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北师大中考数学总复习《等腰三角形》课件

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初中数学课件-等腰三角形PPT北师大版2

初中数学课件-等腰三角形PPT北师大版2

∠BDA=∠CDA=90°
在Rt△BAD和Rt△CAD中
B
AB=AC ( 已知 )
A DC
AD=AD (公共边)
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
初中数学课件-等腰三角形PPT北师大 版2（精 品课件 ）
初中数学课件-等腰三角形PPT北师大 版2（精 品课件 ）
初中数学课件-等腰三角形PPT北师大 版2（精 品课件 ）
等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合。简称“三线合 一”，前提是在同一个等腰三角形中。 在△ABC中，
AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A__D_ = ∠__C_A__D，_B_D__=C__D__.
B
DC
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三、走进展研
A
1、在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠B=80° ，
则∠C= ___度，∠A=____度？
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
B
C
∵∠B=80° （已知）
∴∠C=80°
又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为
180° ）
∴∠A=180°－ ∠B－∠C
∠A=20°
初中数学课件-等腰三角形PPT北师大 版2（精 品课件 ）
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B DC
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
初中数学课件-等腰三角形PPT北师大 版2（精 品课件 ）
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初中数学课件-等腰三角形PPT精品课件北师大版3

初中数学课件-等腰三角形PPT精品课件北师大版3

则∠ ADB= ∠ ADC=900
在Rt△BAD和△RtCAD中，
AB=AC
B
D
C
AD=AD, ∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
初中数学课件-等腰三角形PPT精品课 件北师 大版3（ 精品课 件）
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12
求证： ∠B= ∠C.
B
D
C
证明： 作顶角的平分线AD. 则∠ 1= ∠ 2 在△BAD和△CAD中，
AB=AC
∠ 1= ∠ 2 ，
AD=AD , ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
初中数学课件-等腰三角形PPT精品课 件北师 大版3（ 精品课 件）
例1 （1）已知：在△ABC中，AB = AC， 并且其中一个角为80°，那么其它角的度 数分别为_____5_0_°__,_5_0_°__或__8_0_°__, _2_0_°__. （2）已知：在△ABC中，AB = AC， 并且其中一个角为100°，那么其它角的 度数分别为___________4_0_°__,_4_0_°_____.
A
求证：∠B=C
分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的
B
C 三角形？
D
初中数学课件-等腰三角形PPT精品课 件北师 大版3（ 精品课 件）
初中数学课件-等腰三角形PPT精品课 件北师 大版3（ 精品课 件）
作顶角的平分线
A 证明：等腰三角形的两个底角相等
已知： △ ABC中，AB=AC.
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).

中考专题复习--等腰三角形中的旋转(课件)-2023-2024学年北师大版数学九年级下册+

中考专题复习--等腰三角形中的旋转(课件)-2023-2024学年北师大版数学九年级下册+
拓展延伸：（3）直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角的度数.
综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转 的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠B=40°，将△ABC从图1 的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D、E分别是点B、C的对 点)，旋转角为α(0<α＜100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别 交BC，AC于点O、N
J
谢谢！
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，“求真” 小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论；
综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转 的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠B=40°，将△ABC从图1 的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D、E分别是点B、C的对 点)，旋转角为α(0<α＜100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别 交BC，AC于点O、N
等腰三角形中的旋转
旋转
旧知回顾：
1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动 一个角度，这样的图形运动称为旋转。定点称为旋转中心。
2.旋转角：转动的角度为旋转角。一般用对应边的夹角来表示。
3.旋转不改变图形的形状和大小，属于全等变换。
如图，点P在等边三角形ABC内，且∠APC=150°， PA=3，PC=4，求PB的长.
数.
C
P
A
B
已知：RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC。
2.如图，点D是BC上的一点（不与B、C重合），连接AD，过点D做 BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE，若∠BAD=α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）。

初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1

初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1

2. 如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°， CE⊥AB 于点 D，且 DE=DC.求证:△CEB 为 等边三角形.
证明：∵CE⊥AB于点D，且DE＝DC， ∴BC＝BE. ∵AC＝BC，∠ACB＝120°， CE⊥AB于点D， ∴∠ECB＝60°. ∴△CEB为等边三角形.
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
在△ABE与△ADC中，
∴△ABE≌△ADC（SAS）. ∴AB＝AD. ∴AB＝BD＝AD，即△ABD是等边三角形.
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
角形.
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
（1）解：∵∠BAC＝60°，∠C＝70°， ∴∠ABC＝180°-∠BAC-∠C =180°°-70°＝50°. ∵BE 平分∠ABC， ∴∠FBD＝ ∠ABC＝25°. ∵AD⊥BC，∴∠BDF＝90°. ∴∠AFB＝∠FBD+∠BDF＝115°.
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1
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B
组
4. 如图，在△ABC 中，∠ABC=2∠C， BC=2AB=2BE，AD 是 BC 边的中线. 求证:△ABD 是等边三角形.
证明：∵BC＝2AB=2BE，AD是BC边的中线， ∴AB＝BD＝CD=BE. ∴∠E＝∠BAE. ∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝2∠E，∠ABC＝2∠C， ∴∠E＝∠C. ∴AE＝AC.
初中数学《等腰三角形》PPT执教课件 北师大版1

初中数学课件-等腰三角形PPT精品课件北师大版4

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从数学的观点去思考，你观察到了什么图形？
北 京 五 塔 寺
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置关系怎样？
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努力
学习
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下列各组数据为边长，可以 构成等腰三角形的是（ B ） （A）1,2,1 （B）2,2,1 （C）2,5,2 （D）1,3,1
成绩
进步
初中数学课件-等腰三角形PPT精品课 件北师 大版4（ 精品课 件）
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若一等腰三角形的腰长是 底边的3倍，周长为35cm,， 则这个等腰三角形各边的 长______ 5,15,15
初中数学课件-等腰三角形PPT精品课 件北师 大版4（ 精品课 件）
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等腰三角形的一边长为4，周 长为20，那么它的腰长是（B ）
（A） 4 （C） 4或8
（B） 8 （D）不能确定
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初中数学《等腰三角形》ppt北师大版3

初中数学《等腰三角形》ppt北师大版3

6. 如图，在△ ABC 中，AB=AC，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，且 BE=CF，BD=CE. （1）求证：△ DEF 是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数.
（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 在△BDE和△CEF中，
∴△BDE≌△CEF（SAS）. ∴DE＝EF.∴△DEF是等腰三角形.
谢谢！
●
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
●
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
●
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
8. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠ABC=
∠ADC.求证：BC=DC.
证明：连接BD，如图. ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABC-∠ABD＝∠ADC-∠ADB， 即∠CBD＝∠CDB. ∴BC＝DC．
二级能力提升练
9. 如图所示，在△ ABC 中，BE 平分∠ABC，
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°， ∴∠ABC＝75°. ∵DE∥BC， ∴∠BDE+∠DBC＝180°. ∴∠BDE＝105°．
10. 如图，给出四个等式：①AB=DC，②BE=CE， ③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE. 请你从这四 个等式中选出两个作为条件，推出△ AED 是 等腰三角形. （要求写出所有符合要求的条 件，并给出其中一种条件下的证明过程）

初中数学《等腰三角形》实用ppt北师大版2

初中数学《等腰三角形》实用ppt北师大版2

∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△BAD和Rt△CAD中
AB=AC ( 已知 )
AD=AD (公共边)
B
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL)
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等)
A DC
思考：
由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以 得到哪些相等的线段和相等的角？你有什么新的发现？
“三等线腰合三一角”形应是该轴对对应称等图腰形三，
角形的它中顶的线角对和平称底分轴不边线是上重，什的合底么高！边？上的B
A
E
D
F
C
小试牛刀
判断正误：
1、等腰三角形的顶角一定是锐角。
（X ）
2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、（ X ）
钝角都可以。
（√ ）
3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。 （ X ）
●
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
活动三：合作探究
推理论证: 等腰三角形的两个底角相等
已知：在△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=C.
如何证明两 个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质 “对应角相等”来证
思考：如何构造两个全等的三角形？
方法一：作底边的高线
等腰三角形的两个底角相等
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 证明：作底边BC的高线AD．
解：∵△BAD≌ △CAD，

初中数学课件-等腰三角形PPT演示北师大版2

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D
C
初中数学课件-等腰三角形PPT演示北 师大版2 （精品 课件）
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【作业设计】
习题13.3 1，2，4，7
初中数学课件-等腰三角形PPT演示北 师大版2 （精品 课件）
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练习1
初中数学课件-等腰三角形PPT演示北 师大版2 （精品 课件）
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定理证明
A
已知：如图，△ABC中，AB=AC。
求证：∠B=∠C
12
证明：作顶角的角平分线AD，
在△BAD和△CAD中，
AB=AC（已知）
∠1=∠2（辅助线作法）
AD=AD（公共边）
例题讲解
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上， 且 BD=BC=AD.求△ABC各角的度数. 解：
∵AB=AC， BD=BC=AD ∴∠ABC=∠C=∠BDC
∠A=∠ABD 设∠A=x,则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x 于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 解得x=36 在△ABC中，∠A=36, ∠ABC=∠C=72
13.3.1等腰三角形
第1课时
复习提问？
1、等腰三角形的定义.
A
2、等腰三角形是不是轴对 称图形?
B
D
探究
如图,把一张长方形的纸按图中 虚线对折,将三角形部分剪下展 开,得到的三角形有什么特点?
概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角

初中数学《等腰三角形》课件北师大版2

初中数学《等腰三角形》课件北师大版2
∠ACE =∠ECB= 1 ACB， 2
E B
DOΒιβλιοθήκη C初中数学《等腰三角形》课件北师大 版2
初中数学《等腰三角形》课件北师大 版2
又∵ △ABC是等腰三角形， ∴ ∠ABC =∠ACB， ∴ ∠DBC =∠ECB， ∴ △OBC是等腰三角形.
A
E
D
O
B
C
初中数学《等腰三角形》课件北师大 版2
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初中数学《等腰三角形》课件北师大 版2
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结论
有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简称“等角对等边”).
初中数学《等腰三角形》课件北师大 版2
初中数学《等腰三角形》课件北师大 版2
结论
由此并且结合三角形内角和定理，还可 以得到等边三角形的判定定理：
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
初中数学《等腰三角形》课件北师大 版2
结束
初中数学《等腰三角形》课件北师大 版2
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
初中数学《等腰三角形》课件北师大 版2
初中数学《等腰三角形》课件北师大 版2
练习
1. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB的平分线相交于点O.
求证：△OBC为等腰三角形.
A
证明 ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ ∠ABD =∠DBC= 1 ABC， 2
初中数学《等腰三角形》课件北师大 版2
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动脑筋
有一个角是60°的等腰三角形是等边 三角形吗？为什么？
初中数学《等腰三角形》课件北师大 版2
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初中数学《等腰三角形》_精品课件-ppt【北师大版】5

初中数学《等腰三角形》_精品课件-ppt【北师大版】5
•等腰三角形
北 京 五 塔 寺
初中数学《等腰三角形》教用课件北 师大版5 -精品 课件ppt (实用 版) 初中数学《等腰三角形》教用课件北 师大版5 -精品 课件ppt (实用 版)
初中数学《等腰三角形》教用课件北 师大版5 -精品 课件ppt (实用 版)
温故而知新
有两边相等的三角形是等腰三角形
初中数学《等腰三角形》教用课件北 师大版5 -精品 课件ppt (实用 版)
B
A
D
C
设问1： △ABC 有什么特点？
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二、折一折
设问2：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称 轴是什么？
B
A
D
C
初中数学《等腰三角形》教用课件北 师大版5 -精品 课件ppt (实用 版)
C 分析：1.如何证明两个角相等？ 2.如何构造两个全等的三角形？
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A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC BD＝CD
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谈谈你的收获！
这节课你又学到 了什么知识？
初中数学《等腰三角形》教用课件北 师大版5 -精品 课件ppt (实用 版)

初中数学《等腰三角形》教用课件北 师大版5 -精品 课件ppt (实用 版)
小结
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上

初中数学《等腰三角形》演示课件北师大版2

初中数学《等腰三角形》演示课件北师大版2

∴△ABE≌△CAD（SAS）.
2. 如图，△ ABC 为等边三角形，P 为 BC 上的 一点，△ APQ 为等边三角形. 求证：AB∥CQ.
证明：∵△ABC和△APQ都是等边三角形， ∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°. ∴∠BAC-∠PAC＝∠PAQ-∠PAC. ∴∠BAP＝∠CAQ. 在△ABP和△ACQ中，
∴△BAD≌△CAE（SAS）. ∴BD＝CE. ∵BD＝BC+CD＝AC+CD，∴CE＝AC+DC.
初中数学《等腰三角形》演示课件北 师大版2
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B
组
4. 如图，AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：
AD=BE.
证明：∵AB＝BC＝AC，CD＝DE＝EC， ∴△ABC与△CDE是等边三角形. ∴∠ACB＝∠DCE＝60°. ∴∠ACB-∠BCD＝∠DCE-∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE. 在△ACD与△BCE中，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）. ∴∠ACQ＝∠B＝∠BAC＝60°. ∴AB∥CQ.
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3. 如图，△ ABC，△ ADE 是等边三角形，B，C， D 在同一直线上. 求证：CE=AC+DC.
证明：∵△ABC，△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD，BC＝AC＝AB， ∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中，
∴△AEC≌△ABD（SAS）. ∴EC＝BD.
初中数学《等腰三角形》演示课件北 师大版2
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（2）求出 BD 和 CE 的夹角大小，若改变△ ABC 的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请 说明理由.

初中数学北师大七年级下册三角形-等腰三角形的性质PPT

初中数学北师大七年级下册三角形-等腰三角形的性质PPT

性质1：等腰三角形两个底角相等(等边对等角) 性质2：等腰三角形底边上的高、中线及顶 角的平分线相互重合，简称“三线合一”。
几何语言：
A
根据等腰三角形性质填空,
在△ABC中， AB=AC，
B
（1） ∵ AB=AC ， ∴∠_B____ = ∠__C___，
DC
(2) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A_D__ = ∠_C__A_D_，_B__D_= _C_D__.
∠BAD ＝ ∠CAD B
D
C
AD＝AD
∠ADB ＝∠ADC =90°
结论：AD既是底边上的高、中线，又 是顶角的平分线.
归纳总结：
由这些重合的线 段和角， 你能 发现 等腰三角形的性 质有哪些?
重合的线段 重合的角
AB＝AC
∠B ＝ ∠C.
BD＝CD ∠BAD ＝ ∠CAD
AD＝AD ∠ADB ＝ ∠ADC
3、能根据等腰三角形的 概念与性质求等腰三角形的 周长或知道一角求其它两角 或证明线段、角相等。
课后思考:
如图，△ABC 中，AB =AC，点D 在AC 上，且BD =BC =AD． 求△ABC 各角的度数．
A
A
40° 70°
55°
B
55°
70° 70°
CB
C
练一练：
1、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,
则它的周长是 10 cm 或 11 cm ；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,
则它的周长是 19 cm 。
已知等腰三角形一边，这一边可能是腰，也可能是底边， 同学们要结合三角形三边的关系加以辨别！
点D在BC上，且∠DAC=50︒.

初中数学课件-等腰三角形ppt北师大版1

初中数学课件-等腰三角形ppt北师大版1

初中数学课件-等腰三角形ppt北师大 版1（精 品课件 ）
初中数学课件-等腰三角形ppt北师大 版1（精 品课件 ）
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 设点 P，Q 的运动时间为 t，则 BP＝3t，CQ＝3t. ∵AB＝10 cm，BC＝8 cm，点 D 为 AB 的中点， ∴BD＝1×10＝5（cm），PC＝（8-3t） cm.
∴AB＝AC＝2x＝16，BC＝22，能构成三角形.
∴AB＝AC＝2x＝20，BC＝14，能构成三角形.
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3. 如图，在△ ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上 的中线，E 是 AC 边上的一点，且∠CBE= ∠CAD. 求证：BE⊥AC.
2. 如图所示，在△ ABC 中，AB=AC，AC 边上的 中线 BD 把△ ABC 的周长分为 24 cm 和 30 cm 两部分，求△ ABC 各边的长.
解：设 AB＝AC＝2x，BC＝y. ∵点 D 是 AC 的中点， ∴AD＝CD＝12AC＝x.
∵AC 边上的中线把三角形的周长分为 24 cm 和 30 cm 的两部分， ∴分两种情况讨论.
第十三章 轴对称
第7课 等腰三角形的性质（2）
A
组
1. 如图，在△ ABC 中，点 D 在 BC 边上，
BD=AD=AC，E 为 CD 的中点. 若∠B=35°，
求∠CAE 度数.
解：∵BD＝AD，∠B＝35°， ∴∠B＝∠BAD＝35°. ∴∠ADC＝2∠B＝70°. ∵AD＝AC，点E是CD中点， ∴AE⊥CD，∠C＝∠ADC＝70°. 又∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°-∠C=90°-70°＝20°.
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初中数学《等腰三角形》完美ppt北师大版1

初中数学《等腰三角形》完美ppt北师大版1
• 练习 • 1题 • 2题 • 3题 • 4题
谈谈你的收获！
小 结
1、等腰三角形的判定定理 的内容是什么？ 2、等腰三角形的判定方法有下列几 种：。 ①定义，②判定定理
3、等腰三角形的判定定理与性质定理 的区别是 条件和结论刚好相反。 。 4、运用等腰三角形的判定定理时， 应注意 在同一个三角形中。
•
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
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7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
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8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
应用格式:
在△ABC中
∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC （等角对等边）
B
A C
5
例2求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
已知： 如图，∠CAE是△ ABC的外角，∠1=∠2，
2
1
解 答
答案：是等腰三角形．因 为，如图可证∠1=∠2．
2
1
练习4
如图，AC和BD相交于点O，且 AB∥DC，OA=OB，求证： OC=OD．

初中数学《等腰三角形》PPT精品教学 北师大版1

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（2）∵AB＝AC，∠A＝x°， ∴∠ABC＝∠C＝ （180°-∠A）＝ （180°-x°）. ∵EA＝EB， ∴∠EBA＝∠A＝x°. ∴∠EBC＝∠ABC-∠EBA ＝ （180°-x°）-x°＝90°- x°.
解：∠1＝∠2. 理由如下. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C. ∴∠1＝∠2.
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3. 如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，∠A=40°， BD 是 AC 边上的高，求∠DBC 的度数.
解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C＝ （180°-∠A）=70°. ∵BD是AC边上的高， ∴∠DBC+∠C＝90°. ∴∠DBC＝90°-∠C=20°.
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解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴∠ABC＝ ×（180°-∠BAC）＝ ×140°＝70°. ∵AB＝BD，∴∠D＝∠BAD. ∵∠ABC＝∠D+∠BAD， ∴∠BAD＝ ∠ABC= ×70°=35°. ∵BE∥AD， ∴∠ABE＝∠BAD＝35°.
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解：（1）∵DE 是线段 AB 的垂直平分线， ∴EA＝EB. ∵△EBC 的周长是 24， ∴BC+EB+EC＝24. ∴BC+EA+EC＝24，即 BC+AC＝24. ∴BC＝24-AC＝24-14＝10.
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图20－1
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
解
析
根据等腰三角形三线合一，确定AD⊥BC.又因
为EF⊥AB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距 离相等可证明结论．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
证明
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
考点聚焦
归类探究
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中考预测
解
析
因为已知长度为4和8两边，没有明确哪条边是
底边哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
①当4为底时，其他两边长都为8，
长为4、8、8的三条线段可以构成三角形，
周长为20；
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归类探究
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解
析
②当4为腰时， ∴不能构成三角形，故舍去． ∴答案只有20.
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要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相 等，而得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边 得两边相等； (2)通过三角形全等得两边相等； (3) 利用 垂直平分线的性质得两边相等．
考点聚焦
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中考预测
探究三 等腰三角形的多解问题 命题角度： 1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底边之分， 角有底角和顶角之分； 2．遇到等腰三角形的高线问题要考虑高在形内和形外两 种情况． 例3 [2013· 毕节] 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为 8，则这个等腰三角形的周长为( C ) A．16 B．20或16 C．20 D．12
考点聚焦
归类探究
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中考预测
综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分 线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可 以灵活的解决内外角的关系．得到结论．
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探究四 等边三角形的判定与性质 命题角度： 等边三角形的判定与性质的综合． 例4 如图20－3，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、 AC上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P. (1)求证：∠ABE＝∠CAD； (2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.
考 点 聚 焦
考点1 定义 等腰三角形的概念与性质 两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两 有____ 边叫腰，第三边为底 轴对 称性 一 等腰三角形是轴对称图形，有____ 条对称轴
性质
定理1 定理2
等腰三角形的两个底角相等(简称为： __________) 等边对等角
等腰三角形顶角的平分线、底边上 的________ 中线 和底边上的高互相重合， 简称“三线合一”
归类探究 回归教材 中考预测
定义
性质
判定 实质 构成
考点聚焦
归 类 探 究
探究一 等腰三角形的性质的运用 命题角度： 1. 等腰三角形的性质； 2. 等腰三角形“三线合一”的性质．
例1 如图20－1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是 BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E， EF⊥AB，垂足为F. 求证：EF＝ED.
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归类探究
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(1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关 系，由两边相等转化为两角相等，是证明两角相等的常 用方法； (2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两 个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据．
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探究二
等腰三角形的判定
命题角度： 等腰三角形的判定． 例2 [2011· 扬州 ]已知：如图20－2，锐角△ABC的两条 高BD、CE相交于点O，且OB＝OC. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
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考点2 定理
等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(简写成： ___________) 等角对等边 (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是 等腰三角形
拓展
(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的 三角形是等腰三角形 (3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合 的三角形是等腰三角形
图20－2
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解
析
(1)利用△BDC≌△CEB 证明∠DCB＝∠EBC；
(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到
∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到角两边的距 离相等，证明结论．
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解
(1)证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
考点3
等边三角形 三边相等的三角形是等边三角形 等边三角形的各角都______ 相等 ，并且每一个 角都等于______ 60° 等边三角形是轴对称图形，有______ 条对 3 称轴 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形
定义
性质
判定
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等 边三角形
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考点聚焦
考点4
线段的垂直平分线 经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这 条线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离________ 相等 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的____________ 垂直平分线 上 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点 ________的所有点的集合 距离相等
∵BD、CE是两条高，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)．
∴∠EBC＝∠DCB, ∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
考点聚焦
归类探究
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中考预测
解
连接AO.
(2)点O在∠BAC的平分线上．理由如下：
∵△BDC≌△CEB， ∴DB＝EC. ∵OB＝OC，∴ OD＝OE. 又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO(HL)． ∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上
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考点聚焦
归类探究
(1)等腰三角形两腰上的高相等
(2)等腰三角形两腰上的中线相等
(3)等腰三角形两底角的平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶 角的一半
拓展
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之 和等于一腰上的高 (7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距 离之差等于一腰上的高