2018年高考数学江苏专版复习训练：14个填空题专项强化练(十三) 双曲线和抛物线 含解析

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高三填空题专题训练（不等式,函数，解几）1．已知正数x ，y 满足121x y+=，则22log log x y +的最小值为 ． 1．3．由121x y +=得,02y x y =>-,则()222222222log log log log log 22y y x y xy y y -++===-- ()224log 24log 832y y ⎡⎤=-++=⎢⎥-⎣⎦≥． 2．已知正数,a b满足13a b+=，则ab 的最小值为 ．2。

因为,a b 为正数，13a b =+≥有ab ≥1313a b a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即a b ==时,取“=”。

3．设a b c ，，是三个正实数,且()a a b c bc ++=，则a b c+的最大值为 ．3．．由()a a b c bc ++=，得1b c b c aaa a++=⋅，设,b c x y aa==,则1x y xy ++=，1a b c x y =++，因为21()2x y x y xy +++=≤，所以2x y ++≥a b c+．4. 已知0,0x y >>，且2x y +≤，则4122x y x y+++的最小值为 . 4。

14个填空题综合仿真练(五)1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：∵集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，∴∁U B ＝{2,3}，A ∪(∁U B )＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}2．已知i 为虚数单位，复数z 1＝3＋y i(y ∈R)，z 2＝2－i ，且z 1z 2＝1＋i ，则y ＝________. 解析：因为z 1z 2＝1＋i ，所以z 1＝(1＋i)z 2＝(1＋i)(2－i)＝3＋i ，所以y ＝1. 答案：13．已知倾斜角为α的直线l 的斜率等于双曲线x 2－y 23＝1的离心率，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π3－2α＝________.解析：因为双曲线的离心率e ＝2，所以tan α＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π3－2α＝sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45. 答案：454．某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.则该校高三学生共有________人．解析：设高二女生人数为x 人，所以x2 000＝0.19，即x ＝380，所以高三人数为2 000－650－370－380＝600人．答案：6005．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式f (x 2－2x )>0的解集为________．解析：根据偶函数的性质，可得－3<x 2－2x <3，从而可得－1<x <3，所以不等式的解集为(－1,3)．答案：(－1,3)6．阅读如图所示的算法流程图，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是________．解析：根据算法流程图知，当n ＝30时，n ＞2，S ＝30，n ＝28；当n ＝28时，n ＞2，S ＝58，n ＝26；……；当n ＝2时，S ＝30＋28＋26＋…＋2＝＋2＝240，n ＝0.当n＝0时，n ＜2，输出S ＝240.答案：2407．已知Ω1是集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{(x ，y )|y ≤|x |}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为________．解析：如图所示，作出区域Ω1(圆面)，Ω2(虚线部分)的图象，根据几何概型的概率计算公式得，该点落在区域Ω2内的概率P ＝34πr 2πr 2＝34.答案：348．数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1a n ＋1＝a n －1－a na n －a n ＋1(n ≥2)，则使得a n ＝2a 2 018成立的正整数n ＝________.解析：显然数列{a n }中通项a n ≠0，由a n －1a n ＋1＝a n －1－a n a n －a n ＋1可得，a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1， 两边取倒数可得：1a n －1a n －1＝1a n ＋1－1a n，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列且首项1a 1＝12，公差d ＝1－12＝12，所以1a n ＝12＋12(n －1)＝n 2，即a n ＝2n，所以由a n ＝2a 2 018可得2n ＝2×22 018，所以n ＝1 009.答案：1 0099．函数f (x )＝sin x ＋3cos x －a 在区间[0,2π]上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：f (x )＝sin x ＋3cos x －a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－a ，函数在区间[0,2π]上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则a ＝ 3.令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝32，所以x ＋π3＝2k π＋π3或x ＋π3＝2k π＋π－π3，所以x ＝2k π或x ＝2k π＋π3，所以x 1＝0，x 2＝π3，x 3＝2π，即x 1＋x 2＋x 3＝7π3. 答案：7π310．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.其中F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且MF 1＝2a －53.则椭圆C 1的方程为________．解析：依题意知F 2(1,0)，设M (x 1，y 1)，由椭圆的定义可得MF 2＝53，由抛物线定义得MF 2＝1＋x 1＝53，即x 1＝23，将x 1＝23代入抛物线方程得y 1＝263，进而由⎝ ⎛⎭⎪⎫232a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632b2＝1及a2－b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝111．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM ―→||BC ―→|＝|CN ―→||CD ―→|，则AM ―→·AN ―→的最大值为________．解析：以AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于直线AB 所在的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设|BM ―→||BC ―→|＝|CN ―→||CD ―→|＝λ(0≤λ≤1)，所以|BM ―→|＝λ，|CN ―→|＝2λ， 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫2＋λ2，32λ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ，32，所以AM ―→·AN ―→＝5－4λ＋54λ－λ2＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6，因为λ∈[0,1]，所以AM ―→·AN ―→∈[2,5]，所以AM ―→·AN ―→的最大值为5. 答案：512．已知x >0，y >0，且x ＋y ≤2，则4x ＋2y ＋12x ＋y的最小值为________． 解析：令x ＋2y ＝m,2x ＋y ＝n (m >0，n >0)，则问题转化为m ＋n ≤6，求4m ＋1n的最小值，而(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ≥9，即4m ＋1n ≥9m ＋n ≥32，故所求最小值为32. 答案：3213．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：法一：由题意得当m ≥0时，函数f (x )＝2x 2＋2mx －1的对称轴－m2≤0，且f (0)＝－1，所以此时f (x )在[0,1]上至多有一个零点，而f (x )＝mx ＋2在(1，＋∞)上没有零点．所以m ≥0不符合题意．当m <0时，函数f (x )＝2x 2＋2mx －1的对称轴－m2>0，且f (0)＝－1，所以，此时f (x )在[0,1]上至多有一个零点，而f (x )＝mx ＋2在(1，＋∞)上至多有一个零点，若f (x )在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求⎩⎪⎨⎪⎧0<－m2≤1，2＋2m －1≥0，m ＋2>0，解得－12≤m <0.综上，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0. 法二：由题意得x ＝0不是函数f (x )的零点．当0＜x ≤1时，由f (x )＝0，得m ＝12x－x ，此时函数y ＝12x －x 在(0,1]上单调递减，从而y ＝12x －x ≥－12，所以，当m ≥－12时，f (x )在(0,1]上有且只有一个零点，当x ＞1时，由f (x )＝0，得m ＝－2x ，此时函数y ＝－2x在(1，＋∞)上单调递增，从而y ＝－2x∈(－2,0)，所以，当－2＜m ＜0时，f (x )在(1，＋∞)上有且只有一个零点，若f (x )在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，－2<m <0，解得－12≤m <0. 综上，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，014．已知函数f (x )＝x |x 2－12|的定义域为[0，m ]，值域为[0，am 2]，则实数a 的取值范围是________．解析：仅考虑函数f (x )在x >0时的情况，可知f (x )＝⎩⎨⎧12x －x 3，x <23，x 3－12x ，x ≥2 3.函数f (x )在x ＝2时，取得极大值16.令x 3－12x ＝16，解得x ＝4.作出函数的图象(如图所示)．函数f (x )的定义域为[0，m ]，值域为[0，am 2]，分为以下情况考虑：(1)当0<m <2时，函数的值域为[0，m (12－m 2)]，有m (12－m 2)＝am 2，所以a ＝12m－m ，因为0<m <2，所以a >4；(2)当2≤m ≤4时，函数的值域为[0,16]，有am 2＝16，所以a ＝16m2，因为2≤m ≤4，所以1≤a ≤4；(3)当m >4时，函数的值域为[0，m (m 2－12)]，有m (m 2－12)＝am 2，所以a ＝m －12m，因为m >4，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)。

14个填空题综合仿真练(七)1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝(－∞，0)，则A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{－1,0,1}∩(－∞，0)＝{－1}． 答案：{－1}2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝________.解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：1＋i3．某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为频率分布直方图，如图所示，则车速不小于90 km/h 的汽车约有________辆．解析：车速不小于90 km/h 的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，车辆数为200×0.3＝60. 答案：604．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________． 解析：因为半圆面的面积为12πl 2＝2π，所以l 2＝4，解得l ＝2，即圆锥的母线为l ＝2，底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，所以圆锥的底面半径r ＝1，所以圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13×π×3＝3π3.答案：3π35．已知A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________．解析：所有的基本事件(A ，B )为(－3，－1)，(－1，－3)，(－3,1)，(1，－3)，(－3,2)，(2，－3)，(－1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，(1,2)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(－1，－3)，(1,2)，(2,1)能使直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率为P ＝412＝13.答案：136．如图所示的算法流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．解析：根据算法流程图执行程序循环结果依次为：当n ＝1答案：547．若a >0，b >2，且a ＋b ＝3，则使得4a ＋1b －2取得最小值时，实数a ＝________.解析：∵a ＞0，b ＞2，且a ＋b ＝3，∴a ＋b －2＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b －2[a ＋(b －2)]＝4＋1＋b －a ＋ab －2≥5＋2b －a·ab －2＝9，当且仅当2(b －2)＝a 时即取等号．联立⎩⎪⎨⎪⎧b －＝a ，a ＋b ＝3，解得a ＝23.答案：238．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意，c －a 2c＝2a ，即c 2－2ac －a 2＝0，即e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，又∵e >1，故e ＝1＋ 2.答案：1＋ 29．已知函数f (x )＝x ＋2|x |＋2，x ∈R ，则f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．解析：由题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1－4x －2，x <0，故若要使不等式成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，得1<x <2.答案：(1,2)10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝3，且数列{S n }也为等差数列，则a 11＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d >0)， ∵a 1＝3，且数列{S n }为等差数列， ∴2S 2＝a 1＋S 3， ∴26＋d ＝3＋9＋3d ， 即d 2－12d ＋36＝0，解得d ＝6， ∴a 11＝3＋10×6＝63. 答案：6311．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－t,0)(t >0)，B (t,0)，点C 满足AC ―→·BC ―→＝8，且点C 到直线l ：3x －4y ＋24＝0的最小距离为95，则实数t 的值是________．解析：设C (x ，y )，则AC ―→·BC ―→＝(x ＋t ，y )·(x －t ，y )＝x 2＋y 2－t 2＝8，所以点C 的轨迹为以原点为圆心， 8＋t 2为半径的圆，故圆心到直线的距离d ＝245＝95＋8＋t 2，解得t ＝1(负值舍去)．答案：112．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，则C ＝________.解析：由题意知a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，① 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，②由①－②可得，2b 2＋2c 2＝23bc sin A －2bc cos A ，化简得，b 2＋c 2＝3bc sin A －bc cos A ，整理得b 2＋c 2＝2bc sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6，∵b 2＋c 2≥2bc ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，∴A ＝2π3，此时b 2＋c 2＝2bc ，故得b ＝c ，即B ＝C ，∴C ＝π6.答案：π613．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x 2，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2(f (a ))2的a 的取值范围为________．解析：设t ＝f (a )，所以f (f (a ))＝2(f (a ))2可化为f (t )＝2t 2，由函数式得3t －1＝2t 2(t <1)或2t 2＝2t 2(t ≥1)，所以t ＝12或t ≥1，即f (a )＝12或f (a )≥1，所以a ＝12或a ≥23，因此a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞14．已知函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2，若图象上存在两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＞x 2)，使得f (x 1)－f (x 2)≤4(x 1－x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意可得，f (x )＝a ln x ＋x 2＋2x ＋1，f ′(x )＝ax＋2(x ＋1)，由题意知，存在x ＞0，使得f ′(x )≤4成立，即存在x ＞0，使得a ≤－2x 2＋2x 成立，设g (x )＝－2x 2＋2x＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，其最大值为12，因而a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12。

14个填空题专项强化练(十) 空间几何体A 组——题型分类练题型一 平面及其基本性质1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立． 答案：充分不必要2．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线． 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①题型二 空间中的平行与垂直1．给出下列条件：①l ∥α；②l 与α至少有一个公共点；③l 与α至多有一个公共点．能确定直线l 在平面α外的条件的序号为________．解析：直线l 在平面α外指：l ∥α或直线l 与平面α仅有一个交点． 答案：①③2.如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．解析：因为AM MB ＝AN ND，所以MN ∥BD ， 又MN ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， 所以MN ∥平面BDC . 答案：平行3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的序号是________．①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β ②若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β③若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β④若m∥n，m∥α，则n∥α解析：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，所以①错误；两个平面内的两条直线平行，这两个平面不一定平行，所以②错误；两个平面同时垂直于两条平行直线，这两个平面平行，所以③正确；两条平行直线中的一条平行于一个平面，另一条不一定平行于该平面，所以④错误．答案：③4．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号)．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.解析：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，n⊥β，则α∥β.又m⊥α，所以m⊥β，故④正确．答案：①④5.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC⇒BC⊥平面PAC⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF⇒PB⊥平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．答案：①②④题型三空间几何体的表面积和体积1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为________．解析：S底＝6×34×42＝243，S侧＝6×4×6＝144，所以S表＝S侧＋2S底＝144＋483＝48(3＋3)．答案：48(3＋3)2．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为________． 解析：如图，在正四棱锥P ­ABCD 中，AB ＝2，PA ＝3， 设正四棱锥的高为PO ，连结AO ，则AO ＝12AC ＝ 2.在直角三角形POA 中，PO ＝PA 2－AO 2＝1. 所以V P ­ABCD ＝13·S 四边形ABCD ·PO ＝13×4×1＝43.答案：433．若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为________．解析：因为圆锥的底面半径为2，高为5，所以母线长为l ＝4＋5＝3，所以圆锥的侧面积为πrl ＝π×2×3＝6π.答案：6π4.如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB 1＝BB 1＝BA ＝BC ＝2，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D ，则三棱锥A 1­B 1AD 的体积为________．解析：取AB 的中点O ，连结DO ，B 1O ，因为BB 1＝AB 1，所以OB 1⊥AB ，又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1，所以AB ⊥平面B 1OD ，因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB ⊥OD ，由已知BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ，所以OD ⊥BB 1，因为AB ∩BB 1＝B ，所以OD ⊥平面ABB 1A 1，又O ，D 分别为AB ，AC 的中点，BC ＝2，所以OD ＝12BC ＝1，所以VA 1­B 1AD ＝VD ­B 1AA 1＝13×34×4×1＝33. 答案：335.如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P ­ABC 的体积为________．解析：连结BD 交AC 于点O ，连结PO ，则∠APC ＝2∠APO ， ∵tan ∠APO ＝AO PO，∴当PO 最小时，∠APO 最大， 即PO ⊥BD 1时，∠APO 最大．如图，作PE ⊥BD 于点E ，此时PB ＝13BD 1，∴三棱锥P ­ABC 的高为点P 到平面ABCD 的距离PE ＝13，∴三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13S △ABC·PE ＝13×12×13＝118.答案：118B 组——高考提速练1.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为________．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：32．设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题： ①若b ⊂α，c ∥α，则b ∥c ； ②若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α； ③若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β； ④若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析：①b 和c 可能平行或异面，故①错；②可能平行或c ⊂α，故②错；③可能c ⊥β，c ∥β，c ⊂β，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确．答案：④3．已知高与底面半径相等的圆锥的体积为8π3，其侧面积与高为22的圆柱OO 1的侧面积相等，则圆柱OO 1的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r ，圆柱OO 1的底面半径为R ，因为高与底面半径相等的圆锥的体积为8π3，所以13πr 2·r ＝8π3，所以r ＝2.又圆锥的侧面积与高为22的圆柱OO 1的侧面积相等，所以π·r ·2r ＝2πR ·22，所以R ＝1，所以圆柱OO 1的体积为πR 2·22＝22π.答案：22π4．已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b .若它们的体积相等，则a 3∶b 3的值为________．解析：由题意可得12·a 2·32·a ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22·b ，即34a 3＝14πb 3，则a 3b 3＝π3＝3π3. 答案：3π35．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有______个．解析：若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题．答案：26.如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面AB 1C ＝AC ， 所以EF ∥AC ，又E 为AD 的中点，AB ＝2， 所以EF ＝12AC ＝12×22＋22＝ 2.答案： 27.如图，在圆锥V ­O 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则O 到平面VAB 的距离为________．解析：设O 到平面VAB 的距离为h ，由圆锥的几何性质可得VO ⊥平面OAB ，VO ⊥OA ，VO ⊥OB .在Rt △VOA 中，VA ＝VO 2＋AO 2＝2，在Rt △VOB中，VB ＝VO 2＋BO 2＝2，在Rt △OAB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝2，在△VAB 中，S △VAB ＝12×2×62＝32.因为V V ­AOB ＝13S △AOB ×VO ＝16，V V ­AOB ＝13S △VAB ×h ＝16，所以h ＝33. 答案：338．已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D ­ABC 的体积为________．解析：在平面DAC 内作DO ⊥AC ，垂足为点O ，因为平面DAC ⊥平面BAC ，且平面DAC ∩平面BAC ＝AC ，所以DO ⊥平面BAC ，因为AB ＝4，BC ＝3，所以DO ＝125，S △ABC ＝12×3×4＝6，所以三棱锥D ­ABC 的体积为V ＝13×6×125＝245.答案：2459．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，l ⊥α，m ⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β；④l ⊥β⇒m ∥α.其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号)． 解析：①由l ⊥α，α∥β，得l ⊥β. 又因为m ⊂β，所以l ⊥m ，①正确； ②由l ⊥α，α⊥β，得l ∥β或l ⊂β，又因为m ⊂β，所以l 与m 或异面或平行或相交，②错误；③由l ⊥α，m ∥α，得l ⊥m .因为l 只垂直于β内的一条直线m ，所以不能确定l 是否垂直于β，③错误；④由l ⊥α，l ⊥β，得α∥β.因为m ⊂β，所以m ∥α，④正确． 答案：①④10．已知PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连结PB ，PC ，PA ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有________对．解析：如图，由于PD ⊥平面ABCD .故平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面PAC ⊥平面PDB ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．答案：711．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．解析：设圆锥的底面半径为 r ，由题意圆锥底面半径等于圆锥的高， 可知圆锥的侧面积为： πr ·2r ＝2πr 2.圆柱的侧面积为：2πr ·r ＝2πr 2.所以圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为： 2πr 2∶2πr 2＝ 22. 答案：2212．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水的体积除以盆口的面积；②一尺等于十寸)解析：作出圆台的轴截面如图，由题意知，BF ＝14(单位寸，下同)，OC ＝6，OF ＝18，OG ＝9，即G 是OF 中点，所以GE 为梯形的中位线，所以GE ＝14＋62＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为13(100π＋36π＋100π×36π)×9＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以588π196π＝3，即平地降雨量是3寸．答案：313．已知三棱锥P ­ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ，PA ⊥PB ，点P 到平面ABC 的距离为23，则三棱锥P ­ABC 的体积为________．解析：法一：因为△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ，所以△PAB ≌△PAC ≌△PBC .因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PB ⊥PC .设PA ＝PB ＝PC ＝a ，点P 在平面ABC 上的射影为O ，则AB ＝AC ＝BC ＝2a ，AO ＝63a .又点P 到平面ABC 的距离为23，所以PO ＝2 3.在Rt △POA 中，PO 2＋OA 2＝PA 2，即12＋23a 2＝a 2，解得a ＝6，所以三棱锥P ­ABC 的体积为13×34×(62)2×23＝36.法二：设PA ＝PB ＝PC ＝a ，因为△ABC 为等边三角形，所以△PAB ≌△PAC ≌△PBC .因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PB ⊥PC ，以PA ，PB ，PC 为棱作正方体，如图所示，则PA 2＋PB 2＋PC 2＝3a 2，故正方体的体对角线长为3a .又点P 到平面ABC 的距离为23×12×3a ＝23，解得a ＝6，所以三棱锥P ­ABC 的体积为13×12×6×6×6＝36.答案：3614.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝AD ＝2，M ，N 均为线段AC 上的点．若∠MBN ＝30°，则三棱锥M ­PNB的体积的最小值为________．解析：易知V M ­PNB ＝V P ­MNB＝13PD ·S △MNB ＝13PD ·12MN ·h ，h 为点B 到AC 的距离，又h ＝12BD ＝2，所以V M ­PNB ＝13×2×12×MN ×2＝23MN ，显然当△MNB 为等腰三角形时，MN 取得最小值，此时MN ＝22tan 15°＝42－26，从而可得(V M ­PNB )min ＝23×(42－26)＝8－433. 答案：8－433。

14个填空题专项强化练(五) 三角函数的图象和性质A 组——题型分类练题型一 三角函数的定义域和值域1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的定义域为________． 解析：由2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，得x ≠k π2＋5π12(k ∈Z)，故所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3. 答案：2－ 33．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． 解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1， 当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． 答案：[－9,1]题型二 三角函数的图象1．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin(4x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象，则φ＝________.解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，所以φ＝π3. 答案：π32.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为____________________．解析：由题图可知，A ＝1，函数f (x )的最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2πT＝2.又当x ＝π12时，f (x )取得最大值1，∴1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ，∴π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z.又|φ|<π2，∴φ＝π3，则函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π33．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点的个数是____________．解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12，解得x ＋π3＝2k π＋π6或x ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z ，即x ＝2k π－π6或x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又因为x ∈[0,2π]，所以x ＝π2或11π6，所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12 的交点的个数是2. 答案：24．将函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后，所得函数图象关于y 轴对称，则φ＝______________.解析：将函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后，所得函数为f (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ＋π4，即f (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π4.因为所得函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以2φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π8＋k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝π8. 答案：π8题型三 三角函数的性质1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的最小正周期为________． 解析：函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：2π32．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是________． 解析：由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z)，因此，当k ＝－1时，直线x ＝－π6是与y 轴最近的对称轴．答案：x ＝－π63．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象过点(0，3)，则函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是____________．解析：由题意可得，2sin(2×0＋φ)＝3， ∴sin φ＝32. 又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z.∵0≤x ≤π，∴k ＝0时，π12≤x ≤7π12，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π124．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1，即sin φ3＝±1，所以φ3＝k π＋π2(k ∈Z)．所以φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．因为φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2.答案：3π25．若函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是________．解析：由题意知，f (x )＝4cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6， 由f (x )的最小正周期是π，且ω>0， 可得2π2ω＝π，ω＝1，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是－1. 答案：－1B 组——高考提速练1．函数y ＝12sin x －1的定义域是________．解析：由2sin x －1≠0得sin x ≠12，故x ≠π6＋2k π(k ∈Z)且x ≠5π6＋2k π(k ∈Z)，即x ≠(－1)k·π6＋k π(k ∈Z)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1k·π6＋k π，k ∈Z 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的单调递增区间为________．解析：由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z)3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________． 解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]． 答案：[－1,1]4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：由图象可知，T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－⎝⎛⎭⎪⎫－2π3＝π3，则T ＝2π3.因为T ＝2πω＝2π3，所以ω＝3.答案：35．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴的交点坐标是______．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，将函数y ＝f (x )的图象向右平移2π3个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于________．解析：将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象向右平移2π3个单位长度后，所得函数为y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3.因为所得图象与原函数图象重合，所以f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3，所以kT ＝2π3，k ∈N *，即2k πω＝2π3，k ∈N *，所以ω＝3k ，k ∈N *，所以ω的最小值等于3. 答案：37．已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx (其中ω∈(0,1))，若f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为____________．解析：f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，∵f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3ω－π6＝0， ∴π3ω－π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k ＋12，k ∈Z ， ∵ω∈(0,1)，∴ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π38．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. 答案：π69.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为______________．解析：由题意可知，T 4＝5π12－π6＝π4，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，而φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π610．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则φ的值为________．解析：由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，解得ω＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，得φ＝－π12.答案：－π1211.函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则∠APB ＝________.解析：由题意知T ＝2，作PD ⊥x 轴， 垂足为D ，则PD ＝1，AD ＝12，BD ＝32，设α＝∠APD ，β＝∠BPD ，则tan α＝12，tan β＝32，∠APB ＝α＋β，故tan ∠APB ＝12＋321－12×32＝8.答案：812．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，则α＋β＝________.解析：因为0≤x <π，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，7π3，由f (x )＝12，得2x ＋π3＝5π6或13π6，解得x ＝π4或11π12，由于f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，所以α＋β＝π4＋11π12＝7π6.答案：7π613．已知函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝12tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为________．解析：由题意知，x ≠π2，令sin x ＝12tan x ，可得sin x ＝sin x 2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，可得sin x ＝0或cos x ＝12，则x ＝0或π或π3，不妨设A (0,0)，B (π，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，则△ABC 的面积为12×π×32＝3π4. 答案：3π414．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是______________． 解析：若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1， 所以π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)， 可知sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， 即sin φ<0，所以φ＝2k π＋7π6，k ∈Z ，代入f (x )＝sin(2x ＋φ)， 得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6， 由2k π－π2≤2x ＋7π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π6≤x ≤k π－π3，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π6，k π－π3(k ∈Z)。

数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共42页） 数学试卷 第4页（共42页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共42页） 数学试卷 第8页（共42页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页（共42页） 数学试卷 第10页（共42页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

14个填空题综合仿真练(一)1．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，则A∩B＝________.解析：因为集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，所以A∩B＝{0,3}．答案：{0,3}2．已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.解析：因为x＞0，(x－i)2＝x2－1－2x i是纯虚数(其中i为虚数单位)，所以x2－1＝0且－2x≠0，解得x＝1.答案：13．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)4．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________．解析：将2个白球记为A，B,2个红球记为C，D,1个黄球记为E，则从中任取两个球的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个，恰有1个红球的可能结果为(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(E，C)，(E，D)共6个，故所求概率为P＝610＝3 5.答案：3 55．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________．Read xIf x≤2Theny←6xElsey←x＋5End IfPrint y解析：若6x＝13，则x＝136>2，不符合题意；若x＋5＝13，则x＝8>2，符合题意，故x＝8.答案：86．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．解析：这组数据的平均数为15(9.4＋9.7＋9.8＋10.3＋10.8)＝10，方差为15[(10－9.4)2＋(10－9.7)2＋(10－9.8)2＋(10－10.3)2＋(10－10.8)2]＝0.244.答案：0.2447．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<2,0<φ<π)．若x ＝－π4为函数f (x )的一个零点，x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴，则ω的值为________．解析：函数f (x )的周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝7π3，又T ＝2πω，所以ω＝2π×37π＝67. 答案：678．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB ―→·AC ―→＝3，b ＋c ＝6，则a ＝________.解析：∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，又由AB ―→·AC ―→＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝36－10×85＝20，解得a ＝2 5.答案：2 59．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－15，则tan α的值为________． 解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－151－12×⎝⎛⎭⎫－15＝311. 答案：31110．已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，其中a ，b ，c 为常数．则不等式cx 2＋bx ＋a ≤0的解集为________．解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，所以a (x ＋1)(x －5)>0，且a <0，即ax 2－4ax －5a >0，则b ＝－4a ，c ＝－5a ，则cx 2＋bx ＋a ≤0即为－5ax 2－4ax ＋a ≤0，从而5x 2＋4x －1≤0，解得－1≤x ≤15. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，15 11．已知正数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，则log 2x ＋log 2y 的最小值为________．解析：由1x ＋2y ＝1，得x ＝y y －2>0，则log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝log 2y 2y －2＝log 2(y －2＋2)2y －2＝log 2⎣⎡⎦⎤(y －2)＋4y －2＋4≥log 28＝3，当且仅当(y －2)2＝4，即y ＝4时等号成立，故log 2x ＋log 2y 的最小值为3.答案：312．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －8＝0，直线l ：y ＝k (x －1)(k ∈R)过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则△AEC 的周长为________．解析：易得圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，即半径r ＝3，定点A (－1,0)，因为AE ∥BC ，所以EA ＝ED ，则EC ＋EA ＝EC ＋ED ＝3，从而△AEC 的周长为5.答案：513．设集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，集合B ＝{x |x ＝b n ，n ∈N *}，满足A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝N *.若对任意的n ∈N *，b n <b n ＋1，则b 2 017＝________.解析：因为210＝1 024<2 017,211＝2 048>2 017，所以小于等于2 017的正整数中有10个是集合A 中的元素，所以由集合B 的定义可知b 2 017＝2 017＋10＝2 027.答案：2 02714．已知函数f (x )＝kx ，g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y ＝e 对称，则实数k 的取值范围是________________．解析：设直线y ＝kx 上的点M (x ，kx )，点M 关于直线y ＝e 的对称点N (x,2e －kx )，因为点N 在g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象上，所以2e －kx ＝2ln x ＋2e ，所以kx ＝－2ln x ．构造函数y ＝kx ，y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，画出函数y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象如图所示，设曲线y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2上的点P (x 0，－2ln x 0)，则k OP ≤k ≤k OB (其中B 为端点，P 为切点)．因为y ′＝－2x ，所以过点P 的切线方程为y ＋2ln x 0＝－2x 0(x －x 0)，又该切线经过原点，所以0＋2ln x 0＝－2x 0(0－x 0)，x 0＝e ，所以k OP ＝－2e.又点B ⎝⎛⎭⎫1e ，2，所以k OB ＝2e ，所以k ∈⎣⎡⎦⎤－2e ，2e . 答案：⎣⎡⎦⎤－2e ，2e。

专题10.2 双曲线【三年高考】1. 【2017高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．2. 【2016高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ▲ .【答案】210 【解析】试题分析：222227,3,7310,10,2210a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=Q ．故答案应填：210【考点】双曲线性质【名师点睛】本题重点考查双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，22221(0,0)x y a b a b-=>>揭示焦点在x 轴，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2222c a b =+，渐近线方程为by x a =±，离心率为22c a b a a+=．2．【2012江苏，理8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为__________． 【答案】2【解析】根据双曲线方程的结构形式可知，此双曲线的焦点在x 轴上，且a2＝m ，b2＝m2＋4，故c2＝m2＋m ＋4，于是222224(5)c m m e a m++===，解得m ＝2，经检验符合题意．4.【2017课标II ，理9】若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．233【答案】A【解析】【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea =；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。

14个填空题专项强化练(九) 不 等 式A 组——题型分类练 题型一 一元二次不等式1、已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3,则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________、解析：法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0),则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0),由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3,解得－ln 2<x <ln 3. 法二：由题知,f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <3, 令12<e x <3,得－ln 2<x <ln 3. 答案：{x |－ln 2<x <ln 3}2、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则不等式f (x )>3的解集为________________、 解析：当x >0时,2x －1>3,解得x >2,当x ≤0时,－x 2－4x >3,即x 2＋4x ＋3<0,解得－3<x <－1,所以所求不等式的解集为{x |x >2或－3<x <－1}、答案：{x |x >2或－3<x <－1}3、已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R,值域为[0,＋∞),则实数a 的取值集合为________、解析：由定义域为R,得x 2－2x ＋a ≥0恒成立、又值域为[0,＋∞),则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点,所以Δ＝4－4a ＝0,a ＝1.答案：{1}4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是________、解析：由x 2≥0,得f (x 2)＝－x 2＋1, 所以原不等式可转化为f (2－x )<－x 2＋1, 则当2－x ≥0,即x ≤2时,由－(2－x )＋1<－x 2＋1,得－2<x <1,所以－2<x <1； 当2－x <0,即x >2时,由－(2－x )2＋1<－x 2＋1,得x ∈∅.综上得,关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是{x |－2<x <1}、 答案：{x |－2<x <1} 题型二 基本不等式 1、若x >1,则x ＋4x －1的最小值为________、 解析：由x >1,得x －1>0,则x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立、故x ＋4x －1的最小值为5. 答案：52、已知0<x <1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________、 解析：由0<x <1,故3－3x >0,则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34,当且仅当3x ＝3－3x ,即x ＝12时等号成立、答案：123、已知正数a ,b 满足1a ＋9b ＝ab －5,则ab 的最小值为________、 解析：因为正数a ,b 满足1a ＋9b ＝ab －5,所以ab －5≥21a ×9b,可化为(ab )2－5ab －6≥0,解得ab ≥6,即ab ≥36,当且仅当1a ＝9b ,即a ＝2,b ＝18时取等号、即ab 的最小值为36. 答案：364、已知正数x ,y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ≤2－4xy ,则1x ＋1y 的最小值为________、 解析：由题意得(x ＋2y )2＋(x ＋2y )－2≤0,且x >0,y >0,所以0<x ＋2y ≤1,所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22时,1x ＋1y取得最小值3＋2 2. 答案：3＋2 25、已知a >0,b >0,且12a ＋b ＋1b ＋1＝1,则a ＋2b 的最小值是________、 解析：a ＋2b ＝2a ＋b ＋3(b ＋1)2－32,故a ＋2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋b 2＋3(b ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋1b ＋1－32＝12＋32＋2a ＋b2(b ＋1)＋3(b ＋1)2(2a ＋b )－32≥12＋22a ＋b 2(b ＋1)·3(b ＋1)2(2a ＋b )＝12＋3,当且仅当2a ＋b2(b ＋1)＝3(b ＋1)2(2a ＋b ),且12a ＋b ＋1b ＋1＝1时取等号、故a ＋2b 的最小值为12＋ 3.答案：12＋ 3题型三 简单的线性规划1、已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y 的最小值为________、解析：根据题意,画出可行域如图所示,易知当目标函数z ＝x －y 经过点A (1,4)时,取得最小值－3.答案：－32、设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，表示的平面区域为M ,若直线l ：y ＝kx －2上存在M 内的点,则实数k 的取值范围是________、解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示、因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0,－2),且斜率为k ,由图知,当直线l 过点B (1,3)时,k 取最大值3＋21－0＝5,当直线l 过点C (2,2)时,k 取最小值2＋22－0＝2,故实数k 的取值范围是[2,5]、 答案：[2,5]3、已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ,若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x 的图象上,那么实数a 的取值范围为________、解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y ＝e x 的图象,结合函数图象知,当x ＝1时,y ＝e,把点(1,e)代入ax －y ≥0,则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e,＋∞)、答案：[e,＋∞) B 组——高考提速练1、不等式x ＋1x <2的解集为______________、 解析：∵x ＋1x <2,∴x ＋1x －2<0, 即(x ＋1)－2x x＝1－xx <0, ∴1－xx <0等价于x (x －1)＞0,解得x ＜0或x ＞1, ∴不等式x ＋1x <2的解集为{x |x ＜0或x ＞1}、 答案：{x |x ＜0或x ＞1}2、若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________、解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示、 由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ,平移直线y ＝－32x ＋12z ,由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时,直线y ＝－32x ＋12z 的截距最大,此时z 最大、由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2),代入目标函数z ＝3x ＋2y ,得z ＝3×1＋2×2＝7. 即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7. 答案：73、若a ,b 均为大于1的正数,且ab ＝100,则lg a ·lg b 的最大值为________、 解析：因为a >1,b >1,所以lg a >0,lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号, 故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案：14、不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是________、 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集, 所以Δ＝a 2－4×4>0,即a 2>16. 所以a >4或a <－4. 答案：(－∞,－4)∪(4,＋∞)5、若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,m ),则m 的值为________、解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根,即a 2＋a －6＝0,解得a ＝2或a ＝－3,当a ＝2时,不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2),符合要求；当a＝－3时,不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞,－3)∪(1,＋∞),不符合要求,舍去、故m ＝2.答案：26、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )＝1－log 2x ,则不等式f (x )<0的解集是________、解析：法一：当x <0时,f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1,f (x )<0,即log 2(－x )－1<0,得－2<x <0；当x >0时,f (x )＝1－log 2x ,f (x )<0,即1－log 2x <0,解得x >2.综上所述,不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2,＋∞)、法二：先作出函数f (x )在x >0时的图象,再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象,结合图象可知,不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2,＋∞)、答案：(－2,0)∪(2,＋∞)7、已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→,m ,n ∈R,则(m －2)2＋(n －2)2 的取值范围是________、解析：因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→,所以m ,n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示、因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ,n )到点A (2,2)的距离的平方、因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32,故⎝⎛⎭⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2,即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，8.答案：⎝⎛⎭⎫92，88、已知O 为坐标原点,A (1,2),点P 的坐标(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ―→·OP―→的最大值为________、解析：如图作满足约束条件的可行域,z ＝OA ―→·OP ―→＝x ＋2y ,显然在B (0,1)处取得最大值,所以z max ＝2. 答案：29、已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a5,若存在两项a m ,a n 使得 a m a n ＝4a 1,则1m ＋4n的最小值为________、解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ,由a 7＝a 6＋2a 5,得q 2－q －2＝0,解得q ＝2(q ＝－1,舍去)由a m a n ＝4a 1,即2m+n-22＝4,得2m ＋n －2＝24,即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32, 当且仅当4m n ＝nm 即m ＝2,n ＝4时等号成立, 即1m ＋4n 的最小值为32. 答案：3210、已知A ,B ,C 是平面上任意三点,BC ＝a ,CA ＝b ,AB ＝c ,则y ＝c a ＋b＋bc 的最小值是________、解析：y 要取最小值,则a 要最大,而a 的最大值是b ＋c ,所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c 2b ＋c＋bc ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＋⎝⎛⎭⎫b c ＋12－12≥ 2－12,当且仅当12⎝⎛⎫b c ＋12＝b c ＋12时取等号,即y 的最小值是2－12. 答案：2－1211、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a 不是最大边,已知a 2－b 2＝2bc sin A ,则tan A －9tan B 的最小值为________、解析：由余弦定理,a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2－b 2＝2bc sin A ,得c 2－2bc cos A ＝2bc sin A , 即c －2b cos A ＝2b sin A ,再由正弦定理,得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A , 即sin(A ＋B )－2sin B cos A ＝2sin B sin A , 即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin A sin B , 所以tan A －tan B ＝2tan A tan B . 所以tan B ＝tan A 2tan A ＋1,由题意知tan A >0,所以2tan A ＋1>0, 所以tan A －9tan B ＝tan A －9tan A2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋92(2tan A ＋1)－5 ≥212(2tan A ＋1)×92(2tan A ＋1)－5＝－2. 当且仅当12(2tan A ＋1)＝92(2tan A ＋1),即tan A ＝1时取“＝”、故tan A －9tan B 的最小值为－2. 答案：－212、已知a ,b 均为正数,且ab －a －2b ＝0,则a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为________、解析：因为ab －a －2b ＝0,所以2a ＋1b ＝1,因为a ,b 均为正数,所以b >1, 所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1＝b 2(b －1)2＋b 2－1,令x ＝b －1>0, 所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝(x ＋1)2x 2＋(x ＋1)2－1＝x 2＋1x 2＋2x ＋2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1, 因为x ＋1x ≥2x ·1x ＝2,当且仅当x ＝1时取等号,所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1≥22＋2×2－1＝7,即a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为7. 答案：713、若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0,＋∞)上恒成立,则实数a 的取值范围是________、解析：(ax －1)(ln x ＋ax )≥0⇔⎝⎛⎭⎫a －1x ⎝⎛⎭⎫a ＋ln x x ≥0⇔⎩⎨⎧a ≤1x ，a ≤－ln x x或⎩⎨⎧a ≥1x ，a ≥－ln xx.设函数f (x )＝1x ,g (x )＝－ln x x ,在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示,由图象可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e}、 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e} 14、已知a ＞0,b ＞0,c ＞2,且a ＋b ＝2,则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________、解析：考虑所求的结构特征,变形为⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12c ＋5c －2,先求a b ＋1ab －12的最小值、a b ＋1ab －12＝a 2＋1a (2－a )－12＝1(2a ＋1)－(a 2＋1)a 2＋1－12＝12a ＋1a 2＋1－1－12, 令2a ＋1＝t ,则2a ＋1a 2＋1－1＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1－1＝4t ＋5t －2－1≤42t ×5t －2－1＝5－12, 所以a b ＋1ab －12≥52,当且仅当2a ＋1＝52a ＋1,即a ＝5－12时等号成立,故ac b ＋c ab －c 2＋5c －2≥5c 2＋5c －2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c －22＋1c －2＋1≥5⎝⎛⎭⎪⎪⎫2c －22×1c －2＋1＝5＋10.当且仅当(c －2)2＝2,即c ＝2＋2时等号成立、 答案：5＋10。

数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条,则其离心率的值是 .9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共26页） 数学试卷 第8页（共26页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页（共26页） 数学试卷 第10页（共26页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。