导数的概念及运算

导数的定义与计算导数是微积分中的重要概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。

本文将介绍导数的定义和计算方法。

一、导数的定义在数学中，导数可以通过极限的方法来定义。

设函数y=f(x)，若函数在点x处的导数存在且有限，则导数表示为f'(x)，它表示函数f(x)在点x处的变化率。

导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率。

通过导数，我们可以研究函数的变化趋势、拐点、极值等重要性质。

二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面将介绍一些常见的计算方法。

1. 函数可导情况下的基本运算法则（1）常数法则：若c为常数，则导数(常数)=0。

（2）幂函数法则：若f(x)=x^n，其中n为常数，则导数f'(x)=nx^(n-1)。

（3）指数函数法则：若f(x)=a^x，其中a为常数，则导数f'(x)=a^x*ln(a)。

（4）对数函数法则：若f(x)=log_a(x)，其中a为常数，则导数f'(x)=1/(x*ln(a))。

（5）三角函数法则：若f(x)=sin(x)，则导数f'(x)=cos(x)。

2. 导数的基本运算法则（1）和差法则：若f(x)=u(x)+v(x)，则导数f'(x)=u'(x)+v'(x)。

（2）积法则：若f(x)=u(x)v(x)，则导数f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

（3）商法则：若f(x)=u(x)/v(x)，则导数f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。

（4）复合函数法则：若f(x)=g(h(x))，则导数f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。

3. 使用导数计算函数的极值为了找到函数的极值点，我们可以先求得函数的导数，然后解方程f'(x)=0。

解得的x值即为函数的极值点。

三、导数的应用导数是微积分的基本工具，它在许多实际问题中具有广泛的应用。

导数的概念、几何意义及其运算
导数是微积分中一个重要的概念，它描述函数在某一点处变化的速率。

它也被称为微分系数或变化率。

一般来说，导数用来表示函数在特定点处发生变化的速率或斜率。

从几何意义上讲，导数可以看作是函数图像的斜率，即函数在某一点的切线的斜率。

例如，当函数y=f(x)的图像在某一点x=x_0时的斜率是k，那么在x=x_0处的导数就是k。

在运算上，导数可以用导数定义式来求解，该定义式如下：
$$f'(x)=\lim_{h \to 0}{\frac {f(x+h)-
f(x)}{h}}$$
此外，还有一种常用的求导法叫做链式法则，其可以把复杂的函数表达式分解成多个简单的函数，然后把每个简单函数分别求导，最后再把每个简单函数的导数相加。

更具体地说，对于函数$f(x)=g(h(x))$，链式法则表明：
$$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$$。

导数的基本公式和运算法则在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。

导数的基本公式和运算法则是求解导数的基础，掌握这些公式和法则对于解决微积分中的各类问题至关重要。

本文将介绍导数的基本公式和运算法则，并通过具体的例子帮助读者更好地理解和应用。

导数的定义导数可以理解为函数在某一点处的变化率。

对于函数f(f)，其在点f处的导数可以表示为f′(f)或 $\\frac{df}{dx}$。

导数的定义公式如下：$$ f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$这个公式表示函数f(f)在点f处的导数是函数在f点微小变化量f趋近于 0 时的极限值。

导数的基本公式常数函数对于一个常数函数f(f)=f，其中f为常数，则导数f′(f)=0。

这是因为常数函数的图像是一条水平的直线，斜率恒为 0。

幂函数对于幂函数f(f)=f f，其中f为常数，则导数f′(f)=ff f−1。

这是幂函数求导公式的基本形式。

指数函数指数函数f(f)=f f，其中f为常数且f>0，则导数$f'(x) = a^x \\cdot \\ln(a)$。

这是指数函数求导的基本公式。

对数函数对于自然对数函数 $f(x) = \\ln(x)$，则导数 $f'(x) =\\frac{1}{x}$。

自然对数的求导结果可以简单表达。

导数的运算法则导数具有一些运算法则，使得我们可以利用已知函数的导数求其它函数的导数。

以下是导数运算法则的一些常见规则：常数因子法则若f为常数，f(f)是可导函数，则 $(c \\cdot u(x))' = c\\cdot u'(x)$。

加法法则若f(f)和f(f)都是可导函数，则(f(f)+f(f))′=f′(f)+f′(f)。

乘法法则若f(f)和f(f)都是可导函数，则 $(u(x) \\cdot v(x))' =u'(x) \\cdot v(x) + u(x) \\cdot v'(x)$。

导数的概念及计算一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作y ′|x =x 0 ＝f ′(x 0) ＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)值就是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).二.基本初等函数的导数公式三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.考向一 利用公式及运算法则求导【例2】求下列函数的导数2311(1)()y x x x x =++ （2） （3） ()234(21)x y x =+ (5)sin2xy e x -= 【举一反三】1．下列求导运算正确的是（ ）A ．(3x )′=x •3x−1B ．(2e x )′=2e x （其中e 为自然对数的底数）C ．(x 2+1x )′=2x +1x 2 D ．(x cosx)′=cosx−xsinx cos 2x2．求下列函数的导数： （1）y =√x 5+√x 7+√x 9√x ； （2）y =x ⋅tanx (3)y ＝x n ⋅lg x ；(4)y ＝1x +2x 2+1x 3；考向二 复合函数求导【例3】求下列函数导数（1）y ＝sin(2x ＋1) ()(2)cos2f x x x =⋅ （3）()cos ln y x =【举一反三】求下列函数的导数： （1）y =； （2）2()5log 21y x =+.（3）sin()eax b y +=；（提示：设e uy =，sin u v =，v ax b =+，x u v xy y u v ''''=⋅⋅）（4）2(πsin 2)3y x =+； 考向三 利用导数求值【例4】（1）f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝ . 2．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝ .3. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '= 。

导数的概念几何意义及其运算导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在其中一点上的变化率。

它的几何意义可以通过切线来进行解释，并且有一些运算规则可以用来求解导数。

首先，我们来看一下导数的定义和几何意义。

给定一个函数f(x)，如果x的变化引起f(x)的变化，那么这个变化率可以用导数来表示。

导数的定义如下:如果函数f(x)在点x上有定义，那么它在这一点的导数可以表示为:f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h这个定义表示的是在x点附近，当x的增量趋近于0时，f(x)的增量与x的增量之比的极限。

换句话说，导数描述了函数在x点附近的平均而微小的变化率。

几何上，导数表示了函数曲线在一个点上的切线的斜率。

切线是曲线在其中一点附近与曲线最为接近的直线，所以导数就是曲线在这一点上的斜率。

如果导数为正，曲线向上倾斜，而如果导数为负，曲线向下倾斜。

导数的运算有一些规则可以用来求导。

下面是一些常用的导数运算规则:1. 常数规则: 对于常数k，导函数为0，即d/dx (k) = 0。

2. 幂规则: 如果f(x) = x^n，其中n是任意实数，那么导数为f'(x) = nx^(n-1)。

3.和、差、积法则:如果函数f(x)和g(x)都可导，那么它们的和、差和积的导数可以通过以下规则得到:d/dx (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)d/dx (f(x) - g(x)) = f'(x) - g'(x)d/dx (f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)4.商法则:如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)在其中一点x上的值不为0，那么它们的商的导数可以通过以下规则求得:d/dx (f(x) / g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2这些运算规则可以帮助我们快速求解导数，从而帮助我们更好地理解函数的变化率。

导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。

如果xy ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x ex'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。

第三章 导数及其应用第一节 导数的概念与运算基础知识1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim →Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim→Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0.2．导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线是指以P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim →Δ0xf (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．4．导数的运算(1)几种常见函数的导数①(C )′＝0(C 为常数)；②(x n )′＝nx n －1(n ∈Q *)； ③(sin x )′＝cos_x ；④(cos x )′＝－sin_x ；⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln_a (a >0，a ≠1)；⑦(ln x )′＝1x ；⑧(log a x )′＝1x ln a(a >0，a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )；③⎣⎡⎦⎤u (x )v (x )′＝u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )[v (x )]2(v (x )≠0)．熟记以下结论： (1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； (2)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )；(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．考点一 导数的运算[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝ln x ＋1x ；(2)y ＝(2x ＋1)·e x ； (3)y ＝1＋x 5x 2；(4)y ＝x －sin x 2cos x2.[解] (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (2)y ′＝[(2x ＋1)·e x ]′＝(2x ＋1)′·e x ＋(2x ＋1)·(e x )′＝2e x ＋(2x ＋1)·e x ＝(2x ＋3)·e x .(3)∵1＋x 5x2＝x 35＋x -25，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 5x 2′＝(x 35)′＋(x -25)′＝35x -25－25x -75.(4)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .[题组训练]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 2．求下列函数的导数．(1)y ＝cos x －sin x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln x x 2＋1.解：(1)y ′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x .(2)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x(x 2＋1)－2x ·ln x(x 2＋1)2＝x 2(1－2ln x )＋1x (x 2＋1)2.考点二 导数的几何意义考法(一) 求曲线的切线方程[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . [答案] D[解题技法]若已知曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线方程的方法(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 考法(二) 求切点坐标[典例] 曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)[解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. [答案] C[解题技法] 求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法(三) 求参数的值(范围)[典例] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x 在(0，＋∞)上有解，因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)[解题技法]1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[题组训练]1.曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( )A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B ∵y ′＝e x ，令e x ＝1，得x ＝0.当x ＝0时，y ＝1，∴点A 的坐标为(0,1)． 2.设曲线y ＝a (x －1)－ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝a (x －1)－ln x ，∴y ′＝a －1x ，∴y ′|x ＝1＝a －1.又∵曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2， ∴a －1＝2，解得a ＝3.3.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0 解析：选B 因为点(0，－1)不在曲线y ＝f (x )上，所以设切点坐标为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.所以切点坐标为(1,0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.[课时跟踪检测]A 级1．设f (x )＝x e x 的导函数为f ′(x )，则f ′(1)的值为( )A ．eB ．e ＋1C ．2eD ．e ＋2解析：选C 由题意知f (x )＝x e x ，所以f ′(x )＝e x ＋x e x ，所以f ′(1)＝e ＋e ＝2e. 2．曲线y ＝sin x ＋e x 在x ＝0处的切线方程是( )A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ′＝cos x ＋e x ，∴当x ＝0时，y ′＝2.又∵当x ＝0时，y ＝1，∴所求切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0.3．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.4．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上，所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.5．(2018·合肥第一次教学质量检测)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A.12 B ．1 C ．2D ．e解析：选B 由题意知y ′＝a e x ＋1，令a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.6．设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选D 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0＝－1.又因为切点P 的坐标为(x 0，－x 0)，所以x 30＋ax 20＝－x 0.联立两式得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋2ax 0＝－1，x 30＋ax 20＝－x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1.所以点P 的坐标为(－1,1)或(1，－1)．7．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e 0x ＝－1，∴ex ＝a ，又－1a·e 0x ＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 28．(2019·安徽名校联考)已知函数f (x )＝2x －ax 的图象在点(－1，f (－1))处的切线斜率是1，则此切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝－2x 2－a ，所以f ′(－1)＝－2－a ＝1，所以a ＝－3，所以f (x )＝2x ＋3x ，所以f (－1)＝－5，则所求切线的方程为y ＋5＝x ＋1，即x －y －4＝0. 答案：x －y －4＝09．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 解析：因为y ′＝－1－cos xsin 2x ，所以y ′|=2x π＝－1，由条件知1a ＝－1， 所以a ＝－1. 答案：－110．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．解析：由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x(x ＞0)，设点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝x 2－ln x 上到直线y ＝x －2的距离最小的点， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴点P 0的坐标为(1,1)．∴所求的最小距离为|1－1－2|2＝ 2.答案： 211．求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝cos x ex .解：(1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x -12－x 12，∴y ′＝(x-12)′－(x 12)′＝－12x -32－12x -12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x .12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53，∴斜率最小时的切点为⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. B 级1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知切线过点(0,2)，(3,1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎨⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e34＝－e-34.答案：－e-343．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得{ f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。

导数概念与运算知识 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x ex '=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。

导数定义运算知识点总结一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。

具体来说，如果一个函数在某一点处的导数存在，那么这个导数就描述了函数在该点处的变化速率。

导数的定义可以通过极限的概念来给出，具体来说，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处函数f(x)的变化率为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增加量。

上面的定义是导数的一般形式，通过这个定义可以得到一些常用的导数计算方法。

比如对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数，我们可以通过导数的定义来计算它们在某一点处的导数。

另外，还可以通过导数的定义来证明某一函数在某一点处的导数的存在性和计算导数的值。

二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中的一个重要内容，它包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等方面的内容。

1. 导数的四则运算法则对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，它们的导数满足一些基本运算法则。

具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)分别在某一点x处的导数存在，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过以下公式求得：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2这些公式可以帮助我们在实际计算中求解复合函数的导数、隐函数的导数等问题。

2. 复合函数的导数复合函数是指一个函数中包含了另一个函数。

如果函数y=f(g(x))是一个复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来求解。

导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点处的变化速率。

导数公式和导数的运算法则是求导过程中常用的工具。

本文将详细介绍导数的公式及运算法则，包括常见的导数公式、基本运算法则、链式法则、求高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等。

一、导数公式1.常数的导数公式：若y=c（c为常数），则y'=0。

2.幂函数的导数公式：若y=x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。

3.指数函数的导数公式：若y=a^x（a为常数且a>0），则y' =a^xlna。

4.对数函数的导数公式：若y=loga(x)（a为常数且a>0，且a≠1），则y' = 1/(xlna)。

5.三角函数的导数公式：若y=sin(x)，则y' = cos(x)；若y=cos(x)，则y' = -sin(x)；若y=tan(x)，则y' = sec^2(x)。

6.反三角函数的导数公式：若y=arcsinx，则y' = 1/sqrt(1-x^2)；若y=arccosx，则y' = -1/sqrt(1-x^2)；若y=arctanx，则y' =1/(1+x^2)。

二、导数的基本运算法则1.和差法则：若y=u±v，则y'=u'±v'。

2.数乘法则：若y = cu（c为常数），则y' = cu'。

3.乘积法则：若y = u·v，则y' = u'v + uv'。

4.商法则：若y = u/v，则y' = (u'v - uv')/v^2（v≠0）。

5.复合函数法则（链式法则）：若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)。

三、高阶导数高阶导数是指求得导函数后再对导函数求导的过程，常用的高阶导数符号有y''、y'''，分别表示二阶导数、三阶导数等。

高中数学导数公式及导数的运算法则一、导数的定义导数是函数变化速率的一种描述方式，用函数f(x)在点x处的变化率来近似表示。

导数的定义如下：设函数y=f(x)在点x处有定义，如果当自变量x自小于且无限接近于x时，函数值的变化量Δy始终与自变量的变化量Δx之比近似为一个定值，即lim(Δx→0) Δy/Δx = lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)]/Δx这个极限值称为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)，也可以写成dy/dx。

二、常见函数的导数公式1.幂函数的导数若y = xⁿ，n为常数，则y' = nxⁿ⁻¹。

2.反函数的导数若y=f⁻¹(x)，则y'=1/f'(f⁻¹(x))。

3.指数函数的导数若y = aˣ，a > 0，a ≠ 1，则y' = (lna) * aˣ。

4.对数函数的导数(a) 若y = logₐ(x)，a > 0，且a ≠ 1，则y' = 1/(xlna)。

(b) 若y = ln(x)，则y' = 1/x。

5.指数对数函数的导数(a) 若y = aˣ(x > 0)，则y' = aˣ(lna)。

(b) 若y = logₐx(a > 0，且a ≠ 1)，则y' = 1/(xlna)。

(c) 若y = ln，x，则y' = 1/x。

6.三角函数的导数(1) 若y = sinx，则y' = cosx。

(2) 若y = cosx，则y' = -sinx。

(3) 若y = tanx，则y' = sec²x。

1.基本运算法则(a)常数乘积法则：k*f(x)的导数是k*f'(x)。

(b)和差法则：[f(x)±g(x)]的导数是f'(x)±g'(x)。

(c)常数倍数法则：k*f(x)的导数是k*f'(x)。

第1讲导数的概念及其意义、导数的运算1.了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数.1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作□1f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝□2lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx称为函数y ＝f (x )的导函数.f ′(x0)表示函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；但(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的□3斜率，相应的切线方程为□4y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝□5αx α－1f (x )＝sin x f ′(x )＝□6cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝□7－sin x f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝□8a x ln af(x)＝ln x f′(x)＝1 xf(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝□91 x ln a4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝□10f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝□11f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[f（x）g（x）]′＝□12f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0).5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝□13y′u·u′x.常用结论1.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正、负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.2.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.()(2)若f(x)＝sin(－x)，则f′(x)＝cos x.()(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).()(4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2.回源教材(1)(多选)下列导数运算正确的是()A.(3x)′＝3x ln3B.(x2ln x)′＝2x ln x＋xC.(cos xx )′＝x sin x －cos x x 2D.(sin x cos x )′＝cos 2x 解析：ABD(cos xx )′＝－x sin x －cos x x2，故C 错误，其余都正确.(2)已知函数f (x )＝x (2022＋ln x )，若f ′(x 0)＝2023，则x 0等于()A.e 2B.1C.ln 2D.e解析：Bf ′(x )＝2022＋ln x ＋1＝2023＋ln x ，f ′(x 0)＝2023＋ln x 0＝2023，得x 0＝1.(3)已知曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与曲线y ＝a ln x ＋2在点(1，2)处的切线平行，则a ＝.解析：由y ＝x e x ，得y ′＝(x ＋1)e x ，由y ＝a ln x ＋2，得y ′＝ax ，故2e ＝a .答案：2e导数的运算1.(多选)下列求导运算正确的是()A.[(3x ＋5)3]′＝9(3x ＋5)2B.(x 3ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2C.(2sin xx 2)′＝2x cos x ＋4sin x x 3D.(2x ＋cos x )′＝2x ln 2－sin x 解析：ABD对于A ，[(3x ＋5)3]′＝3(3x ＋5)2(3x ＋5)′＝9(3x ＋5)2，故A 正确；对于B ，(x 3ln x )′＝(x 3)′ln x ＋x 3(ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2，故B 正确；对于C ，(2sin x x 2)′＝（2sin x ）′x 2－2sin x （x 2）′x 4＝2x cos x －4sin x x 3，故C 错误；对于D ，(2x ＋cos x )′＝(2x )′＋(cos x )′＝2x ln 2－sin x ，故D 正确.2.(多选)(2024·济南质检)下列求导运算正确的是()A.(1ln x )′＝－1x ln 2xB.(x 2e x )′＝2x ＋e xC.[cos(2x －π3＝－sin(2x －π3)D.(x －1x )′＝1＋1x 2解析：AD (1ln x )′＝－1ln 2x·(ln x )′＝－1x ln 2x，故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；[cos(2x －π3)]′＝－2sin(2x －π3)，故C 错误；(x －1x )′＝1＋1x2，故D 正确.3.(2024·河北省部分学校模拟)已知函数f (x )＝e 2x ＋f ′(1)x 2，则f ′(1)＝()A.－2e 2B.2e 2C.e 2D.－e 2解析：A 由f (x )＝e 2x ＋f ′(1)x 2，得f ′(x )＝2e 2x ＋2f ′(1)x ，令x ＝1，得f ′(1)＝2e 2＋2f ′(1)，则f ′(1)＝－2e 2.4.已知函数f (x )＝sin x ＋4x ，则lim Δx →0f （π＋2Δx ）－f （π）Δx＝.解析：∵f ′(x )＝cos x ＋4，∴f ′(π)＝3，∴lim Δx →0f （π＋2Δx ）－f （π）Δx＝2lim Δx →0f （π＋2Δx ）－f （π）2Δx＝2f ′(π)＝6.答案：6反思感悟1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.导数的几何意义求切线方程例1(1)(2023·全国甲卷)曲线y ＝e x x ＋1在点(1，e2)处的切线方程为()A.y ＝e4xB.y ＝e2xC.y ＝e 4x ＋e 4D.y ＝e 2x ＋3e 4解析：C y ′＝e x （x ＋1）－e x （x ＋1）2＝x e x （x ＋1）2，y ′|x ＝1＝e4，所以曲线y ＝e x x ＋1在点(1，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 4(x －1)，整理得y ＝e 4x ＋e4.故选C.(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为，.解析：当x >0时，y ＝ln x ，设切点为(x 0，y 0)，x 0>0，则由y ′＝1x ，得切线斜率k ＝1x 0.又切线的斜率为y 0x 0，所以1x 0＝y0x 0，解得y 0＝1，代入y ＝ln x ，得x 0＝e.所以k ＝1e ，所以切线方程为y ＝1e x .同理可求得当x <0时的切线方程为y ＝－1e x .综上，两条切线方程分别为y ＝1e x ，y ＝－1ex .答案：y ＝1e x y ＝－1ex求切点坐标或参数的值(范围)例2(1)(2024·榆林模拟)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2的图象在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则a ＋b ＝()A.－2B.－1C.0D.1解析：B因为f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝ax＋2x .又f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，则f(x)＝ln x＋x2，所以f(1)＝1，将点(1，1)代入切线方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1.故选B.(2)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)，则点A的坐标是.解析：设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝1m(x－m).又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝1m(m＋e).再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).答案：(e，1)由切线条数求参数例3(2024·杭州第一次质量检测)若过点(a，b)可以作曲线y＝x－1x(x>0)的两条切线，则()A.b>a>0B.a>b>a－1aC.0<a－1a <b<a D.a－1a<b<0<a解析：B设切点为(x0，y0)，则x0>0，由题知y′＝1＋1x2(x>0)，设切线的斜率为k，则k＝1＋1x20＝y0－bx0－a＝x0－1x0－bx0－a，化简得(a－b)x20－2x0＋a＝0，①则Δ＝4－4a(a－b).∵过点(a，b)可以作曲线y＝x－1x(x>0)的两条切线，∴方程①有两个不同的正解，，∴a>b>a－1 a.其中，a>0，b与a－1a的符号不能确定，故选B.反思感悟1.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.求过某点的切线方程，要先设出切点坐标，再依据条件建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.2.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.训练1(1)曲线f(x)＝x2＋x－2e x在(0，f(0))处的切线方程为()A.y＝3x－2B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2D.y＝－3x＋2解析：A由题知f′(x)＝（2x＋1）e x－（x2＋x－2）e x（e x）2＝－x2＋x＋3e x，所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.(2)(2024·泸州模拟)已知曲线y＝a cos xx在点(π，－aπ)处的切线方程为y＝2π2x＋b，则a的值是()A.4πB.－2C.－4πD.2解析：D令y＝f(x)＝a cos xx，则f′(x)＝－a（x sin x＋cos x）x2，曲线在点(π，－aπ)处的切线的斜率为f′(π)＝aπ2＝2π2，解得a＝2.(3)(2024·南通模拟)已知过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)e x的切线有且仅有1条，则a＝()A.－3B.3C.－3或1D.3或1解析：C设切点为(x0，(1－x0)e x0)，由已知得y′＝－x e x，则切线斜率k＝－x0e x0，切线方程为y－(1－x0)e x0＝－x0e x0 (x－x0)，直线过点A(a，0)，则－(1－x0)e x0＝－x0e x0·(a－x0)，化简得x20－(a＋1)x0＋1＝0，切线有且仅有1条，即Δ＝(a＋1)2－4＝0，化简得a2＋2a－3＝0，即(a＋3)(a －1)＝0，解得a＝－3或1.两曲线的公切线例4(2024·扬州模拟)若直线l是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝e x－2的切线，则直线l的方程为.解析：设y＝kx＋b与y＝e x－2和y＝ln x的切点分别为(x1，e x1－2)，(x2，ln x2)，由导数的几何意义可得k＝e x1－2＝1 x2，曲线y＝e x－2在点(x1，e x1－2)处的切线方程为y－e x1－2＝e x1－2(x－x1)，即y＝e x1－2x＋(1－x1)e x1－2，曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝1x2(x－x2)，即y＝1x2x＋ln x2－1，x1－2＝1x2，1－x1）e x1－2＝ln x2－1，解得x2＝1或x2＝e，所以k＝1或1 e .代入得y＝x－1或y＝1 e x.答案：y＝x－1或y＝1 ex反思感悟公切线问题的解法公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.训练2已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于()A.－3B.1C.3D.5解析：D依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∴f′(x)＝2x，h′(x)＝6x－4，（x0）＝h（x0），′（x0）＝h′（x0），20－m＝6ln x0－4x0，x0＝6x0－4，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.限时规范训练(十七)A级基础落实练1.(多选)下列求导运算正确的是()A.(x＋1x)′＝1＋1x2B.(log2x)′＝1x ln2C.(5x)′＝5x log5xD.(x2cos x)′＝2x cos x－x2sin x解析：BD A中，(x＋1x)′＝1－1x2，C中，(5x)′＝5x ln5，其余正确.2.(2024·皖豫名校第二次联考)已知函数f(x)＝ax3－x＋b，若f′(x)为f(x)的导函数，f ′(1)＝2，且f (1)＝5，则b ＝()A.5 B.4C.3 D.2解析：A 因为f ′(x )＝3ax 2－1，所以a －1＝2，－1＋b ＝5，解得a ＝1，b ＝5.故选A.3.(2024·宜春月考)曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线如图所示，则f (1)＋f ′(1)＝()A.0B.12C.32D.－12解析：A 因为切线过点(2，0)和(0，－1)，所以f ′(1)＝0＋12－0＝12，所以切线方程为y ＝12x －1，令x ＝1，则y ＝－12，所以f (1)＝－12，所以f (1)＋f ′(1)＝－12＋12＝0.故选A.4.(2024·佛山禅城区第二次调研)曲线f (x )＝x e 2x －1在点P (12，f (12))处的切线方程为()A.6x －4y －1＝0B.6x －4y －5＝0C.4x －2y －1＝0D.4x －2y －3＝0解析：C 因为f (x )＝x e 2x －1，所以f ′(x )＝e 2x －1＋2x e 2x －1＝(2x ＋1)e 2x －1.设切线的斜率为k，则k＝f′(12)＝2，又f(12)＝12，故所求切线方程为y＝2(x－12)＋12，化简得4x－2y－1＝0.故选C.5.(2024·山西部分学校联考)若函数f(x)＝e x＋ln x＋a的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝kx－1，则a＝()A.1B.0C.－1D.e解析：B因为f′(x)＝e x＋1x，所以f′(1)＝e＋1，设切线的斜率为k，故k＝e＋1.又f(1)＝e＋a＝k－1＝e，所以a＝0.故选B.6.曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为()A.(1，3)B.(－1，3)C.(－1，3)或(1，1)D.(－1，3)或(1，3)解析：D设切点P(x0，y0)，由f′(x)＝3x2－1，可得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－1，所以3x20－1＝2，解得x0＝±1，当x0＝1时，可得f(1)＝3，此时P(1，3)；当x0＝－1时，可得f(－1)＝3，此时P(－1，3).7.若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于()A.1B.2C.3D.3或－1解析：D设在函数f(x)＝ln x上的切点为(x1，y1)，∴k＝1x1＝1，解得x1＝1，故切点为(1，0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1，化简得x2＋(a－1)x＋1＝0，只需满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或3.8.已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则()A.a ＝e ，b ＝－1B.a ＝e ，b ＝1C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－1解析：D 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.e ＋1＝2，＝－1，＝e －1，＝－1.9.已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝.解析：∵f ′(x )＝－（ax －1）′（ax －1）2＋e x cos x －e xsin x ＝－a （ax －1）2＋e x cos x －e x sin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.答案：210.(2024·西安长安区模拟)函数f (x )＝e x －e －x ＋ax 2的导函数为f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则实数a ＝，此时，曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为.解析：由题知f ′(x )＝e x ＋e －x ＋2ax ，因为f ′(x )是偶函数，所以f ′(－x )＝f ′(x )在x ∈R 上恒成立，则e －x ＋e x －2ax ＝e x ＋e －x ＋2ax 在x ∈R 上恒成立，故a ＝0.因为f (0)＝0，f ′(0)＝2，所以曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .答案：0y ＝2x11.(2024·南通期末)已知函数f (x )＝x 3－2x 2＋2x ，则曲线y ＝f (x )经过点A (1，1)的切线方程是.解析：设切点为(t ，t 3－2t 2＋2t )，由题知f ′(x )＝3x 2－4x ＋2，所以切线的斜率k ＝3t 2－4t ＋2，所以切线方程为y －(t 3－2t 2＋2t )＝(3t 2－4t ＋2)(x －t ).因为切线过点A (1，1)，所以1－(t 3－2t 2＋2t )＝(3t 2－4t ＋2)(1－t )，即(t －1)2(2t －1)＝0，解得t＝12或t＝1，所以斜率k＝34或k＝1，又切线过点A(1，1)，得切线方程为3x－4y＋1＝0或x－y＝0.答案：3x－4y＋1＝0或x－y＝012.(2024·南京模拟)直线y＝ax＋b是曲线y＝x＋1的切线，则a＋b的最小值为.解析：设直线y＝ax＋b与曲线y＝x＋1相切于点(x0，x0＋1)(x0≥0)，当x0＝0时，曲线y＝x＋1无切线，故x0>0，由y＝x＋1得y′|x＝x0＝12x0，所以切线方程为y－(x0＋1)＝12x0(x－x0)，即y＝12x0x＋x02＋1，＝12x0，＝x02＋1，所以a＋b＝12x0＋x02＋1≥212x0·x02＋1＝2，当且仅当x0＝1时，等号成立，所以(a＋b)min＝2.答案：2B级能力提升练13.(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为()A.2B.5C.1D.0解析：C根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a，由g(x)＝－3ln x－x，可得g ′(x )＝－3x－1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1.14.(多选)(2024·烟台调研)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y ＝f (x )具有“T 性质”.则下列函数中具有“T 性质”的是()A.y ＝x e xB.y ＝cos x ＋1C.y ＝1x 3D.y ＝ln 2·log 2x解析：AB由题意可知，若函数y ＝f (x )具有“T 性质”，则存在两点，使得函数在这两点处导数的乘积为－1.对于A ，(xe x )′＝1－x ex ，存在x 1<1，x 2>1时满足条件；对于B ，(cos x ＋1)′＝－sin x ，当x 1＝π2，x 2＝－π2时符合条件；对于C ，(1x 3)′＝－3x 4<0恒成立，负数乘以负数不可能得到－1，不满足条件；对于D ，(ln 2·log 2x )′＝ln 2·1x ln 2＝1x>0恒成立，正数乘以正数不可能得到－1，不满足条件.15.若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝.解析：y ＝ln x ＋2的切线为y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)，y ＝ln(x＋1)的切线为y＝1x2＋1x＋ln(x2＋1)－x2x2＋1(设切点横坐标为x2)，＝1x2＋1，x1＋1＝ln（x2＋1）－x2x2＋1，解得x1＝12，x2＝－12，∴b＝ln x1＋1＝1－ln2.答案：1－ln216.曲线y＝－1x(x<0)与曲线y＝ln x的公切线的条数为条.解析：设(x1，y1)是公切线和曲线y＝－1x的切点，则切线斜率k1＝1 x21，切线方程为y＋1x1＝1x21(x－x1)，整理得y＝1x21·x－2x1.设(x2，y2)是公切线和曲线y＝ln x的切点，则切线斜率k2＝1 x2，切线方程为y－ln x2＝1x2(x－x2)，整理得y＝1x2·x＋ln x2－1.令1x21＝1x2，－2x1＝ln x2－1，消去x2得－2x1＝ln x21－1.设t＝－x1>0，即2ln t－2t－1＝0，只需探究此方程解的个数.易知函数f(x)＝2ln x－2x－1在(0，＋∞)上单调递增，>0，f(1)＝－3<0，f(e)＝1－2e于是f(x)＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.答案：1。