概率统计试题样卷12

高考试题汇编（理）---概率统计解答题1、（全国卷大纲版）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。

每次发球，胜方得1分，负方得0分。

设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。

甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望。

2、（全国卷新课标版）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(1) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：n∈）的函数解析式；枝，N(2)以（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.3、（北京卷）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误额概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为c b a ,,其中0a >， 600a b c ++=。

当数据c b a ,,的方差2s 最大时，写出c b a ,,的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值。

（注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数） 4、（福建卷）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该将频率视为概率，解答下列问题：（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （2）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。

【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》第十二章 概率与统计第一部分 六年高考荟萃2012年高考题1 ．（2012辽宁理）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形,领边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积小于32cm 2的概率为 （ ） A ．16B ．13C ．23D ．45【答案】C【解析】设线段AC 的长为x cm,则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2, 由(12)32x x -<,解得48x x <>或.又012x <<,所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23,故选C【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题. 2 ．（2012湖北理）如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ ） A ．21π- B ．112π- C ．2π D ．1π 考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.解析:令1=OA ,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为1S ,围成OC 为2S ,作对称轴OD ,则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,82212121212122-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS .在扇形OAD 中21S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ,()1622811812221-=--=ππS S ,4221-=+πS S ,扇形OAB 面积π41=S ,选A. 3 ．（2012广东理）(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是 （ ）A ．49 B ．13C ．29D ．19 解析:D.两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为51459=.4 ．（2012北京理）设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A ．4π B ．22π- C ．6π D ．44π-【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域,而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此2122244224p ππ⨯-⨯-==⨯,故选D 【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、概率.5 ．（2012上海理）设443211010≤<<<≤x x x x ,5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2,随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差,则（ ） A ．1ξD >2ξD .B ．1ξD =2ξD .C ．1ξD <2ξD .D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关. [解析])(2.0543211x x x x x E ++++=ξ=t ,2221(2.0x x E +=ξ+232x x ++243x x ++254x x ++215x x +)=t,211)[(2.0t x D -=ξ+22)(t x -+23)(t x -+24)(t x -+25)(t x -]]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +++++-++++=;记1221x x x '=+,2232x x x '=+,,5215x x x '=+,同理得 2ξD ]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +'+'+'+'+'-'+'+'+'+'=, 只要比较2524232221x x x x x '+'+'+'+'与2524232221x x x x x ++++有大小, ])()()[(221232221412524232221x x x x x x x x x x x ++++++='+'+'+'+'Λ )]22222()(2[1554433221252423222141x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++=)]()()()()()(2[21252524242323222221252423222141x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++< 2524232221x x x x x ++++=,所以12ξξD D <,选A.[评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项D 匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加计算,考生会发现1ξE 和2ξE 相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得1ξD >2ξD 而迅即攻下此题. 6 ．（2012上海理）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示).[解析] 设概率p=n k ,则27232323=⋅⋅=C C C n ,求k ,分三步:①选二人,让他们选择的项目相同,有23C 种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有13C 种;③确定另一人所选的项目,有12C 种. 所以18121323=⋅⋅=C C C k ,故p=322718=.7 ．（2012上海春）某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).14158 ．（2012江苏）现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.【答案】35. 【考点】等比数列,概率. 【解析】∵以1为首项,3-为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是63=105.9 ．（2012新课标理）某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布2(1000,50)N ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________ 【解析】使用寿命超过1000小时的概率为38三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N元件1元件2元件3得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p =超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4P p =--= 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138p p p =⨯=10．（2012天津理）现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||X Y ξ-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)i A i =,则4412()()()33i i ii P A C -=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22224128()()()3327P A C ==.(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181P P A P P A P A P P A P A ξξξ=====+===+= 所以ξ的分布列为2 482740811781随机变量ξ的数学期望84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=.【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基础,转化是关键.. 11．（2012新课标理）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n N ∈)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列,数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.【解析】(1)当16n ≥时,16(105)80y =⨯-= 当15n ≤时,55(16)1080y n n n =--=-得:1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩(2)(i)X 可取60,70,80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======X X 607080P0.1 0.2 0.7222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=(ii)购进17枝时,当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=76.476> 得:应购进17枝12．（2012浙江理）已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X 的分布列;(Ⅱ)求X 的数学期望E (X ). 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点. (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.35395(3)42C P X C ===; 21543920(4)42C C P X C ===; 12543915(5)42C C P X C ===; 34392(6)42C P X C ===. 故,所求X 的分布列为X 3456P54220104221= 1554214= 214221=(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为:E (X )=6413()3i i P X i =⋅==∑.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)133. 13．（2012重庆理）(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望 【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式. 解:设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则()13k P A =,()12k P B =, ()1,2,3k ∈(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,()()()()111211223P C P A P A B A P A B A B A =++()()()()()()()()()111211223P A P A P B P A P A P B P A P B P A =++2212112113323323⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11113392727=++= (2)ξ的所有可能为:1,2,3由独立性知:()()()111121213323P P A P A B ξ==+=+⨯= ()()()2211211222112122323329P P A B A P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==+=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2211222113329P P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上知,ξ有分布列从而,21131233999E ξ=⨯+⨯+⨯=(次)14．（2012四川理）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值;(Ⅱ)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E ξ. [解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1-P(C)=1-101P=5049 ,解得P=514 分 (2)由题意,P(ξ=0)=10001101303=）（C P(ξ=1)=1000271011101213=-）（）（C P(ξ=2)=10002431011101223=-）（）（C P(ξ=3)=100072910111013033=-）（）（C 所以,随机变量ξ的概率分布列为:故随机变量X 的数学期望为: E ξ=0102710007293100024321000271100010=⨯+⨯+⨯+⨯. [点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 15．（2012陕西理）某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望. 解析:设Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y 的分布列如下:Y 1 2 3 4 5 P0.10.40.30.10.1(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以()(1)(3)(3)(1)(2)(2)P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y ===+==+==0.10.30.30.10.40.40.22=⨯+⨯+⨯=(2)解法一 X 所有可能的取值为0,1,20X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=1X =对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟. 所以(1)(1)(1)(2)P X P Y P Y P Y ===>+=0.10.90.40.49=⨯+=2X =对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====⨯= 所以X 的分布列为X0 1 2 P0.5 0.490.0100.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯= 解法二 X 所有可能的取值为0,1,20X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=2X =对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====⨯=(1)1(0)(2)0.49P X P X P X ==-=-==所以X 的分布列为X0 1 2 P0.5 0.490.0100.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯=16．（2012山东理）先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;(Ⅱ)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX . 解析:(Ⅰ)367323141)31(43122=⋅⋅⋅+⋅=C P ; (Ⅱ)5,4,3,2,1,0=X91323141)2(,121)31(43)1(.361)31(41)0(1222=⋅===⋅===⋅==C X P X P X P , 31)32(43)5(,91)32(41)4(,31323143)3(2212=⋅===⋅===⋅==X P X P C X PX 012345P361 121 91 319131 EX=0×36+1×12+2×9+3×3+4×9+5×3=12312=.17．（2012辽宁理）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关?(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X .附:2 2112212211212(),nn n n nn n n nχ++++-=【答案及解析】(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:由2×2列联表中数据代入公式计算,得:因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14,由题意,,从而X的分布列为:【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望()E X和方差()D X,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.18．（2012江西理）如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V 的分布列及数学期望. 【解析】解:(1)从6个点中随机地选取3个点共有3620C =种选法,选取的3个点与原点O 在同一个平面上的选法有133412C C =种,因此V=0的概率123(0)205P V === (2)V 的所有可能值为11240,,,,6333,因此V 的分布列为V16 13 2343P35 120320320120由V 的分布列可得: EV=31113234190562032032032040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点评】本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中,概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的数据特征:如平均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、以应用题为载体,考查条件概率,独立事件的概率,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查. 19．（2012江苏）设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=.(1)求概率(0)P ξ=;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ. 【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱, ∴共有238C 对相交棱.∴ 232128834(0)=6611C P C ξ⨯===. (2)若两条棱平行,则它们的距离为12,2的共有6对, ∴ 212661(2)=6611P C ξ===,416(1)=1(0)(2)=1=111111P P P ξξξ=-=-=--.∴随机变量ξ的分布列是:ξ0 1()P ξ411 611 111∴其数学期望616()=1=111111E ξ+⨯.【考点】概率分布、数学期望等基础知识.【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率(0)P ξ=.(2)的共有6对,即可求出(P ξ=,从而求出(1)P ξ=(两条棱平行且距离为1和两条棱异面),因此得到随机变量ξ的分布列,求出其数学期望.20．（2012湖南理）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.物的结算时间X 的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2 钟的概率.(注:将频率视为概率)1. 【解析】(1)由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X ========= 201101( 2.5),(3).100510010p X p X ======X 的分布为X 的数学期望为33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (Ⅱ)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间,则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且.由于顾客的结算相互独立,且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同,所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率为980. 【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过．．．2 钟的概率.21．（2012湖北理）根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X (单位:mm)对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:(Ⅰ)工期延误天数Y 的均值与方差; (Ⅱ)在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.考点分析:本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差. 解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:(300)0.3,P X <=(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X ≤<=<-<=-=, (700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X ≤<=<-<=-=. (900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=.所以Y 的分布列为:于是,()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=;2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.故工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8.(Ⅱ)由概率的加法公式,(300)1(300)0.7P X P X ≥=-<=，又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X ≤<=<-<=-=. 由条件概率,得(6300)(900300)P Y X P X X ≤≥=<≥(300900)0.66(300)0.77P X P X ≤<===≥.故在降水量X 至少是300mm 的条件下,工期延误不超过6天的概率是67.22．（2012广东理）(概率统计)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.(Ⅰ)求图中x 的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =.(Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P C ξ====,()113921227916622C C P C ξ====,()20392123126622C C P C ξ====,所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==. 23．（2012福建理）受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下: 品牌 甲 乙首次出现故障时间x 年 01x <≤ 12x <≤ 2x > 02x <≤ 2x >轿车数量(辆) 2 3 45 545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率,解答下列问题:(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求12,X X 的分布列;(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识、考查必然与或然思想. 解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件A ,则231()5010P A +==. (2)依题意12,X X 的分布列分别如下:1X1 2 3p125350910(3)由(2)得1139()123 2.86255010E X =⨯+⨯+⨯=219() 1.8 2.9 2.791010E X =⨯+⨯=12()()E X E X >,所以应生产甲品牌的轿车.24．（2012大纲理）乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率; (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值的问题.首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结论. 解:记iA 为事件“第i 次发球,甲胜”,i=1,2,3,则123()0.6,()0.6,()0.4P A P A P A ===.(Ⅰ)事件“开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2”为123123123A A A A A A A A A ++,由互斥事件有一个发生的概率加法公式得123123123()P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.352=.即开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率为0.352 (Ⅱ)由题意0,1,2,3ξ=.123(0)()0.60.60.40.144P P A A A ξ===⨯⨯=;123123123(1)()P P A A A A A A A A A ξ==++0.40.60.40.60.40.40.60.60.6=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.408;(2)0.352P ξ==;123(3)()0.40.40.60.096P P A A A ξ===⨯⨯=所以0.40820.35230.096 1.4E ξ=+⨯+⨯=【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况. 25．（2012年高考（北京理））近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:2X1.82.9p110910吨):“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时,写出,,a b c 的值(结论不要求证明),并求此时2S 的值.(注:方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-L ,其中x 为12,,n x x x L 的平均数) 【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻.(1)由题意可知:4002=6003(2)由题意可知:200+60+403=100010(3)由题意可知:22221(120000)3s a b c =++-,因此有当600a =,b =,0c =时,有280000s =.26．（2012安徽理）某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n m +道试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量.(Ⅰ)求2X n =+的概率;(Ⅱ)设m n =,求X 的分布列和均值(数学期望). 【解析】(I)2X n =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为12p = 随机变量X 可取,1,2n n n ++21()(1)P X n p ==-=,1(1)2(1)P X n p p =+=-=,21(2)4P X n p =+==(1)(2)1424EX n n n n =⨯++⨯++⨯=+答:(Ⅰ)2X n =+的概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)求X的均值为1n +2011年高考题1.(2011年高考浙江卷理科9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率 （A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ） 45【答案】B【解析】由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=A A A A A A A P . 2. (2011年高考辽宁卷理科5)从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）=（A ）18（B ）14（C ）25（D ）123. (2011年高考全国新课标卷理科4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34解析：因为甲乙两位同学参加同一个小组有3种方法，两位同学个参加一个小组共有933=⨯种方法；所以，甲乙两位同学参加同一个小组的概率为3193= 点评：本题考查排列组合、概率的概念及其运算和分析问题、解决问题的能力。

2024年数学高三下册概率统计基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知一组数据的方差是9，那么这组数据的标准差是（）A. 3B. 9C. 3²D. 1/32. 下列哪个图形能够表示一个离散型随机变量X的概率分布（）A. 直方图B. 折线图C. 散点图D. 条形图3. 抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰好出现两次正面朝上的概率是（）A. 1/2B. 1/3C. 3/8D. 1/44. 已知随机变量X服从二项分布，且P(X=0)=0.16，P(X=1)=0.32，则P(X=2)等于（）A. 0.16B. 0.32C. 0.48D. 0.645. 下列关于正态分布的说法，错误的是（）A. 正态分布是连续型概率分布B. 正态分布曲线呈钟形C. 正态分布的均数等于0，标准差等于1D. 正态分布曲线关于x轴对称6. 设随机变量X的分布列为：X=1的概率为0.2，X=2的概率为0.3，X=3的概率为0.5，则E(X)等于（）A. 1B. 2C. 2.5D. 37. 已知一组数据的平均数为50，标准差为5，那么这组数据的中位数（）A. 一定大于50B. 一定小于50C. 一定等于50D. 无法确定8. 在一组数据中，众数与众数的频率之和等于（）A. 1B. 0C. 数据总数D. 频率9. 下列关于概率的说法，正确的是（）A. 必然事件的概率为0B. 不可能事件的概率为1C. 随机事件的概率介于0和1之间D. 互斥事件的概率之和等于110. 在一个箱子中有5个红球，3个蓝球，2个绿球，随机取出一个球，取到红球或绿球的概率是（）A. 2/5B. 3/5C. 4/5D. 1/2二、判断题：1. 样本方差越大，说明数据的波动越大。

（）2. 两个互斥事件的概率之和一定等于1。

（）3. 随机变量X的期望值E(X)一定等于它的众数。

（）4. 在二项分布中，如果n固定，p越大，概率分布越集中。

（）5. 正态分布曲线下，面积等于1的部分对应的横坐标范围是负无穷到正无穷。

选修2 第十二章第三讲一、选择题(8×5＝40分)1．(2009·湖北省部分重点中学高三第二次联考)某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是( )A．4 B．5 C．6 D．7答案：C解析：∵乳类商品品牌总数为40＋10＋30＋20＝100种，∴用分层抽样方法抽取一个容量为20的样本，则应抽取酸奶和成人奶粉：20×(10100＋20100)＝6种，故选C.2．要完成下列两项调查：(1)从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；(2)从某中学高三年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况，应该采用的抽样方法是( ) A．(1)用随机抽样法，(2)用系统抽样法B．(1)用系统抽样法，(2)用分层抽样法C． (1)用分层抽样法，(2)用随机抽样法D．(1)、(2)都用分层抽样法答案：C3．(2009·朝阳4月)从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( )A．C36·C24B．C26·C34C．C510D．A36·A24答案：A解析：从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，其中女生3名，男生2名，则不同的抽取方法种数为C36·C24，故选A.4．(2009·山东)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )A．90 B．75 C．60 D．45答案：A解析：由频率分布直方图可知，产品净重小于100克的概率是0.05×2＋0.1×2＝0.3，所以样本中产品的个数为360.3＝120，产品净重大于或等于104克的概率为0.075×2＝0.15，∴产品净重大于或等于98克而小于104克的概率为1－0.15－0.1＝0.75，则净重在此范围内的产品个数为120×0.75＝90个．故选A.5．(2009·宁夏、海南)对变量x、y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图1：对变量u 、v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关答案：C解析：由题图1可知，各点整体呈递减趋势，x 与y 负相关，由题图2可知，各点整体呈递增趋势，u 与v 正相关．6．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2答案：A解析：由正态分布N (μ，σ2)的性质知，x ＝μ为正态密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2.又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.总结评述：本题主要考查正态分布知识，关键是要搞清字母的代表意义．7．如下图是正态分布N (0,1)的正态曲线，现有：①Φ(m )－12，②Φ(－m )，③12[Φ(m )－Φ(－m )]，这三个式子能表示图中阴影部分面积的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③答案：C解析：由正态曲线的性质及Φ(x 0)＝P (x <x 0)，Φ(x 0)＝1－Φ(－x 0)，Φ(0)＝12，…， ∴三个式子中①③是正确的．故选C.8．用系统抽样法(按等距离的规则)要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中用抽签方法确定的号码是( )A ．7B ．5C ．4D ．3答案：B解析：由系统抽样知，每组中有8人，第16组应为从121到128的8个号码，所以第一组中应抽5号．二、填空题(4×5＝20分)9．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002，…，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为________．答案：079510．(2009·湖南)一个总体分为A 、B 两层，其个体数之比为，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为________．答案：40解析：设A 层4x 个，B 层x 个，由题意知B 层中共抽2个个体，由C 22C 2x ＝128⇒C 2x ＝28⇒x (x －1)2＝28⇒x ＝8，则N ＝4×8＋8＝40.11．(2009·安徽)若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________.答案：12解析：∵X ～N (μ，σ2)，∴由正态分布图象可知对称轴x ＝μ，∴P (X ≤μ)＝12. 12．(2010·汕头一模)为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区5月份至7月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图形提供的信息，可以得出万只.7 100答案：90解析：三个月本地区平均每月注射了疫苗的鸡的数量为20×1＋50×2＋100×1.53＝90(万只)，故填90.三、解答题(4×10＝40分)13(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？(3)已知y ≥245，z ≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．解析：(1)∵x 2000＝0.19，∴x ＝380. (2)初三年级人数为y ＋z ＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：482000×500＝12名． (3)设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生与男生数记为(y ，z )；由(2)知y ＋z ＝500，且y ，z ∈N，基本事件空间包含的基本事件有：(245,255)、(246,254)、(247,253)、…、(255,245)共11个，事件A 包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,246)共5个，∴P (A )＝511. 14．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按照5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如下图)．已知从左到右各长方形的高的比为，第三组的频数为12，请解答下列各题．(1)本次活动共有多少件作品参加评比？(2)哪组上交的作品数量最多？有多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪一组获奖率较高？解析：(1)依题意可算出第三组的频率为42＋3＋4＋6＋4＋1＝15. 设共有n 件作品，则12n ＝15， ∴n ＝60(件)．(2)由直方图，可看出第四组上交作品数量最多，共有60×620＝18(件)． (3)第四组获奖率为1018＝59， 第六组获奖率为260×120＝23＝69， ∴第六组获奖率较高．15．(2009·黄冈市高三年级2月质量检测)从某城市的南郊某地乘坐公共汽车前往该市的北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分)服从正态分布N (50,102)；第二条路线沿环城公路走，路线较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N (60,42)．(1)若只有70分钟可用，问应走哪一条路线？(2)若只有65分钟可用，又应走哪一条路线？(已知Φ(3.9)＝1.000，Φ(2)＝0.9772，Φ(2.5)＝0.9938，Φ(1.5)＝0.9332，Φ(1.25)＝0.8944)解析：设ξ为行车时间．(1)只有70分钟可用，走第一条路线及时赶到的概率为P (0<ξ≤70)＝Φ(70－5010)－Φ(0－5010)≈Φ(70－5010)＝Φ(2)＝0.9772； 只有70分钟可用，走第二条路线及时赶到的概率为P (0<ξ≤70)≈Φ(70－604)＝Φ(2.5)＝0.9938； 因此只有70分钟可用，应走第二条路线．(2)只有65分钟可用，走第一条路线及时赶到的概率为P (0<ξ≤65)≈Φ(65－5010)＝Φ(1.5)＝0.9332； 只有65分钟可用，走第二条路线及时赶到的概率为P (0<ξ≤65)≈Φ(65－604)＝Φ(1.25)＝0.8944； 因此只有65分钟可用，应走第一条路线．16．(2009·厦门质检)为抗击金融风暴，某系统决定对所属企业给予低息贷款的扶持，该系统制定了评分标准，并根据标准对企业进行评估，然后依据评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额，为了更好地掌握贷款总额，该系统随机抽查了所属的部分企业．以下图表给出了有关数据(将频率看做概率)(1)任抽一家所属企业，求抽到的企业等级是优秀或良好的概率；(2)对照标准，企业进行了整改．整改后，如果优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使所属企业获得贷款的平均值(即数学期望)不低于410解析：(1)设任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业、优秀企业的概率分别是p 1、p 2、p 3、p 4.则根据频率分布直方图可知：P 1＝0.015×10＝0.15，P 2＝0.04×10＝0.4，P 3＝0.02×10＝0.2，P 4＝0.025×10＝0.25.∴抽到的企业是优秀或良好企业的概率是P 3＋P 4＝0.2＋0.25＝0.45.(2)设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业的概率分别为a 、b 、c .整改后，不合格企业、合格企业、良好企业的数成等差数列，∴a ，b ，c 也成等差数列，即2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＋0.25＝1，∴b ＝0.25，a ＋c ＝0.5.∴E ξ＝0×a .由已知得：E ξ≥410，∴450－400a ≥410，解得：a ≤10%.。

1---○---○------○---○---………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封线………… 中南大学考试试卷2012 ~2013 学年2学期 概率论与数理统计B 课程时间100分钟48学时，3学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %一、 填空题(本题15分，每小题3分) 1. 设对于事件A 、B 、C ，有()()()31===C P B P A P ，()()()0,91,61===CA P BC P AB P ，则A 、B 、C 三个事件中至少出现一个的概率为 .⒉ 设随机变量X 的概率分布为{}(),2,1,11=-==-k k X P k θθ，其中10<<θ，若{}952=≤X P ，则{}==3X P . ⒊ 设随机变量X 和Y 的相关系数为9.0，若X Z -=4.0，则Y 与Z 的相关系数为 .⒋ 设总体X 服从参数为2的泊松分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于 .5. 设总体X 的概率密度为()()+∞<<∞-=-x e x f x21，n X X X ,,,21 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则=2ES .2二、 单项选择题 (本题15分，每小题3分) 1. 设事件A 、B 满足()1=A B P ，则（ ）.是必然事件()B ()0=B A P()CB A ⊃()D B A ⊂⒉ 设随机变量Y X ,独立同分布，且X 的分布函数为()x F ，则{}Y X Z ,max =的分布函数为（ ）.()A ()x F 2()B ()()y F x F()C ()[]211x F --()D ()[]()[]y F x F --11⒊ 设随机变量()1,,,21>n X X X n 独立同分布，且()n i DX i ,,2,102 =>=σ.令∑==ni i X n Y 11，则（ ）.()A ()nY X Cov 21,σ=()B ()21,σ=Y X Cov ()C ()212σnn Y X D +=+()D ()211σnn Y X D +=-4. 设n X X X ,,,21 是来自正态总体()2,σμN的简单随机样本，X 是样本均值，记()∑=--=n i iX X n S 122111， ()∑=-=n i i X X n S 12221，()∑=--=n i iX n S 122311μ， ()∑=-=n i i X n S 12241μ，则服从自由度为1-n 的t -分布的随机变量为（ ）.()A 11--=n S X t μ()B 12--=n S X t μ()C nS X t 3μ-=()D nS X t 4μ-=5. 设一批零件的长度服从正态分布()2,σμN ，其中2,σμ均未知.现从中抽取9个零件，测得())(12912cm x xi i=-∑=，则2σ的置信度为9.0的置信区间是（ ）.()A ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛91,91295.0205.0χχ ()B ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛91,9129.021.0χχ ()C ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛81,81295.0205.0χχ ()D ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛81,8129.021.0χχ三、（本题14分）设甲袋中有3个黑球3个白球，乙袋中有3个黑球2个白球，从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球.求:1. 乙袋中取出的是黑球的概率p;2. 在乙袋中取出的是黑球的条件下，甲袋中取出的也是黑球的概率q.34四、（本题14分）设二维随机变量()Y X ,的概率密度为(),,00,,⎩⎨⎧<<=-其它y x e y x f y1. 求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立；2. 求概率{}12≤+Y X P .5五、（本题7 分）设随机变量X 与Y 独立，X 服从正态分布()2,σμN，Y服从[]ππ,-上的均匀分布，试求Y X Z +=的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数Φ表示，其中()⎰∞--=Φxt dt ex 2221π）.六、（本题14分）一台设备由三大部分组成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为2.0,1.0和3.0.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求EX、DX.67七、（本题7分）一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用载重量为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于977.0（977.021222=⎰∞--dt et π）.8八、（本题14分）设总体X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,;2x xe x f xλλλ， 其中参数()0>λλ未知，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求：1. 参数λ的矩估计量λˆ； 2. 参数λ的最大似然估计量λ~.。

2024年八年级数学概率统计练习题及答案一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）请从A、B、C、D四个选项中选出正确答案，并将其标号填入题前的括号内。

1. 设事件A与事件B相互独立，事件A发生的概率为1/3，事件B发生的概率为1/4，则事件A与事件B同时发生的概率为（）。

A. 1/7B. 1/12C. 1/34D. 1/842. 一枚骰子抛掷一次，事件A表示点数为偶数，事件B表示点数大于3，则事件A与事件B的交集为（）。

A. {2, 4, 6}B. {4, 5, 6}C. {3, 4, 5, 6}D. {1, 2, 3}3. 在一副有52张牌的扑克牌中，红色牌和大于10的牌是两个事件，其中红色牌有26张，大于10的牌有12张。

事件红色牌与事件大于10的牌的交集为（）。

A. 12B. 14C. 26D. 384. 某校学生进行了一次数学测试，考察的知识点有A、B、C三个。

设学生掌握知识点A的概率为0.7，掌握知识点B的概率为0.5，掌握知识点C的概率为0.6。

现从该校学生中随机抽取一个学生，请问该学生至少掌握两个知识点的概率是（）。

A. 0.16B. 0.44C. 0.62D. 0.865. 设随机事件A的概率为0.3，事件B的概率为0.4，事件A与事件B互不相容且以相同的概率发生。

则事件“既不是A也不是B”发生的概率为（）。

A. 0.06B. 0.24C. 0.4D. 0.76. 某商场每周调查顾客购买服装的百分比，结果表明男性购买服装的概率为0.6，女性购买服装的概率为0.8。

现从该商场选择了一位顾客，请问这位顾客是女性且购买服装的概率是（）。

A. 0.24B. 0.3C. 0.48D. 0.87. 甲、乙、丙三个盒子，分别装有黑球、白球或红球。

甲盒子中有2个黑球，乙盒子中有1个黑球，丙盒子中有1个白球。

现从这三个盒子中选择一个盒子，并从所选的盒子中任意选择一球，问选出黑球的概率是（）。

概率统计试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 某随机事件的概率为0.5，那么它的对立事件的概率是：A. 0.5B. 0.3C. 0.2D. 0.82. 以下哪个不是随机变量的类型？A. 离散型B. 连续型C. 有限型D. 无限型3. 如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A∪B)等于：A. P(A) + P(B)B. P(A) - P(B)C. P(A) * P(B)D. P(A) / P(B)4. 以下哪个是正态分布的特点？A. 均值等于中位数B. 均值大于中位数C. 均值小于中位数D. 均值与中位数无关5. 以下哪个是大数定律的表述？A. 随机变量的期望等于其均值B. 随机变量的方差等于其标准差的平方C. 随机变量序列的均值趋于一个常数D. 随机变量的方差趋于零二、填空题（每题2分，共20分）6. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其概率质量函数为______。

7. 若随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其密度函数为______。

8. 两个事件A和B相互独立，则P(A∩B)等于______。

9. 随机变量X的期望E(X)表示为______。

10. 随机变量X的方差Var(X)表示为______。

三、解答题（每题15分，共40分）11. 某工厂生产的产品中，有5%是次品。

假设从这批产品中随机抽取100件产品，求至少有3件是次品的概率。

12. 某地区连续两天下雨的概率为0.4，求在接下来的一周内至少有3天下雨的概率。

四、计算题（每题10分，共20分）13. 假设随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，求P(1 < X < 3)。

14. 假设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，求其均值和方差。

答案一、选择题1. D2. C3. A4. A5. C二、填空题6. P(X=k) = λ^k / k! * e^(-λ)，k=0,1,2,...7. f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))8. P(A) * P(B)9. E(X) = ∑x * P(X=x)（离散型）或∫x * f(x) dx（连续型）10. Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2三、解答题11. 至少有3件次品的概率可以通过计算没有次品或只有1件或2件次品的概率，然后用1减去这个概率得到。

10统计与概率1.填空。

(1)常用的统计图有()统计图、()统计图和()统计图。

(2)我们学过的统计量有()数、()数和()数。

(3)在一组数据大小差异比较悬殊的情况下，用()数表示这组数据的一般水平比较合适。

(4)盒子里有大小相同的7个黄球，3个蓝球，摸到蓝球的可能性是()，摸到()球的可能性大些。

(5)某同学期末语文和数学的平均成缋是94分，语文成绩是93分，那么数学成绩是()分。

3答案：⑴条形折线扇形(2)平均中位众⑶众⑷5黄(5)952.判断。

(1)扇形统计图能够淸楚地反映出各部分数M与总数之间的百分比关系。

()(2)任何一组数据，至少有一个众数。

()(3)—名战士五次射击的成绩分别是10环、10环、9环、10环和2环，这五次射击的平均成绩能够很好地代表这名战士射击的一般水平。

()(4)一个正方体，5个而上写着数字“1”，只有1个而上写着数字“2”，如果只掷一次，有可能数字“2”朝上。

()答案：(1)7 (2)X ⑶X (4)73.选择。

(1)要表示本校各年级的人数，用()统计图比较合适。

A.条形B.折线C.扇形(2)有7个箱子，平均每个箱子里面有20本书，如果任意搬走一箱，那么里面的书的本数()。

A.—定是20本B.多于20本C.少于20本D.等于、多于和少于20本都有可能答案：(1)A (2)D4.下阁是某城市初屮学生从2000年至2007年每天学习所用的时间的统计表。

(单位：h)2000 年2001 年2002 年2003 年2004 年2005 年2006 年2007 年10891213141516(2)从图屮可以得到哪些信息？(3)你对这个城市的学生有什么建议?答案：(1)（2）2002年至2007年学生学习所用的时间呈上升趋势。

（3）学习时间过长，注意锻炼身体，合理利用时间。

数学小博士用3, 4, 5任意组成的三位数中，是3的倍数的可能性是多少？提示：因为3+4+5=12,所以组成的任意三位数都是3的倍数。

选修2第十二章第二讲一、选择题(8×5＝40分)1．下列说法中正确的是 ( ) A ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的概率的平均值 B ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的平均水平 C ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的平均水平 D ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的概率的平均值 答案：C解析：由离散型随机变量的期望与方差的概念，知选C.2．(2009·福建第一次质检)已知某一随机变量ξ的分布列如下，且E ξ＝6.3，则a 的值( )A.5 B ．6 D ．8 答案：C解析：由题意得0.5＋0.1＋b ＝1，且E ξ＝4×0.5＋0.1a ＋9b ＝6.3，因此b ＝0.4，a ＝7，选C.3．随机变量X则E (5X ＋4)等于 ( ) A ．15 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 答案：A解析：∵EX ＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2， ∴E (5X ＋4)＝5EX ＋4＝11＋4＝15.4．一份数学模拟试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每题选得正确答案得4分，不作选择或选错不得分，满分100分．张强选对任一题的概率为0.8，则他在这次数学测验中的成绩的方差为 ( )A ．20B ．80C ．64D ．16 答案：C解析：设张强做对题的个数为ξ，成绩为η，则η＝4ξ.ξ～B (25,0.8)，∴D ξ＝25×0.8×0.2＝4，∴D η＝16×4＝64.5．(2009·武汉重点中学统考)若ξ～B (n ，p )且E ξ＝6，D ξ＝3，则P (ξ＝1)的值为( )A ．3·2－2B ．3·2－10C ．2－4D ．2－8答案：B解析：∵E ξ＝np ＝6，D ξ＝np (1－p )＝3⇒p ＝12，n ＝12，∴P (ξ＝1)＝C 112(12)12＝3·2－10.6．进行某种试验，设试验成功的概率为34，用ξ表示试验首次成功所需试验的次数，则D ξ等于 ( )A ．4 B.43 C.49 D.13答案：C解析：根据题意知ξ～g (k ，34)，∴D ξ＝1－p p 2＝14(34)2＝49.7．在2008年的某市中学生运动会上，小明同学参加了乒乓球和网球两个项目的比赛，获得乒乓球冠军的概率是34，获得网球冠军的概率是12，则小明获得冠军的个数ξ的期望是( )A.45 B ．1 C ．2 D.58 答案：A解析：方法一：P (ξ＝0)＝(1－34)(1－12)＝18，P (ξ＝1)＝34×(1－12)＋(1－34)×12＝38＋18＝12，P (ξ＝2)＝34×12＝38，∴E ξ＝0×18＋1×12＋2×38＝54.方法二：∵获得乒乓球冠军个数的期望是34，获得网球冠军个数的期望是12，∴获得冠军个数的期望是34＋12＝54.8．(2009·成都市高三测试)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E ξ为 ( )A.89B.35C.25D.13 答案：A解析：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条，ξ可取的值有0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29，E ξ＝0×13＋1×49＋2×29＝89，选A. 二、填空题(4×5＝20分)9．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ＝________.答案：47解析：由已知得则E ξ＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47.10．(2009·安徽“江南十校”素质测试)已知随机变量ξ～B (n ，p )，若E ξ＝4，η＝2ξ＋3，D η＝3.2，则P (ξ＝2)＝____________.(结果用数字表示)答案：32625解析：由已知条件可求得n ＝5，p ＝0.8，故P (ξ＝2)＝32625.11．(2009·苏州十校3月)设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7的方差为1，则d ＝________.答案：±12解析：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7的均值为 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝a 4，则(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2＋(a 4－a 4)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 4)2＋(a 7－a 4)27＝4d 2＝1，d ＝±12，故填±12.12．(2009·江苏丹阳高级中学一模)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5． 答案：甲解析：甲、乙两人的期望都为9环，但甲的方差小，比较稳定，乙的方差大，容易波动，则入选的最佳人选是甲，故填甲．三、解答题(4×10＝40分)13．(2009·武汉2月调研)有10张形状、大小相同的卡片，其中2张上写着数字0,5张上写着数字1，余下3张上写着数字2.从中随机地取出1张，记下它的数字后放回原处．当这种手续重复进行2次时，ξ为所记下的两个数之和．(1)求ξ＝2的概率； (2)求ξ的数学期望．解析：(1)卡片的出现有(0,0)，(0,1)，(1,0)，(0,2)，(2,0)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共9种．而ξ＝2时，出现(0,2)，(2,0)，(1,1)三种，故P (ξ＝2)＝2(210·310)＋(510)2＝37100.(2)同(1)处理方法可求出P (ξ＝0)＝(210)2＝125，P (ξ＝1)＝2(210·510)＝15，P (ξ＝3)＝2(510·310)＝310，P (ξ＝4)＝(310)2＝9100，因此，ξ的数学期望E ξ＝0×125＋1×15＋2×37100＋3×310＋4×9100＝115.14．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为13，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：(1)随机变量ξ的分布列； (2)随机变量ξ的期望．解析：解法一：(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4. 由等可能性事件的概率公式得P (ξ＝0)＝(23)4＝1681，P (ξ＝1)＝C 14·2334＝3281，P (ξ＝2)＝C 24·2434＝827，P (ξ＝3)＝C 34·234＝881，P (ξ＝4)＝(13)4＝181，从而ξ(2)由(1)得ξE ξ＝0×1681＋1×3281＋2×827＋3×881＋4×181＝43.解法二：(1)考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验．故ξ～B (4，13)．即有 P (ξ＝k )＝C k 4(13)k (23)4－k，k ＝0,1,2,3,4.E ξ＝nP ＝4×13＝43.解法三：(2)由对称性与可能性，在三个景点任意一个景点下车的人数同分布，故期望值相等．即3E ξ＝4，从而E ξ＝43.15．因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi (i ＝1,2)表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．(1)写出ξ1，ξ2的分布列；(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？命题意图：本题主要考查随机变量分布列与概率，考查随机变量期望及概率在实际生产或生活中的应用，关键是把实际问题转化为数学概率问题．解析：(1)ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25， ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44， ξ1、ξ2(2)令A 、B P (A )＝0.15＋0.15＝0.3， P (B )＝0.24＋0.08＝0.32，可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大． (3)令η表示方案i所以E η1＝14.75，E η2可见，方案一的预计利润更大．16．(2009·湖南)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．解析：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，k ，j ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13，P (C i )＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η，所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29，P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49，P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是：ξ的数学期望E ξ＝0×27＋1×9＋2×9＋3×27＝2.解法二：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3.故ξ的分布列是：则ξ的数学期望E ξ＝3×23＝2.。