人教版 选修2-2第一章导数的概念与计算 同步教案

导数的计算课时分配:第一课 几个常用函数的导数 1个课时 第二课 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1个课时第三课 牛顿法— 用导数方法求方程的近似解 1个课时1.2.1几个常用函数的导数【教学目标】1．知识与技能：用导数的定义求函数x y xy x y x y c y =====,1,,,2的导数。

2．过程与方法：在教学过程中，注意培养学生归纳、类比的能力。

3．情感、态度与价值观：通过学生的主动参与，激发学生的求知欲。

【教学重点难点】1．教学重点：能用导数的定义，求函数x y xy x y x y c y =====,1,,,2的导数。

2．教学难点：导数的意义及几个函数的应用。

【学前准备】：多媒体，预习例题1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】1、知识与技能（1）理解函数的和、差、积、商的求导法则（2）能综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数（3）能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导2．过程和方法通过让学生复习回顾函数的求导法则，理解记忆公式，并结合导数的定义，理解四则运算法则。

3．情感态度和价值观通过对问题的探究活动，获得成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，优化数学思维品质。

【教学重点难点】教学重点：（1）掌握导数公式和运算法则；（2）利用公式解决切线问题；教学难点：复合函数的拆分及求导【学前准备】：多媒体，预习例题【学法分析】：在教学中始终坚持“以学生为主体，教师为主导”的原则，通过问题设置让学生主动参与思考和探究,让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，逐步将知识内化为自身的认识结构。

总之，本堂课倡导的是：以“主动参与、乐于探究、交流合作”为主要特征的学习方式牛顿法—用导数方法求方程的近似解【教学目标】(一)知识与能力：1.得出牛顿法求近似解的一般规律,会用牛顿法求方程的近似解;2.通过实例分析牛顿法求方程近似解的要求;3.比较二分法与牛顿法求方程近似解的优劣.(二)方法与过程：1.学生通过前两个数学实验，采用合作探究，分组讨论，动手操作的学习方法，得出牛顿法对初始值的选取要求高的结论;2.学生通过第三个数学采用合作探究，分组讨论，动手操作的学习方法，找出二分法和牛顿法各自的优劣性.(三)情感、态度和价值观：1.通过同学们分析问题，解决问题的过程增强学生获取成就的喜悦感；2.通过计算机，动画技术的演示增强同学们对数学学习的兴趣和探索新知识的渴望.【教学重点难点】1.得出牛顿法求近似解的一般规律,会用牛顿法求方程的近似解.2.通过实例分析牛顿法求方程近似解的要求；比较二分法与牛顿法求方程近似解的优劣.【学前准备】：多媒体，预习例题对零点作一个估计；。

1.2.1 几个常用函数的导数【学习目标】1.能根据导数定义，求函数21,,,y c y x y x y x====的导数. 2.熟记基本初等函数：幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式，并会运用它们进行求导运算.【重点难点】重点：求导公式的记忆与应用.难点：用定义推导常见函数的导数公式． 【学法指导】熟练八个导数公式。

【学习过程】一．课前预习1.2节的内容，记下困惑处并完成下列问题．1.函数的增量=∆y ；平均变化率yx∆=∆ ． 2.导数的概念：函数()y f x =的导数()f x '，就是当0x ∆→时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比yx∆∆的 ，即()f x '＝ ＝ ．3.八个基本求导公式：()C '= ；（C 为常数） ()n x '= ；(n Q ∈) (sin )x '= ； (cos )x '= ；()x e '= ； ()x a '=(ln )x '= ； (log )a x '= ．二．课堂学习与研讨1例1.根据导数定义求下面几个函数的导数．(1)()f x C =（C 为常数） (2)y x = (3)2y x = (4)xy 1=例2.求下列函数的导（函）数（1）5-=x y ( 2）xy 4= （3）x x x y =(4)x y 3log =（5）sin()2y x π=+ （6）sin3y π= （7）cos(2)y x π=－动动手：求下列函数的导数 （1）15x y = ； （2）3-=xy )0(≠x ；（3）)0(45>=x x y ； （4）cos()2y x π=-．小结：利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为八个基本函数中的某一个，再套用公式求导数．例3.（1） 求曲线2y x =在点(1,1)处的切线方程； （2）求曲线2y x =过点(0,1)-的切线方程；（3）已知直线1y x =-，点P 为2y x =上任意一点，求P 在什么位置时到直线距离最短．小结：本题也可以用直线与抛物线的位置关系的方法解决，即用点斜式设出切线方程，代入抛物线方程中，由判别式等于零，求出斜率，即可求得切线方程和切点坐标．动动手：（1）求曲线xy 1=在点(1,1)处的切线方程；（2）求曲线2x y =过点(2,3)的切线方程．【当堂检测】1．函数x y lg =的导数为 ( )A ． x 1B ．10ln 1xC ．10ln 1xD ．ex lg 12．函数)1,0()1(≠>=a a ay x且的导数为 ( )A ．a ax ln )1( B ．a a x ln -- C ．a a xln - D ． aa x1ln3． 已知3()f x x =，则(1)f '= ．4．设y =，则它的导函数为 ．【课堂小结】1. 导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切线的斜率．2．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、瞬时速度、加速度等问题打下理论基础. 3．在求一类曲线的切线方程时，若有切点，则可以直接通过导数得到斜率，若没有切点，则需要设出切点，求出切点坐标，再求切线方程（如例3）． 【课后作业】2．设y=e 3,则y'等于( )A.3e 2B.e 2C.0D.以上都不是3. 下列曲线中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )A.f (x )=e xB.f (x )=x 3C.f (x )=ln xD.f (x )=sin x4. 已知在曲线y=上存在一点P ,曲线在点P 处的切线的倾斜角为135°,则点P 的坐标为 .5. 求 函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是1.2.2 导数的四则运算（1）【学习目标】1理解两个函数的和、差、 积、商的导数法则，能用法则求一些函数的导数． 2．能够综合运用各种法则求函数的导数． 【重点难点】重点：函数的和、差、积、商的求导法则． 难点：函数的积、商的求导法则的综合应用． 【学法指导】熟练函数的和、差、积、商的求导法则 【学习过程】 一.课前预习预习教材1.2.2节的内容，记下困惑处并完成下列问题． 1.八个基本求导公式：()C '= ；（C 为常数） ()n x '= ；(n Q ∈) (sin )x '= ； (cos )x '= ； ()x e '= ； ()x a '= (ln )x '= ； (log )a x '= ．2.导数的四则运算： 若y=f(x)，y=g(x) 的导数存在，则[()()]f x g x '±= ；[]() ()f x g x '⋅= ；()[]()f xg x '= ． 二．课堂学习与研讨例1.求下列函数的导数．（1）3sin y x x =+； （2）423y x x x =--+；（3）2(23)(32)y x x +⋅-＝； （4）()xe f x x=．动动手：求下列函数的导数（1）x y x2log 2+=；（2）xx y cos 13-=．例2.已知曲线31433y x =+． （1）求曲线在2x =处的切线方程； （2）求曲线过点(2,4)的切线方程.例3.偶函数432()f x ax bx cx dx e =++++的图象过点(0,1)P ，且在1x =处的切线方程为2y x =-，求()y f x =的解析式.【当堂检测】1．下列四组函数中导数相等的是 （ ）A ．()1()f x f x x ==与B ．()sin ()cos f x x f x x ==-与C ．()1cos ()sin f x x f x x =-=-与D ． 22()12()23f x x f x x =-=-+与2．下列运算中正确的是 （ ） A ．22()()()ax bx c a x b x '''++=+ B ．22(sin 2)(sin )2()x x x x ''''-=-C ．222(sin )()sin ()x x x x x ''-'=D ．(cos sin )(sin )cos (cos )cos x x x x x x '''⋅=+3．设,sin 2x e y x -=则y '等于 （ ）A ．2cos xe x - B ．2sin xe x - C ．2sin xe x D ．2(sin cos )x e x x -+4．对任意的x ，有3()4f x x '=，(1)1f =-，则此函数解析式可以为（ ）A ．4()f x x =B ．4()2f x x =-C ．4()1f x x =+D ．4()f x x =-5．函数1323+-=x x y 在点(1,1)-处的切线方程为 （ ） A ．34y x =- B ．32y x =-+ C ．43y x =-+ D ．45y x =-【课堂小结】1.应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则．在求导之前，先利用代数或三角恒等变形等方法对函数进行化简，然后再求导．2.函数和、差、积、商的导数运算法则可以推广到有限个函数的导数的四则运算法则． 【课后作业】1已知f (x )=ax 3+3x 2+2,若f'(-1)=4,则a 的值是( ) A.B.C. D.2. 若函数f (x )=e xsin x ,则此函数图象在点(4,f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.B.0C.钝角D.锐角3．已知f (x )=x 2+2xf'(1),则f'(0)=( ) A.0 B.-4 C.-2 D.24．设曲线b ax x y ++=4在x =1处的切线方程是x y =，则=a ，=b .5.设曲线12+=x y 上一点),(00y x 处的切线l 平行于直线12+=x y ． 求：（1）切点),(00y x ；（2）切线l 的方程．1.2.3导数的运算法则（2）【学习目标】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)． 【重点难点】重点：复合函数求导法则.难点：简单复合函数求导法则的应用. 【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程． 【学习过程】探究点一 复合函数的定义问题1 观察函数y ＝2x cos x 及y ＝ln(x ＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？问题2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3 在复合函数中，内层函数的值域A 与外层函数的定义域B 有何关系？ 例1 指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y ＝(3＋5x )2； （2）y ＝log 3(x 2－2x ＋5)； （3）y ＝cos 3x .跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成： （1）y ＝ln x ； （2）y ＝e sin x； （3）y ＝cos (3x ＋1)．探究点二 复合函数的导数 问题 如何求复合函数的导数？ 例2 求下列函数的导数：（1）y ＝(2x －1)4； （2）y ＝11－2x；（3）y ＝sin(－2x ＋π3)； （4）y ＝102x ＋3.跟踪训练2 求下列函数的导数．（1）y ＝ln 1x； （2）y ＝e 3x； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用 例3 求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2)2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2)4．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【课堂小结】1.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【课后作业】1. 求下列函数的导数:2.求下列函数的导数3. 求下列函数的导数(1)y=lg 5; (2)y=2-2x; (3)y=; (4)y=2cos 2-1; (5)y=cos x ·sin 3x ; (6)y=log 2.22(1)(43)(2)cos(2)4(3)ln(41)(4)x y x y x y x y eπ=-=-=-=。

教学设计第一章导数及其应用复习课本章知识网络知识点精析(一)求函数的导数1．导数的基本概念、变化率；2．记住基本初等函数的导数公式；3．记住导数的四则运算法则；4．理解复合函数的求导，即[f(φ(x))]′＝f′(φ(x))φ′(x)．(二)导数的应用1．求函数的单调区间与极值步骤：①求出函数的定义域，求导数；②求出导数为0的点或导数不存在点；③列表讨论；④总结．2．求函数的最大值与最小值①闭区间[a，b]上连续函数f(x)一定能取到最大值与最小值，且最大值点与最小值点一定包含在区间内部导数值为0的点或内部导数不存在点或端点之中．②实际应用问题的最大与最小值．设所求的量为y，设与y有关量为x，建立y＝f(x)，x∈D，求f(x)的最大值或最小值．注意：若f(x0)为唯一极值，若f(x0)为极大值，则f(x0)为最大值；若f(x0)为极小值，则f(x0)为最小值．3．关于证明题(1)证明方程根的存在性；(2)证明不等式．(三)定积分1．定积分的概念(四个步骤、本质)(求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程)．2．微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，b f(x)dx＝F(b)－F(a)．那么⎠⎛a这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．3．应用定积分求面积的基本步骤和注意事项．整体设计教材分析导数是高中数学新教材中新增的知识之一，体现了现代数学思想，在研究函数的性质时，有独到之处．纵观近几年各地的新课程试卷，内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关．作为新教材的新增内容，复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用．课时分配2课时．第1课时教学目标知识与技能目标1．复习巩固导数与积分的基础知识，理清知识网络．2．理解和掌握导数与积分及其有关概念，会求一些实际问题的最大值与最小值．过程与方法目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力，注意数形结合、分类讨论、函数等思想的应用．情感、态度与价值观在解决问题的过程中，培养学生独立思考问题、解决问题的能力，增强其学习积极性和提高其数学交流能力．重点难点重点：掌握导数与积分及其有关概念，巩固导数与积分的基础知识． 难点：运用导数的知识解决有关函数问题．教学过程提出问题请同学们解答下列问题：1．函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f(f(0))＝________，0lim x ∆→f (1＋Δx )－f (1)Δx＝__________.2．函数f(x)＝13x 3－x 2－3x ＋6的单调递增区间为__________单调递减区间为__________．3．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2,3]上的最小值为( ) A ．72 B ．36 C ．12 D ．0 答案：1.2 －2基础知识聚焦：函数在某一点处的导数的定义为f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx及其变形，特别注意函数值的增量与自变量的增量．f ′(x 0)的几何意义表示曲线在点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．2．(－∞，－1)，(3，＋∞) (－1,3)评析：函数的单调递增区间是两个区间(－∞，－1)，(3，＋∞)，但是不能写成(－∞，－1)∪(3，＋∞)．有关函数单调区间的合并主要依据是函数f(x)在(a ，b)内单调递增，在(b ，c)内单调递增，又知函数在x ＝b 处连续，因此f(x)在(a ，c)内单调递增．3．D 解析：y ′＝4x 3－4，令y ′＝0，即4x 3－4＝0，所以x ＝1. 当x<1时，y ′<0；当x>1时，y ′>0.所以y 极小值＝y|x ＝1＝0，而端点的函数值y|x ＝－2＝27，y|x ＝3＝72，因此y min ＝0. 基础知识聚焦：考查利用导数求最值．典型示例类型一 导数的概念例1(1)用导数的定义求函数f(x)＝1x在x ＝1处的导数； (2)用导数的定义求函数f(x)＝1x ＋2的导数．思路分析：用导数的定义求导数时，先求平均变化率，再求极限． 解：(1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx －1Δx＝1－1＋Δx Δx 1＋Δx＝1－(1＋Δx )Δx 1＋Δx (1＋1＋Δx )＝－ΔxΔx (1＋Δx ＋1＋Δx )＝－11＋Δx ＋1＋Δx，所以f ′(1)＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→－11＋Δx ＋1＋Δx＝－12.(2)Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx ＝(x ＋2)－(x ＋2＋Δx )Δx (x ＋2)(x ＋2＋Δx ) ＝－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )，所以f ′(x)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→ －1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)2.点评：(1)用导数定义求函数的导数，必须把分式Δy Δx 中的分母Δx 这一因子约掉才能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx ，从而对分子、分母约分．(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”，“有理化”是处理根式问题常用的方法． (3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别．变式练习：设函数f(x)在x 0处可导，则下列极限等于f ′(x 0)的是( ) A. 0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx B. 0lim x ∆→ f (x 0＋3Δx )－f (x 0)ΔxC. 0lim x ∆→f (x 0)－f (x 0＋Δx )Δx D. 0lim x ∆→ f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx答案：D类型二 导数的基本运算例2求导：(1)y ＝(x ＋1)(x 2＋2x)；(2)y ＝cos(2x 2＋1)；(3)y ＝sinxx. 思路分析：运用求导公式及导数运算法则求导．解：(1)y ′＝3x 2＋6x ＋2；(2)y ′＝－4xsin(2x 2＋1)；(3)y ′＝xcosx －sinxx 2. 点评：要熟记常见函数的求导公式及导数运算法则．在求复合函数的导数时，关键是分清函数的复合关系，逐步求导直到最后，把中间变量转变为自变量的函数．变式练习：求y ＝sin 2(3x ＋1)的导数．解：y ′＝[sin 2(3x ＋1)]′＝2sin(3x ＋1)[sin(3x ＋1)]′＝2sin(3x ＋1)cos(3x ＋1)(3x ＋1)′＝6sin(3x ＋1)cos(3x ＋1)＝3sin(6x ＋2)． 类型三 导数的几何意义例3若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为…( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0 思路分析：导数值对应函数在该点处的切线斜率．解析：设与直线x ＋4y －8＝0垂直的直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点的导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1,1)处的导数为4，此点的切线方程为4x －y －3＝0，故选A.答案：A点评：有关导数几何意义的题目一般有两类：一类是求曲线的切线方程，这类题目要注意审好题，看到底是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”；第二类是已知曲线的切线求字母参数．变式练习：过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0解析：y ′＝2x ＋1，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线的斜率为2x 0＋1，且y 0＝x 20＋x 0＋1，于是切线方程为y －x 20－x 0－1＝(2x 0＋1)(x －x 0)．因为点(－1,0)在切线上，可解得x 0＝0或x 0＝－2，代入可验证知D 正确，选D.答案：D类型四 定积分的计算 例4计算下列定积分的值．(1)∫3－1(4x －x 2)dx ；(2)∫21(x －1)5dx ；(3)∫π20(x ＋sinx)dx. 解：(1)∫3－1(4x －x 2)dx ＝(2x 2－x 33)|3－1＝(2×32－333)－[2×(－1)2－(－1)33]＝203；(2)因为[16(x －1)6]′＝(x －1)5，所以∫21(x －1)5dx ＝16(x －1)6|21＝16； (3)∫π20(x ＋sinx)dx ＝(x 22－cosx)|π20＝[(π2)22－cos π2]－(0－1)＝π28＋1.变式练习：求∫π2－π2cos 2xdx 的值．解：∫π2－π2cos 2xdx ＝∫π2－π21＋cos2x 2dx ＝x 2|π2－π2＋14sin2x|π2－π2＝π2.类型五 求函数的极值与最值例5f(x)＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4思路分析：本题考查求函数最值，可用导数法先求其极值，再与端点值进行比较． 解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，令f ′(x)＝0，可得x ＝0或x ＝2(x ＝2舍去)．当－1≤x<0时，f ′(x)>0；当0<x ≤1时，f ′(x)<0，所以当x ＝0时，f(x)取得极大值为2.又f(－1)＝－2，f(1)＝0，所以f(x)在[－1,1]上的最大值为2.选C. 答案：C点评：此题较为基础，求完极值点，要注意与题目已知区间结合起来综合考虑问题． 变式练习：a 为何值时，函数f(x)＝asinx ＋13sin3x 在x ＝π3处具有极值？是极大值还是极小值？试求此极值．解：a ＝2，极大值为f(π3)＝ 3.类型六 求函数的单调区间例6设函数f(x)＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b,0<a<1.求函数f(x)的单调区间．思路分析：本题考查用导数法求单调区间，需注意参数a ，有时候需要对其进行讨论． 解：f ′(x)＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －3a)(x －a)， 令f ′(x)＝0，得x 1＝a ，x 2＝3a.列表如下：∴f(x)在(a,3a)上单调递增，在(－∞，a)、(3a ，＋∞)上单调递减．点评：本题考查内容为利用导数求单调区间．但涉及到参数问题，参数讨论是难点．本题在0<a<1这个条件下降低了难度，若去掉此条件，难度会加大．变式练习：已知函数f(x)＝x 2＋alnx.(1)当a ＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若函数g(x)＝f(x)＋2x在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x)＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x .当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)；单调递增区间是(1，＋∞)； 极小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x 2＋alnx ＋2x ，得g ′(x)＝2x ＋a x －2x 2.又函数g(x)＝x 2＋alnx ＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，则g ′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋ax ≥0在[1，＋∞)上恒成立，也即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，又φ(x)＝2x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数，所以[φ(x)]max ＝φ(1)＝0，因此a ≥0.拓展实例：设函数f(x)＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a ≥1. (1)求f(x)的单调区间； (2)讨论f(x)的极值．思路分析：f(x)的单调性取决于f ′(x)的正负，而函数的极值取决于导数值为零的点的两侧的点对应的导数值的符号，即导数值为零的点两侧函数的单调性．解：由已知，得f ′(x)＝6x[x －(a －1)]，令f ′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝a －1. (1)当a ＝1时，f ′(x)＝6x 2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>1时，f ′(x)＝6x[x －(a －1)]，f ′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：从上表可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；在(0，a －1)上单调递减；在(a －1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，当a ＝1时，函数f(x)没有极值；当a>1时，函数f(x)在x ＝0处取得极大值1；在x ＝a －1处取得极小值1－(a －1)3. 点评：本小题主要考查利用导数研究函数的极值的基础知识，以及运用数学知识解决问题的能力．变练演编已知f(x)＝23x 3－2ax 2－3x(a ∈R )，(1)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求实数a 的范围； (2)试讨论y ＝f(x)在区间(－1,1)内极值点的个数．思路分析：(1)已知函数在(－1,1)上单调递减，一般转化为f ′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．(2)讨论y ＝f(x)在区间(－1,1)内极值点的个数，即讨论f ′(x)＝0在(－1,1)内变号零点的个数．解：(1)f ′(x)＝2x 2－4ax －3，因为f(x)在区间(－1,1)上为减函数，所以f ′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即f ′(x)的最大值小于等于零．只需要满足⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a －1≤0，－4a －1≤0，所以－14≤a ≤14.(2)方法一：(数形结合法)要讨论y ＝f(x)在区间(－1,1)内极值点的个数，即讨论f ′(x)＝0在(－1,1)内变号零点的个数．f ′(x)＝2x 2－4ax －3.若⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0时，即－14≤a ≤14时，f(x)在区间(－1,1)上为减函数，无极值点．若⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)>0，f ′(1)>0时，即⎩⎨⎧a>14，a<－14，此时不成立．若f ′(－1)f ′(1)<0，即(4a －1)(－4a －1)<0，a<－14或a>14时，函数有一个极值点．综上：当a<－14或a>14时，函数有一个极值点；当－14≤a ≤14时，函数无极值点．方法二：(分离参数法)f ′(x)＝2x 2－4ax －3，令f ′(x)＝0，所以4ax ＝2x 2－3.因为x ＝0不可能为方程的根，所以a ＝2x 2－34x ＝12x －34x .设g(x)＝12x －34x ，则g ′(x)＝12＋34x 2>0恒成立，所以g(x)在(－1,0)和(0,1)上均为增函数．所以g(x)的值域为(－∞，－14)∪(14，＋∞)．故当a ∈(－∞，－14)∪(14，＋∞)时，函数有一个极值点；当a ∈[－14，14]时，函数无极值点．点评：1.第(1)问中，f ′(x)<0和f ′(x)≤0都不是函数y ＝f(x)在(－1,1)上为减函数的充要条件，但只要函数不是常数函数，则f ′(x)≤0就是充要条件，故用f ′(x)≤0.2．第(2)问中，求极值点的个数转化为求方程解的个数，研究根的分布问题时，“数形结合法”与“分离参数法”是常用的两种方法．变式练习：上题的第(1)问中，若将区间(－1,1)改为[－1,1]呢？再将其改为(1,3)呢？ 解：函数y ＝f(x)在(－1,1)上为减函数和[－1,1]上为减函数没有区别，故－14≤a ≤14.若将(－1,1)改为(1,3)时，还可以用分离参数法．解法如下：令f ′(x)≤0，所以4ax ≥2x 2－3.因为x ∈(1,3)，所以a ≥2x 2－34x ＝12x －34x .由(2)知函数g(x)＝12x －34x 在(1,3)上为增函数，故只需a ≥g(3)，所以a ≥54.点评：解决不等式恒成立问题可以用“数形结合法”和“分离参数法”，对这两种方法的选择应按照先“分离参数法”后“数形结合法”的原则．如果“分离参数”时不好分离，可用“数形结合法”．如原题中区间为(－1,1)时，“数形结合法”要分三种情况讨论，不如用“分离参数法”简洁．达标检测1．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 222．设函数f(x)＝ax 2＋c(a ≠0)，若∫10f(x)dx ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为__________． 答案：1.D 解析：y ′＝e x ，曲线在点(2，e 2)处的切线斜率为e 2，因此切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，则切线与坐标轴交点为A(1,0)，B(0，－e 2)．所以S △AOB ＝12×1×e 2＝e 22.2.33 解析：∫10f(x)dx ＝∫10(ax 2＋c)dx ＝(13ax 3＋cx)|10＝a 3＋c.而f(x 0)＝ax 20＋c ，所以ax 20＋c ＝a 3＋c.又0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 课堂小结1．知识收获：导数作为工具研究函数的相关问题的方法，以及定积分的简单运算． 2．方法收获：数形结合、分类讨论的方法．3．思维收获：数形结合思想、分类讨论思想以及将代数式子视为函数的意识和转化化归的思想．让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程．设计意图布置作业课本本章复习参考题A 组第6、7、16题．补充练习1．函数f(x)＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则( ) A ．a<1 B ．a<13C ．a<0D ．a ≤02．已知f(x)为偶函数，且∫60f(x)dx ＝8，则∫6－6f(x)dx 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．163．函数y ＝lnx －x 在x ∈(0，e]上的最大值为__________． 答案：1.D 2.D 3.－1 拓展练习4．已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有f(x 1)－f(x 2)≤4； (3)若过点A(1，m)(m ≠－2)可作曲线y ＝f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围． 思路分析：本小题主要考查应用导数研究函数的极值，利用导数为工具解决函数与不等式的有关综合问题，运用导数的几何意义来解决函数与解析几何的综合问题，这是高考的热点问题．解：(1)f ′(x)＝3ax 2＋2bx －3，依题意，得f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴f(x)＝x 3－3x. (2)证明：∵f(x)＝x 3－3x ，∴f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1,1]上为减函数，f(x)max ＝f(－1)＝2，f(x) min＝f(1)＝－2.∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |，∴|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |≤2－(－2)＝4.(3)f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∵曲线方程为y ＝x 3－3x ，m ≠－2，∴点A(1，m)不在曲线上．设切点为M(x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0.∵f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的斜率为3(x 20－1)＝x 30－3x 0－m x 0－1， 整理得2x 30－3x 20＋m ＋3＝0. ∵过点A(1，m)可作曲线的三条切线，∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根．设g(x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3，则g ′(x 0)＝6x 20－6x 0，由g ′(x 0)＝0，得x 0＝0或x 0＝1.∴函数g(x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3的极值点为x 0＝0，x 0＝1.∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根的充要条件是g(1)g(0)<0，即(m ＋3)(m ＋2)<0，解得－3<m<－2.故所求实数a 的取值范围是(－3，－2)．点评：总的说来，对于这部分知识的复习，要认识到新课程中增加了导数内容，增添了一部分的变量数学，在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的变化率，解决函数的单调性、极值等问题的作用．要全面复习，抓住导数基础知识．注意考题的难度逐年增大，要有意识地与解析几何(特别是切线，最值)、函数的单调性、函数的极值、最值、二次函数、方程、不等式、代数式的证明等知识进行交汇、综合训练，特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题、切线问题进行训练．设计说明本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是构建知识体系，形成知识网络，总结解题规律、方法，使学生能够见题想法，见题有法，能够做到一题多解，触类旁通．备课资料设a ∈R ，若函数f(x)＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a>－3B ．a<－3C ．a>－13D ．a<－13解析：f ′(x)＝3＋ae ax ，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x)＝3＋ae ax ＝0有正根．当有f ′(x)＝3＋ae ax ＝0成立时，显然有a<0，此时x ＝1a ln(－3a)．由x>0，我们就能得到参数a 的范围为a<－3.答案：B点评：本题考查导数、函数、方程的有关知识，考查等价转化、分类讨论的数学思想以及分析问题、解决问题的能力，是试卷中一道以能力考查为主的试题．解决本题的关键是用a表示出x，通过x>0建立关于参数a的不等式，这也是解决参数取值范围问题的一个通用方法，值得仔细体会．(设计者：李锋)第2课时教学目标知识与技能目标1．在复习巩固导数基础知识的基础上，进一步理解利用导数解决函数单调性、极值、最值等问题的处理方法．2．提高学生转化化归意识，体会导数在解决实际问题中的作用．过程与方法目标掌握利用导数解决问题的方法、规律，深化学生对导数知识的理解及把握．情感、态度与价值观培养学生的观察、分析问题的能力，以及转化、化归的数学思想，让学生学会用数学方法认识世界、改造世界．重点难点重点：巩固常见导数题型，并培养学生解决实际问题的能力．难点：运用导数知识解决有关问题的方法．教学过程典型示例类型一求函数的导数例1函数y＝x3lnx＋2x＋cos2x－3e＋sinπ的导数为________．思路分析：本题考查函数求导公式及导数运算法则，且搞清变量是x，一般在不做任何说明的情况下，将x视为变量．答案：y′＝3x2lnx＋x2＋2x ln2－2sin2x点评：本题一方面考查了导数求导公式及导数运算法则，另一方面学生容易出现诸如“(sinπ)′＝cosπ”的错误，因此本题有助于帮助学生克服思维定势．变式练习1．函数y＝e x＋x2cosx＋lnx的导数为__________．2．下列函数求导运算正确的是()A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2B ．(log 2x)′＝1xln2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2sinx)′＝2xcosx答案：1.y ′＝e x ＋2xcosx －x 2sinx ＋1x2.B 类型二 用导数研究函数的性质(单调性、极值和最值)例2设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2，(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[－34，14]上的最大值和最小值． 思路分析：f(x)的单调性取决于f ′(x)的正负，而函数的最值取决于函数的极值以及端点函数值的大小．解：f(x)的定义域为(－32，＋∞)． (1)f ′(x)＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3. 当－32<x<－1时，f ′(x)>0；当－1<x<－12时，f ′(x)<0；当x>－12时，f ′(x)>0. 从而，f(x)在区间(－32，－1)，(－12，＋∞)上单调递增，在区间(－1，－12)上单调递减． (2)由(1)知f(x)在区间[－34，14]上的最小值为f(－12)＝ln2＋14. 又f(－34)－f(14)＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12(1－ln 499)<0. 所以f(x)在区间[－34，14]上的最大值为f(14)＝116＋ln 72. 点评：(1)对数形式的函数求导一定要注意定义域；(2)注意求闭区间上函数最值的基本方法．变式练习：设函数f(x)＝x 3－3ax ＋b(a ≠0)．(1)若曲线y ＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．思路分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．解：(1)f ′(x)＝3x 2－3a ，∵曲线y ＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y ＝8相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.∴a ＝4，b ＝24.(2)∵f ′(x)＝3(x 2－a)(a ≠0)，当a<0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点； 当a>0时，由f ′(x)＝0，得x ＝±a.当x ∈(－∞，－a)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x ∈(－a ，a)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增．∴此时x ＝－a 是函数f(x)的极大值点，x ＝a 是函数f(x)的极小值点．类型三 不等式证明例3当x>0时，证明不等式e x >1＋x ＋12x 2成立． 思路分析：在高中数学学习过程中，我们常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用的证法都一一尝试，却很难奏效．这时我们不妨变换一下思维角度，从所证不等式的结构和特点出发，结合自己已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明．用导数方法证明不等式，其步骤一般是：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论．证明：设f(x)＝e x －1－x －12x 2，则f ′(x)＝e x －1－x. 令g(x)＝e x －1－x ，则g ′(x)＝e x －1.当x>0时，g ′(x)＝e x －1>0.∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0.∴g(x)>g(0)＝0.∴g(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立．∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝0，∴e x －1－x －12x 2>0，即x>0时，e x >1＋x ＋12x 2成立． 点评：利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也成为命题的一个新热点，其关键是构造合适的函数，通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性证明不等式．变式练习：利用导数证明不等式lnx ＋1≤x 恒成立．解：设函数f(x)＝lnx ＋1－x(x>0)，则f ′(x)＝1x－1，则0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，故f(x)≤f(1)＝0，即lnx ＋1－x ≤0，即lnx ＋1≤x.点评：一般地，证明f(x)<g(x)，x ∈(a ，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F ′(x)<0，则F(x)在(a ，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)．类型四 微积分基本定理及其应用例4(1)求∫21(1x＋x ＋e x ＋cosx)dx 的值；(2)求∫2－24－x 2dx. 思路分析：(1)本题考查微积分基本定理，需结合导数公式记忆该定理．(2)本题若用微积分基本定理，不易求解，可考虑几何意义，即半径为2的半圆面积．解：(1)∫21(1x ＋x ＋e x ＋cosx)dx ＝(lnx ＋x 22＋e x ＋sinx)|21＝ln2＋32＋e 2－e ＋sin2－sin1. 点评：求导问题和求微积分问题可以看做互逆的两个过程，因此须牢记求导公式．(2)∫2－24－x 2dx ＝2π. 点评：对于某些比较难求的积分，可考虑其几何意义，数形结合．变式练习：1．求∫a －aa 2－x 2dx 的值，其中a>0. 2．求由y ＝1x，y ＝1，y ＝2，x ＝0所围成的图形的面积． 3．物体A 以速度v ＝6t ＋1在一直线上运动，同时物体B 在A 的正前方2米处以v ＝6t 的速度运动，两物体速度方向相同，两物体何时相遇？相遇处与物体A 的出发地距离是多少？答案：1.∫a －a a 2－x 2dx 几何意义为半径为a 的半圆的面积，故其值为πa 22. 2．本题以y 为变量较好，故面积S ＝∫211ydy ＝lny|21＝ln2－ln1＝ln2. 3．解：设在时刻t 0时相遇，则由题意，知∫t 00(6t ＋1)dt ＝2＋∫t 006tdt ，∴(3t 2＋t)|t 00＝2＋3t 2|t 00.∴3t 2＋t ＝2＋3t 2.∴t ＝2.相遇处与物体A 的出发地距离是s ＝∫20(6t ＋1)dt ＝(3t 2＋t)|20＝14(米)．类型五 导数在实际问题中的应用例5某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入—成本)思路分析：建立利润函数，利用导数求其最值．解：每月生产x 吨时的利润为f(x)＝(24 200－15x 2)x －(50 000＋200x) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)． 由f ′(x)＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)． 因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－15×(200)3＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)． 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．点评：此题考查导数的实际应用，注意建立数学模型，将实际问题化为数学问题，最后一定要还原为实际问题来作答．变式练习：某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元．已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x ＋136x 3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这样的产品？最大利润是多少？解：设生产x 件产品的利润为L(x)元，则L(x)＝500x －2 500－C(x)＝300x －136x 3－2 500(x 为正整数)． ∴L ′(x)＝300－112x 2. 令L ′(x)＝0，得到x ＝60(x ＝－60舍去)．当0≤x<60时，L ′(x)>0；当x>60时，L ′(x)<0.∴x ＝60是L(x)的唯一极大值点．故[L(x)]max ＝L(60)＝9 500.因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．拓展实例1．已知函数f(x)＝sin2x －acos2x 的图象关于直线x ＝π8对称，则a 的值为…( ) A ．1 B ．0C ．－1D ．1或－1思路分析：此题方法较多，可以利用定义f(π8＋x)＝f(π8－x)求解，也可以利用特殊值求解．例如用f(0)＝f(π4)求解，若能抓住此类三角函数在对称轴处取到极值，则可利用该点处导数值为零解决．解析：f ′(x)＝2cos2x ＋2asin2x ，因为函数图象关于直线x ＝π8对称，故f ′(π8)＝0，代入得cos π4＋asin π4＝0，所以a ＝－1. 答案：C2．已知函数f(x)＝sin(2x ＋π6)，求函数的单调递增区间． 解：∵f(x)＝sin(2x ＋π6)，∴f ′(x)＝2cos(2x ＋π6)． 令f ′(x)>0，得2kπ－π2<2x ＋π6<2kπ＋π2，k ∈Z . 解得kπ－π3<x<kπ＋π6，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6]，k ∈Z . 变练演编1．已知f(x)＝xlnx ＋e x ，则下列关系正确的是( )A ．f ′(x)＝1＋e xB ．f ′(1)＝1＋eC ．f(1)>f(2)D ．f ′(1)>f ′(2)2．对R 上可导的任意函数f(x)，若满足(x －1)f ′(x)≥0，则必有( )A ．f(0)＋f(2)<2f(1)B ．f(0)＋f(2)≤2f(1)C ．f(0)＋f(2)≥2f(1)D ．f(0)＋f(2)>2f(1)3．已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，则f(π4)的值为__________． 4．求∫20(4－x 2＋|x －1|)dx 的值．5．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 6．设函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3a 2x ＋1(a ，b ∈R )在x ＝x 1，x ＝x 2处取得极值，且|x 1－x 2|＝2.(1)若a ＝1，求b 的值，并求f(x)的单调区间；(2)若a>0，求b 的取值范围．答案：1.B 2.C 3.1 4.π＋1.5．解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋2 160×10 0002 000x ＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈Z *)． f ′(x)＝48－10 800x 2，令f ′(x)＝0，得x ＝15. 当x>15时，f ′(x)>0；当0<x<15时，f ′(x)<0.因此，当x ＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000.答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．6．解：f ′(x)＝3ax 2＋2bx －3a 2.①(1)当a ＝1时，f ′(x)＝3x 2＋2bx －3.由题意知x 1，x 2为方程3x 2＋2bx －3＝0的两根，所以|x 1－x 2|＝4b 2＋363. 由|x 1－x 2|＝2，得b ＝0.从而f(x)＝x 3－3x ＋1，f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．当x ∈(－1,1)时，f ′(x)<0；当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0.故f(x)在(－1,1)上单调递减，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增．(2)由①式及题意知x 1，x 2为方程3ax 2＋2bx －3a 2＝0的两根，所以|x 1－x 2|＝4b 2＋36a 33a. 从而|x 1－x 2|＝2＝9a 2(1－a)，由上式及题设知0<a ≤1.考虑g(a)＝9a 2－9a 3，g ′(a)＝18a －27a 2＝－27a(a －23)． 故g(a)在(0，23)内单调递增，在(23，1)内单调递减，从而g(a)在(0,1]上的极大值为g(23)＝43. 又g(a)在(0,1]上只有一个极值，所以g(23)＝43为g(a)在(0,1]上的最大值，且最小值为g(1)＝0.所以b 2∈[0，43]，即b 的取值范围为[－233，233]． 达标检测1．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)2．f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.133D.1033．当x ≠0时，有不等式( )A ．e x <1＋xB ．当x>0时，e x <1＋x ；当x<0时，e x >1＋xC ．e x >1＋xD ．当x<0时，e x <1＋x ；当x>0时，e x >1＋x4．已知f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为…( )A ．－1<a<2B ．－3<a<6C ．a<－1或a>2D ．a<－3或a>65．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是__________．6．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________． 7．已知函数f(x)＝13x 3＋a 2x 2＋ax ＋b ，当x ＝－1时，函数f(x)的极值为－712，则f(2)＝__________.答案：1.C 2.D 3.C 4.D 5.(－∞，－53)，(1，＋∞) 6.(0，＋∞) 7.53课堂小结1．知识收获：导数在解决函数极值与最值、不等式证明以及在解决实际问题中的应用．2．方法收获：转化化归的思想方法．3．思维收获：分类讨论思想以及转化化归的思想．设计意图注重基础，由学生总结导数常见题型，培养学生的总结能力以及对知识的梳理能力，这样可以帮助学生尽快建立完整的知识体系．布置作业1．已知函数f(x)＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f ′(x)＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数y ＝f(x)在区间(a －1，a ＋1)内的极值．2．设函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2，(1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线f(x)与x 轴所围成图形的面积．答案：1．解：(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f(x)＝x 3＋ mx 2＋nx －2，得f ′(x)＝3x 2＋2mx ＋n ，则g(x)＝f ′(x)＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n.而g(x)图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0.所以m ＝－3.代入①得n ＝0， 于是f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．由f ′(x)>0，得x>2或x<0.故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；由f ′(x)<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f ′(x)＝3x(x －2)．令f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a －1，a ＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a ＝1时，f(x)在(a －1，a ＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a －1，a ＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a ≥3时，f(x)在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6.2．解：(1)a ＝0，b ＝－3.(2)92. 补充练习1．已知f(x)＝2x 3－6x 2＋a(a 是常数)在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上f(x)的最小值是( )A ．－5B ．－11C ．－37D ．－292．设函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx(x ∈R )，已知g(x)＝f(x)－f ′(x)是奇函数，(1)求b 、c 的值；(2)求f(x)在点x 0＝1处的切线方程；(3)求g(x)的单调区间与极值．3．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，要使弹簧伸长10 cm ，需作多少功？答案：1.C 2.(1)b ＝3，c ＝0；(2)y ＝9x －5；(3)单调增区间(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调减区间(－2,0)；极大值f(－2)＝42，极小值f(2)＝－4 2.3．0.25 J.拓展练习4．以长为10的线段为直径作半圆，求它的内接矩形面积的最大值．解：如图所示，设AB ＝2x ，∴BC ＝52－x 2＝25－x 2.∴面积S(x)＝2x 25－x 2(0<x<5)．S ′(x)＝225－x 2－2x 225－x 2＝2(25－2x 2)25－x 2， 令S ′(x)＝0，解得x ＝522(x ＝－522舍去)． 当x ∈(0，522)时，S ′(x)>0；当x ∈(522，5)时，S ′(x)<0， ∴在x ＝522时，S(x)取得极大值，也是最大值S(522)＝25. 因此当x ＝522时，它的内接矩形面积最大，最大值为25. 设计说明导数是高等数学最为基础的内容，是中学必选的重要知识之一．由于导数应用的广泛性，可为解决所学过的函数问题提供更有效的工具或更一般性的方法，导数方法与初等方法相比，对技巧性的要求有所降低，因此运用导数方法可以简捷地解决相关问题．可以说导数的加入使函数这部分内容更加充实，也显得更加重要．但本部分也是难点，因此设计时尽可能地以小见大，从基础题入手，使学生循序渐近地掌握好本章内容．备课资料已知m ，n 是正整数，且1<m<n ，证明(1＋m)n >(1＋n)m .分析：要证(1＋m)n >(1＋n)m 成立，只要证ln(1＋m)n >ln(1＋n)m ，即要证1m ln(1＋m)>1nln(1＋n)成立．因为m<n ，所以，设函数f(x)＝1xln(1＋x)，只要证f(x)在[2，＋∞)上是减函数即可．证明：设函数f(x)＝1x ln(1＋x)，则f ′(x)＝－1x 2ln(1＋x)＋1x ·11＋x， 即f ′(x)＝1x 2[x 1＋x －ln(1＋x)]，因为x ≥2,0<x 1＋x<1，ln(1＋x)≥ln3>1， 所以f ′(x)<0.所以f(x)在[2，＋∞)内是减函数，而m<n ，所以f(m)>f(n)，即1m ln(1＋m)>1nln(1＋n)，从而有(1＋m)n >(1＋n)m . 评注：这类非明显一元函数式的不等式证明问题，首先变换成某一个一元函数式分别在两个不同点处的函数值的大小比较问题，只要将这个函数式找到了，通过设函数，求导判断它的单调性，就可以解决不等式证明问题．难点在于找这个一元函数式，这就是“构造函数法”．通过这类数学方法的练习，对提高学生分析问题、解决问题的能力是有很大好处的，这也是进一步学习高等数学所需要的．(设计者：李宾)。

知识梳理1.一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内的变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图像就“平缓”.例题精讲例1.如图所示，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.【方法技巧】解决这类问题时，应先明确自变量与应变量的关系，结合导数的绝对值大小与原函数图象变化趋势的关系进行判断.注意：当自变量与应变量的关系很难表示的时候，应从实际出发，理性分析.巩固训练1.如图：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为11A B ，CD 的中点，点M 是EF 的动点，FM x =，过M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为()V x ，则函数()V x 的大致图像为（ ）A. B. C. D.（三）含参数的函数单调性讨论知识梳理1在参数范围内讨论单调性的解题的主体思路或步骤：（1）先明确定义域（通常针对的是对数函数）（2）求导，这时需要判断导数在定义域范围内是否存在恒正或恒负的情况（对于二次函数型的通过判别式来明确分类讨论的主体框架，对于含有对数函数的，可能需要通过二次求导来判定）；即在定义域范围内恒单调递增或递减。

（3）当在定义域范围内导数有正有负，即存在极值点，这时令导函数的值为零，求出极值点（一般会含有2个极值点，这时要比较这2个极值点的相对大小，还有在定义域的相对位置）（4）根据参数的范围划分好单调区间例题精讲例1.试判断函数()32()4f x x ax x a R =+-∈的单调性.例2.求函数()324()(2)3f x x a x x a R =+-+∈的单调区间.A.(2,+∞)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(0, 2)2.函数()ln f x x x =在区间（0，1）上是（ ）A.单调增函数B. 在（0，e 1）上是减函数，在（e1,1）上是增函数 C. 单调减函数 D.在（0, e 1）上是增函数，在（e 1,1)上是减函数 3. 设2()(2)f x x x =-则()f x 的单调增区间是（ ）A .(0,)34B .(,34+∞)C .(-∞,0)D .(-∞,0)∪(34,+∞）4. ()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）5.函数()2sin f x x x =+的增区间为___________.6.函数2()32x f x x x =-+的增区间为___________. 7.求下列函数的单调区间： （1）32)(24+-=x x x f ； （2）22)(x x x f -=.8.求下列函数的单调区间：（1）2()ln(32)f x x x =-+- （2）2ln ()x f x x=9. 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠；求函数()f x 的单调区间.2222 D.C.B.A.O x y O x y y x O Ox y 2yxO教案解读本次课的内容较为简单基础，结合考纲要求系统梳理知识点，让学生正确地把握知识的重难点；同时，添加了含参数的函数单调性讨论问题的处理方法与技巧。

说课课题：导数的概念（第三课时）教材：全日制普通高级中学教科书数学第三册（选修Ⅱ）（人民教育出版社）说课教师：一、【教材分析】1. 本节内容：《导数的概念》这一小节分“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”四个部分展开，大约需要4个课时．第一、二课时学习“曲线的切线”，“瞬时速度”，今天说的是第三课时的内容导数概念的形成.2. 导数在高中数学中的地位与作用：导数作为微积分的核心概念之一，在高中数学中具有相当重要的地位和作用.从横向看，导数处于一种特殊的地位．它是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法简化中学数学的许多问题．从纵向看，导数是对函数知识的深化，对极限知识的发展，同时为以后研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用．二、【学情分析】1. 有利因素：学生已较好地掌握了函数极限的知识，又刚刚学过曲线的切线、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，我班学生思维比较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础．2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度．三、【目标分析】1. 教学目标（1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.（2）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．（3）情感、态度与价值观目标：①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．2. 教学重、难点【确定依据】依据教学大纲的要求，结合本节内容和本班学生的实际重点：导数的定义和用定义求导数的方法．难点：对导数概念的理解．【难点突破】本课设计上从瞬时速度、切线的斜率两个具体模型出发，由特殊到一般、从具体到抽象利用类比归纳的思想学习导数概念；把新知的核心“可导”和“导数”两个问题结合起来，利用转化的思想与学生已有的极限知识相联系，将问题化归为考察一个关于自变量x∆的函数x xxfxF∆∆∆)()(0+=当0→x∆时极限是否存在以及极限是什么的问题.四、【教学法分析】1. 教法、学法：引导发现式教学法，类比探究式学习法教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念．引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．2. 教学手段：多媒体辅助教学【设计意图】通过多媒体弥补传统教学的不足，增强教学效果的直观性，帮助学生更好地理解无限逼近思想，揭示导数本质．五、【教学过程分析】【确定依据】为更好落实教学目标, 把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，，为学生创设探究空间,让学生充分经历、体验数学知识再发现的过程,从中获取知识,发展思维,感受探索的乐趣.（一）教学环节（二）教学过程【设计意图】本课使用了电脑投影屏幕，黑板上的板书保留勾勒本课知识发展的主要线索，呈现完整的知识结构体系，用彩色粉笔突出重点，强化学生对新信息的纳入，同时对新学的符号语言的规范使用进行示范.板书设计：六、【教学反思】一个概念的形成是螺旋式上升的，对新概念的抽象不仅是对结果的抽象，更是对方法和过程的抽象.本课设计上，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，返璞归真，从两个反应概念现实原型的具体问题出发，引出函数在一点处的导数再到开区间内的导函数，引导学生经历了一个完整的数学概念发生、发展的探究过程.提出问题、观察归纳、概括抽象，拓展概念让学生充分经历了具体到抽象，特殊到一般，感性到理性，直观到严谨的知识再发现过程，教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者创设机会和空间，激活学生思维的最近发展区，倡导学生积极参与，自主探究，发现知识，培养能力.把可导与连续的关系，设计成弹性化的选作题，既不影响主体知识建构,又能使学有余力的学生得到进一步的发展.以上，体现了以学生的发展为本，不是教教材而是用教材教；教学中不是重结论，而是重过程和方法；不是采用接受式的学习方式，而是采用探究、交流的方式；不是统一要求，而是因材施教尊重个体差异.这样的设计符合学生认知规律，促进了个性化学习，更好地实现了教学目标.《导数的概念》教案说明本节课的设计以新课程的教学理念为指导，遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的原则。

1.2 导数的计算一、教学目标 1．核心素养通过学习导数的计算，提升推理论证、计算求解与应用能力． 2．学习目标（1）1.2.1能根据导数定义，求函数21,,,,y c y x y x y y x===== （2）1.2.2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（3）1.2.3能利用复合函数求导法则求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数． 3．学习重点（1）利用导数的定义求五个函数21,,,,y c y x y x y y x ===== （2）利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数． 4．学习难点两个函数的积与商的求导法则的应用，复合函数求导法则的理解与应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P 12－P 14，思考：常用函数的导数是什么？ 是如何计算得到的？ 任务2阅读教材P 14－P 17，思考：导数运算法则是什么？符合函数的求导法则是什么？2．预习自测 1．函数1y x x=+的导数是____________. 解：211y x =-2．函数cos sin y x x x =-的导数为（ ）A.sin x xB.sin x x -C.cos x xD.cos x x - 解：B3．设()f x =，则'(1)f = .（二）课堂设计 1．知识回顾（1）函数的定义是什么？给定自变量的取值，有唯一确定的函数值与之对应. （2）函数()f x 在0x x =处的导数是0000()()limlim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆.（3）函数()f x 在0x x =处的导数是关于0x 的函数吗？对于函数()f x 来说，给定0x 的取值，则0()f x '是一个确定的值,所以是一个函数. 2．问题探究问题探究一 、几个常用函数（21,,,,y c y x y x y y x===== ●活动一 动手计算，收获几个结论请大家用导数的定义分别推导出函数21,,,,y c y x y x y y x =====. 1．若y c =（c 为常数），则y '=_________； 2．若y x =，则y '=_______________； 3．若2y x =，则y '=___________________； 4．若1y x=，则y '=_______________；5．若y =y '=__________________.●活动二 阅读查表，记忆导数公式1．若()f x c =（c 为常数），则()f x '=_______； 2．若*()()f x x Q αα=∈，则()f x '=_______. 3．若()sin f x x =，则()f x '=________________； 4．若()cos f x x =，则()f x '=_____________.5．若()x f x a =，则()f x '=_________； 特别地：若()x f x e =，则()f x '=_________. 6．若()log a f x x =，则()f x '=_______； 特别地：若()ln f x x =，则()f x '=________.为避免记忆混淆，可将上述公式可分为四类记忆：（1）（2）属于幂函数的导数公式；（3）（4）属于三角函数的导数公式；（5）是指数函数的导数公式；（6）是对数函数的导数公式． 例1求下列函数的导数．(1)y ＝a 2(a 为常数)； (2)y ＝5x 3； (3)y ＝x －4； (4)y ＝lg x . 【知识点：导数的运算】解：(1)∵a 为常数，∴a 2为常数，∴y ′＝(a 2)′＝0.(2)'32'553'5y x x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭(3)y ′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5 (4)y ′＝(lg x )′＝1x ln10. 例2 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 【知识点：导数的运算】解：''113122211'()22f x x x x ----⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭∴f ′(1)＝－12，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.点拨：熟记导数公式，能够应用导数公式求相应函数的导数. ●活动三 认识规律，熟练掌握法则 导数的四则运算法则是什么？（1）[()()]f x g x '±=___________； （2）[()()]__________________f x g x '⋅=； （3）()[]___________________()f xg x '=. 由积的导数运算法则可推出：[()]()cf x cf x ''=．在积、商的导数运算法则中，要注意：一般情况下，[()()]()()f x g x f x g x '''⋅≠⋅，()()[]()()f x f xg x g x ''≠'，不要与[()()]()()f x g x f x g x '''±=±混淆． ●活动四 应用法则，扩充导数公式请利用初等函数的导数和导数的四则运算法则计算下列函数的导数： 1．若()ln f x x x =，则()f x '=_______； 2．若2()x f x x e =，则()f x '=_______.3．若()tan f x x =，则()f x '=_____________；4．若()ln f x x =，则()f x '=_____________. 例3 求下列函数的导数．(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝x 2sin x ；(4)y ＝2tan x ＋3tan x ；(5)y ＝x ·e x ＋ln x . 【知识点：导数的运算】解： (1)y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)先化简，得y ＝－x 12 ＋x －12 ∴y ′＝－12x －12 －12x －32 ＝－x ＋12x x .(3)y ′＝(x 2)′sin x －x 2(sin x )′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos x sin 2x.(4)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x cos x ＋3cos x sin x ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x sin x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x cos 2x ＋－3sin 2x －3cos 2xsin 2x ＝2cos 2x －3sin 2x .解法2：y ′＝2ta n′x －3tan′x tan 2x ＝tan′x (2－3tan 2x )＝1cos 2x (2－3cos 2x sin 2x )＝2cos 2x －3sin 2x . (5)y ′＝(x ·e x )′＋(ln x )′＝e x ＋x ·e x ＋1x ＝(1＋x )·e x ＋1x . 点拨：熟记导数公式是求导函数的关键.●活动一 什么是复合函数及复合函数求导法则？（1）一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =． （2）复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数的关系为：y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．例4求下列函数的导数．(1)y ＝1(1－3x )4； (2)y ＝3ax 2＋bx ＋c ； (3)ax b y e -+=. 【知识点：导数的运算】 解：(1)y ＝u －4，u ＝1－3x .∴y ′＝y ′u ·u ′＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4·u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5.(2)y ＝u 13 ，u ＝ax 2＋bx ＋c .y ′＝y ′u ·u ′x ＝13u －23 ·(2ax ＋b )＝13(ax 2＋bx ＋c ) －23 ·(2ax ＋b )＝(2ax ＋b )3ax 2＋bx ＋c 3(ax 2＋bx ＋c ).(3)y ＝e u ，u =－ax +b .，y ′＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(－ax +b )′＝e u ·(－a )＝ax b ae -+-． 点拨：分清函数由哪些函数复合而成，是求复合函数导数的关键. ●活动二 应用新知，解决典型例题例5 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程．【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0.例6已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．12【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：设切点为(x 0，y 0)，00013131222x x y x x x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝＝－＝－＝－.∵x 0>0，∴x 0＝2.点拨：求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率．(3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．●活动三 函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系. （1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f (x )的导函数 （3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一． 3．课堂总结 【知识梳理】（1）基本初等函数的导数公式（2①[()()]'f x g x ±= ；②()()'f x g x =⎡⎤⎣⎦ ； ③()[]'()f xg x = [()0].g x ≠ （3）复合函数的导数：若(),y f u u ax b ==+，则x u x y y u '''=⋅，即x y '= .【重难点突破】（1）运用导数的四则运算法则，可推出以下三个常用结论： ①1212[()()()]()()()n n f x f x f x f x f x f x ''''±±±=±±±；②[()()]()()af x bg x af x bg x '''±=±；③2()1()[()]g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． （2）求复合函数导，一般按以下三个步骤进行：①分解：分解复合函数为基本初等函数，注意适当选择中间变量；②层层求导：求每一层基本初等函数的导数（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；③作积还原：将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的变量． 利用复合函数求导时，要注意选择合适的中间变量.例如，对于函数41(34)y x =+，可令31u x =+，4y u -=；也可令4(31)u x =+，1y u -=，显然前一种形式更有利于求导．（3）应用导数公式与运算法则求导时，应注意以下三点： ①对幂函数求导时，要将根式、分式化为指数式，以便应用公式； ②对较复杂函数求导时，可考虑“先化简，再求导”，以减少运算量. ③根据函数的结构，合理选择求导公式与运算法则. 4．随堂检测1．已知f (x )＝x 2，则(3)f '=（ ） A ．0B ．2xC ．6D ．9【知识点：导数的运算】 解：C2．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是（ ） A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x【知识点：导数的运算】 解：D 3．函数y ＝cos x1－x的导数是（ ） A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x【知识点：导数的运算】 解：C4．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C. 2D ．a >0【知识点：导数的运算】 解：B5．设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6)，则a =_________.【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：12（三）课后作业基础型自主突破1．给出下列命题：①若y＝π，则y′＝0；②若y＝3x，则y′＝3；③若y＝1x，则y′＝－12x；④若3y'=，则y＝3x.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点：导数的运算】解：B2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则这样的切线有（）A．1条B．2条C．3条D．不确定【知识点：导数的运算；导数的几何意义】解：B3．若2()24lnf x x x x=--，则()0f x'>的解集为（）A．(0,)+∞B．(1,0)(2,)-+∞C．(2,)+∞D．(1,0)-【知识点：导数的运算】解：C4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 【知识点：导数的几何意义】解：C提示：∵y＝ln x的导数为y′＝1x，∴1x＝12，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝12x＋b得b＝ln 2－1.5．曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n等于（）A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点：导数的运算】解：C6．求下列函数的导数（1）3log y x = （2）31x y x e =+- （3）sin(12)y x =+（4）1ln y x x x=+（5） y ＝2sin x 2(1－2sin 2x4)．【知识点：导数的运算】 解：（1）1ln 3y x '=（2）232ln 2x y x '=+⋅（3）()22cos(1)(12)2cos 1y x x x ''=+⋅+=+ （4）211ln y x x'=+-（5）∵y ＝2sin x 2(1－2sin 2x 4)＝2sin x 2cos x2＝sin x . ∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．能力型 师生共研7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e【知识点：导数的运算】 解： B8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足()()f x g x ''=，则f (x )与g (x )满足（ ）A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数函数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数函数【知识点：导数的运算】 解： B9．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：14 提示：由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12x －12|x ＝14＝g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝a14，可得a ＝14，经检验，a＝14满足题意．10．若函数f (x )＝x m＋ax 的导数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和S n 是（ ）A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n【知识点：导数的运算】 解： A探究型 多维突破11．已知1()sin cos ()f x x x x R =+∈，记*21321()(),()(),,()()(,2)n n f x f x f x f x f x f x n N n -'''===∈≥，则122014()()()222f f f πππ+++=____________.【知识点：导数的运算】解：0 提示：2()cos sin f x x x =-，3()sin cos f x x x =--，4()cos sin f x x x =-+，5()sin cos f x x x =+，以此类推，可得出4()()n n f x f x +=，又1234()()()()0f x f x f x f x +++=，所以122014123412()()()503[()()()()]()()0222222222f f f f f f f f f πππππππππ+++=+++++=12．已知曲线C ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6. （1）求C 上斜率最小的切线方程；（2）证明：曲线C 关于斜率最小时切线的切点对称．【知识点：导数的运算】 解：(1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13.当x ＝2时，y ′最小，最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0. (2)证明：设(x 0，y 0)∈C ，(x ，y )是(x 0，y 0)关于(2，－12)的对称点，则⎩⎨⎧x 0＝4－x ，y 0＝－24－y .∵(x 0，y 0)∈C ，∴－24－y ＝(4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6， 整理得y ＝x 3－6x 2－x ＋6.∴(x ，y )∈C ，于是曲线C 关于切点(2，－12)对称．自助餐1．下列四组函数中导数相等的是（ ）A ．f (x )＝2与g (x )＝2xB ．f (x )＝－sin x 与g (x )＝cos xC ．f (x )＝2－cos x 与g (x )＝－sin xD ．f (x )＝1－2x 2与g (x )＝－2x 2＋4【知识点：导数的运算】 解： D2．设函数22()(0)x a f x a x+=>，若0()0f x '=，则x 0＝（ ）A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2【知识点：导数的运算】 解： B3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为（ ） A.193 B.103C.133D.163【知识点：导数的运算】 解： B4．函数y ＝x 2＋12x －1的导数是（ ）A.2＋xx 2＋1·(2x －1)2B ．－2＋x1＋x 2·(2x －1)2C.4x 2－x ＋2(2x －1)2D.4x 2－x ＋2(2x －1)2x 2＋1【知识点：导数的运算】 解： B5．已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A ．[0,4π)B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 【知识点：导数的运算】解： D6．（1）已知f (x )＝xe x ＋sin x cos x ，则f ′(0)＝________.（2）已知g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则g ′(1)＝________.【知识点：导数的运算】解：（1）2 ；（2） 24提示：(1)f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＋cos2x ，∴f ′(0)＝1＋1＝2.(2)()(1)[(2)(3)(4)(5)](2)(3)(4)(5)g x x x x x x x x x x ''=-----+---- 所以g ′(1)＝(1－2)(1－3)(1－4)(1－5)＝24.7．设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)f '=______________.【知识点：导数的运算】 解：28．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x ，使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是_____________ ①2()f x x =，②()x f x e -=，③()ln f x x =，④()tan f x x =.【知识点：导数的运算】 解：①③提示： ①中，令00()()f x f x '=，可得：00x =或02x =，故存在“巧值点”.②中，令00()()f x f x '=，可得：0x x e e --=-，显然无解，故不存在“巧值点” ③中，令00()()f x f x '=，可得：001ln x x =，由于ln y x =与1y x=的图像有交点，因此方程有解. 故存在“巧值点”.④中，令00()()f x f x '=，可得：0201tan cos x x =，即：00sin cos 1x x =，显然无解. 故不存在“巧值点”9．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y =x 2+a 到直线l :y =x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x 的距离，则实数a =_______.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：49提示：曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x的距离为d =-==曲线C 1：y =x 2+a 对应函数的导数为2y x '=，令12=x 得21=x ，所以C 1：y =x 2+a 上的点为)41,21(a +，点)41,21(a +到到直线l :y =x 的距离应为2，所以211|4121|22=+--a ，解得49=a 或47-=a （舍去）. 10．已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+，则()f x =____________. 【知识点：导数的运算】解：212x e x x -+ 提示：1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得：(0)1f =，即1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=，得：21()2x f x e x x =-+11．已知11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为函数2()2f x x x a =++（0x <，a R ∈）的图像上的两点,且12x x <.若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，则21x x -的最小值为___________.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：1 提示：由题知：()22f x x '=+，且12()()1f x f x ''=-，于是可得：12(22)(22)1x x ++=-，化简得：12114(1)x x =--+，从而21221114(1)x x x x -=++≥+.12．已知二次函数()f x 只有一个零点，且()22f x x '=+. （1）求()f x 的表达式； （2）若()()x f x g x e=，求曲线()y g x =在点(0,(0))P g 处的切线l 与两坐标轴围成的三角形面积S .【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，又()22f x x '=+，所以1,2a b ==. 即2()2f x x x c =++，又()f x 只有一个零点，故1c =，所以2()21f x x x =++.（2）由（1）知2()21()x xf x x xg x e e++==，所以2222(21)(21)1()()x xx xx x e e x x xg xe e'++-++-'==.故(0)1g'=，又(0)1g=，从而切斜l的方程为1y x-=，即10x y-+=，于是切线l与两坐标轴围成的三角形面积111122 S=⨯⨯=.数学视野微积分学是由牛顿和莱布尼茨在总结了诸多数学家的工作之后，分别独立地创立的.牛顿（Newton，1642—1727），英国数学家，物理学家，天文学家和自然哲学家.牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分. 17世纪早期，数学家们已经建立起一系列求解无限小问题（诸如曲线的切线、曲率、极值，运动的瞬时速度，面积、体积、曲线长度、物体重心的计算）的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法，特别是确立了微分与积分的逆运算（微积分基本定理）.牛顿的微积分中有一个重要的基本概念“流数”，流数被定义为可借运动描述的连续量——流量（用,,,x y z表示）的变化率（速度），并用在字母上加点来表示，如,,,x y z.牛顿表述流数术的基本问题为：已知流量间的关系，求它们的流数间的关系，以及逆运算. 牛顿创立微积分有深刻的力学背景，他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问题.莱布尼茨（Leibniz，1646—1716），德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分学的创始人.莱布尼茨终生奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法.这种努力导致许多数学上的发现，最突出的是微积分学.莱布尼茨创立微积分主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号（如：d,x⎰等）以及微分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响.。

高二导数精讲一 导数的概念 （一）导数的定义1.导数的原始定义：设函数在处附近有定义，当时，与的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即2.导函数的定义：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个(),x a b ∈，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数. （二）导数的实际意义1.导数的几何意义：是曲线上点处的切线的斜率.因此，如果在点可导，则曲线在点处的切线方程为. 2.导数的物理意义：导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率. （三）概念部分题型：1.利用定义求函数的导数 主要有三个步骤： （1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数()0''limx y y f x x∆→∆==∆2.利用导数的实际意义解题主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程. 二 导数的运算（一）常见函数的导数1. 2. 3. 4. 5.6()11log 'log ln a ax e x x a== 7. 8.()cos 'sin x x =-（二）导数的四则运算 1.和差：()'''u v u v ±=± 2.积： ()'''uv u v uv =+ 3.商：（三）复合函数的导数1.运算法则复合函数导数的运算法则：2.复合函数的求导的方法和步骤：求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层.求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量；（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数； （3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.三 导数的应用（一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间1.导数和函数单调性的关系：（1）若()'0f x >在上恒成立，则在上是增函数，()'0f x >的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若()'0f x <在上恒成立，则在上是减函数，()'0f x <的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：① 确定的定义域； ② 计算导数； ③ 求出()'0f x =的根；④ 用()'0f x =的根将的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：若()'0f x >，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；若()'0f x <，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间. （二）利用导数求解函数极值与最值1.极值与最值的定义（1）极大值：一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=，是极大值点.（2）极小值：一般地，设函数在附近有定义，若对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极小值，记作y 极小值=，是极小值点.（3）函数的最大值和最小值：在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值.2.极值的性质（1）极值是一个局部概念.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.3.判别是极大、极小值的方法：若满足()0'0f x =，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且若在两侧满足“正右负”，则是的极大值点，是极大值；若在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.4.求函数的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数；（2）求方程()'0f x =的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，若左正右负，则在这个根处取得极大值；若左负右正，则在这个根处取得极小值；若左右不改变符号即都为正或都为负，则在这个根处无极值.5.利用导数求函数的最值步骤（1）求在内的极值；（2）将的各极值与()(),f a f b 比较得出函数在上的最值.（三）利用导数求解证明不等式主要方法为将不等式左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数，通过对求导，根据的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明. 一. 导数的几何意义（一）利用导数的几何意义求切线方程1.（2015·赣州市十二县联考）函数()23ln f x x x =+ ）A.B.C.D.2.（2015·山西省二诊）函数()2sin f x x x =-的零点个数为________3.求过点且与曲线相切的直线方程．4.已知函数()32454f x x x x =-+-.（1）求曲线在点处的切线方程； （2）求经过点的曲线的切线方程.5.函数的曲线上点处的切线与直线310x y -+=的夹角为，则点的坐标为________6.若曲线上点处的切线平行于直线210x y -+=，则点的坐标为________7.（2016·全国丙卷）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为____________ 8.（2017·上饶模拟）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A.1 B. C . D .9.（2016全国Ⅱ）若直线是曲线的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则________10.（2015河南洛阳模拟）曲线在点处的切线为.若直线与轴的交点分别为，则△OAB 的周长的最小值为________11.（2015·豫南九校二联）若函数，则在点处的切线方程为____________12.已知函数的导函数为，且()()()31'103x x f x f ef x -=⋅-⋅+，则____________13.（2016·山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（ ） A. B. C. D.14.（2016·江南十校二模）已知直线是曲线与曲线的一条公切线，若直线与曲线的切点为，则点的横坐标的取值范围（ ）A. B. C . D .15.（2016河北唐山模拟）若函数，函数，则()()221212x x y y -+-的最小值为________（二）利用导数的几何意义求参数1.（2015·宝鸡市质检一）已知直线与曲线切于点，则________2.（2016·广东揭阳模拟）若曲线在点处的切线与直线230x y -+=平行，则 ________3.（2015·大同市高三调研）已知函数()()2,mxf x m n R x n=∈+在处取到极值2，则的解析式为________4.（2015·河北省5名校高三监测）若曲线()21:0C y ax a =>与曲线存在公共切线，则实数的取值范围（ ） A. B.C.D.5.已知在时有极值，则________6.（2015·河北唐山模拟）已知函数()()2,sin2x xf x ae xg x bx π=+=+，直线与曲线切于点且与曲线切于点.（1）求的值和直线的方程. （2）求证：.二. 单调性相关（一）判断函数的单调性 1.函数()()3x f x x e =-的单调递增区间为（ ）A.B.C.D.2.函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D.3.已知函数()24ln f x x x a x =++，若在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围（ ）A.B.C.D.4.函数()ln f x x x =-在区间上的最大值为________5.（2016·淮南二模）函数2cos y x x =+________6.已知函数定义域为，且函数的图象关于直线对称， 当()0,x π∈时，()'sin ln 2f x f x x ππ⎛⎫=--⎪⎝⎭（其中是的导函数），若，则的大小关系为（ ）A. B. C.D.（二）应用导数研究函数的极值1.（2016·河北名校模拟）若函数在处取得极值，则________2.函数的极值点是（ ） A. B. C.或或 D.3.已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D.4.（2017·福州质检）若函数()32132x a f x x x =-++在区间上有极值点，则实数的取值范围（ ）A.B .C.D.（三）函数单调性求参数范围 （一）分参1.函数在上单调递增，则实数的取值范围________2.（2015·沈阳市四校联考）已知函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-，总有()0f x ≥成立，则实数取值集合为________3.已知函数()22ln 2x f x ax x =+-，若在区间上是增函数，则的取值范围________4.若函数()()()1ln 10,01xf x ax x a x-=++≥>+在区间上单调递增，则的取值范围________5.已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax 在上是减函数，则正实数a 的取值范围（ ）A. B. C. D.6.（2016吉林白山三模）若关于的不等式有解，其中，则实数的最小值为________7.（2017·云南师大附中月考）若函数()323f x x tx x =-+在区间上单调递减，则实数的取值范围（ ）A. B.C.D.8.若函数()2sin f x x x =+对任意的恒成立，则的取值范围________（二）半分参1.（2018内蒙古呼和浩特市研）已知函数()3232f x x x mx m =-+--，若存在唯一的正整数，使得()00f x >，则的取值范围（ ）A.B. C.D.2.（2017课标3）已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则（ ）A.B.C.D.13.（2015·全国卷Ⅰ改编）设函数，若存在唯一的整数使得()00f x <，则a 的取值范围________三）不分参——讨论单调性 1.（2017·郑州质检）已知函数. （1）求函数的单调区间；2.已知函数()()21ln 0f x x a x a x=-+->.讨论的单调性.3.（2017·桂林、崇左联考）已知函数()()()21ln 02x f x a x a x a =-++>.（1）当时，求曲线在点处切线的斜率； （2）求函数的极值．4.（2016·重庆一中高三模拟）已知函数()()22ln a f x a x x a R x=++∈.（1）讨论的单调性；5.已知函数，讨论函数的单调性.6.（2016·江门模拟）已知函数()()ln 1ax f x x x a=+-+，是常数，且，讨论零点的个数.7.（2017·河南、河北、山西省质检(二)）已知函数. （1）判断函数的单调性；8.（2017届山东省济宁市高三3月模拟考试）已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若()2,0x ∀∈-，()0f x ≤恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，讨论函数的单调性．9.（2014高州市模拟）已知函数()()21ln f x x b x =-+，其中为常数.（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；10.（云南省师范大学附属中学2018届高三高考适应性月考）已知函数()2ln f x x x b x =++.（1）若，求过原点与相切的直线方程； （2）判断在上的单调性并证明.（四）端点 1.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若当时，()0f x ≥恒成立，求实数的取值范围.2.（2016·全国甲卷）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若当()1,x ∈+∞时，，求实数的取值范围.3.已知函数()sin 2cos xf x x=+.（1）求的单调区间； （2）如果对，都有()f x ax ≤，求实数的取值范围.4.（2015·山西省三诊）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间；（2）令，若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.5.（2015·临川一中高三检测）已知函数()1ln xf x x ax-=+（其中0, 2.7182a e >=）.（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；三．三次函数1.（2016·潍坊模拟）方程3269100x x x -+-=的实根个数（ ） A.3B.2C.1D.02.设函数()23252x f x x x =--+，若对任意，都有，则实数的取值范围________3.若函数()33f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数的取值范围________4.已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则________5.已知函数()3221f x x bx cx =+++有两个极值点，且，则的取值范围（ ）A.B.C.D.6.（2017·开封一模）已知函数()331f x ax x =-+对总有()0f x ≥成立，则实数的取值范围________7.（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A.()00,0x R f x ∃∈=B.函数图象是中心对称图形C.若是的极小值点，则在区间单调递减D.若是的极值点，则()0'0f x =8.（2014蓟县校级一模）已知函数. （1） 若在处取得极值，求实数的值；（2） 在（1）的条件下，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；四. 图象1.（2015·长春名校联考）若函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为（ ）2.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A.函数有极大值和极小值B.函数有极大值和极小值C.函数有极大值和极小值D.函数有极大值和极小值3.（2015·山东潍坊模拟）已知，为的导函数，的图象是（ ）4.（2016·江西师大模拟）设曲线上任一点处切线斜率为，则函数()2y x g x =的部分图象可能为（ ）5.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数()'y xf x =的图象可能是（ ）五．构造函数（一）运算法则构造1.已知是定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，则（ ）A. B. C. D.2.（2015·烟台市高三检测）已知定义在上的函数满足()()0f x f x -+=，当(),0x ∈-∞时，不等式恒成立，若，则的大小关系为（ ） A. B. C.D.3.（2015·淄博市高三统考）已知定义在上的函数的导函数为，且()()'f x f x <，，则不等式的解集为（ ） A. B.C.D.4.（2015·衡水中学四调）已知定义在上的函数，是它的导数，且恒有()()'tan f x f x x <⋅，则下列说法正确的是（ ）A. B. C.D.5.已知为上的可导函数，且有()()'0f x f x x+>，则对于，当时，有（ ）A.B.C.D.6.（2016·甘肃张掖一模）函数在定义域内可导，若，且当(),1x ∈-∞时，，设()()10,,32a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A.B.C.D.7.（2016·湖南衡阳二模）是定义在()(),00,ππ-的奇函数，其导函数为，且，当()0,x π∈时，，则关于的不等式()2sin 6f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A.B.C.D.8.函数的导函数为，对，都有()()2'fx f x >成立，则（ ）A. B. C.D.与()22ln3f的大小不能确定9.设函数是定义在2上的可导函数，其导函数为，且，则不等式()()()220182018420x f x f ++-->的解集为（ ）A .B.C.D .10.（2016·兰州高三诊断）已知函的导函数为，若，且，则下列结论正确的是（ ）A.在()0,6上单调递减 B.在()0,6上单调递增C.在()0,6上有极小值D.在()0,6上有极大值11.（2016·江门模拟）函数的导函数为，若，且，则（ ）A.的最小值为B.的最大值为C.的最小值为D.的最大值为 12.若定义在上的函数满足，则不等式 （为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B.C.()(),00,-∞+∞D.13.（2016·郑州模拟）定义在上的奇函数满足()30f =，且不等式在上恒成立，则函数的零点个数为（ ） A.4B.3C.2D.114.（2018·太原模拟）定义在上的函数的导函数为，且，则不等式()11230x f x e--+>的解集为________15.（2016·河北唐山模拟）已知函数，若存在，使得，则实数b 的取值范围（ ）A. B. C. D.变式：已知函数，若对，使得恒成立，则实数b 的取值范围（ ）A. B. C. D.16.（2016·福建漳州八校模拟）已知函数是函数的导函数，， 且()()3'3f x f x =-，则()()4'f x f x >的解集为（ ）A.B.C.D.17.已知函数，满足()()2'e xfx f x x+=，，则当时，则（ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值18.（2015·深圳市五校一联）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集为（ ） A. B.C. D. 19.设函数是函数的导函数，，且，则()()()3201520152730x f x f +++->的解集为________20.若满足，则时，（ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，也无极小值 （二）现象构造1.已知定义域为的函数满足f (4)＝－3，且对任意的总有()'3f x <，则不等式()315f x x <-的解集为________ 2.（2016·衡水中学模拟）已知函数，，且的导数，则不等式 的解集为________ 3.（2015·焦作市调研）定义在上的函数满足：，且对任意的，都有，则不等式()lg 1lg 2x f x +>的解集为________4.已知定义域为的函数满足()12015f -=，对任意的，都有()2'3f x x <成立，则不等式()32016f x x <+的解集为（ ） A. B.C. D. 5.已知定义在上的奇函数的导函数为，在上()2'0x f x ->，若()()()333131f m m f m m -+≥+-，则实数的取值范围（ ） A.B. C.D.6.已知函数的定义域为，是的导数．，对，有()f x e '≤-（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），不等式()2215ln 24f x x x x <-的解集为（ ） A. B. C. D.。

选修2-2第一章 导数及其应用 1.2导数的计算1 导学案导学习目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．思 1.复习回顾 利用定义求导数的步骤(1)求函数增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)取极限lim Δx →0 ΔyΔx . 2.对几个常用函数的导数公式的理解(1).常数的导数为0，其几何意义为f(x)=c 在任意点处的切线平行于x 轴，其斜率为零。

若y=c 表示路程关于时间的函数，则y =0可以解释为某物体作瞬时速度为0，即一直处于静止状态。

(2). f(x)=x 的导数为1，其几何意义为y=x 图像上每一点处的切线斜率为1，若y=x 表示路程关于时间的函数，则y =1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动。

(3).函数y ＝x 2的导数为y ′＝2x .y ′＝2x 表示函数y ＝x 2图象上点(x ，y )处的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释当某物体做变速运动做，它在时刻x 的瞬时速度为2x . 3．基本初等函数的导数公式表议 题型一 利用常用函数的导数公式求导数值例1 求曲线y ＝1x 在点M (3,3)处的切线方程．''变式训练：求曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程．归纳总结：将曲线上点的横坐标代入曲线导数方程便可求出切线的斜率，再代入点斜式即可求出切线方程．题型二 常用函数的导数公式的综合应用例2 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．变式训练：设直线l 1与曲线y ＝x 相切于P ，直线l 2过P 且垂直于l 1，若l 2交x 轴于Q 点，又作PK 垂直于x 轴于K 点，求KQ 的长．题型三 常见函数导数公式的综合应用例3 已知f (x )＝x 2，g (x )＝1x ，求适合f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值．变式训练：已知函数，则f (1)与f (－1)的大小关系是 ( )A ．f (1)＝f (－1)B ．f (－1)<f (1)C ．f (－1)>f (1)D ．无法确定展 评检 1.已知函数f (x )＝36，则＝( )A ．3B ．5C ．0D ．不存在2．函数f (x )＝x ，则＝ ( )A.36B ．0 C.12xD.323．曲线y ＝12x 2－2在点x ＝1处切线的倾斜角α是( )A ．0°B ．45°C ．135°D ．－45°4.曲线y ＝x 3在点P 处切线的斜率为k ，当k ＝3时，P 点坐标为________。

目标定位：1．通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．2．本章具体的教学目标是：（1）经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会变化率的广阔实际背景（如运动速度、绿地面积增长率、人口增长率、汽油的使用效率等等）．认识平均变化率与导数的区别与联系，体会导数的思想及其内涵，知道瞬时变化率就是导数，并通过函数图象直观地理解导数的几何意义．让学生在经历和参与数学发现活动的基础上，体验有限与无限、数形结合的思维过程，以及代数几何相互转化的数学思想方法．（2）能由导数的定义求函数y = c，y = x，y = x2，y = 1x的导数．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（3）结合实例，探索并了解函数的单调性与导数的关系．并利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值和最大值、最小值．通过实例，初步学会解决生活中的优化问题（如利润最大、用料最省、效率最高）．体会导数的实际应用价值．（4）了解有关微积分创立的时代背景和历史意义，体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值．教材解读：1．本教材《导数及其应用》，侧重于对导数本质的认识，通过大量的实例由浅入深，由表及里，层层展示其数学思想和数学方法．这与传统的运用形式化的极限概念，将导数作为一种规则的设计有很大的不同．全章按：“现实世界中的背景”→“建立数学模型”→“对数学模型进行研究”→“利用数学模型解决问题”的线索而展开．全书的整体结构如下：2．“局部的以直代曲”是微积分的核心所在，本教材通过一系列的“问题串”以及十分形象直观的“放大图形”的朴素方法，逐层深入，将“以直代曲”的本质力图说透．教材按照“问题情境—建立模型—解释·应用与拓展”的程序，让学生经历数学建模的过程．本章的问题情境按二条线索进行设计．线索一为生活中的案例，如“气温变化的快与慢”、“婴儿体重变化的快与慢”、“工厂治污率的比较”、“速度变化的快与慢”、“边际函数”等等．另一条线索则是源于数学内部的背景．如“曲线上一点处的变化趋势”、“曲线上一点处最逼近曲线的直线”、“怎样由割线逼近切线”等等．应指出的是上述两条线索交替呈现，环环相扣．为导数模型的建立和感受微分的基本思想提供了丰富的背景．3．为了让更多的学生能理解“局部以直代曲”的辨证思想，激发他们自主学习的动机，教材通过设置“思考、探究、链接、阅读”等内容，以及信息技术的运用，为教师和学生的活动提供了广阔的空间，以期促进和改进教学方式和学习方式．为了适应学生的个性发展，教材在练习的基础上，将习题分为“感受·理解”、“思考·运用”、“探究·拓展”三个层次．“感受·理解”体现了本章的基本要求．“思考·运用”则帮助学生深化本章知识的理解．“探究·拓展”则为学生有余力的同学提供一些富有挑战性的问题．这样习题便具有一定的弹性，为教学留有足够的空间．也有助于学生良好的学习方式的形成．4．另外，本章节的教学应加强与前期所学必修教材的联系，如必修2的相关习题（圆的周长与圆的面积的关系、圆的面积与球的体积的关系）均为学习本章节作好了铺垫．教学方法与教学建议：1.突出数学模型思想．充分利用章引言中“气温变化”的背景和大量的生活实例以及学生学习数学必修课程所结累的经验，自觉地参与建构模型的活动．教学内容的呈现，应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则．既要让学生领悟到数学的发生和发展具有“一以贯之”的风貌，又要使学生不知不觉地感受到学习的过程“似曾相识”．2. 以问题为中心，以“问题串”为载体．充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用．教师要避免“急于表白”和“自说自话”，应努力追求水到渠成．通过问题串，着力揭示建构数学模型的思维过程和数学知识的内在联系，引导学生学会提出问题，学会数学发现．例如，比较变化的快与慢，只考虑Δy行不行？教学中不要直接灌输Δy/Δx，应由生活实际背景，根据学生的生活经验，创设丰富的情境启发学生讨论、探索、感悟和体会，并尽可能由学生自己举例说明．教材在P4、P5、P8、P18分别提出：“用什么样的数学模型来刻画变量变化的快与慢？”、“气温陡增的数学意义是什么呢？”、“如何量化陡峭程度呢？”、“如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？”、“如何求一个函数的导数？”这一系列问题引导着怎样的“数学思维过程”？“变量变化的快与慢”→“数学地研究：几何化——曲线图”→“数学地研究：数量化—--局部近似（以直代曲），平均变化率()()f t t f tt+∆-∆”→“割线的斜率()()f t t f tt+∆-∆”→“近似向精确逼近——t∆无限趋近于零”→“平均变化率过渡到瞬时变化率，割线的斜率过渡到切线的斜率”→“导数”．可见，在上述环环相扣的问题串的指引下，师生可以真正主动地参与建构数学的活动．通过对这一问题的讨论与发现，可以紧紧扣住数学的本质．在教学中，关键不在给出具体的方法，而在于数学原理的发现，具体方法的程序化表达，只要建立在深刻理解的基础上，学生自己也不难做到．这应该自始至终地贯彻于数学教学过程之中．3. 导数的学习涉及到多个相关知识，应注重不同章节之间的铺垫与呼应，内容上注意承前启后（如函数的图象和性质、球的面积与体积、算法与流程图），方法上注意多样并举．直与曲的对立统一，近似与精确的相互转化，形与数的有机结合，导数的教学应追求集大成的境界，熔几何代数于一炉，呈“中心开花”之态．4．数学理论不是生活的简单复制，必要的形式化训练也是必不可少．在导数概念建立之后，要认真引导学生用定义推导几个初等函数的导数公式，这一阶段特别要注重规范化书写的常规训练，同时，进一步体会导数的思想和内涵及数学理论的自身特点和巨大价值，这其中渗透了算法的基本思想．对于直接给出的其他基本初等函数的导数以及导数的运算法则，一般不要提高要求．另外，应注意作为选修1-1与选修2-2在教学要求上的区别．5．恰当地使用信息技术，有条件应尽量使用计算器（机）．如，“割线逼近切线”的动态操作，曲线一点处的局部“放大、放大、再放大”的过程演示，“平均变化率过渡到瞬时变化率”的数值计算，计算曲边梯形面积的Monte Carlo方法等，运用多媒体教学，应注意现场制作，赋予信息技术以鲜活的生命，努力把计算机变成学习的好伙伴．6．微积分的创立是数学发展中的里程碑，它充满着人类智慧的光辉．它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．在今天的数学课上，我们是先学微分，后学积分．而在历史上积分概念的产生要远早于微分概念之前．积分的萌芽可上溯到公元前3世纪阿基米德的“穷竭法”，而微积分于17世纪中后叶由费马、笛卡尔、牛顿与莱布尼茨等人大体完成．虽然在18世纪，微积分作为伟大的数学工具已得到了广泛的应用．但直到19世纪才由柯西等人运用实数理论、集合论和极限论为微积分构建了牢固的逻辑基础．这与牛顿、莱布尼茨时代又间隔了约150年．微积分的历史，最富有启示意义之处就在于它充分显示了数学是如何取得进步的．周密的思考，逻辑地推演，然后获胜完美而无懈可击的数学结论．数学家们这种正统的观念，正好与历史上微积分创造者们的情形发生了尖锐的冲突．回顾历史，教师们理应深切感悟到，在中学作为“教育形态”而非“学术形态”的微积分可以适当简化和降低理论的严格推导过程，通过形象直观去认识和感受它，这既减少了学生学习的困难，又有利于真正理解导数与定积分的本质．。

§1.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(0049)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一 定义法（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05tp t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝xx --+1111；（3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==--20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。

《导数的概念》教案本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后研究微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有研究极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上研究．所以，让学生通过研究导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后研究极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先研究导数方便学生研究和研究函数．基于学生曾经在高一年级的物理课程中研究了瞬时速率，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速率的极限去得出瞬时速率，再由此笼统出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率界说为导数，这是吻合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：其工夫距离越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速率趋向于一个常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速率；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来研究极限概念积累研究经验；5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从非凡到普通的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速率的根究，笼统归纳综合出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速率的办法；2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生举行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：由物体运动的瞬时速度推理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．复准备体会模型感受当△t→时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．了解导数概念，熟悉求导应用概念的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．通过师生共同小结，使学小结作业生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设想预计时教学内容间（分）（1）提问：请说出函数从x1到回覆题目后了解：（1）复过程应教师活动学生活动教学评价x2的平均变化率公式．（2）提问：如果用x1与增量△x透露表现平均变化率的公式是怎样的？（3）高台跳水的例子中，在时间（1）f(x2)f(x1)．使学生明确函数x2x1的平均变化率表（2）f(x1x)f(x1)．x示．（3）学生在教师的讲述中思考用什么量来1．复准备反映运动员的运动状65段[,]里的平均速率是零，而实际49态．上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运（2）应使学生明确平均速度与瞬时速率的干系，为下一阶段实验活动作铺垫．（4）让学生体会并明确瞬时速率的感化．（5）学生思考．（6）学生寓目视频并思考．（7）提问：这里所测得的真的是瞬时速度吗？（8）提问：怎样使平均速度更好（7）期望或引导答出设想意图：动状态.让学生理解（4）提问：用一个什么样的量来平均速率与反映物体在某一时刻的运动状态？瞬时速度的（5）提问：我们如何得到物体在5分钟区别与联某一时刻的瞬时速率？比方，要求物系，感受到体在2S的瞬时速度，应该怎么解决？平均速率在（6）我们一起来看物理中测即时工夫距离很速率（瞬时速率）的视频：小时可以近似地透露表现瞬时速度．的表示瞬时速度？“是平均速度”．（9）在学生回答的基础上讲述：（8）学生回答，得出真实的瞬时速率根本没法通过仪器测定，我们将平均速度作为瞬时速度的近似值；为了使平均速率更好的透露表现瞬时速率，应该让工夫距离尽可能小．“时间间隔越小越好！”（9）学生体会教师所讲结论．（1）向学生提出数学实验任务：已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数h(t)=－4.9t+6.5t+10，请你用计算器完成以下表格中t=2秒附近的平均速率的计2．体会模型设计意图：让学生在0.1信息技0.01术平台0.001上，通0.000115分钟过定量分析感受平均速度在工夫间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．（3）提问：观察你本人的尝试记录单，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？先展示一个同学的实验结果，并让他说说他的发现，再将计算器的结果投影，引导同学们一起观察．（4）将学生分四个组，让他们划分完成0.0.－0.－0.－0.0001－0.001－0.01－0.1算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．数学实验记录单（1）2（1）学生在TI－nspireCAS上完成以下操作：（1）应使学生在技术x＞时，在[2，2+x]x＜时，在[2+x，2]内，vh(2x)h(2)x内，vh(2)h(2x)xXvxv平台上（2）学生操作得出如下通过多成效，完成数学尝试记次实验录单（1）的填写：感受到平均速度在t→时趋近于一个常数，并理解这个常数的意你认为运动员在t=2秒处的瞬时速度为（3）让学生讲他所发现m/s．的规律．（2）提问：x、g(x)的含义各是什么？（4）学生分4个组再次实验，分别完成本组的数学实验记录单（2）的填写，并观察平均速率的变化趋势，回答教师的提问．义．（2）应使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．t=1.6、1.7、1.8、1.9时的尝试记录单（2）的填写，说出他们观察的结果，并将4个结果写列在黑板上．t=1.6v→－9.18t=1.7v→－10.16t=1.8v→－11.14t=1.9v→－12.12t=2v→－13.1在学生实验与观察的基础上指出：当t趋近于时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．3．提炼模型设想意图：使学生认识到平均速度其工夫10间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具（1）提问：你认为通过尝试所得成效（常数）（1）学生思考，也能够就是瞬时速率吗？这个数据到底是精确值还是近似值？（2）让学活泼笔化简t=2对应的平均速度的表达式．（化简结果为 4.9t13.1）（3）引导学生从化简的表达式中发现当△t时， 4.9t13.1－13.1．（4）让学活泼手化简t=1.6对应的平均速率的表达式．（化简结果为 4.9t9.18）开导学生归纳出结论：△t时，平均速率所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是讨论．（2）学生化简t=2处对应的平均速率的表达式，观察当△t时平均速率表达式的变化趋势．（3）学生化简t=1.6处对应的平均速度的表达式，观察当△t时平均速率表达式的变化趋势．（3）学生化简任意时刻应使学生通过动手计算，得到平均速率在t→时趋近于一个常数，而且这个常数就是瞬速t处对应的平均速度的时一个精确值，它与变量△t无关，只与时刻t有关．表达式，观察当△t（5）提问：我们得到了t=1.6、1.7、1.8、1.9时的瞬时速度，但这还不足以代表所有时刻的时平均速率表达式的变化趋向．度．使学生理解极限符号表瞬时速度，能不能用同样的办法，得到t时的瞬时（4）学生根据教师的讲体的极限模速度？解理解平均速度的极限示的意义．启发学生化简平均速度的表达式，并与学生一的意义．起总结出：型．fh(t t)h(t)t t9.8t 4.9t 6.59.8t 6.5(t0)．（6）教师讲解：用limth t t h t透露表现vXXX数，即所趋近的常h t t h t今后把这个常9.8t 6.5．limXXXt数叫做在t t处，当t趋近于时，平均速度v 的极限．比如，－13.1是在t2处，当△t趋近于时h2tXXX2的极限．XXX（1）给出以下图示：（1）在教师的开导下思考函数的平均变化率与瞬时变化率之间应使学生从“平均速度的极限是瞬时速率”这个具体的模型中笼统（2）针对上述图示，教师在启发后提问：4．形成概念设计意图：完成从运动物体的瞬时速率到5函数瞬时变化率的过渡，形成导数（4）教师给出导数的界说：的概念并给出定义．函数f(x)在x x处的瞬时变化率通过前面的研究，我们知道平均速度就是函数h(t)的平均变化率．瞬时速度就是函数h(t)的瞬时变化率．同时，我们已经知道：平均速度在△t→时的极限就是瞬时速度．那么，你能否说说，普通情形下，函数的平均变化率与瞬时变化率是一个什么关系？（3）在学生了解了函数的平均变化率与瞬时变化率的干系后提问：函数f(x)在x=x处的瞬时变化率怎样表示？教师介绍如下的的表示方法：函数f(x)在x=x处的瞬时变化率可表示为f(x x)f(x) f．limx x x xlim的关系．出导数（2）回的概念，并能理解导数f(x x)f(x) flim limx x x x称为y f(x)在x x处的导数，记作f(x)或y limf(x x)f(x)，即x x x x答教师的提问．是一个（3）理解函数导数的概念与导数的极限，明确导数的表示．f(x)limxf(x x)f(x)．XXX透露表现方法．（1）提问：你能说说求函数y=f(x)在x=x处的导数的步骤吗？教师在学生说的基础上要总结出步骤．5．应用概念设想意图：让学生进一步了解导数概5念，体会导数≤x≤8).计算第2（h)和第6（h）时，原油温的应用价值，度的瞬时变化率，并说明它们的意义．熟悉求导数的步骤．夸大：第2小时的瞬时变化率为－3，说明在第2小时附近，原油大约以3C/h的速率降落．．．．．（3）提出操演：计算3h时原油温度的瞬时变化率，表述你所得成效的意义．（1）让学生小结并交流．（2）教师总结：6．小结作业本节课研究了导数的概念，在这个过程中我们看设计意图：让学生通过总结，进一步体会导数的意5义及极限的思想，训练学生的归纳综合能力．通过布置作业，巩固所学内容．到：数学使不可能的事情变成现实；思考本节课所学内容，能够彼此之间交流自己的小结，（1）使学生不但能从知识的角度看所学过的内容，还能体会到寓于常识中的数学思想与办法．（2）分层次提供作业，是为了满足不同层次学生的需求．（1）学生思考并交流求函数在x处的导数的步骤．（1）检查学生是否分明求导数的步骤．（2）检查学生能否准确地求出函数在某点的导。

人教A版选修2-2第一章1.1.3导数的几何意义教学设计导数的几何意义[教学目标]1．了解割线的斜率与平均变化率的关系；2．对曲线切线的概念了解；3．通过几何画板认识图像的几何意义，并利用导数的几何意义解题.[教学重点难点]重点：曲线的切线概念以及切线的斜率难点：导数的几何意义[教法、学法]小组讨论，自主探究[教具]PPT课件、几何画板[教学过程]教学环节教师活动学生活动设计意图情境导入由上节课我们知道，函数在x=x0处的舒适变化率表示的是该函数y=f(x)在x=x0处的附近变化情况，请问同学们导数f′(x0)的几何意义是什么呢?下面带着这个问题预习课本并完成导学案的预习先知的填空题学生迅速自主的展开课本预习，并完成导学案的填空题课前知识储备，为学生接下来探究参与做好准备课堂小结在这节课中你学到了什么内容？1.函数切线的定义，函数导数的几何意义2.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x处的变化率‘得到曲线在点(x,f(x))的切线的斜率.（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即y−y0=k(x-x0)学生自主思考，举手回答，分享自己的成果，互相评价和个人评价，参与总结教师引导学生，一方面可以让学生都参与进来，一方面又可以锻炼学生的积极性，通过集体评价和自我评价，相互合作学习，让学生乐于参与，并且在参与中受益反馈：导数的几何意义相对学生来说，是比较简单的课.在这节课中，通过以上告诉我们无论什么课型，我们都要实现充分备课，认真设计教学活动环节，给学生时间去发掘规律和思考，可能是课本中的难点，易错点，学生动手实践等等，必须要让学生本人去探索去思考去参与，通过这些过程让学生学会数学感受数学会学数学，将教学中的重点融入到情景中，会起到良好参与效果，一节课下来收获良好的成效.。

教学设计1．1.2 导数的概念教材分析一般地，学习导数概念的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解．本节课，教材将学习导数的概念分为两个阶段：第一阶段是通过大量实例，利用逼近思想直观理解瞬时速度的含义；第二阶段则是将瞬时速度一般化，即通过对瞬时速度的理解来引出导数的概念．整个过程蕴涵了逼近的思想和用已知探求未知的思想方法．课时分配 1课时．教学目标 1．知识与技能目标利用学生对瞬时速度的理解，逐步达到对导数概念和基本方法的直观、准确的理解． 2．过程与方法目标用形象直观的“逼近”方法定义导数，学习和掌握用已知探究未知的思想方法． 3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，培养学生运动变化的观点和辩证统一的思想．在对实际问题的分析过程中，体会、感受数学的创造美．重点难点重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 难点：准确理解导数的概念．教学过程引入新课问题1：物体作自由落体运动的方程是s(t)＝12gt 2，求1 s 到2 s 的平均速度．问题2：物体作自由落体运动的方程是s(t)＝12gt 2，如何求t ＝3 s 这一时刻的速度呢？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 学情预测：经过简单运算，学生能够回答出第一个问题．对于第二个问题，可能在理解“瞬时速度”上有难度，感觉无从下手．教师提问：这两个问题在解法上有什么区别和联系？能否从它们的联系上寻找第二个问题的解法？你对“t ＝3 s 这一时刻”怎么理解？学情预测：学生能够利用物理知识解决速度问题，但对某一时刻的速度，未必能从“平均速度”和“瞬时速度”的关系上说清楚．教师提示：我们可以取t ＝3 s 临近时间间隔内的平均速度去“逼近”t ＝3 s 时刻的“瞬时速度”，如在[3,3＋Δt]内或在[3－Δt,3]内，不过时间间隔Δt 要尽可能小．学情预测：经过提示和讨论后，学生应该能从尽可能缩小时间间隔的角度进行感性认识和猜测了．活动成果：师生共同得出如下结论：取一小段时间：[3,3＋Δt]，Δs ＝12g(3＋Δt)2－92g ，Δv ＝Δs Δt ＝g2(6＋Δt)．当Δt →0时，Δv →3g. 设计意图从学生学过并且熟悉的物理问题切入，以平均速度和瞬时速度作对比设计两个问题，使学生有一个思考的台阶，在教师的引导提示下，感性地认识瞬时速度的概念．探究新知在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度．那么，如何求运动员的瞬时速度呢？提出问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，试探求运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是多少？活动设计：以小组为单位，列好表格，准备好计算器，分别计算时间间隔Δt ＝－0.01，－0.001，－0.000 1，－0.000 01，－0.000 001，…在区间[2＋Δt,2]内的平均速度和Δt ＝0.01，0.001,0.000 1,0.000 01,0.000 001，…时，在区间[2,2＋Δt]内的平均速度．并观察当|Δt|逐渐变小时，平均速度v 的取值变化情况．活动成果：当Δt<0时，在[2＋Δt,2]这段时间内 v ＝h (2)－h (2＋Δt )2－(2＋Δt )＝4.9Δt 2＋13.1Δt－Δt ＝－4.9Δt －13.1.当Δt ＝－0.01时，v ＝－13.051；当Δt ＝－0.001时，v ＝－13.095 1； 当Δt ＝－0.000 1时，v ＝－13.099 51； 当Δt ＝－0.000 01时，v ＝－13.099 951； 当Δt ＝－0.000 001时，v ＝－13.099 995 1； ……当Δt>0时，在[2,2＋Δt]这段时间内v ＝h (2＋Δt )－h (2)(2＋Δt )－2＝－4.9Δt 2－13.1ΔtΔt ＝－4.9Δt －13.1.当Δt ＝0.01时，v ＝－13.149； 当Δt ＝0.001时，v ＝－13.104 9； 当Δt ＝0.000 1时，v ＝－13.100 49； 当Δt ＝0.000 01时，v ＝－13.100 049； 当Δt ＝0.000 001时，v ＝－13.100 004 9； ……可以看出，当|Δt|逐渐变小时，平均速度v 的取值逐渐趋近于一个稳定的值－13.1，从物理的角度看，时间间隔|Δt|无限变小时，平均速度v 就无限趋近于t ＝2 s 时的瞬时速度．所以说，运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是－13.1 m/s.为了表述方便，我们用lim t ∆→h (2＋Δt )－h (2)Δt＝－13.1来表示“当Δt →0时，v →－13.1”．提出问题：仍以高台跳水为例，运动员在某一时刻t 0的瞬时速度怎样表示？能用它来表示函数f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率吗？活动设计：学生独立思考，两名学生板演，其他学生在练习本上试着写出结果，然后教师点评．活动成果：根据上面对瞬时速度概念的探究，可知：运动员在某一时刻t 0的瞬时速度为0lim t ∆→h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt.类似地，函数f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率可以表示为lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ ΔfΔx.我们称它为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ ΔfΔx.理解新知例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)，计算第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．学情预测：根据上面所学知识，学生能够求出第2 h 时和第6 h 时原油温度的瞬时变化率，但是在说明它们的意义时可能有困难，或表述不准确．活动设计：学生先独立思考，一名学生板演，其他学生在练习本上试着写出过程和结果．教师适时点评．活动结果：在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． 根据导数的定义，Δf Δx ＝f (2＋Δx )－f (x 0)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx ＝Δx －3，所以，f ′(2)＝0lim x ∆→ΔfΔx ＝0lim x ∆→ (Δx －3)＝－3.同理可得：f ′(6)＝5. 在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5.说明在2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升．点评：(1)函数f(x)在x ＝x 0处的导数即为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率； (2)瞬时变化率是平均变化率的极限；(3)Δx ＝x －x 0，当Δx →0时，x →x 0，所以f ′(x 0)＝0lim x x →f (x )－f (x 0)x －x 0；(4)由定义知，求f(x)在x 0处的导数的步骤为：求增量Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x) 算比值Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx 求极限y ′＝0lim x ∆→ ΔyΔx .由导数的定义，我们知道，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度；气球半径r 关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率．实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值的增长率等等．设计本例的主要目的还是让学生在实际问题背景中体会导数的产生、导数的意义等．设计意图运用新知例2(1)求函数f(x)＝－x 2＋x 在x ＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． (2)求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．思路分析：求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f ′(x 0)．解：(1)因为Δf Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx＝3－Δx ，所以f ′(－1)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝0lim x ∆→ (3－Δx)＝3.(2)因为Δf ＝Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝6Δx ＋3(Δx)2，所以Δf Δx ＝6＋3Δx ，0lim x ∆→ ΔfΔx ＝6.点评：体会求函数f(x)在任一点处的导数的一般步骤，进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy 与Δx 的比值，感受和认识在Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A 这一现象．例3函数f(x)满足f ′(1)＝1，则当x 无限趋近于0时， (1) 0lim x →f (1＋x )－f (1)2x＝__________，(2) lim x →f (1＋2x )－f (1)x＝____________.思路分析：因为f(x)在x ＝1处存在导数，所以当x 无限趋近于0时，2x 也无限趋近于0，故lim x →f (1＋x )－f (1)x ＝1， lim 2x →0f (1＋2x )－f (1)2x ＝1. 解：(1) lim x →0f (1＋x )－f (1)2x ＝lim x →0 12f (1＋x )－f (1)x ＝12，(2) lim x →f (1＋2x )－f (1)x ＝2lim 2x →0f (1＋2x )－f (1)2x ＝2.点评：理解导数的意义，关键在理解当Δx →0时，Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx 的变化趋势．巩固练习1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3 C ．4 D ．4.1 2．设函数f(x)可导，则0lim x ∆→f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．不存在 C.13f ′(1) D ．以上都不对 3．设f(x)＝1x ，则lim x a→ f (x )－f (a )x －a 等于( )A ．－1a B.2a C ．－1a 2 D.1a 2答案：1.D 2.C 3.C 变练演编变式(1)设f(x)在x ＝x 0处可导，若f (x 0＋4Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________.变式(2)设f(x)在x ＝x 0处可导，若f (x 0－4Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________.变式(3)设f(x)在x ＝x 0处可导，当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx 所对应的常数与f ′(x 0)的关系．活动设计：学生独立完成，教师将所有发现的结果一一列举，再由学生相互之间交流、评价，最后教师给出正确答案．答案：变式(1)：14变式(2)：－14变式(3)：当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx ＝4f ′(x 0)设计意图对于函数f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim t ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim t ∆→ ΔfΔx，Δx 表示的意义是一个尽可能小的改变量，是一个广义的概念．通过变练(就是变式训练)演编(就是让学生试着自己编题)，让全班同学通过交流合作的形式，在辨析中加深对导数概念的理解．达标检测1．当自变量x 由x 0增加到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数…… ( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．下列各式中正确的是( ) A ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)2Δx B ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0－Δx )－f (Δx )ΔxC ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→f (x 0＋Δx )＋f (x 0)－Δx D ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx3．设f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 4．y ＝x 3－1，当x ＝2时，0lim t ∆→ΔyΔx＝______. 答案或提示或解答：1.A 2.D 3.A 4.12课堂小结本节课通过大量的实例，引出了瞬时速度、瞬时变化率的概念，进而形成了导数的概念．其中探究从平均速度到瞬时速度的过程和方法，从特殊推向一般的思想和方法，以及利用所学知识解决实际问题的思想和方法都具有非常重要的作用．布置作业课本习题1.1A2、A3、B1.补充练习1．若f(x)＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．3 3 2．设函数f(x)＝mx 3＋2，若f ′(－1)＝3，则m ＝__________.3．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度．答案：1.C 2.1 3.开始的速度为2米/秒，第5秒末的速度为42米/秒．设计说明本节课从变化率入手，通过大量的实验和学生的广泛参与，用形象直观的逼近思想来理解瞬时速度和瞬时变化率，在此基础上再给出导数定义．这样做可以避免学生因未学习极限的概念而影响对导数的认识，可以使学生更直观形象地理解导数概念，同时还能使学生对逼近思想有一定的了解．教学过程中，从形成导数定义到理解导数内涵都使用了瞬时速度这个具体的物理模型，教学的关键放在了让学生充分经历从平均速度探究到瞬时速度上．整个过程采用的方法都是遵循循序渐进的原则，尊重学生的认知水平和认知规律．另外，本节还选配了一些其他方面的变化率问题，形式丰富的实例有利于学生辨别出它们具有的共同特征，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，从而加深对导数概念的理解．备课资料1．求电流强度问题1设电流通过导线的横截面的电量是Q(t)，它是时间t 的函数，求任一时刻t 0的电流强度．思路分析：我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即电流强度＝电量时间.在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求任一时刻t 0的电流强度．我们可通过以下方法得到：设在t 0到t 0＋Δt(Δt ≠0)这段时间内通过导线的电量是ΔQ ＝Q(t 0＋Δt)－Q(t 0)． 因此在这段时间内，平均电流强度为I ＝ΔQ Δt.易知，Δt 取值越小，I 就越接近时刻t 0的电流强度I.若当Δt →0时，I 的极限存在，则平均电流强度I 的极限就是时刻t 0的电流强度．因此，我们定义：I ＝0lim t ∆→I ＝0lim t ∆→ΔQΔt ＝0lim t ∆→ Q (t 0＋Δt )－Q (t 0)Δt. 2．导数的表达式问题为了与导数的表达式更吻合，有时我们把x 0＋Δx 记作x ，于是Δx ＝x －x 0，当Δx →0时，有x →x 0，则f ′(x 0)＝0lim x x →f (x )－f (x 0)x －x 0.利用导数定义求导数的难点是有一些比值ΔyΔx的解析式不便于取极限，还需将其变形或化简，以便于计算．2证明若f ′(x 0)存在，则0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )Δx＝2f ′(x 0)．思路分析：已知f ′(x 0)存在，也即是极限0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx存在且等于f ′(x 0)，只要紧扣导数的定义，并把等式的左端化成f(x)在点x 0处的导数的形式，该题的证明将容易得到．证明：0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )Δx＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＋0lim x ∆→ f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝2f ′(x 0)．点评：在导数的结构(定义) 0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，函数的增量f(x 0＋Δx)－f(x 0)与自变量的增量Δx 是相应的，即自变量有增量Δx 时，相应的函数的增量是f(x 0＋Δx)－f(x 0)，而在上面的极限中，函数的增量f(x 0－Δx)－f(x 0)所对应的自变量的增量是－Δx(而非Δx)，这一点是至关重要的．因此应该有(易知Δx →0时，－Δx →0)：lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝-0lim x ∆→ f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝f ′(x 0)．(设计者：张春生)。

《导数的概念》教学设计一、教材分析《导数的概念》是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2》（人教A版）第一章1.1.2的内容，是在学生学习了变化率的内容后，通过实例探究，从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，并抽象概括出导数的概念。

它为即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的奠定了基础，更是我们研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化等问题的有力工具。

教学重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵。

教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，可以通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点。

二、学习目标1.知识与技能目标①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.2.过程与方法目标3.情感、态度与价值观目标①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度.②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观.三、教学程序（一）创设情境，引入新课[课件投影]播放一段视频林跃在2022年北京奥运会10米跳台夺冠的视频，给出一个思考题：假如在比赛过程中，林跃相对水面的高度h（m）与起跳后的时间t（）存在这样一个函数关系：.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）林跃在这段时间里是静止的吗？（2）你認为用平均速度来描述他的运动状态有什么问题吗？[设计意图]林跃是和我们的学生年纪相仿的国家优秀运动员，他夺冠的经历无疑能让我们的学生感到振奋，这无形中激发了学生的爱国热情。

更重要的是，以此实例能激发学生求知的欲望，从而使学生从“要我学”变成了“我要学”。

通过数值与现实矛盾的产生，使学生意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

[设计意图]通过引导使学生进一步体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法，培养学生的动手操作能力，通过亲自动手算、动脑思，让学生初步感受到逼近的趋势。

教学方案精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

课 题： 复合函数的导数(1)教学目的：1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律． 教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： . 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解 教学过程：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、讲解新课：1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2.求函数2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)318u x y u u x x ''==-=-，从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x 处连续.因此当Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x yu y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim .∴xuu y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； ⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴u y cos =，21x u +=； ⑵u y ln =，x u ln =．解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3求5)12(+=x y 的导数．解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数. 解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2 ∴f ′(x )=2x cos x 2 例5求y =sin 2(2x +3π)的导数.分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π.解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x=2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2=4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π) 例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b )=31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax b ax +++即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例7求y =51xx-的导数. 解：令xxu u y -==1,5∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx-1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x--''-------=⋅=⋅ 24654511115(1)5()x x x x x-=⋅=---⋅24515()x x x =-- 即y ′x =－542)(51x x x -例8 求y =sin 2x 1的导数.解：令y =u 2，u =sin x 1，再令u =sin v ，v =x 1∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x=2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x -=－21x ·sin x 2∴y ′x =－21x sin x 2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅ =()ωω' (1+x 2)′x=22211122)2(21x x x x x +=+=-ω∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x++(2x 2－3)·21xx +=4x23232161321xx x xx x x ++=+-++即y ′x =2316xx x ++四、课堂练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导). (1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )2解：(1)令y =u 4，u =5x －3∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3 (2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4 (3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2 (4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx 解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(uucos sin )′u ·n =2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nx n n u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u uu u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nx n 2sin =－n csc 2nx 五、小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代七、板书设计（略）八、课后记：。