下载文档原格式
高中数学第三章指数函数和对数函数3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点汇总素材北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章指数函数和对数函数3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点汇总素材北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章指数函数和对数函数3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点汇总素材北师大版必修1的全部内容。
3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较一、知识框图二、目标认知学习目标1。
指数函数(1)通过具体实例,了解指数函数模型的实际背景；（2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
2。
对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3。
反函数知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).4.幂函数（1)了解幂函数的概念;(2）结合函数的图象，了解它们的变化情况。
重点指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.难点指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。
第 6 节 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标 ：1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数、以及幂函数增长的差异。
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
重点：对数的运算性质、换底公式及其应用。
认识指数函数、对数函数、以及幂函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长含义。
难点：比较指数函数、对数函数、以及幂函数增长的差异。
预 习 案使用说明&学法指导（紧扣教材）1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，从中了解…，通过自主高效预习，提升自己的阅读理解能力. 2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题. 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”І.相关知识1.复习指数函数(1)x y a a =>、对数函数log (1)x a y a =>、幂函数(0)n y x n =>的图像，并判断在区间()0,+∞上的单调性.II.教材助读见导与练35P 填一填.III.预习自测见导与练35P 练习及课本103P 的练习.我的疑惑 请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决.─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————──————─————─————─————─————─————─————─.探 究 案I.学始于疑——我思考、我收获1.观察表格（教材表3-13中）三个函数的函数值变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现？II.质疑探究——质疑解疑、合作探究（一）基础知识探究探究点一 完成教材表3-13，3-14归纳总结─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————v ─————─————─————─————─————─————─————─.（二）知识综合应用探究探究点一见导与练35P 实例.1.画出函数22,2,log x y x y y x ===在同一坐标系中的图像，探究三种函数在(0,)+∞上的交点个数，且比较22,2,log x x x 的大小.规律方法总结─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————.III.我的知识网络图1.掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质.2.理解三种函数的增长快慢关系.IV.当堂检测1.若32232(),,log 3x x a b x c ===，当x>1时，a,b,c 的大小关系为（）A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b2.函数(1)()log x x a f x a +=+ 在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（） A.14 B. 12C. 2D.4 3.方程(4)3log 3x x +=的实数解的个数是（）A.0B.1C.2D.3我的收获（反思静悟、体验成功）─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─—.训 练 案一、基础巩固题——把简单的事做好就叫不简单！见课本103P 习题3-6第2题二、综合应用题——挑战高手，我能行！见课本109110P - 复习题A 组14题，B 组第5题.三、拓展探究题——战胜自我，成就自我！(根据学生情况制定难度不等的思考、拓展、思考交流题)1.王先生从今天开始每天给你10万元，而你第一天给王先生1元，第二天给王先生2元，第三天给王先生4元，第四天给王先生8元，（1）王先生要和你签订15天的合同，你同意签订这个合同吗？（2）王先生要和你签订30天的合同，你同意签订这个合同吗？ （提示公式：012112222212nn --++++=-）2.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问：你会选择哪种投资方案？。
§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．三维目标1．借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题．3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．思路2.(直接导入)我们知道，对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．推进新课新知探究提出问题①在区间，＋上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性.②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像.③结合函数的图像找出其交点坐标.④请在图像上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.⑤由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数．063图1③从图像看出y＝log2x的图像与另外两函数的图像没有交点，且总在另外两函数的图像的下方，y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．④不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)∪(4，＋∞)．9162536图2容易看出：y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值2x图3一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x 的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.虽然幂函数y＝x n(n＞0)增长快于对数函数y＝log a x(a＞1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．应用示例思路1例1 试利用计算器来计算2500的近似值．活动：学生思考，教师提示，计算这样一个大的数，用计算器无法直接计算．如何计算呢？我们可以充分利用幂的运算性质，再结合计算器的利用来求其近似值．解：第一步，利用科学计算器算出210＝1 024＝1.024×103；第二步，再计算2100，因为2100＝(210)10＝(1.024×103)10＝1.02410×1030，所以，我们只需要用科学计算器算出1．02410≈1.267 7，则2100≈1.267 7×1030；第三步，再计算2500，因为(2100)5≈(1.267 7×1030)5，我们只需要用科学计算器算出1．267 75≈3.274 0，从而算出2500≈3.27×10150.点评：在设计计算方法时，要考虑到科学计算器能计算的位数．如果函数值非常大，我们常常用科学记数法表示，并且根据需要保留一定数目的有效数字．例 2 在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40,80,160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结．解：设N t表示t世代种群的大小，N t＋1表示t＋1世代种群的大小，则N0＝10；N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；….由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：N t＋1＝R0·N t，其中R0为世代净繁殖率．如果种群的R 0速率年复一年地增长，则N 1＝R 0N 0，N 2＝R 0N 1＝R 20N 0，N 3＝R 0N 2＝R 30N 0，…N t ＝R t0N 0.R 0是种群离散增长模型的重要参数，如果R 0＞1，种群上升；R 0＝1，种群稳定；0＜R 0＜1，种群下降；R 0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．思路2例3 一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元，但最低出厂单价不低于51元．(1)一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰为51元？(2)设一次订购量为x 个时，零件的实际出厂价为p 元，写出p ＝f (x )．(3)当销售商一次订购量分别为500,1 000个时，该工厂的利润分别为多少？(一个零件的利润＝实际出厂价－成本)解：(1)设一次订购量为a 个时，零件的实际出厂价恰好为51元，则a ＝100＋60－510.02＝550个．(2)p ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0<x ≤100，62－x 50，100<x <550，其中x ∈N ＋.51，x ≥550，(3)当销售商一次订购量为x 个时，该工厂的利润为y ，则y ＝(p －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ，0<x ≤100，22x －x 250，100<x <550，11x ，x ≥550.其中x ∈N ＋，故当x ＝500时，y ＝6 000；当x ＝1 000时，y ＝11 000.点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x ，y 的等式．例4 甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：图4甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数．(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由．(3)哪一年的规模(即总产量)最大？请说明理由．活动：观察函数图像，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示：先观察图像得出相关数据，利用数据找出函数模型．解：由题意可知，甲图像经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y 甲＝0.2x ＋0.8，乙图像经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34.(1)当x ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y 乙＝－4×2＋34＝26，y 甲·y 乙＝1.2×26＝31.2.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万只．(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万只)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万只)，可见，第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．(3)设当第m 年时的规模总产量为n ，那么n ＝y 甲·y 乙＝(0.2m ＋0.8)(－4m ＋34)＝－0.8m 2＋3.6m ＋27.2＝－0.8(m 2－4.5m －34)＝－0.8(m －2.25)2＋31.25.因此，当m ＝2时，n max ＝31.2，即第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万只．知能训练某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图5(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图5(2)的抛物线段表示．(1)写出图5(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )；写出图5(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(1) (2)图5(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg ，时间单位：天)活动：学生在黑板上书写解答．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正． 解：(1)由图5(1)可得市场售价与时间的函数关系式为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300. 由图5(2)可得种植成本与时间的函数关系式为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t )＝f (t )－g (t )， 即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋27t －1 0252，200<t ≤300.当0≤t ≤200时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以当t ＝50时，h (t )取得区间[0,200]上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100，所以当t ＝300时，h (t )取得区间[200,300]上的最大值87.5.综上，由100＞87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．点评：本题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图像求解析式．②分段函数解析式的求法．③函数应用中的最大值、最小值问题．举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图6(1)、(2)、(3)所示．其中图6(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图6(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图6(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系．图6(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元？分析：1.利用图像求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式．2．在t ∈[0,40]上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段．3．回忆函数最值的求法．解：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40，g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)． (2)每件A 产品销售利润h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，0≤t ≤20，60，20≤t ≤40.该公司的日销售利润F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，0≤t ≤20，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，20≤t ≤30，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240，30≤t ≤40，当0≤t ≤20时，F (t )＝3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，先判断其单调性． 设0≤t 1＜t 2≤20，则F (t 1)－F (t 2)＝3t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 21＋8t 1－3t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 22＋8t 2 ＝－920(t 1＋t 2)(t 1－t 2)2.∴F (t )在[0,20]上为增函数．∴F (t )max ＝F (20)＝6 000＜6 300.当20＜t ≤30时，令60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ＞6 300， 则703＜t ＜30； 当30＜t ≤40时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240＜60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320×302＋240＝6 300. 故在第24,25,26,27,28,29天日销售利润超过6 300万元．点评：1.利用图像求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点．2．在t ∈[0,40]上，有几个分界点，t ＝20，t ＝30两点把区间分为三段．3．二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一．课堂小结本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数的应用．作业习题3—6 1,2.设计感想本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异．接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力；并且重点训练了由图像转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点．本节的每个例题都很精彩，可灵活选用．备课资料[备选例题]某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x 万元，可获得利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元．当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x 万元，可获利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192(60－x )万元．问从10年的累积利润．．．．看，该规划方案是否可行？ 解：在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．则10年的总利润为W 1＝100×10＝1 000(万元)．实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100，知每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元)．前5年的利润和为7958×5＝3 9758(万元)． 设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而用剩下的(60－x )万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1160x －2＋100×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－159160x 2＋1192x ×5＝－5(x －30)2＋4 950. 当x ＝30时，(W 2)max ＝4 950(万元)．从而10年的总利润为3 9758＋4 950(万元)． ∵3 9758＋4 950＞1 000，∴该规划方案有极大实施价值． (设计者：邓新国)。
