导数的概念及其计算

第一节导数的概念及运算［最新考纲］ 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y＝C（C为常数），y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax＋b）的复合函数）的导数.1.导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率.相应地，切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）.2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）＝x n（n∈Q*）f′（x）＝nx n－1f（x）＝sin x f′（x）＝cos xf（x）＝cos x f′（x）＝－sin xf（x）＝a x f′（x）＝a x ln a（a＞0）f（x）＝e x f′（x）＝e xf（x）＝log a x f′（x）＝1 x ln af（x）＝ln x f′（x）＝1 x(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )](g (x )≠0)．4.复合函数的导数复合函数y ＝f （g （x ））的导数和函数y ＝f （u ），u ＝g （x ）的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.［常用结论］1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.［af （x ）±bg （x ）］′＝af ′（x ）±bg ′（x ）.3.函数y ＝f （x ）的导数f ′（x ）反映了函数f （x ）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′（x ）|反映了变化的快慢，|f ′（x ）|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）f ′（x 0）是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率.（ ） （2）f ′（x 0）与［f （x 0）］′表示的意义相同.（ ）（3）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.（ ） （4）函数f （x ）＝sin （－x ）的导数是f ′（x ）＝cos x .（ ） 二、教材改编1.函数y ＝x cos x －sin x 的导数为（ ） A.x sin x B.－x sin x C.x cos xD.－x cos x2.曲线y ＝x 3＋11在点P （1,12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ） A.－9 B.－3 C.9D.153.函数y ＝f （x ）的图象如图，则导函数f ′（x ）的大致图象为（ ）A B C D4.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是h （t ）＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝m/s ，加速度a ＝ m/s 2.考点1 导数的计算（1）求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.（2）在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误.已知函数解析式求函数的导数 求下列各函数的导数： （1）y ＝x 2x ；（2）y ＝tan x ； （3）y ＝2sin 2x2－1.［解］ （1）先变形：y ＝2x 32， 再求导：y ′＝（2x 32）′＝322x 12. （2）先变形：y ＝sin xcos x ，再求导：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝（sin x ）′·cos x －sin x ·（cos x ）′cos 2x ＝1cos 2x . （3）先变形：y ＝－cos x ，再求导：y ′＝－（cos x ）′＝－（－sin x ）＝sin x .［逆向问题］ 已知f （x ）＝x （2 017＋ln x ），若f ′（x 0）＝2 018，则x 0＝ . 1 ［因为f （x ）＝x （2 017＋ln x ）， 所以f ′（x ）＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′（x 0）＝2 018，所以2 018＋ln x 0＝2 018，所以x 0＝1.］求导之前先对函数进行化简减少运算量.如本例（1）（3）. 抽象函数求导已知f （x ）＝x 2＋2xf ′（1），则f ′（0）＝ . －4 ［∵f ′（x ）＝2x ＋2f ′（1）， ∴f ′（1）＝2＋2f ′（1）， ∴f ′（1）＝－2，∴f ′（0）＝2f ′（1）＝2×（－2）＝－4.］赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f ′（1）为常数，然后借助导数运算法则计算f ′（x ），最后分别令x ＝1，x ＝0代入f ′（x ）求解即可.1.已知函数f （x ）＝e x ln x ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（1）的值为 .2.已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足关系式f （x ）＝x 2＋3xf ′（2）＋ln x ，则f ′（2）＝ .3.求下列函数的导数 （1）y ＝3x e x －2x ＋e ； （2）y ＝ln x x 2＋1；（3）y ＝ln2x －12x ＋1. 考点2 导数的几何意义导数几何意义的应用类型及求解思路（1）已知切点A （x 0，f （x 0））求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′（x 0）. （2）若求过点P （x 0，y 0）的切线方程，可设切点为（x 1，y 1），由⎩⎨⎧y 1＝f （x 1），y 0－y 1＝f ′（x 1）（x 0－x 1）求解即可. （3）处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.求切线方程（1）（2019·全国卷Ⅰ）曲线y ＝3（x 2＋x ）e x 在点（0,0）处的切线方程为 .（2）已知函数f （x ）＝x ln x ，若直线l 过点（0，－1），并且与曲线y ＝f （x ）相切，则直线l 的方程为 .（1）3x －y ＝0 （2）x －y －1＝0 ［（1）∵y ′＝3（x 2＋3x ＋1）e x ，∴曲线在点（0,0）处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，∴曲线在点（0,0）处的切线方程为y ＝3x .（2）∵点（0，－1）不在曲线f （x ）＝x ln x 上， ∴设切点为（x 0，y 0）.又∵f ′（x ）＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝（1＋ln x 0）x .∴由⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.］（1）求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；（2）注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.如本例（1）是“在点（0,0）”，本例（2）是“过点（0，－1）”，要注意二者的区别.求切点坐标（2019·江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x上，且该曲线在点A 处的切线经过点（－e ，－1）（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是_________（e,1） ［设A （x 0，y 0），由y ′＝1x ，得k ＝1x 0，所以在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0（x －x 0）.因为切线经过点（－e ，－1），所以－1－ln x 0＝1x 0（－e －x 0）.所以ln x 0＝e x 0，令g （x ）＝ln x －ex （x ＞0）， 则g ′（x ）＝1x ＋ex 2，则g ′（x ）＞0， ∴g （x ）在（0，＋∞）上为增函数.又g（e）＝0，∴ln x＝ex有唯一解x＝e.∴x0＝e.∴点A的坐标为（e,1）.］f′（x）＝k（k为切线斜率）的解即为切点的横坐标，抓住切点既在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键.求参数的值（1）（2019·全国卷Ⅲ）已知曲线y＝a e x＋x ln x在点（1，a e）处的切线方程为y＝2x＋b，则（）A.a＝e，b＝－1B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1D.a＝e－1，b＝－1（2）已知f（x）＝ln x，g（x）＝12x2＋mx＋72（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，与f（x）图象的切点为（1，f（1）），则m＝.（1）D（2）－2［（1）∵y′＝a e x＋ln x＋1，∴y′|x＝1＝a e＋1，∴2＝a e＋1，∴a＝e－1.∴切点为（1,1），将（1,1）代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，∴b＝－1，故选D.（2）∵f′（x）＝1x，∴直线l的斜率k＝f′（1）＝1.又f（1）＝0，∴切线l的方程为y＝x－1. g′（x）＝x＋m，设直线l与g（x）的图象的切点为（x0，y0），则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x2＋mx0＋72，m＜0，∴m＝－2.］已知切线方程（或斜率）求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围.导数与函数图象（1）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A BC D（2）已知y ＝f （x ）是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f （x ）在x ＝3处的切线，令g （x ）＝xf （x ），g ′（x ）是g （x ）的导函数，则g ′（3）＝ .（1）B （2）0 ［（1）由y ＝f ′（x ）的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f （x ）图象的切线的斜率先增大后减小，故选 B.（2）由题图可知曲线y ＝f （x ）在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′（3）＝－13.∵g （x ）＝xf （x ），∴g ′（x ）＝f （x ）＋xf ′（x ）， ∴g ′（3）＝f （3）＋3f ′（3）， 又由题图可知f （3）＝1， ∴g ′（3）＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.］ 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出图象升降的快慢.1.曲线f （x ）＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为 .2.（2019·大同模拟）已知f （x ）＝x 2，则曲线y ＝f （x ）过点P （－1,0）的切线方程是 .3.直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A （1,3），则2a ＋b ＝ .。

导数的概念及其运算考试要求 1.导数概念及其实际背景，A 级要求；2.导数的几何意义，B 级要求；3.根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数，A 级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，B 级要求； 【知 识 梳 理】 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记f ′(x 0)． ②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． (2)称函数f ′(x )＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 【诊 断 自 测】1．思考辨析(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．(×) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (3)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .(×)(4)物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t ＝2.( ×) 2．(2015·镇江调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为________．解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .3．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于______．解析 依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝33×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1.4．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t ＞0)，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝2.5．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 解析 令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)． 【考点突破】考点一 利用定义求函数的导数【例1】 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3的导数．解 Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )3－x 3＝x 3＋3x ·(Δx )2＋3x 2·Δx ＋(Δx )3－x 3＝Δx [3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]， ∴Δy Δx ＝3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2，∴f ′(x )＝ ΔyΔx＝ [3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2. 规律方法 定义法求函数的导数的三个步骤 一差：求函数的改变量Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )． 二比：求平均变化率Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx .三极限：取极限，得导数y ′＝f ′(x )＝ΔyΔx.【训练1】 函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx ＝________；该函数在x ＝1处的导数是________．答案 1－1x (x ＋Δx ) 0考点二 导数的计算【例2】分别求下列函数的导数：(1)(2015·苏州调研)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 014)＋2 014ln x ，则f ′(2 014)＝________.解析 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 014)＋2 014x ，所以f ′(2 014)＝2 014＋2f ′(2 014)＋2 0142 014， 即f ′(2 014)＝－(2 014＋1)＝－2 015. (2)分别求下列函数的导数：①y ＝e x ·cos x ；②y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；③y ＝x －sin x 2cos x 2；④y ＝ln x ex解 ①y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x . ②∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.③∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝1－12cos x . ④y ′＝＝1x －ln x e x＝1－x ln xx e x. 规律方法 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．【训练2】 分别求下列函数的导数：(1)y ＝11＋x ＋11－x ；(2)y ＝sin 2x2；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．解 (1)∵y ＝11＋x ＋11－x ＝21－x ，∴y ′＝0－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. (2)∵y ＝sin 2x 2＝12(1－cos x )，∴y ′＝－12(cos x )′＝－12·(－sin x )＝12sin x .(3)法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. 法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.考点三 导数的几何意义【例3】已知曲线C ：y ＝ln xx .(1)求曲线C 在点(1,0)处的切线l 1的方程；(2)求过原点与曲线C 相切的直线l 2的方程． 解 设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.(1)∴f ′(1)＝1－ln 112＝1，即切线l 1的斜率k ＝1.由l 1过点(1,0)，得l 1的方程为y ＝x －1.(2)设l 2与曲线C 切于点P ⎝⎛⎭⎫x 0，ln x 0x 0，则切线l 2方程为 y －ln x 0x 0＝1－ln x 0x 20(x －x 0)，∵l 2过原点．∴－ln x 0x 0＝1－ln x 0x 20·(－x 0)， 化简得ln x 0＝12，∴x 0＝e ，∴l 2：y －12e ＝12e(x －e)，整理得y ＝12e x .即为l 2的方程.规律方法 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．【训练3】 (1)(2015·南京调研)曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是________．(2)已知f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的切线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是____． 解析 (1)∵y ＝x ＋sin x ，∴y ′＝1＋cos x ，当x ＝0时，y ′＝1＋cos 0＝2，故曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是y －0＝2(x －0)，即2x －y ＝0.(2)先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线y 0＝x 30－3x 0上．① 求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过点A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0②联立①、②可解得x 0＝－2，y 0＝－2，从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.【课堂总结】 [思想方法]1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，即f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． [易错防范]1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x n )′＝nx n －1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x lnx 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．曲线与直线相切并不一定只有一个公共点．例如，y ＝x 3在(1,1)处的切线l 与y ＝x 3的图象还有一个交点(－2，－8). 【巩固练习】1．(2014·苏北四市模拟)曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为________．解析 由导数运算法则可得y ′＝e x ＋x e x ＋2＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线斜率为y ′|x ＝0＝1＋2＝3.故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即3x －y －1＝0. 2．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin π4＋cos π4，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 3．已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点横坐标为________．解析 设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0)，∵y ′＝12x －3x ，∴y ′|x ＝x 0＝12x 0－3x 0＝－12，即x 20＋x 0－6＝0，解得x 0＝2或－3(舍)．4．(2014·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________． 解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1. 5．已知f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________.解析 令g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f (x )＝xg (x )，∴f ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )． ∴f ′(0)＝g (0)＝(－1)·(－2)·(－3)·(－4)·(－5)＝－120.6．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.7如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________. 解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2.8．(2015·扬州调研)若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x . ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，∴x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2(x ＞0)．答案 [2，＋∞)9．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 015(x )＝________.解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x 10.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. 11．设抛物线C: y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②①代入②得x 21＋⎝⎛⎭⎫k －92x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝⎝⎛⎭⎫k －922－16＝0得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. 12．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.。

高中数学导数的概念及其意义
导数(Derivative)概念及意义
一、导数的定义
1、导数的定义
导数是一种描述曲线的变化率的度量，它表示的是做一个变量的变化
的大小和另一个变量的变化的方向以及变化的变化率之间的关系。

2、导数的计算公式
导数的计算公式为：y’=limΔx→0 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中f(x)表示函数，Δx表示x在很小的量度上的变动值。

3、导数的形式表示
导数的形式有两种：一种是函数的图象，用斜率来表示；另一种是用
函数的微分式表示。

二、导数的意义
1、导数的实际意义
导数的实际意义是曲线某一点上的斜率，它表示曲线在该点处的变化率，也就是曲线在该点处的微小位移对应的函数值的变化率。

2、导数的数学意义
数学意义上，导数是一种尺度，也是一种衡量函数变化率的标准，它可以实现曲线的斜率变化规律，从而发现函数的性质，如果曲线的斜率变化率是恒定的，就可以称这种曲线为等差线。

3、导数的应用
导数的应用非常广泛，目前主要在图形科学、机器学习、控制理论和金融计算等领域。

导数的概念，计算，几何意义（一）知识点 1.平均变化率：函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为 ，若21x x x ∆=-21y y y ∆=-则，平均变化率可表示为 。

2．导数的概念：函数()y f x =的导数'()f x ，就是当0x ∆→时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比yx∆∆（平均变化率） 的 ， 即'()f x ＝ ＝ ． 3．导函数：函数()y f x =在区间(,)a b 内 的导数都存在，就说()f x 在区间(,)a b 内 .其导数也是(,)a b 内的函数，叫做()f x 的 ，记作'()f x 或'x y ， 函数()f x 的导函数'()f x 在0x x =时的导函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.4．导数的几何意义：设函数()y f x =在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 。

相应的切线方程为 （点斜式） 。

5．求导数的方法： (1) 八个基本求导公式()c 为常数'c ＝ ； ()'n x ＝ ； (sin )'x ＝ ， (cos )'x ＝ ()'x a ＝ ， ()'x e ＝(log )'a x ＝ ， (ln )'x ＝(2) 导数的四则运算(()())f x g x '±＝ [()]Cf x '＝ (()())f x g x '＝ ， ()()()f xg x '＝ 推论：()c 为常数[()]'cf x = ；21'()[]'()()f x f x f x =-； ()''''fgh f gh fgh fgh =++(3) 复合函数的导数设()u x θ=在点x 处可导，()y f u =在点()u x θ=处可导，则复合函数[()]f x θ在点x 处可导， 且'()f x ＝ ，即'''x u x y y u =. 典型例题：例1．（变化率）求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(2202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1.1.设函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆（ ）A ．0'()f x B.0'()f x - C.0()f x D.0()f x -2.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，则000()()limh f x h f x h h→+--=A.0'()f xB. 02'()f xC. 02'()f x -D.0例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 5x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521x x x xx x x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x xx x x y -=+--++=++-=12)1)(1(111111， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：（1）求y=tanx 的导数.解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=（2）求下列各函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+利用导数求切线方程 例3：如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程． 分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()y f x =在给定点00(,())P x f x 处的切线的斜率0()k f x '=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。

导数的概念及计算一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作y ′|x =x 0 ＝f ′(x 0) ＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)值就是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).二.基本初等函数的导数公式三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.考向一 利用公式及运算法则求导【例2】求下列函数的导数2311(1)()y x x x x =++ （2） （3） ()234(21)x y x =+ (5)sin2xy e x -= 【举一反三】1．下列求导运算正确的是（ ）A ．(3x )′=x •3x−1B ．(2e x )′=2e x （其中e 为自然对数的底数）C ．(x 2+1x )′=2x +1x 2 D ．(x cosx)′=cosx−xsinx cos 2x2．求下列函数的导数： （1）y =√x 5+√x 7+√x 9√x ； （2）y =x ⋅tanx (3)y ＝x n ⋅lg x ；(4)y ＝1x +2x 2+1x 3；考向二 复合函数求导【例3】求下列函数导数（1）y ＝sin(2x ＋1) ()(2)cos2f x x x =⋅ （3）()cos ln y x =【举一反三】求下列函数的导数： （1）y =； （2）2()5log 21y x =+.（3）sin()eax b y +=；（提示：设e uy =，sin u v =，v ax b =+，x u v xy y u v ''''=⋅⋅）（4）2(πsin 2)3y x =+； 考向三 利用导数求值【例4】（1）f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝ . 2．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝ .3. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '= 。

导数的计算方法及其应用一、导数的定义与概念在微积分学中，导数是描述函数在任意一点斜率的概念，它是函数的一种变化率。

导数也可以被理解为：函数在某一点处的瞬时变化量，换句话说，它表示函数曲线在该点处的推移趋势。

导数的定义是：$$f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$在这里，如果这个极限存在，那么它就是函数$f(x)$的导数，通常用$f^{\prime}(x)$或$\frac{dy}{dx}$来表示。

导数的概念对于数学及其他应用领域的许多问题都是至关重要的。

导数在物理学、经济学、金融学等学科中都有广泛的应用。

二、导数的计算方法虽然导数的定义很简明，在实践中却很难直接计算。

而且，无论是手工还是机器方式，都需要找到一个规律来完成这项任务。

以下是几种常见的计算导数的方法：1. 基本公式法导数的计算方法中最常见的方式是使用基本公式法。

这种方法利用已知的一组基本导数表，来计算一个函数的导数。

根据基本公式法，对于函数$f(x)$，一些常见的导数结果集是：$$\begin{aligned} (x)^{n} & \rightarrow n x^{n-1} \\ \exp(x) &\rightarrow \exp(x) \\ (\ln x) & \rightarrow \frac{1}{x} \\ (a^{x}) & \rightarrow a^{x}(\ln a) \\ (\sin x) & \rightarrow \cos x \\ (\cos x) & \rightarrow -\sin x \\ (\tan x) & \rightarrow \sec^{2} x \end{aligned}$$如果函数可以表示为上述函数中任意两个函数的运算结果，则基本公式法可以使用“求和规则”和“乘积规则”来计算导数。