【精选】江苏版高考数学一轮复习专题2.5函数图像讲

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第06讲函数的概念及其表示（精讲）【A组在基础中考查功底】则函数根据函数图像可知：(f x 故选：ACD.8．已知函数4 ()f x xx=+A．-3B 【答案】ABC四、解答题12．定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 都有()2243f x x x -=-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()23g x f x x =-+在[],1m m +上是单调函数，则求实数m 的取值范围.【答案】(1)()21f x x =-(2)(][),01,-∞+∞ 【分析】（1）配方后，利用整体法求解函数解析式；（2）求出()g x 的单调区间，与[],1m m +比较，得到不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】（1）()()2224321f x x x x -=-+=--，故函数()f x 的解析式为()21f x x =-；（2）()()2223122121x x g x x x x =-+=---++=在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为()g x 在[],1m m +上是单调函数，所以m 1≥或11m +≤，解得0m ≤或m 1≥，所以实数m 的取值范围是(][),01,-∞+∞ .【B 组在综合中考查能力】由图可得当且仅当0t<<时）的，故()()()()36494922f f f f m n =⨯=+=+.【C 组在创新中考查思维】，该函数在当32m>时，当x>m时()2,3f x⎛∈-∞-⎝①，当1,22aa >>时，()f x 在[]0,1上单调递增，②，由2222a a a x ⎛⎫-+⨯=- ⎪⎝⎭解得12x a +=或1x -=。

2.5二次函数与幂函数、函数与方程挖命题【考情探究】的难度.函数与方程是江苏必考内容,主要考查运用零点存在性定理求函数在某区间的零点个数、运用函数图象判定函数的零点个数、根据函数的零点个数(或方程根的个数)求参数的范围等.破考点【考点集训】考点一幂函数的图象及性质1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则f(4)的值等于.答案2.(2019届江苏宜兴官林中学检测)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·-(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n=.答案 1考点二二次函数的图象和性质1.已知函数f(x)=x2-6x+8,xÎ[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是.答案(1,3]2.(2019届江苏白蒲高级中学检测)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是.答案①④考点三函数与方程1.函数f(x)=e x+x-2的零点有个.答案 12.(2018江苏溧阳高级中学检测)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是.答案-∞-炼技法【方法集训】方法一幂函数图象与性质的求解策略1.正整数p使得函数f(x)=x p-2在(0,+∞)上是减函数,则函数的单调递减区间是.答案(-∞,0),(0,+∞)2.已知幂函数f(x)=-,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.答案(3,5)方法二求函数零点个数的解题策略1.(2018江苏板浦高级中学检测)函数f(x)=x·lg(x+2)-1的图象与x轴的交点有个.答案 22.(2019届江苏东台中学检测)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为.答案 2方法三已知函数零点求参数的范围的常用方法1.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是.答案2.(2019届江苏南通第三中学检测)已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点,则实数m的取值范围是.答案-过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组∈其中集合1.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案82.(2014江苏,13,5分,0.48)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=-.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数3.(2015江苏,13,5分,0.27)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=--为.答案 4B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一二次函数与幂函数1.(2017北京文,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-2考点二函数与方程1.(2018课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是.答案[-1,+∞)2.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=--若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.答案(4,8)3.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案 34.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)5.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案6.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=-其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)7.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=-(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是. 答案8.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=---①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1②∪[2,+∞)C组教师专用题组1.(2009新课标改编)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.答案 62.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)3.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)4.(2016课标全国Ⅱ改编,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则=.答案m【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=-(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)3.(2019届江苏侯集中学检测)函数f(x)=lg x+的零点是.答案4.(2018江苏启东中学检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=.答案x2+2x+15.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案6.(2019届江苏海门中学检测)已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b=.答案 27.(2019届江苏南通中学检测)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为.答案{-3,3}8.(2019届江苏海安中学检测)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.答案-1,-29.(2019届江苏启东汇龙中学检测)若幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=+f(x)在上的值域为.答案10.(2019届江苏南通大学附属中学检测)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是.答案x1<x2<x3二、解答题(共30分)11.(2019届江苏启东检测)已知函数f(x)=x2+ax+2,a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求不等式f(x)≥1-x2的解集;(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 解析(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2],所以a=-3,于是f(x)=x2-3x+2.由f(x)≥1-x2得1-x2≤x2-3x+2,解得x≤或x≥1,所以不等式f(x)≥1-x2的解集为或.(2)函数g(x)=2x2+ax+3在区间(1,2)上有两个不同的零点,则--解得-5<a<-2.所以实数a的取值范围是(-5,-2).12.(2019届江苏常州第一中学检测)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.(1)求f(x)的表达式;(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围.解析(1)由f(-1+x)=f(-1-x),可得f(x)的图象关于直线x=-1对称.设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0).由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1.根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+,所以|x1-x2|=-=-=2,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.所以g(x)的对称轴方程为x=-,则-≤-1,即k≤0,故k的取值范围为(-∞,0].。

高考数学一轮复习第10讲：函数的图像学习目标:1.会运用函数图像理解和研究函数的性质.2.熟记基本初等函数的图像，掌握函数作图的基本方法及函数图像的基本变换，能结合图像研究函数的性质学习方法：观察归纳；类比，转化教学重点：会运用函数图像理解和研究函数的性质.教学难点：应用函数图像求参数范围课前准备:1.教师准备：三角板、多媒体课件2.学生自备：笔、三角板考情分析：函数的图像作为函数性质的研究工具，频频在高考题中出现．主要考点及考查方向如下表：教学过程知识聚焦：（自主学习以下知识点）1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．4．平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到．① y=f(x)y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(x -h);③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)-h.5．对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到； 6．翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．7．伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；()y f x a =+()y f x =x (0)a >(0)a <||a ()y f x a =+()y f x =x (0)a >(0)a <||a h 左移→h 右移→h 上移→h 下移→()y f x =-()y f x =y ()y f x =-()y f x =x ()y f x =--()y f x =|()|y f x =()y f x =x x x x ()y f x =x (||)y f x =()y f x =y y y ()y f x =y ()y af x =(0)a >()y f x =(1)a >01a <<a（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到． ①y=f(x)y=f();②y=f(x)y=ωf(x). 链接教材：（学生自主回答）例题教学：考点一 函数图象的辨识【例1】函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．规律方法 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．【练习1】 (1)函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )．(2)函数y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )．考点二 函数图象的变换【例2】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≤1)，log 13x (x ＞1)，则y ＝f (1－x )的图象是( )． ()y f ax =(0)a >()y f x =(1)a >01a <<1a ω⨯→x ωxω⨯→y规律方法 作图象平移时，要注意不要弄错平移的方向，必要时，取特殊点进行验证；平移变换只改变图象的位置，不改变图象的形状．【练习2】设函数f(x)的定义域为R ，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关系为（ ）A ．直线y=0对称B ．直线x=0对称C ．直线y=1对称D ．直线x=1对称 考点三 函数图象的应用【例3】已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个练习3：设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，f （2-x ）=f （x+2）且当x ∈[-2,0]时，f(x)=x )21(-1，若关于x 的方程f(x)-log a (x+2)=0（a>1）在区间(-2,6]内恰有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是【例4】已知不等式x 2－log a x ＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围． 练习4：设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________ . 规律方法 (1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．(2)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质.课堂小结1．掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．2．识图的要点：重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x 、y 轴的交点，最高、最低点等)．3．识图的方法(1)定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决；(3)排除法：利用本身的性能或特殊点进行排除验证．4．研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；5．方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决．。

１．函数的概念（１）定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y＝f（x），x∈A.（２）函数的定义域、值域：在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．（３）函数的三要素：定义域、值域和对应关系．（４）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（５）函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．２．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]１．（２0１9·无锡一中期中测试）函数f（x）＝ln（x２—x）的定义域为________．解析：由题意知，x２—x＞0，即x＜0或x＞１．则函数的定义域为（—∞，0）∪（１，＋∞）．答案：（—∞，0）∪（１，＋∞）２．已知f（错误!）＝x—１，则f（２）＝________.解析：令错误!＝２，则x＝４，所以f（２）＝３．答案：３３．（２0１9·海头高级中学高三期中）若函数f（x）＝错误!则f（错误!）＋f（—错误!）＝________.答案：５４．已知函数f（x）＝错误!若f（x）＝２，则x＝________.解析：依题意得当x≤１时，３x＝２，所以x＝log３２；当x＞１时，—x＝２，x＝—２（舍去）．故x＝log３２．答案：log３２１．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．２．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]１．（２0１9·常州一中检测）若函数f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为错误!＞１，所以f错误!＝log２错误!，又因为log２错误!＜１，所以f错误!＝２23log2—２＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１8·苏州中学测试）已知f（x）的定义域为{x|x≠0}，满足３f（x）＋５f错误!＝错误!＋１，则函数f（x）的解析式为________．解析：用错误!代替３f（x）＋５f错误!＝错误!＋１中的x，得３f错误!＋５f（x）＝３x＋１，所以错误!２×５—１×３得f（x）＝错误!x—错误!＋错误!（x≠0）．答案：f（x）＝错误!x—错误!＋错误!（x≠0）错误!错误![题组练透]１．（２0１8·常州期末）函数y＝错误!＋lg（x＋２）的定义域为________．解析：由题意可得错误!解得—２＜x≤１，故所求函数的定义域为（—２,１]．答案：（—２,１]２．（２0１8·南通中学高三测试）函数y＝错误!的定义域为________________．解析：由函数y＝错误!得错误!解得错误!即—１≤x≤１且x≠—错误!，所以所求函数的定义域为错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!３．若函数y＝f（x）的定义域是[１,２0１9]，则函数g（x）＝错误!的定义域是________．解析：令t＝x＋１，由已知函数的定义域为[１,２0１9]，可知１≤t≤２0１9．要使函数f（x＋１）有意义，则有１≤x＋１≤２0１9，解得0≤x≤２0１8，故函数f（x＋１）的定义域为[0，２0１8]．所以使函数g（x）有意义的条件是错误!解得0≤x＜１或１＜x≤２0１8．故函数g（x）的定义域为[0,１）∪（１，２0１8]．答案：[0,１）∪（１,２0１8]４．（２0１8·南京师范大学附中模拟）函数f（x）＝错误!的定义域是________．解析：由题意得log（２x—３）≥0⇒0＜２x—３≤１⇒错误!＜x≤２，即函数f（x）的定义域是错误!.12答案：错误![谨记通法]函数定义域的求解策略（１）已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式（组）求解．（２）实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解．（３）抽象函数：１若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，其复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；２若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]时的值域．错误!错误![典例引领]（１）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝0，f（x＋１）＝f（x）＋x＋１，求f（x）；（２）已知f错误!＝x２＋错误!，求f（x）的解析式；（３）已知f错误!＝lg x，求f（x）的解析式；（４）已知函数f（x）满足f（—x）＋２f（x）＝２x，求f（x）的解析式；（５）已知f（0）＝１，对任意的实数x，y都有f（x—y）＝f（x）—y（２x—y＋１），求f（x）的解析式．解：（１）（待定系数法）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝0，知c＝0，f（x）＝ax２＋bx，又由f（x＋１）＝f（x）＋x＋１，得a（x＋１）２＋b（x＋１）＝ax２＋bx＋x＋１，即ax２＋（２a＋b）x＋a＋b＝ax２＋（b＋１）x＋１，所以错误!解得a＝b＝错误!.所以f（x）＝错误!x２＋错误!x，x∈R.（２）（配凑法）由于f错误!＝x２＋错误!＝错误!２—２，所以f（x）＝x２—２，x≥２或x≤—２，故f（x）的解析式是f（x）＝x２—２，x≥２或x≤—２．（３）（换元法）令错误!＋１＝t得x＝错误!，代入得f（t）＝lg错误!，又x＞0，所以t＞１，故f（x）的解析式是f（x）＝lg错误!，x＞１．（４）（解方程组法）由f（—x）＋２f（x）＝２x，１得f（x）＋２f（—x）＝２—x，２１×２—２，得，３f（x）＝２x＋１—２—x.即f（x）＝错误!.所以f（x）的解析式是f（x）＝错误!.（５）（赋值法）令x＝0，得f（—y）＝f（0）—y（—y＋１）＝１＋y２—y，所以f（y）＝y２＋y＋１，即f（x）＝x２＋x＋１．[由题悟法]求函数解析式的５种方法１．（２0１9·如皋测试）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝x＋２，则f（x）＝________.解析：设f（x）＝kx＋b，由f（f（x））＝x＋２，可得k（kx＋b）＋b＝x＋２，即k２x＋kb＋b＝x＋２，所以k２＝１，kb＋b＝２，解得k＝１，b＝１，即f（x）＝x＋１．答案：x＋１２．已知f（错误!＋１）＝x＋２错误!，求f（x）的解析式．解：法一：（换元法）设t＝错误!＋１，则x＝（t—１）２，t≥１，代入原式有f（t）＝（t—１）２＋２（t—１）＝t２—２t＋１＋２t—２＝t２—１．故f（x）＝x２—１，x≥１．法二：（配凑法）因为x＋２错误!＝（错误!）２＋２错误!＋１—１＝（错误!＋１）２—１，所以f（错误!＋１）＝（错误!＋１）２—１，错误!＋１≥１，即f（x）＝x２—１，x≥１．错误!错误![锁定考向]分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透着分类讨论的数学思想，高考对分段函数的常见的命题角度有：（１）分段函数的求值问题；（２）求参数或自变量的值与范围；（３）分段函数与不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的求值问题１．设函数f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为—１＜错误!—１≤0，所以f错误!＝错误!＝错误!，则f错误!＝f错误!＝tan 错误!＝１．答案：１角度二：求参数或自变量的值与范围２．已知f（x）＝错误!若f（a）＝错误!，则a＝________.解析：若a≥0，由f（a）＝错误!得，a 12＝错误!，解得a＝错误!；若a＜0，则|sin a|＝错误!，a∈错误!，解得a＝—错误!.综上可知，a＝错误!或—错误!.答案：错误!或—错误!角度三：分段函数与不等式问题３．（２0１8·如东期末）设函数f（x）＝错误!则使得f（２x＋１）＞f（x—１）成立的x的取值范围是________．解析：当x＞0时，f（—x）＝x２e x＝f（x），且为增函数，同理当x＜0时，f（—x）＝错误!＝f（x），且为减函数，所以f（x）关于y轴对称，且左减右增．要使f（２x＋１）＞f（x—１），则需|２x＋１|＞|x—１|，两边平方化简得x２＋２x＞0，解得x＜—２或x＞0，故所求x的取值范围是（—∞，—２）∪（0，＋∞）．答案：（—∞，—２）∪（0，＋∞）[通法在握]１．分段函数的求值问题的解题思路（１）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．（２）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．２．分段函数与不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]１．（２0１9·姜堰中学测试）已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x—90）＝错误!则f （１0）—f（—１00）的值为________．解析：因为f（１0）＝f（１00—90）＝lg １00＝２，f（—１00）＝f（—１0—90）＝—（—１0）＝１0，所以f（１0）—f（—１00）＝２—１0＝—8．答案：—8２．（２0１8·无锡高三第一学期期末）已知函数f（x）＝错误!g（x）＝—x２—２x—２．若存在a ∈R，使得f（a）＋g（b）＝0，则实数b的取值范围是________．解析：当x≤—错误!时，f（x）＝１＋错误!＜１，此时f（x）＝１＋错误!＝１＋错误!—错误!在错误!上单调递减，易求得f（x）∈[—7,１）；当x＞—错误!时，f（x）＝log错误!，12此时f（x）在错误!上单调递减，易求得f（x）∈（—∞，２），∴f（x）的值域为（—∞，２）．故存在a∈R，使得f（a）＋g（b）＝0⇒—g（b）＝f（a）∈（—∞，２）⇒b２＋２b＋２＜２⇒b ∈（—２,0）．答案：（—２,0）３．（２0１8·南通期末）已知函数f（x）＝错误!则不等式f（x２—２）＋f（x）＜0的解集为__________．解析：函数f（x）＝错误!的图象如图所示，所以f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，所以不等式f（x２—２）＋f（x）＜0⇔f（x２—２）＜f（—x）⇔x２—２＜—x，解得—２＜x＜１，所以原不等式的解集为（—２,１）．答案：（—２,１）一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·淮安调研）函数f（x）＝错误!的定义域是________．解析：由lg（５—x２）≥0，得５—x２≥１，即x２≤４，解得—２≤x≤２．∴函数f（x）＝错误!的定义域是[—２,２]．答案：[—２,２]２．（２0１8·苏州高三期中调研）函数y＝错误!的定义域为________．解析：由错误!解得x＞１，且x≠２，所以函数的定义域为（１,２）∪（２，＋∞）．答案：（１,２）∪（２，＋∞）３．已知f错误!＝２x—５，且f（a）＝6，则a＝________.解析：令t＝错误!x—１，则x＝２t＋２，f（t）＝２（２t＋２）—５＝４t—１，则４a—１＝6，解得a＝错误!.答案：错误!４．已知f（x）是一次函数，满足３f（x＋１）＝6x＋４，则f（x）＝________.解析：设f（x）＝ax＋b（a≠0），则f（x＋１）＝a（x＋１）＋b＝ax＋a＋b，依题设，３ax＋３a＋３b＝6x＋４，∴错误!∴错误!则f（x）＝２x—错误!.答案：２x—错误!５．（２0１9·盐城模考）已知函数f（x）＝错误!若f（0）＝３，则f（a）＝________.解析：因为f（0）＝３，所以a—２＝３，即a＝５，所以f（a）＝f（５）＝9．答案：96．设函数f（x）＝错误!则f（f（２））＝________，函数f（x）的值域是________．解析：因为f（２）＝错误!，所以f（f（２））＝f错误!＝—错误!.当x＞１时，f（x）∈（0,１），当x≤１时，f（x）∈[—３，＋∞），所以f（x）∈[—３，＋∞）．答案：—错误![—３，＋∞）二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·如东高级中学高三学情调研）设函数f（x）＝错误!则f（—２）＋f（log２１２）＝________.解析：因为f（—２）＝１＋log２４＝３，f（log２１２）＝２log２１２—１＝6，所以f（—２）＋f（log２１２）＝9．答案：9２．（２0１8·苏州期末）函数f（x）＝错误!的值域为________．解析：画出f（x）的图象如图所示，可看出函数的值域为（—∞，１]．答案：（—∞，１]３．（２0１8·南京名校联考）f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为f错误!＝log３错误!＝—２，所以f错误!＝f（—２）＝错误!—２＝9．答案：9４．（２0１9·南通调研）函数f（x）＝错误!＋lg（x＋１）的定义域是________．解析：由题意得错误!⇒x＞—１且x≠１，所以函数f（x）的定义域是（—１,１）∪（１，＋∞）．答案：（—１,１）∪（１，＋∞）５．（２0１8·启东中学检测）已知函数y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，则函数y＝f（x）的定义域为________．解析：因为y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，所以x∈[—错误!，错误!]，x２—１∈[—１,２]，所以y＝f（x）的定义域为[—１，２]．答案：[—１,２]6．已知具有性质：f错误!＝—f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：１y＝x—错误!；２y＝x＋错误!；３y＝错误!其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．解析：对于１，f（x）＝x—错误!，f错误!＝错误!—x＝—f（x），满足；对于２，f错误!＝错误!＋x ＝f（x），不满足；对于３，f错误!＝错误!即f错误!＝错误!故f错误!＝—f（x），满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是１３.答案：１３7．（２0１9·扬州一模）若函数f（x）＝错误!为奇函数，则f（g（２））＝________.解析：因为函数f（x）＝错误!为奇函数，所以当x＞0时，—x＜0，则f（—x）＝２x—２＝—f（x），所以f（x）＝—２x＋２，即g（x）＝—２x＋２．所以g（２）＝—２２＋２＝—２，f（g（２））＝f（—２）＝２２—２＝２．答案：２8．已知函数f（x）＝错误!若f（１）＝错误!，则f（３）＝________.解析：由f（１）＝错误!，可得a＝错误!，所以f（３）＝错误!２＝错误!.答案：错误!9．（２0１9·泰州一调）设函数f（x）＝错误!若f（x）＞２，则x的取值范围是________．解析：不等式f（x）＞２可化为错误!或错误!解得x＞错误!或x＜—１．答案：（—∞，—１）∪错误!１0．（２0１9·无锡一中月考）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝log错误!f（x）的定义域是________．解析：要使函数g（x）有意义，需f（x）＞0，由f（x）的图象可知，当x∈（２,8]时，f（x）＞0．答案：（２,8]１１．（２0１9·南京金陵中学月考）二次函数f（x）满足f（x＋１）—f（x）＝２x，且f（0）＝１．（１）求f（x）的解析式；（２）若在区间[—１,１]上，函数y＝f（x）的图象恒在直线y＝２x＋m的上方，试确定实数m的取值范围．解：（１）由f（0）＝１，可设f（x）＝ax２＋bx＋１（a≠0），故f（x＋１）—f（x）＝a（x＋１）２＋b（x＋１）＋１—（ax２＋bx＋１）＝２ax＋a＋b，由题意得错误!解得错误!故f（x）＝x２—x＋１．（２）由题意，得x２—x＋１＞２x＋m，即x２—３x＋１＞m，对x∈[—１,１]恒成立．令g（x）＝x２—３x＋１，则问题可转化为g（x）min＞m，又因为g（x）在[—１,１]上递减，所以g（x）min＝g （１）＝—１，故m＜—１，即实数m的取值范围为（—∞，—１）．１２．（２0１8·南京期末）已知二次函数f（x）满足f（１）＝１，f（—１）＝５，且图象过原点．（１）求二次函数f（x）的解析式；（２）已知集合U＝[１,４]，B＝错误!，求∁U B.解：（１）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），因为f（１）＝１，f（—１）＝５，且图象过原点，所以错误!解得a＝３，b＝—２，所以f（x）＝３x２—２x.（２）y＝错误!＝３—错误!，当x∈[１,４]时，函数y＝３—错误!是增函数，当x＝１时，y取得最小值１；当x＝４时，y取得最大值错误!，所以B＝错误!，又集合U＝[１,４]，故∁U B＝错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知实数a≠0，函数f（x）＝错误!若f（１—a）＝f（１＋a），则a＝________.解析：当a＞0时，１—a＜１,１＋a＞１．由f（１—a）＝f（１＋a）得２—２a＋a＝—１—a—２a，解得a＝—错误!，不合题意；当a＜0时，１—a＞１,１＋a＜１，由f（１—a）＝f（１＋a）得—１＋a—２a＝２＋２a＋a，解得a＝—错误!，所以a的值为—错误!.答案：—错误!２．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋２）＝２f（x），若当0≤x≤２时，f（x）＝x（２—x），则当—４≤x≤—２时，f（x）＝________.解析：由题意知f（x＋４）＝２f（x＋２）＝４f（x），当—４≤x≤—２时，0≤x＋４≤２，所以f（x）＝错误!f（x＋４）＝错误!（x＋４）[２—（x＋４）]＝—错误!（x＋４）（x＋２），所以当—４≤x≤—２时，f（x）＝—错误!（x＋４）（x＋２）．答案：—错误!（x＋４）（x＋２）３．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）满足下列关系：y＝错误!＋mx＋n（m，n是常数）．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）的关系图．（１）求出y关于x的函数表达式；（２）如果要求刹车距离不超过２５．２米，求行驶的最大速度．解：（１）由题意及函数图象，得错误!解得m＝错误!，n＝0，所以y＝错误!＋错误!（x≥0）．（２）令错误!＋错误!≤２５．２，得—7２≤x≤70．因为x≥0，所以0≤x≤70．故行驶的最大速度是70千米/时．。

１．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：（１）１确定函数的定义域；２化简函数的解析式；３讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）．（２）列表（注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点）．（３）描点，连线．２．图象变换（１）平移变换１y＝f（x）的图象错误!y＝f（x—a）的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（x）＋b的图象．（２）对称变换１y＝f（x）的图象错误!y＝—f（x）的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（—x）的图象；３y＝f（x）的图象错误!y＝—f（—x）的图象；４y＝a x（a＞0且a≠１）的图象错误!y＝log a x（a＞0且a≠１）的图象．（３）伸缩变换１y＝f（x）的图象２y＝f（x）的图象错误!y＝af（x）的图象．（４）翻转变换１y＝f（x）的图象错误!y＝|f（x）|的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（|x|）的图象．[小题体验]１．f（x）的图象如图所示，则f（x）＝________.答案：f（x）＝错误!２．函数f（x）的图象向右平移１个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝________.解析：与曲线y＝e x关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e—x，将函数y＝e—x的图象向左平移１个单位长度即得y＝f（x）的图象，所以f（x）＝e—（x＋１）＝e—x—１.答案：e—x—１３．（２0１8·扬州期末）若函数y＝f（x）的图象经过点（１,２），则函数y＝f（—x）＋１的图象必经过的点的坐标是________．解析：把函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，再向上平移１个单位，可得函数y＝f（—x）＋１的图象．把函数y＝f（x）的图象上的点（１,２）关于y轴对称，再向上平移１个单位，可得点（—１,３），故函数y＝f（—x）＋１的图象必定经过的点的坐标是（—１,３）．答案：（—１,３）１．函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f（—２x）的图象到f（—２x＋１）的图象是向右平移错误!个单位，其中是把x变成x—错误!.２．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y＝f（|x|）的图象属于自身对称，而y＝f（x）与y ＝f（—x）的图象关于y轴对称是两个函数．[小题纠偏]１．函数y＝５x与函数y＝—错误!的图象关于________对称．答案：原点２．把函数y＝f（２x）的图象向右平移________个单位得到函数y＝f（２x—３）的图象．答案：错误!错误!错误![题组练透]分别画出下列函数的图象：（１）y＝|lg x|；（２）y＝２x＋２；（３）y＝x２—２|x|—１．解：（１）y＝错误!图象如图１．（２）将y＝２x的图象向左平移２个单位．图象如图２．（３）y＝错误!图象如图３．[谨记通法]作函数图象的３种常用方法错误!错误![典例引领]１．若函数f（x）＝错误!的图象如图所示，则f（—３）＝________.解析：由图象可得—a＋b＝３，ln（—１＋a）＝0，得a＝２，b＝５，所以f（x）＝错误!故f（—３）＝２×（—３）＋５＝—１．答案：—１２．（２0１9·启东检测）若函数f（x）＝|a x＋b|（a＞0，a≠１，b∈R）的图象如图所示，则a＋b 的取值范围是________．解析：由图可得，函数f（x）的零点为错误!，即错误!＋b＝0．由图可得，当x＞错误!时，函数f（x）为增函数，故a＞１，所以a＋b＝a—错误!＝错误!２—错误!∈（0，＋∞）．答案：（0，＋∞）[由题悟法]识图３种常用的方法[即时应用]１．已知y＝f（x）的图象如图所示，则f（x）的值域为________．解析：由图象易知f（x）的值域为（—∞，—１]∪（１,３）．答案：（—∞，—１]∪（１,３）２．如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0,0），（１,２），（３,１），则f错误!＝________.解析：由图象知f（３）＝１，所以错误!＝１，所以f错误!＝f（１）＝２．答案：２错误!错误![锁定考向]函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．常见的命题角度有：（１）研究函数的性质；（２）求参数的值或范围；（３）研究不等式；（４）确定方程根（零点）的个数．（详见本章第八节考点二）[题点全练]角度一：研究函数的性质１．已知函数f（x）＝|x２—４x＋３|.（１）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；（２）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有四个不相等的实根}．解：f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．（１）由图知函数f（x）的单调递增区间为[１,２]和[３，＋∞），单调递减区间为（—∞，１]和[２,３]．（２）由图象可知，若y＝f（x）与y＝m图象有四个不同的交点，则0＜m＜１，所以集合M＝{m|0＜m＜１}．角度二：求参数的值或范围２．（２0１9·苏州实验中学测试）定义min{a，b}＝错误!已知函数f（x）＝min{x，x２—４x＋４}＋４，若动直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有３个交点，则实数m的取值范围为________．解析：设g（x）＝min{x，x２—４x＋４}，则f（x）＝g（x）＋４，故把g（x）的图象向上平移４个单位长度，可得f（x）的图象，函数f（x）＝min{x，x２—４x＋４}＋４的图象如图所示，由直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有３个交点，可得m的取值范围为（４,５）．答案：（４,５）角度三：研究不等式３．（２0１8·启东中学测试）如图所示，函数y＝f（x）的图象是圆x２＋y２＝２上的两段弧，则不等式f（x）＞f（—x）—２x的解集是________．解析：由图象可知，函数f（x）为奇函数，故原不等式可等价转化为f（x）＞—x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝—x的图象，由图象可知不等式的解集为（—１,0）∪（１，错误!]．答案：（—１,0）∪（１，错误!]４．若不等式（x—１）２＜log a x（a＞0，且a≠１）在x∈（１,２）内恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：要使当x∈（１,２）时，不等式（x—１）２＜log a x恒成立，只需函数y＝（x—１）２在（１,２）上的图象在y＝log a x的图象的下方即可．当0＜a＜１时，显然不成立；当a＞１时，如图，要使x∈（１,２）时，y＝（x—１）２的图象在y ＝log a x的图象的下方，只需（２—１）２≤log a２，即log a２≥１，解得１＜a≤２，故实数a的取值范围是（１,２]．答案：（１,２][通法在握]函数图象应用的常见题型与求解策略（１）研究函数性质：１根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．２从图象的对称性，分析函数的奇偶性．３从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．４从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．（２）研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值（范围）：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．（３）研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[演练冲关]１．已知函数f（x）＝错误!若f（３—a２）＜f（２a），则实数a的取值范围是________．解析：如图，画出f（x）的图象，由图象易得f（x）在R上单调递减，因为f（３—a２）＜f（２a），所以３—a２＞２a，解得—３＜a＜１．答案：（—３,１）２．（２0１9·扬州中学高三调研）已知函数f（x）＝错误!的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是________．解析：若x＞0，则—x＜0，∵x＜0时，f（x）＝sin错误!—１，∴f（—x）＝sin错误!—１＝—sin错误!—１，则若f（x）＝sin错误!—１，x＜0关于y轴对称，则f（—x）＝—sin错误!—１＝f（x），设g（x）＝—sin错误!—１，x＞0，作出函数g（x）的大致图象如图所示．要满足题意，则须使g（x）＝—sin错误!—１，x＞0与f（x）＝log a x，x＞0的图象恰有9个交点，则0＜a＜１，且满足f（１7）＞g（１7）＝—２，f（２１）＜g（２１）＝—２，即—２＜log a１7，log a２１＜—２，解得错误!＜a＜错误!.答案：错误!一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．已知函数f（x）＝x２＋１，若0＜x１＜x２，则f（x１）与f（x２）的大小关系为________．解析：作出函数图象（图略），知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x１）＜f（x２）．答案：f（x２）＞f（x１）２．（２0１8·常州一中期末）将函数y＝e x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移２个单位，所得函数的解析式为________．解析：将函数y＝e x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得y＝e２x，再向右平移２个单位，可得y＝e２（x—２）＝e２x—４.答案：y＝e２x—４３．（２0１8·前黄中学月考）设函数y＝f（x＋１）是定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）的偶函数，在区间（—∞，0）是减函数，且图象过点（１,0），则不等式（x—１）f（x）≤0的解集为________．解析：y＝f（x＋１）向右平移１个单位得到y＝f（x）的图象，由已知可得f（x）的图象的对称轴为x＝１，过定点（２,0），且函数在（—∞，１）上递减，在（１，＋∞）上递增，则f（x）的大致图象如图所示．不等式（x—１）f（x）≤0可化为错误!或错误!由图可知符合条件的解集为（—∞，0]∪（１,２]．答案：（—∞，0]∪（１,２]４．使log２（—x）＜x＋１成立的x的取值范围是________．解析：在同一坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１,0）．答案：（—１,0）５．若关于x的方程|x|＝a—x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析：由题意a＝|x|＋x令y＝|x|＋x＝错误!图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a＞0．答案：（0，＋∞）6．设函数f（x）＝错误!若f（f（a））≤２，则实数a的取值范围是________．解析：函数f（x）的图象如图所示，令t＝f（a），则f（t）≤２，由图象知t≥—２，所以f（a）≥—２，当a＜0时，由a２＋a≥—２，即a２＋a＋２≥0恒成立，当a≥0时，由—a２≥—２，得0≤a≤错误!，故a≤错误!.答案：（—∞，错误!]二保高考，全练题型做到高考达标１．已知f（x）＝错误!x，若f（x）的图象关于直线x＝１对称的图象对应的函数为g（x），则g（x）的表达式为________．解析：设g（x）上的任意一点A（x，y），则该点关于直线x＝１的对称点为B（２—x，y），而该点在f（x）的图象上．所以y＝错误!２—x＝３x—２，即g（x）＝３x—２.答案：g（x）＝３x—２２．如图，定义在[—１，＋∞）上的函数f（x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f（x）的解析式为________．解析：当—１≤x≤0时，设解析式为f（x）＝kx＋b（k≠0），则错误!解得错误!∴当—１≤x≤0时，f（x）＝x＋１．当x＞0时，设解析式为f（x）＝a（x—２）２—１（a＞0），∵图象过点（４,0），∴0＝a（４—２）２—１，∴a＝错误!，∴当x＞0时，f（x）＝错误!（x—２）２—１＝错误!x２—x.故函数f（x）的解析式为f（x）＝错误!答案：f（x）＝错误!３．（２0１9·江阴中学检测）方程x２—|x|＋a＝１有四个不同的实数解，则a的取值范围是________．解析：方程解的个数可转化为函数y＝x２—|x|的图象与直线y＝１—a交点的个数，作出两函数的图象如图，易知—错误!＜１—a＜0，所以１＜a＜错误!.答案：错误!４．（２0１9·启东中学期中）设奇函数f（x）的定义域为[—５,５]，若当x∈[0,５]时，f（x）的图象如图，则不等式错误!≤0的解集为________．解析：不等式错误!≤0，等价于错误!或错误!由图象可知：当１＜x≤５时，由f（x）≤0，解得２≤x≤５．当0≤x＜１时，由f（x）≥0，解得0≤x＜１，因为f（x）为奇函数，当—２＜x＜0时，由f（x）≥0，此时无解，当—５≤x≤—２时，由f（x）≥0，解得—５≤x≤—２，故不等式的解集为[—５，—２]∪[0,１）∪[２,５]．答案：[—５，—２]∪[0,１）∪[２,５]５．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝错误!若方程f（x）＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．解析：x≤0时，f（x）＝２—x—１，0＜x≤１时，—１＜x—１≤0，f（x）＝f（x—１）＝２—（x—１）—１．故x＞0时，f（x）是周期函数，如图所示．若方程f（x）＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f（x）的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a＜１，即a的取值范围是（—∞，１）．答案：（—∞，１）6．（２0１9·镇江中学测试）已知函数f（x）＝错误!若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a＋b＋c的取值范围是________．解析：作出函数f（x）的图象如图所示，不妨设a＜b＜c，则b＋c＝２×１２＝２４，a∈（１,１0），则a＋b＋c＝２４＋a∈（２５,３４）．答案：（２５,３４）7．（２0１9·徐州调研）设函数f（x）＝错误!其中[x]表示不超过x的最大整数，如[—１．２]＝—２，[１．２]＝１，若直线y＝kx＋k（k＞0）与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，则k的取值范围是________．解析：∵函数f（x）＝错误!∴作出函数f（x）的图象如图所示．∵y＝kx＋k＝k（x＋１），故该直线的图象一定过点（—１,0），若y＝kx＋k与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，则f（x）＝kx＋k有三个不同的根，∵k＞0，∴当y＝kx＋k过点（２,１）时，k＝错误!，当y＝kx＋k过点（３,１）时，k＝错误!，要使f（x）＝kx＋k有三个不同的根，则实数k的取值范围是错误!.答案：错误!8．（２0１9·金陵中学月考）已知y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，它们的定义域均为[—π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f（x）·g（x）＜0的解集是________．解析：f（x）·g（x）＜0⇒f（x）与g（x）在同一区间内符号相反，由图可知，当x∈[0，π]时，两者异号的区间为错误!.又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，∴当x∈[—π，0）时，两者异号的区间为错误!，∴f（x）·g（x）＜0的解集是错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!9．（２0１8·盐城一中测试）已知函数f（x）＝x|m—x|（x∈R），且f（４）＝0．（１）求实数m的值；（２）作出函数f（x）的图象并判断其零点个数；（３）根据图象指出f（x）的单调递减区间；（４）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集；（５）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有三个不相等的实根}．解：（１）因为f（４）＝0，所以４|m—４|＝0，即m＝４．（２）因为f（x）＝x|４—x|＝错误!即f（x）＝错误!所以函数f（x）的图象如图所示．由图象知函数f（x）有两个零点．（３）从图象上观察可知：f（x）的单调递减区间为[２,４]．（４）从图象上观察可知：不等式f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜４或x＞４}．（５）由图象可知若y＝f（x）与y＝m的图象有三个不同的交点，则0＜m＜４，所以集合M＝{m|0＜m＜４}．１0．已知函数f（x）＝２x，x∈R.（１）当m取何值时方程|f（x）—２|＝m有一个解？两个解？（２）若不等式f２（x）＋f（x）—m＞0在R上恒成立，求m的取值范围．解：（１）令F（x）＝|f（x）—２|＝|２x—２|，G（x）＝m，画出F（x）的图象如图所示．由图象可知，当m＝0或m≥２时，函数F（x）与G（x）的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m＜２时，函数F（x）与G（x）的图象有两个交点，原方程有两个解．（２）令f（x）＝t（t＞0），H（t）＝t２＋t，因为H（t）＝错误!２—错误!在区间（0，＋∞）上是增函数，所以H（t）＞H（0）＝0．因此要使t２＋t＞m在区间（0，＋∞）上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为（—∞，0]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校解析：因为函数f（x）＝lg（|x—２|＋１），所以函数f（x＋２）＝lg（|x|＋１）是偶函数；由y＝lg x错误!y＝lg（x＋１）错误!y＝lg（|x|＋１）错误!y＝lg（|x—２|＋１），如图，可知f（x）在（—∞，２）上是减函数，在（２，＋∞）上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0．所以１２正确．答案：２２．已知函数f（x）的图象与函数h（x）＝x＋错误!＋２的图象关于点A（0,１）对称．（１）求f（x）的解析式；（２）若g（x）＝f（x）＋错误!，且g（x）在区间（0,２]上为减函数，求实数a的取值范围．解：（１）设f（x）图象上任一点P（x，y），则点P关于（0,１）点的对称点P′（—x,２—y）在h （x）的图象上，即２—y＝—x—错误!＋２，所以y＝f（x）＝x＋错误!（x≠0）．（２）g（x）＝f（x）＋错误!＝x＋错误!，g′（x）＝１—错误!.因为g（x）在（0,２]上为减函数，所以１—错误!≤0在（0,２]上恒成立，即a＋１≥x２在（0,２]上恒成立，所以a＋１≥４，即a≥３，故实数a的取值范围是[３，＋∞）．命题点一函数的概念及其表示１．（２0１8·江苏高考）函数f（x）＝错误!的定义域为________．解析：由log２x—１≥0，即log２x≥log２２，解得x≥２，所以函数f（x）＝错误!的定义域为{x|x≥２}．答案：{x|x≥２}２．（２0１6·江苏高考）函数y＝错误!的定义域是________．解析：要使函数有意义，需３—２x—x２≥0，即x２＋２x—３≤0，得（x—１）（x＋３）≤0，即—３≤x≤１，故所求函数的定义域为[—３,１]．答案：[—３,１]３．（２0１6·浙江高考）设函数f（x）＝x３＋３x２＋１，已知a≠0，且f（x）—f（a）＝（x—b）（x—a）２，x∈R，则实数a＝____，b＝________.解析：因为f（x）＝x３＋３x２＋１，所以f（a）＝a３＋３a２＋１，所以f（x）—f（a）＝（x—b）（x—a）２＝（x—b）（x２—２ax＋a２）＝x３—（２a＋b）x２＋（a２＋２ab）x—a２b＝x３＋３x２—a３—３a２.由此可得错误!因为a≠0，所以由２得a＝—２b，代入１式得b＝１，a＝—２．答案：—２１４．（２0１8·全国卷Ⅰ改编）设函数f（x）＝错误!则满足f（x＋１）＜f（２x）的x的取值范围是________．解析：法一：１当错误!即x≤—１时，f（x＋１）＜f（２x），即为２—（x＋１）＜２—２x，即—（x＋１）＜—２x，解得x＜１．因此不等式的解集为（—∞，—１]．２当错误!时，不等式组无解．３当错误!即—１＜x≤0时，f（x＋１）＜f（２x），即为１＜２—２x，解得x＜0．因此不等式的解集为（—１,0）．４当错误!即x＞0时，f（x＋１）＝１，f（２x）＝１，不合题意．综上，不等式f（x＋１）＜f（２x）的解集为（—∞，0）．法二：∵f（x）＝错误!∴函数f（x）的图象如图所示．结合图象知，要使f（x＋１）＜f（２x），则需错误!或错误!∴x＜0．答案：（—∞，0）命题点二函数的基本性质１．（２0１6·江苏高考）[—１,１）上，f（x）＝错误!其中a∈R.若f错误!＝f错误!，则f（５a）的值是________．解析：因为函数f（x）的周期为２，结合在[—１,１）上f（x）的解析式，得f错误!＝f错误!＝f错误!＝—错误!＋a，f错误!＝f错误!＝f错误!＝错误!＝错误!.由f错误!＝f错误!，得—错误!＋a＝错误!，解得a＝错误!.所以f（５a）＝f（３）＝f（４—１）＝f（—１）＝—１＋错误!＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１３·江苏高考）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）＝x２—４x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为________．解析：由于f（x）为R上的奇函数，所以当x＝0时，f（0）＝0；当x＜0时，—x＞0，所以f（—x）＝x２＋４x＝—f（x），即f（x）＝—x２—４x，所以f（x）＝错误!由f（x）＞x，可得错误!或错误!解得x＞５或—５＜x＜0，所以原不等式的解集为（—５,0）∪（５，＋∞）．答案：（—５,0）∪（５，＋∞）３．（２0１8·全国卷Ⅱ改编）已知f（x）是定义域为（—∞，＋∞）的奇函数，满足f（１—x）＝f （１＋x）．若f（１）＝２，则f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝________.解析：法一：∵f（x）是奇函数，∴f（—x）＝—f（x），∴f（１—x）＝—f（x—１）．由f（１—x）＝f（１＋x），得—f（x—１）＝f（x＋１），∴f（x＋２）＝—f（x），∴f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），∴函数f（x）是周期为４的周期函数．由f（x）为奇函数得f（0）＝0．又∵f（１—x）＝f（１＋x），∴f（x）的图象关于直线x＝１对称，∴f（２）＝f（0）＝0，∴f（—２）＝0．又f（１）＝２，∴f（—１）＝—２，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＝f（１）＋f（２）＋f（—１）＋f（0）＝２＋0—２＋0＝0，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＋…＋f（４9）＋f（５0）＝0×１２＋f（４9）＋f（５0）＝f（１）＋f（２）＝２＋0＝２．法二：由题意可设f（x）＝２sin错误!，作出f（x）的部分图象如图所示．由图可知，f（x）的一个周期为４，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝１２[f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）]＋f（４9）＋f（５0）＝１２×0＋f（１）＋f（２）＝２．答案：２４．（２0１7·全国卷Ⅱ改编）函数f（x）＝ln（x２—２x—8）的单调递增区间是________．解析：由x２—２x—8＞0，得x＞４或x＜—２．因此，函数f（x）＝ln（x２—２x—8）的定义域是（—∞，—２）∪（４，＋∞）．注意到函数y＝x２—２x—8在（４，＋∞）上单调递增，由复合函数的单调性知，f（x）＝ln（x２—２x—8）的单调递增区间是（４，＋∞）．答案：（４，＋∞）５．（２0１7·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（—∞，0）时，f（x）＝２x３＋x２，则f（２）＝________.解析：由已知得，f（—２）＝２×（—２）３＋（—２）２＝—１２，又函数f（x）是奇函数，所以f（２）＝—f（—２）＝１２．答案：１２6．（２0１7·山东高考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋４）＝f（x—２）．若当x∈[—３,0]时，f（x）＝6—x，则f（9１9）＝________.解析：因为f（x＋４）＝f（x—２），所以f（x＋6）＝f（x），所以f（x）的周期为6，因为9１9＝１５３×6＋１，所以f（9１9）＝f（１）．又f（x）为偶函数，所以f（9１9）＝f（１）＝f（—１）＝6．答案：6命题点三函数的图象１．（２0１6·全国卷Ⅱ改编）已知函数f（x）（x∈R）满足f（—x）＝２—f（x），若函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点为（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m），则错误!（x i＋y i）＝________.解析：因为f（—x）＝２—f（x），所以f（—x）＋f（x）＝２．因为错误!＝0，错误!＝１，所以函数y＝f（x）的图象关于点（0,１）对称．函数y＝错误!＝１＋错误!，故其图象也关于点（0,１）对称．所以函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m）成对出现，且每一对均关于点（0,１）对称，所以错误!i＝0，错误!i＝２×错误!＝m，所以错误!（x i＋y i）＝m.答案：m２．（２0１５·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝ax３—２x的图象过点（—１,４），则a＝________.解析：因为f（x）＝ax３—２x的图象过点（—１,４），所以４＝a×（—１）３—２×（—１），解得a＝—２．答案：—２。

１．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（—x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（—x）＝—f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数关于原点对称（１）周期函数对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．（２）最小正周期如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．[小题体验]１．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x２＋错误!，则f（—１）＝________.答案：—２２．若函数f（x）是周期为５的奇函数，且满足f（１）＝１，f（２）＝２，则f（8）—f（１４）＝________.答案：—１３．若函数f（x）＝（a—１）x２＋（a＋１）x＋a２—１是奇函数，则实数a的值是________．解析：由于函数f（x）的定义域为R，又函数f（x）是奇函数，故f（0）＝0，解得a＝１或a＝—１（舍去），经检验a＝１时符合题意．答案：１１．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．２．判断函数f（x）的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f（—x）＝—f（x）或f（—x）＝f（x），而不能说存在x0使f（—x0）＝—f（x0）或f（—x0）＝f（x0）．３．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]１．已知f（x）＝ax２＋bx是定义在[a—１,２a]上的偶函数，那么a＋b＝________.解析：因为f（x）＝ax２＋bx是定义在[a—１,２a]上的偶函数，所以a—１＋２a＝0，所以a＝错误!.又f（—x）＝f（x），所以b＝0，所以a＋b＝错误!.答案：错误!２．函数f（x）＝错误!的奇偶性为________．解析：因为x≠0，故f（x）的定义域关于原点对称．当x＞0时，—x＜0，所以f（—x）＝log２x＝f（x）．当x＜0时，—x＞0，所以f（—x）＝log２（—x）＝f（x）．故f（—x）＝f（x），所以f（x）为偶函数．答案：偶函数错误!错误![题组练透]判断下列函数的奇偶性：（１）f（x）＝错误!＋错误!；（２）f（x）＝错误!＋错误!；（３）f（x）＝３x—３—x；（４）f（x）＝错误!；（５）（易错题）f（x）＝错误!解：（１）因为由错误!得x＝±１，所以f（x）的定义域为{—１,１}．又f（１）＋f（—１）＝0，f（１）—f（—１）＝0，即f（x）＝±f（—x）．所以f（x）既是奇函数又是偶函数．（２）因为函数f（x）＝错误!＋错误!的定义域为错误!，不关于坐标原点对称，所以函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（３）因为f（x）的定义域为R，所以f（—x）＝３—x—３x＝—（３x—３—x）＝—f（x），所以f（x）为奇函数．（４）因为由错误!得—２≤x≤２且x≠0．所以f（x）的定义域为[—２,0）∪（0,２]，所以f（x）＝错误!＝错误!＝错误!，所以f（—x）＝—f（x），所以f（x）是奇函数．（５）易知函数的定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，又当x＞0时，f（x）＝x２＋x，则当x＜0时，—x＞0，故f（—x）＝x２—x＝f（x）；当x＜0时，f（x）＝x２—x，则当x＞0时，—x＜0，故f（—x）＝x２＋x＝f（x），故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的３种常用方法（１）定义法（２）图象法（３）性质法１设f（x），g（x）的定义域分别是D１，D２，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．２复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] （１）“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．（２）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f（—x）与f（x）的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．错误!错误![典例引领]设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋２）＝—f（x），当x∈[0,２]时，f （x）＝２x—x２.（１）求证：f（x）是周期函数；（２）计算f（0）＋f（１）＋f（２）＋…＋f（２0１8）．解：（１）证明：因为f（x＋２）＝—f（x），所以f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x）．所以f（x）是周期为４的周期函数．（２）因为f（0）＝0，f（１）＝１，f（２）＝0，f（３）＝—f（１）＝—１．又f（x）是周期为４的周期函数，所以f（0）＋f（１）＋f（２）＋f（３）＝f（４）＋f（５）＋f（6）＋f（7）＝…＝f（２0１２）＋f（２0１３）＋f（２0１４）＋f（２0１５）＝0．所以f（0）＋f（１）＋f（２）＋…＋f（２0１8）＝f（２0１6）＋f（２0１7）＋f（２0１8）＝f（0）＋f（１）＋f（２）＝１．[由题悟法]１．判断函数周期性的２个方法（１）定义法．（２）图象法．２．周期性３个常用结论（１）若f（x＋a）＝—f（x），则T＝２a.（２）若f（x＋a）＝错误!，则T＝２a.（３）若f（x＋a）＝—错误!，则T＝２a（a＞0）．[即时应用]１．（２0１8·镇江调研）已知f（x）是定义在R上周期为４的函数，且f（—x）＋f（x）＝0，当0＜x＜２时，f（x）＝２x—１，则f（—２１）＋f（１6）＝________.解析：由f（—x）＋f（x）＝0，知f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0．又f（x＋４）＝f（x），且当0＜x＜２时，f（x）＝２x—１，∴f（—２１）＋f（１6）＝f（—１）＋f（0）＝—f（１）＝—（２１—１）＝—１．答案：—１２．已知f（x）是R上最小正周期为２的周期函数，且当0≤x＜２时，f（x）＝x３—x，则函数y＝f （x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．解析：因为当0≤x＜２时，f（x）＝x３—x，又f（x）是R上最小正周期为２的周期函数，且f（0）＝0，所以f（6）＝f（４）＝f（２）＝f（0）＝0．又f（１）＝0，所以f（３）＝f（５）＝0．故函数y＝f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7．答案：7错误!错误![锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以填空题形式出现．常见的命题角度有：（１）奇偶性的应用；（２）单调性与奇偶性结合；（３）周期性与奇偶性结合；（４）单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用１．（２0１8·连云港模拟）函数y＝f（x）是R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝２x，则当x＞0时，f（x）＝________.解析：x＞0时，—x＜0，因为x＜0时，f（x）＝２x，所以当x＞0时，f（—x）＝２—x.因为f（x）是R上的奇函数，所以当x＞0时，f（x）＝—f（—x）＝—２—x.答案：—２—x角度二：单调性与奇偶性结合２．已知函数f（x）＝错误!是奇函数，且函数f（x）在区间[—１，a—２]上单调递增，则实数a的取值范围为________．解析：当x＜0时，—x＞0，f（x）＝—f（—x）＝—[—（—x）２＋２×（—x）]＝x２＋２x，x＜0，所以m＝２，所以f（x）的单调递增区间为[—１，１]，因此[—１，a—２]⊆[—１,１]⇒—１＜a—２≤１⇒１＜a≤３．答案：（１,３]角度三：周期性与奇偶性结合３．（２0１9·江阴期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x＋２）＝—错误!，当１≤x≤２时f（x）＝x—２，则f（6．５）＝________.解析：∵f（x＋２）＝—错误!，∴f（x＋４）＝f[（x＋２）＋２]＝—错误!＝f（x），即函数f（x）的周期为４．∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（—x）＝f（x），∴f（6．５）＝f（—１．５）＝f（１．５）＝—0．５．答案：—0．５角度四：单调性、奇偶性与周期性结合１f（１）＝0；２f（x）在区间[—２,２]上有５个零点；３点（２0１8,0）是函数y＝f（x）图象的一个对称中心；４直线x＝２0１8是函数y＝f（x）图象的一条对称轴．则正确命题的序号为________．解析：在f（x—１）＝f（x＋１）中，令x＝0，得f（—１）＝f（１），又f（—１）＝—f（１），∴２f（１）＝0，∴f（１）＝0，故１正确；由f（x—１）＝f（x＋１），得f（x）＝f（x＋２），∴f（x）是周期为２的周期函数，∴f（２）＝f（0）＝0，又当x∈（0,１）且x１≠x２时，有错误!＜0，∴函数f（x）在区间（0,１）上单调递减，可作出函数f（x）的大致图象如图所示．由图知２３正确，４不正确，故正确命题的序号为１２３.答案：１２３[通法在握]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略（１）函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（２）周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（３）周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[演练冲关]１．（２0１8·启东中学月考）已知函数f（x）在定义域[２—a,３]上是偶函数，在[0,３]上单调递减，且f错误!＞f（—m２＋２m—２），则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f（x）在定义域[２—a,３]上是偶函数，所以２—a＋３＝0，所以a＝５，所以f错误!＞f（—m２＋２m—２），即f（—m２—１）＞f（—m２＋２m—２）．由题意知偶函数f（x）在[—３,0]上单调递增，而—m２—１＜0，—m２＋２m—２＝—（m—１）２—１＜0，所以由f（—m２—１）＞f（—m２＋２m—２），得错误!解得１—错误!≤m＜错误!.答案：错误!２．设f（x）是定义在R上周期为４的奇函数，若在区间[—２,0）∪（0,２]上，f（x）＝错误!则f （２0１8）＝________.解析：设0＜x≤２，则—２≤—x＜0，f（—x）＝—ax＋b.f（x）是定义在R上周期为４的奇函数，所以f（—x）＝—f（x）＝—ax＋１＝—ax＋b，所以b＝１．而f（—２）＝f（—２＋４）＝f（２），所以—２a＋１＝２a—１，解得a＝错误!，所以f（２0１8）＝f（２）＝２×错误!—１＝0．答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·南通中学高三测试）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（—１）＝２，那么f（0）＋f（１）＝________.解析：因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（—x）＝—f（x），f（１）＝—f（—１）＝—２，f（0）＝0，所以f（0）＋f（１）＝—２．答案：—２２．（２0１8·南京三模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝２x—２，则不等式f（x—１）≤２的解集是________．解析：偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝２．所以f（x—１）≤２，即f（|x—１|）≤f（２），即|x—１|≤２，所以—１≤x≤３．答案：[—１,３]３．函数f（x）＝x＋错误!＋１，f（a）＝３，则f（—a）＝________.解析：由题意得f（a）＋f（—a）＝a＋错误!＋１＋（—a）＋错误!＋１＝２．所以f（—a）＝２—f（a）＝—１．答案：—１４．函数f（x）在R上为奇函数，且x＞0时，f（x）＝错误!＋１，则当x＜0时，f（x）＝________.解析：因为f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）＝错误!＋１，所以当x＜0时，—x＞0，f（x）＝—f（—x）＝—（错误!＋１），即x＜0时，f（x）＝—（错误!＋１）＝—错误!—１．答案：—错误!—１５．（２0１9·连云港高三测试）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝错误! x，则f（—２＋log３５）＝________.解析：由f（x）是定义在R上的奇函数，得f（—２＋log３５）＝—f（２—log３５），由于当x＞0时，f（x）＝错误!x，故f（—２＋log３５）＝—f错误!＝—错误!39log5＝—错误!.答案：—错误!6．（２0１8·南通一调）若函数f（x）＝错误!（a，b∈R）为奇函数，则f（a＋b）＝________.解析：法一：因为函数f（x）为奇函数，所以错误!即错误!解得错误!经验证a＝—１，b＝２满足题设条件，所以f（a＋b）＝f（１）＝—１．法二：因为函数f（x）为奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称，由题意知，当x≥0，二次函数的图象顶点坐标为错误!，当x＜0，二次函数的图象顶点坐标为（—１，—a），所以错误!解得a＝—１，b＝２，经验证a＝—１，b＝２满足题设条件，所以f（a＋b）＝f（１）＝—１．答案：—１二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·抚顺期末）设f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，且在[—２b,0]上为增函数，则f（x—１）≥f（３）的解集为________．解析：∵f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，∴—２b＋３＋b＝0，∴b＝３，∴f（x）是定义在[—6,6]上的偶函数，且在[—6,0]上为增函数，∴f（x）在[0,6]上为减函数，∴由f（x—１）≥f（３），得|x—１|≤３，解得—２≤x≤４，∴f（x—１）≥f（３）的解集为{x|—２≤x≤４}．答案：{x|—２≤x≤４}２．（２0１9·常州一中模拟）设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋１）＋f（x）＝１，且当x∈[１,２]时，f（x）＝２—x，则f（—２0１8．５）＝________.解析：由f（x＋１）＋f（x）＝１在R上恒成立，得f（x—１）＋f（x）＝１，两式相减得f（x＋１）—f（x—１）＝0，即f（x＋１）＝f（x—１）恒成立，故函数f（x）的周期是２，∴f（—２0１8．５）＝f（—0．５）＝f（１．５），又当x∈[１,２]时，f（x）＝２—x，∴f（—２0１8．５）＝f（１．５）＝２—１．５＝0．５．答案：0．５３．已知函数f（x）是定义在[—２,２]上的奇函数，且在区间[0,２]上是单调减函数．若f（２x＋１）＋f（１）＜0，则x的取值范围是________．解析：∵函数f（x）是定义在[—２,２]上的奇函数，且在区间[0,２]上是单调减函数，∴函数f（x）在区间[—２,２]上是单调减函数．∵f（２x＋１）＋f（１）＜0，即f（２x＋１）＜—f（１），∴f（２x＋１）＜f（—１）．则错误!解得—１＜x≤错误!.∴x的取值范围是错误!.答案：错误!４．（２0１8·泰州期末）设f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝２x＋ln错误!，记a n＝f（n—５），则数列{a n}的前8项和为________．解析：数列{a n}的前8项和为f（—４）＋f（—３）＋…＋f（３）＝f（—４）＋（f（—３）＋f（３））＋（f（—２）＋f（２））＋（f（—１）＋f（１））＋f（0）＝f（—４）＝—f（４）＝—错误!＝—１6．答案：—１6５．（２0１8·徐州期中）已知函数f（x）＝e x—e—x＋１（e为自然对数的底数），若f（２x—１）＋f（４—x２）＞２，则实数x的取值范围为________．解析：令g（x）＝f（x）—１＝e x—e—x，则g（x）为奇函数，且在R上单调递增．因为f（２x—１）＋f（４—x２）＞２，所以f（２x—１）—１＋f（４—x２）—１＞0，即g（２x—１）＋g（４—x ２）＞0，所以g（２x—１）＞g（x２—４），即２x—１＞x２—４，解得x∈（—１,３）．答案：（—１,３）6．（２0１9·镇江中学测试）已知奇函数f（x）在定义域R上是单调减函数，若实数a满足f（２|２a—１|）＋f（—２错误!）＞0，则a的取值范围是________．解析：由f（２|２a—１|）＋f（—２错误!）＞0，可得f（２|２a—１|）＞—f（—２错误!）．因为f（x）为奇函数，所以f（２|２a—１|）＞f（２错误!）．因为f（x）在定义域R上是单调减函数，所以２|２a—１|＜２错误!，即|２a—１|＜错误!，解得—错误!＜a＜错误!.答案：错误!7．（２0１9·苏州调研）已知奇函数f（x）在（—∞，0）上单调递减，且f（２）＝0，则不等式错误!＞0的解集为________．解析：由错误!＞0，可得错误!或错误!因为奇函数f（x）在（—∞，0）上单调递减，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（２）＝f（—２）＝0，所以当x＞１时，f（x）＞0的解集为（１,２）；当x＜１时，f（x）＜0的解集为（—２,0）．所以不等式错误!＞0的解集为（—２,0）∪（１,２）．答案：（—２,0）∪（１,２）8．函数f（x）在R上满足f（—x）＝—f（x），当x≥0时，f（x）＝—e x＋１＋m cos（π＋x），记a＝—πf（—π），b＝—错误!·f错误!，c＝e f（e），则a，b，c的大小关系为________．解析：∵函数f（x）为R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝—e x＋１＋m cos（π＋x），∴f（0）＝—１＋１—m＝0，即m＝0，∴f（x）＝—e x＋１（x≥0）．令g（x）＝xf（x），有g（—x）＝（—x）f（—x）＝xf（x）＝g（x），∴函数g（x）为偶函数，当x≥0时，g（x）＝xf（x）＝x（１—e x），g′（x）＝f（x）＋xf′（x）＝１—（１＋x）e x＜0，∴函数g（x）在[0，＋∞）上为减函数，∵a＝—πf（—π）＝g（—π）＝g（π），b＝—错误!f错误!＝g错误!＝g错误!，c＝e f（e）＝g（e），又e＜π＜错误!，∴b＜a＜c.答案：b＜a＜c9．已知函数f（x）＝错误!是奇函数．（１）求实数m的值；（２）若函数f（x）在区间[—１，a—２]上单调递增，求实数a的取值范围．解：（１）设x＜0，则—x＞0，所以f（—x）＝—（—x）２＋２（—x）＝—x２—２x.又f（x）为奇函数，所以f（—x）＝—f（x），于是x＜0时，f（x）＝x２＋２x＝x２＋mx，所以m＝２．（２）要使f（x）在[—１，a—２]上单调递增，结合f（x）的图象（如图所示）知错误!所以１＜a≤３，故实数a的取值范围是（１,３]．１0．（２0１8·大同期末）已知函数f（x）＝log a（x＋１），g（x）＝log a（１—x），其中a＞0，a≠１．（１）求函数F（x）＝f（x）—g（x）的定义域；（２）判断F（x）＝f（x）—g（x）的奇偶性，并说明理由；（３）当a＞１时，求使F（x）＞0成立的x的取值范围．解：（１）∵F（x）＝f（x）—g（x）＝log a（x＋１）—log a（１—x），∴错误!解得—１＜x＜１，∴函数F（x）的定义域为（—１,１）．（２）F（x）为（—１,１）上的奇函数．理由如下：由（１）知F（x）的定义域为（—１,１），关于原点对称，F（—x）＝log a（—x＋１）—log a（１＋x）＝—[log a（x＋１）—log a（１—x）]＝—F（x），∴函数F（x）为（—１,１）上的奇函数．（３）根据题意，F（x）＝log a（x＋１）—log a（１—x），当a＞１时，由F（x）＞0，得log a（x＋１）＞log a（１—x），即错误!解得0＜x＜１，故x的取值范围为（0,１）．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·南通模拟）已知定义在R上的奇函数y＝f（x）满足f（２＋x）＝f（２—x），当—２≤x ＜0时，f（x）＝２x，若a n＝f（n）（n∈N*），则a２0１8＝________.解析：∵f（２＋x）＝f（２—x），以２＋x代替上式中的x，得f（４＋x）＝f（—x），又函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（—x）＝—f（x），∴f（４＋x）＝f（—x）＝—f（x），再以４＋x代替上式中的x，得f（8＋x）＝—f（４＋x）＝f（x），∴函数f（x）的周期为8．∴a２0１8＝f（２0１8）＝f（２５２×8＋２）＝f（２），而f（２）＝—f（—２）＝—错误!，∴a２0１8＝—错误!.答案：—错误!２．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f错误!＝—f错误!成立．（１）证明y＝f（x）是周期函数，并指出其周期；（２）若f（１）＝２，求f（２）＋f（３）的值；（３）若g（x）＝x２＋ax＋３，且y＝|f（x）|·g（x）是偶函数，求实数a的值．解：（１）由f错误!＝—f错误!，且f（—x）＝—f（x），知f（３＋x）＝f错误!＝—f错误!＝—f（—x）＝f（x），所以y＝f（x）是周期函数，且T＝３是其一个周期．（２）因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，且f（—１）＝—f（１）＝—２，又T＝３是y＝f（x）的一个周期，所以f（２）＋f（３）＝f（—１）＋f（0）＝—２＋0＝—２．（３）因为y＝|f（x）|·g（x）是偶函数，且|f（—x）|＝|—f（x）|＝|f（x）|，所以|f（x）|为偶函数．故g（x）＝x２＋ax＋３为偶函数，即g（—x）＝g（x）恒成立，于是（—x）２＋a（—x）＋３＝x２＋ax＋３恒成立．于是２ax＝0恒成立，所以a＝0．。

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第12讲函数的图像（精讲）①画函数的图像一、基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．二、描点法作图要点描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．(3)描点、连线．三、函数图像变换（1）平移变换提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减．一、必备知识整合（2）对称变换①y ＝f (x )的图象―――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象―――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象． （3）含绝对值的对称变换①()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示①()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）．注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． （4）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到．①()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到．1.若)()(x m f x m f -=+恒成立，则)(x f y =的图像关于直线m x =对称．2.设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)(m x f y -=与)(x m f y -=)0(>m 的图象关于直线m x =对称．3.若)()(x b f x a f -=+，对任意∈x R 恒成立，则)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称．4.函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图象关于直线2a bx +=对称． 5.函数..()y f x =..与函数(2)y f a x =-的图象关于直线x a =对称． 6.函数()y f x =与函数2(2)y b f a x =--的图象关于点()a b ，中心对称． 7.函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．【题型一 画函数的图像】作函数图象的两种常用方法【典例1】（2024高三·全国·专题练习）画下列函数的图象 (1)lg y x =；(2)221y x x =--.一、解答题1．（2024高三·全国·专题练习）（1）利用函数f （x ）＝2x 的图象，作出下列各函数的图象． ① y ＝f （－x ）; ① y ＝f （|x |）; ① y ＝f （x ）－1；① y ＝|f （x ）－1|；① y ＝－f （x ）；① y ＝f （x －1）. （2）作出下列函数的图象．二、考点分类精讲① y ＝（12）|x |；① y ＝|log 2（x ＋1）|； ① y ＝211x x --. 2．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数()2,01,0132,1x x xf x x x x x ⎧≤⎪-⎪=<<⎨⎪--≥⎪⎩.(1)画出函数()f x 的图象；(2)当()2f x ≥时，求实数x 的取值范围，【题型二 已知解析式选图像】辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．A．B．C．D．一、单选题1．（23-24高三下·天津·阶段练习）函数()f x=）A．B．C．D．2．（2024·四川·模拟预测）数形结合思想是数学领域中一种核心的思想方法，它将数的概念与几何图形的特性相结合，从而使抽象的数学问题具体化，复杂的几何问题直观化.“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合简洁而有力的表达.数与形是不可分割的统一体，彼此相互依存.已知函数()) cos ln2f x x x=，则()f x的图象大致是（）A．B．C ．D ．3．（2024·陕西商洛·模拟预测）函数cos sin y x x x =-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2024·湖北·模拟预测）函数()12e e ln xxf x x =--的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2024·四川·模拟预测）函数()()321ln f x x x x =--的大致图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【题型三 已知图像选解析式】【典例1】（单选题）（2024·天津·二模）函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()2ln 1x f x x =+B ．()2e e x xf x x --=C ．()21x f x x-=D ．()ln x f x x=一、单选题1．（2024·天津·二模）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）．A ．()e 1e 1x xf x +=- B ．()e 1e 1x x f x -=+C ．()2f x D ．()f x =2．（2024·广东广州·一模）已知函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()sin(tan )f x x =B ．()tan(sin )f x x =C ．()cos(tan )f x x =D ．()tan(cos )f x x =3．（2024·陕西汉中·二模）已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．sin ()e e x x x xf x ---=+B ．cos ()e e x x x xf x --=+C ．sin ()e e x xx xf x -+=+D ．cos ()e e x xx xf x -+=+4．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．sin ()3xf x = B ．cos ()3xf x =C ．sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cos 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭5．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园”一首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y 6．（2024高三·全国·专题练习）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【题型四 函数图像的平移、对称、伸缩变换】【典例1】（单选题）（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数1xy x =-的图象，只需将函数1y x =的图象（ ）A ．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度一、单选题1．（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数1xy x =-的图象，只需将函数1y x=的图象（ ）A ．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度2．（2024·北京西城·二模）将函数()tan f x x =的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ） A ．1tan -xB ．1tan --xC ．tan (1)--xD ．tan (1)-+x3．（2024·四川南充·二模）已知函数()3=f x x，则函数()11y f x =-+的图象（ ） A ．关于点()1,1对称 B ．关于点()1,1-对称 C ．关于点()1,0-对称D ．关于点()1,0对称4．（2024·重庆·三模）设函数()22xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()21f x -+ B ．()22f x -+ C ．()22f x ++D ．()21f x ++5．（22-23高二上·贵州遵义·期末）已知函数()f x 的图象如下图所示，则(|1|)f x +的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2024·辽宁·三模）已知对数函数()log a f x x ，函数()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ）A ．32 B ．23 C D【题型五 函数图像的其他应用】 函数图像的其他应用1.利用函数图象研究不等式【典例1】（单选题）（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数21,2,()3,2,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩若函数()y f x =图象与直线y k =有且仅有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．0k >B ．01k <<C ．03k <<D ．13k <<一、单选题1．（2024高二下·湖南·学业考试）如图，已知函数y x =的图象与函数y x m =-的图象关于直线1x =对称，则m =（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．22．（2024·广东江门·二模）若函数()f x 的图象与圆22:4C x y +=恰有4个公共点，则()f x 的解析式可以为（ ） A ．()|||2|f x x =-B ．2()2||f x x x =-C ．()22x f x =-D ．2()lg f x x =3．（2024·北京昌平·二模）已知函数()()24,1,ln 1, 1.x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩若对任意的x 都有()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．[]4,0-C ．[]3,0-D ．(],2-∞4．（23-24高一下·安徽·阶段练习）定义在[]1,6-上的()f x 满足对()()22log 2,26(1),12x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨--≤≤⎪⎩，关于x 的方程()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦有7个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．[]1,2C ．(]2,4D ．(]1,4二、多选题5．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数()ln f x x =，则（ ） A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 是偶函数D ．函数()f x 是增函数6．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数23log ,02(),1()1,22x x x f x x -⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩()()g x f x k =-，则（ ） A ．()f x 的值域为()1,∞-+B ．若()g x 有1个零点，则0k <或1k >C ．若()g x 有2个零点，则0k =或1k =D ．若()g x 的3个零点分别为：1x ，2x ，3123()x x x x <<，则123x x x 的取值范围为()2,3。