ax 0＝0，所以ax 0＝－1－x 20代入①得3x 20＋2(－1－x 20)＝－1，即x 20＝1，解得x 0＝±1.当x 0＝1时，a ＝－2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝－1； 当x 0＝－1时，a ＝2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝1，所以点P 的坐标为(1，－1)或(－1,1)．9．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A ．e－12B ．2e －12C ．e 12D ．2e 12答案 B解析 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切线的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x，于是有⎩⎨⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，则a ＝2x 0＝2e －12，故选B. 10．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 3－ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为________．答案 2解析 因为当x >0时，f (x )＝x 3－ln x ，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3－ln (－x )，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x 3＋ln (－x )，则f ′(x )＝3x 2＋1x，所以f ′(－1)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为2.11．已知直线l 为曲线y ＝a ＋ln xx在点(1，a )处的切线，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积为12时，实数a的值为________．答案0或3 4解析因为y′＝1－a－ln xx2，所以切线l的斜率为1－a，则切线l的方程为y－a＝(1－a)(x－1)，令x＝0得y＝2a－1.令y＝0得x＝2a－1 a－1.所以直线l与坐标轴围成的三角形面积为12|2a－1|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a－1a－1＝12，即|2a－1|2＝|a－1|.则4a2－4a＋1＝1－a①或4a2－4a＋1＝a－1 ②，由方程①解得a＝0或a＝34，方程②无解．所以a＝0或a＝3 4 .12．曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为________．答案y＝－2x＋1解析由题意可得，y′＝－2x－22，则曲线在点(1，－1)处的切线斜率为－2，所以所求的切线方程为y＝－2x＋1.13．已知函数f(x)＝a x ln x，x∈(0，＋∞)，其中a>0且a≠1，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．答案 3解析因为f(x)＝a x ln x，所以f′(x)＝ln a·a x ln x＋a xx.又f′(1)＝3，所以a＝3.14．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )， ∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.15．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B. 2 C.22 D. 3答案 B解析 设P (x 0，y 0)，当点P 处的切线与直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．又y ′＝2x －1x ，则y ′x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，则y 0＝1，即P (1,1)，所以最小距离为|1－1－2|12＋－12＝ 2. 16.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ln x －2x ，x >0，x 2＋32x ，x ≤0，g (x )＝kx －1，f (x )的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y ＝－1的对称点在g (x )的图象上，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案 D解析 y ＝kx －1关于直线y ＝－1的对称直线为y ＝mx －1(m ＝－k )，先考虑特殊位置：y ＝mx －1与y ＝x 2＋32x (x ≤0)相切，得Δ＝0⇒m ＝－12(舍去正数)，y＝mx －1与y ＝x ln x －2x (x >0)相切，由导数几何意义得⎩⎨⎧y ＝x ln x －2x ，y ＝mx －1，m ＝ln x －1⇒x ＝1，m ＝－1，结合图象可知－1<m <－12⇒12<k <1，故选D.17．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.。
