高中数学 第二章基本初等函数(Ⅰ)教案 新人教A版必修1

2.1.1 第1课时 根式与分数指数幂的互化一、学习目标1．知识与技能：理解n 次方根概念及n 次方根性质；理解有理数指数幂含义。

2．过程与方法：会求或化简根指数为正整数时的根式；根式与分数指数幂的转换。

3．情感、态度与价值观：通过具体的情景，学会科学思考问题，感受探究未知世界的乐趣，从而培养我们对数学的情感。

二、预习导学：请同学们阅读P 48-51内容，完成下列问题。

1．问题2中生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系P=573021t）（是怎样得出的？ 2．整数指数幂：a ·a ·a …a= （*∈N n ）； a 0=1（a ≠0）；a -n= （a ≠0，*∈N n ）整数指数幂的运算性质： （1）a m·a n= (Z ,∈n m ) （2）（a m）n= (Z ,∈n m )（3）n maa = （Z ,∈n m ，a ≠0）（4）（ab ）m= （Z ∈m ）3．根式的运算性质：（1）当n 为任意正整数时，nn a )(= 。

（2）当n 为奇数时，n n a = ，当n 为偶数时，nn a = = （3）根式的基本性质：npmp a = （a ≥0）4．当a ＞0时，①510a = ；②32a = ；③a = 。

5．正整数的正分数指数幂的意义是：nm a = （其中a ＞0，*N ,∈n m ,且n ＞1）。

6．正数的负分数指数幂的意义是：n ma -= = （其中a ＞0，*N ,∈n m ,且n ＞1）。

预习思考：（1）44100= （2）551.0）（-=（3）66）（y x -= （4）318= （5）3127-= （6）433=三、典例剖析例1 已知x x 21122-=-）（，求实数x 的取值范围。

例2 已知R b a ∈,，则集式22)()(b -a a b b a --=-⋅）（成立的条件是（ ）A ．a ＜bB ．a ≥bC ．a ＝bD ．a ≤b分析：∵b a b a -=-2)(，∴要根据a 与b 的大小关系分类讨论绝对值求解。

4.2.1 指数函数及其图像与性质【教学目标】1.知识与技能目标：使学生理解指数函数的定义、图象及性质，培养学生正确使用几何画板工具。

2.过程与方法目标：在实验活动过程中引领学生主动探索指数函数性质，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会学习数学规律的方法。

3.情感态度与价值观：让学生感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维及数学图形的和谐美。

【教学重、难点】教学重点：理解指数函数的定义、图象及性质。

教学难点：指数函数性质的归纳与运用。

【教学方法】我校汽修专业的学生数学基础比较薄弱，学生对数学普遍不感兴趣。

本节课概念性比较强，而且突出数学图形的运用，这恰是学生学习的弱项，但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心，动手能力、观察能力比较强。

因此本节课主要采用数学实验教学活动的方法，通过结合计算机软件工具，让学生在实验活动过程中来去体验、感悟知识，让学习成为一种愉悦的主动认知过程，切实做到将数学课堂还给学生。

【教学过程】1.流程（1）教学流程：（2）学生认知流程：2.教学过程设计三、深入探究、引导发现（2）动眼观察，产生猜想：展示学生制作的6个函数图像（图1，分开独立的6个图像；图2，将它们放在同一坐标系下），让他们观察这6个指数函数图像有何共同的特征：图1图2思考：能将他们分分类吗？这个图象特征与底数a是否存在关系？引导学生大胆猜测：指数函数的图象按底数分成两类。

教师：让学生自由发挥，说说他们观察到的有共性的图像特征。

学生：容易发现：①都过点（0，1）；②图像都在x轴上方；③有的图像呈上升趋势；有的图像呈下降趋势。

教师：引导学生去观察图像呈上升或下降这一图像特征与它们的底数存在的关系。

学生:发现呈上升趋势的3个图象，底数都大于1；呈下降趋势的3个图象，底数都大于0小于1；从而对“指数函数图像形按底数分成两类”形成初步的认识。

教师：引导学生一起观察发现：底数大于1的三个函数，虽然它们的弯曲程度不同，但是都呈上升的趋势；底数大于0小于1的三个函数也类似，形成“指数函数的图象按底数分成两类，即底数大于1的指数函数图像呈上升趋势，底数大于0且小于1的指数函数图像呈下降的趋势”这一猜想。

【三维设计】高中数学第二章基本初等函数（I）学案新人教A版必修12.1指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算第一课时根式[提出问题](1)若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3；(2)若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4；(3)若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3；(4)若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2.问题1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示：是．问题2：一个数的奇次方根有几个？提示：1个．问题3：由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念(1)a的n次方根定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：n 为偶数±na[0，＋∞)(3)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． [化解疑难]根式记号的注意点(1)根式的概念中要求n >1，且n ∈N *.(2)当n 为大于1的奇数时，a 的n 次方根表示为na (a ∈R )；当n 为大于1的偶数时，na (a ≥0)表示a 在实数范围内的一个n 次方根，另一个是－n a ，从而⎝⎛⎭⎫±n a n ＝a .根式的性质[提出问题] 问题1：⎝⎛⎭⎫323，⎝⎛⎭⎫3－23，⎝⎛⎭⎫424分别等于多少？提示：2，－2,2.问题2：3－23，323， 4－24，424分别等于多少？提示：－2,2,2,2.问题3：等式a 2＝a 及(a )2＝a 恒成立吗？提示：当a ≥0时，两式恒成立；当a <0时，a 2＝－a ，(a )2无意义． [导入新知]根式的性质(1)(na )n＝a (n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，且n >1)． (2)nan＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 为奇数，且n >1，|a |n 为偶数，且n >1.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根． [化解疑难](na )n与na n的区别(1)当n 为奇数，且a ∈R 时，有na n＝(na )n＝a ； (2)当n 为偶数，且a ≥0时，有na n＝(na )n＝a .根式的概念[例1] (1)下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中说法正确的序号为________．(2)若31a －3有意义，则实数a 的取值范围是________． [解析] (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.(2)要使31a －3有意义，则a －3≠0，即a ≠3. ∴a 的取值范围是{a |a ≠3}． [答案] (1)③④ (2){a |a ≠3} [类题通法]判断关于n 次方根的结论应关注两点(1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数；(2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号． [活学活用]已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102B ．－102 C.210D ．±102解析：选D ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根． 又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m ＝±102.[例2] 化简： (1)nx －πn(x <π，n ∈N *)；(2)4a 2－4a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≤12.[解] (1)∵x <π，∴x －π<0， 当n 为偶数时，n x －πn＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，nx －πn＝x －π.综上，nx －πn＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ， n 为偶数，n ∈N *，x －π， n 为奇数，n ∈N *.(2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0.∴4a 2－4a ＋1＝2a －12＝|2a －1|＝1－2a .[类题通法]根式化简应注意的问题(1)⎝⎛⎭⎫n a n已暗含了n a 有意义，据n 的奇偶性不同可知a 的取值范围．(2)na n中的a 可以是全体实数，na n的值取决于n 的奇偶性． [活学活用] 求下列各式的值： (1)8x －28；(2)3－22＋(31－2)3.解：(1)8x －28＝|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.(2)因为3－22＝12－22＋(2)2＝(2－1)2， 所以3－22＋(31－2)3＝2－12＋1－2＝2－1＋1－2＝0.条件根式的化简[例3] (1)若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x ≥0，y ≥0D ．x <0，y <0(2)设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． (1)[解析] ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ， ∴xy ≤0.又∵xy ≠0，∴xy <0，故选B. [答案] B (2)[解] 原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2. 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2－3<x <1，－41≤x ＜3.[类题通法]有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[活学活用]若n <m <0，则m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( ) A ．2m B ．2n C ．－2mD ．－2n解析：选C 原式＝m ＋n2－m －n2＝|m ＋n |－|m －n |，∵n <m <0，∴m ＋n <0，m －n >0， ∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－2m .5.忽略n的范围导致式子na n a∈R化简出错[典例] 化简31＋23＋41－24＝________.[解析] 31＋23＋41－24＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝2 2.[答案] 2 2[易错防范]1．本题易忽视41－24>0，而误认为41－24＝1－2而导致解题错误．2．对于根式na n的化简一定要注意n为正奇数还是正偶数，因为na n＝a(a∈R)成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶数，那么na n＝|a|.[活学活用]当a，b∈R时，下列各式恒成立的是( )A．(4a－4b)4＝a－bB．(4a＋b)4＝a＋bC.4a4－4b4＝a－bD.4a＋b4＝a＋b解析：选B 当且仅当a＝b≥0时，(4a－4b)4＝a－b；当且仅当a≥0，b≥0时，4a4－4b4＝a－b；当且仅当a＋b≥0时，4a＋b4＝a＋b.由于a，b符号未知，因此选项A，C，D均不一定恒成立．选项B中，由4a＋b可知a＋b≥0，所以(4a＋b)4＝a＋b.故选B.[随堂即时演练]1．化简1－2x2⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12的结果是( ) A ．1－2x B ．0 C ．2x －1 D ．(1－2x )2解析：选C ∵1－2x2＝|1－2x |，x >12，∴1－2x <0， ∴1－2x2＝2x －1.2．下列式子中成立的是( ) A ．a －a ＝－a 3B ．a －a ＝－a 3C ．a －a ＝－－a 3D ．a －a ＝a 3解析：选C 要使a －a 有意义，则a ≤0， 故a －a ＝－(－a )－a ＝－－a2－a ＝－－a 3，故选C.3．若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________. 解析：x 2－6x ＋9－|2－x |＝x －32－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1.答案：－1 4．化简(a －1)2＋1－a2＋31－a3＝________.解析：由根式a －1有意义可得a －1≥0，即a ≥1， ∴原式＝(a －1)＋(a －1)＋(1－a )＝a －1. 答案：a －15．已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简na －bn＋na ＋bn.解：∵a <b <0，∴a －b <0，a ＋b <0.当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ； 当n 是偶数时，原式＝|a －b |＋|a ＋b | ＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . ∴na －bn＋na ＋bn＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n 为奇数，－2a ，n 为偶数.[课时达标检测]一、选择题1.4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≠2 B ．a ≥2C ．a ≠4D ．2≤a ＜4或a ＞4解析：选D 要使原式有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －4≠0，即a ≥2且a ≠4.2.3－63＋45－44＋35－43的值为( ) A ．－6 B ．25－2 C ．2 5D ．6解析：选A 3－63＝－6，45－44＝|5－4|＝4－5， 35－43＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 3．化简x ＋32－3x －33得( ) A ．6 B ．2xC ．6或－2xD ．6或2x 或－2x解析：选C 注意开偶次方根要加绝对值，x ＋32－3x －33＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x ≥－3，－2x ，x <－3，故选C.4.7＋43＋7－43等于( ) A ．－4B ．2 3C ．－2 3D ．4解析：选D7＋43＋7－43＝2＋32＋2－32＝(2＋3)＋(2－3)＝4.5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋0.1的图象如图所示，则4a －b4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a解析：选D 由图象知a (－1)2＋b ×(－1)＋0.1<0，∴a <b ，∴4a －b4＝|a －b |＝b －a .二、填空题6．设m <0，则(－m )2＝________. 解析：∵m <0，∴－m >0，∴(－m )2＝－m . 答案：－m7．若x 2－8x ＋16＝x －4，则实数x 的取值范围是________． 解析：∵x 2－8x ＋16＝x －42＝|x －4|又x 2－8x ＋16＝x －4， ∴|x －4|＝x －4，∴x ≥4. 答案：x ≥48．设f (x )＝x 2－4，若0＜a ≤1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝________.解析：f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋1a2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ， 由于0＜a ≤1，所以a ≤1a，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝1a－a .答案：1a－a9．写出使下列等式成立的x 的取值范围：(1)3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －33＝1x －3； (2)x －5x 2－25＝(5－x )x ＋5.解：(1)要使3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －33＝1x －3成立，只需x －3≠0即可， 即x ≠3. (2)x －5x 2－25＝x －52x ＋5.要使x －52x ＋5＝(5－x )x ＋5成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，即－5≤x ≤5.10．化简(a－1)2＋1－a2＋7a－17.解：由题意可知a－1有意义，∴a≥1.∴原式＝(a－1)＋|1－a|＋(a－1)＝a－1＋a－1＋a－1＝3a－3.第二课时指数幂及运算分数指数幂的意义[提出问题]问题1：判断下列运算是否正确．(1) 5a10＝5a25＝a2＝a4105(a>0)；(2)3a12＝3a43＝a4＝a123(a>0)．提示：正确．问题2：能否把4a3，3b2，4c5写成下列形式：4a3＝a 34(a>0)；3b2＝b 23(b>0)；4c5＝c 54(c>0)．提示：能．[导入新知]分数指数幂的意义(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)规定正mn数的负分数指数幂的意义是：amn＝1anm)＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．[化解疑难]对分数指数幂的理解(1)指数幂a m n 不可以理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新写法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；(2)通常规定分数指数幂的底数a >0，但要注意在像(－a )14＝4－a 中的a ，则需要a ≤0.有理指数幂的运算性质[导入新知]有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r·b r(a >0，b >0，r ∈Q )． [化解疑难]有理指数幂的运算性质的理解与巧记(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积．(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．根式与分数指数幂的互化[例1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝(－x )12(x >0) B.6y 2＝y 13(y <0) C ．x34＝41x3(x >0)D ．x13－＝－3x (x ≠0)(2)用分数指数幂的形式表示下列各式． ①a 2·a (a >0)； ②a a (a >0)；③⎝⎛⎭⎪⎫4b －2323- (b >0)；④y 2xx 3y 3y 6x 3(x >0，y >0)． (1)[解析] －x ＝－x 12(x >0)； 6y 2＝[(y )2] 16＝－y 13(y <0)；x 34-＝(x －3) 14＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0)； x13-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 13＝31x (x ≠0)． [答案] C(2)[解] ①a 2·a ＝a 2·a 12＝a 2＋12＝a 52. ② a a ＝a ·a 12＝ a 32＝⎝⎛⎭⎫a 3212＝a 32.③原式＝⎣⎡⎦⎤()b 23-1423-＝b212343⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭＝b 19. ④法一：从外向里化为分数指数幂．y 2xx 3y 3y 6x 3＝⎝⎛⎭⎪⎫y 2xx 3y3y 6x 312＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3y 3y 6x 31212 ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y 2x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3 1212 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3y 14·⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3112＝y x12·x 34y14·y 12x14＝x 34·y 23x 34·y14＝y 54.法二：从里向外化为分数指数幂．y 2xx 3y 3y 6x 3＝y 2xx 3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3 13＝y 2x x 3y ·y 2x＝y 2xx 2·y 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y2x ·xy 1212＝y 54.[类题通法]根式与分数指数幂的互化技巧(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：amn＝na m和am n-＝1am n＝1na m，其中字母a 要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．[活学活用]将下列根式化为分数指数幂的形式： (1) 1a1a(a >0)；(2)13x ·5x 22(x >0)； (3) ab3ab 5(a >0，b >0)．解：(1)原式＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 34＝a 34-. (2)原式＝13x ·⎝⎛⎭⎫x 252＝13x ·x 45＝13x95＝1⎝⎛⎭⎫x 9513＝1x35＝x35-.(3)原式＝[ab 3(ab 5) 12]12＝[a ·a 12b 3(b 5) 12]12＝⎝⎛⎭⎫a 32b11212＝a 34b 114.指数幂的运算[例2] 计算下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫21412-－0.010.5； (2)0.06413-－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] 43-＋16－0.75； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14 12-·4ab －130.1－2a 3b －312(a >0，b >0)．[解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝412·432100·a 32·a 32－·b 32－·b 32＝425a 0b 0＝425.[类题通法]利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． [活学活用] 计算下列各式的值： (1)0.02713－－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－()2－10； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫8125 13－－⎝ ⎛⎭⎪⎫－350＋160.75＋0.2512； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＋3＋23－2－1.030×⎝ ⎛⎭⎪⎫－623. 解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 00013－－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝52－1＋1634＋0.5＝52－1＋8＋0.5＝10.(3)原式＝42＋3＋223－2－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫32 123＝16＋5＋26＋346＝21＋114 6.4.含附加条件的幂的求值问题[典例] (12分)已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，求： (1)x 12＋y 12； (2)x 12－y 12； (3)x －y . [解题流程]求x 12＋y 12，x 12－y 12，x－y 的值，应建立其与x ＋y 及xy 的关系后求解1将x12＋y12，x12－y12平方后即可建立其与x ＋y 及xy 的关系；,2可利用平方差公式将x －y 分解成x 12＋y 12x 12－y12求解x 12＋y122＝x ＋y ＋2xy↓x 12－y122＝x ＋y －2xy↓ (x －y ＝x122－y122＝x 12＋y122＝x 12＋y12x 12－y12[规范解答](1)⎝⎛⎭⎫x 12＋y 122＝x ＋y ＋2xy ＝18，(2分) ∴x 12＋y 12＝3 2.(4分)(2)⎝⎛⎭⎫x 12－y 122＝x ＋y －2xy ＝6，(6分)又x <y ，∴x 12－y 12＝－ 6.(8分)(3)x －y ＝⎝⎛⎭⎫x 122－⎝⎛⎭⎫y 122＝⎝⎛⎭⎫x 12＋y 12⎝⎛⎭⎫x 12-y 12 (10分)＝32×(－6)＝－3×212×212×312＝－6 3.(12分)[名师批注]由x 与x 12，y 与y 12都具有平方关系，故可先求⎝⎛⎭⎫x 12＋y 122，然后求x 12＋y 12的值，解题时常因找不到此关系而使问题不能得以正确求解.易忽视条件x <y ，而得出错误答案.此处巧妙利用了12的结论使问题得以解决.[活学活用]已知a ＋a －1＝5，求下列各式的值； (1)a 2＋a －2； (2)a 12－a12-.解：(1)法一：由a ＋a －1＝5两边平方得：a 2＋2aa －1＋a －2＝25，即：a 2＋a －2＝23；法二：a 2＋a －2＝a 2＋2aa －1＋a －2－2aa －1＝(a ＋a －1)2－2＝25－2＝23；(2)∵(a 12－a 12-)2＝a ＋a －1－2＝5－2＝3，∴|a 12－a12-|＝ 3.∴a 12－a 12-＝± 3.[随堂即时演练]1．若2<a <3，化简2－a2＋43－a4的结果是( )A ．5－2aB ．2a －5C ．1D ．－1解析：选C 由于2<a <3， 所以2－a <0,3－a >0， 所以原式＝a －2＋3－a ＝1. 2．(－2a 13b34-·(－a 12b13-)6÷(－3a 23b14-)等于( )A.23a 83b 52- B ．－23a 83C ．－23a 16b 56-D.23a 16b 52- 解析：选 A 原式＝(－2)×(－1)6÷(－3)·(a 13b34-)·(a 3·b －2)÷(a 23b14-)＝23a12+333－b312_44⎛⎫⎪⎝⎭－－=23a 83b 52-注意符号不能弄错． 3．若10x＝3,10y＝4，则102x －y＝________.解析：∵10x＝3，∴102x＝9， ∴102x －y＝102x10y ＝94. 答案：944．化简3a a 的结果是________．解析： 3a a ＝()a a 13＝⎝⎛⎭⎫a ·a 1213＝⎝⎛⎭⎫a 3213＝a 12.答案：a 125．计算(或化简)下列各式：(1)42＋1·23－22·6423－；(2)a －ba 12＋b12－a ＋b －2a 12·b12a 12－b12.解：(1)原式＝(22)2＋1·23－22·(26)23－＝222＋2·23－22·2－4＝222＋2＋3－22－4＝21＝2.(2)原式＝a 12＋b12a 12－b12a 12＋b12－a 12－b 122a 12－b12＝a 12－b 12－⎝⎛⎭⎫a 12－b 12＝0.[课时达标检测]一、选择题 1.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710解析：选D 原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710.2．化简[3－52]34的结果为( ) A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5解析：选B [3－52]34＝[(－5)23]34＝512＝ 5. 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫27823的值为( ) A ．－13B.13C.43D.73解析：选D 原式＝1－(1－22)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D.4．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2解析：选D ∵a >1，b >0，∴a b>a －b，(a b－a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4， ∴a b －a －b＝2.5．设x ，y 是正数，且x y ＝y x，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.19 B.43 C ．1D.39解析：选B x 9x＝(9x )x，(x 9)x＝(9x )x， ∴x 9＝9x .∴x 8＝9.∴x ＝89＝43. 二、填空题6．化简a 3b 23ab 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 14b 1243b a (a >0，b >0)的结果是________．解析：原式＝a 3·b 2·a 13·b2312a ·b 2·a －13·b13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab.答案：ab7．已知x ＝12(51n －5－1n )，n ∈N *，则(x ＋1＋x 2)n的值为________．解析：因为1＋x 2＝14(52n ＋2＋5－2n )＝14(51n ＋5－1n )2，所以(x ＋1＋x 2)n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1251n －5－1n ＋1251n ＋5－1n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫51n n ＝5.答案：58．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m 等于________． 解析：∵a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，∴a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2.由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0，解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． ∴m 14＝2，m ＝24＝16. 答案：16 三、解答题 9．化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (4)23a ÷46a ·b ×3b 3.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝(－1)－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (3)原式＝－4a－2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c .(4)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 13－16b －16·3b 32＝32a 16b 43. 10．已知a ＝3，求11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a 的值．解：11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 14＋21＋a 12＋41＋a＝21－a 12＋21＋a12＋41＋a ＝41－a121＋a12＋41＋a＝41－a ＋41＋a ＝81－a2＝－1. 2．1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数及其性质指数函数的定义[提出问题]观察下列从数集A 到数集B 的对应： ①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝2x；②A ＝R ，B ＝(0，＋∞)，f ：x →y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.问题1：这两个对应能构成函数吗？ 提示：能．问题2：这两个函数有什么特点？ 提示：底数是常数，指数是自变量． [导入新知]指数函数的定义函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . [化解疑难]指数函数的概念中规定a >0且a ≠1的原因(1)若a ＝0，则当x >0时，a x＝0；当x ≤0时，a x无意义．(2)若a <0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义．如(－2)x，这时对于x ＝14，x ＝12，…，在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任何x ∈R ，a x＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0，且a≠1.在规定以后，对于任何x∈R，a x都有意义，且a x>0.[提出问题]问题1：试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝(12)x(x∈R)的图象．提示：问题2：两函数图象有无交点？提示：有交点，其坐标为(0,1)．问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？提示：定义域都是R；值域都是(0，＋∞)；函数y＝2x是增函数，函数y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x是减函数．[导入新知]指数函数的图象和性质R[化解疑难]透析指数函数的图象与性质(1)当底数a 大小不确定时，必须分a >1和0<a <1两种情况讨论函数的图象和性质． (2)当a >1时，x 的值越小，函数的图象越接近x 轴；当0<a <1时，x 的值越大，函数的图象越接近x 轴．(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在第一、二象限．指数函数的概念[例1] (1)①y ＝2·3x；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3.其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)函数y ＝(a －2)2a x是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析] (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，y ＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x一项，故③是指数函数； ④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.[答案] (1)B (2)C [类题通法]判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数a >0，且a ≠1. (2)a x的系数为1.(3)y ＝a x 中“a 是常数”，x 为自变量，自变量在指数位置上． [活学活用]下列函数中是指数函数的是________(填序号)． ①y ＝2·(2)x；②y ＝2x －1；③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ；④y ＝x x；⑤y ＝3－1x ；⑥y ＝x 13.解析：①中指数式(2)x的系数不为1，故不是指数函数；②中y ＝2x －1＝12·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：③[例2] (1)xa ，b ，c ，d 与1的大小关系为( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c (2)函数y ＝ax －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点________．[解析] (1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x ＝1，如图所示，在第一象限内直线x ＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1<d <c ，b <a <1，从而可知a ，b ，c ，d 与1的大小关系为b <a <1<d <c .(2)法一：因为指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x ＝3，得y ＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．法二：将原函数变形，得y －3＝ax －3，然后把y －3看作是(x －3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y －3＝1，即x ＝3，y ＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．[答案] (1)B (2)(3,4) [类题通法]底数a 对函数图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x>1； ②若x <0，则1>b x>a x>0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x>b x >0； ②若x <0，则b x>a x >1. [活学活用]若函数y ＝a x＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象不经过第二象限，则有( ) A ．a >1且b <1 B ．0<a <1且b ≤1 C ．0<a <1且b >0D ．a >1且b ≤0解析：选D 由指数函数图象的特征可知0<a <1时，函数y ＝a x＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象必经过第二象限，故排除选项B 、C.又函数y ＝a x＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象不经过第二象限，则其图象与y 轴的交点不在x 轴上方，所以当x ＝0时，y ＝a 0＋(b －1)≤0，即b ≤0，故选项D 正确.与指数函数有关的定义域、值域问题[例(1)y ＝1－3x；(2)y ＝21x －4；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |.[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30， 因为函数y ＝3x在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x＜1，所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4，所以函数y ＝21x －4的定义域为{x ∈R |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4≠1，即函数y ＝21x －4的值域为{y |y >0且y ≠1}． (3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的定义域为{x |x＝0}．而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，则函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}．[类题通法]指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y ＝a x 型还是y ＝a f (x )型，前者的定义域是R ，后者的定义域与f (x )的定义域一致，而求y ＝f ax型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．[活学活用]求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域和值域．解：定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．5.利用换元法求函数的值域[典例] (12分)已知函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，且a ≠1)，当x ≥0时，求函数f (x )的值域．[解题流程]求函数f x 的值域，应确定函数的类型1若令t ＝a x ，则原函数可变为y ＝t 2＋2t －1，从而可利用二次函数的有关性质解决；2应明确换元后的定义域；3由于t ＝a xa >0，a ≠1，因此应分类确定t 的取值范围令t ＝a x―→分a >1和0<a <1两种情况，讨论t 的范围―→利用二次函数的知识求值域[随堂即时演练]1．已知1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x，②y ＝n x的图象为( )解析：选C 由于0<m <n <1，所以y ＝m x与y ＝n x都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.2．若函数y ＝(1－2a )x是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B ．(－∞，0)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12解析：选B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0.3．指数函数y ＝f (x )的图象过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________. 解析：设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)， 又f (2)＝a 2＝4，∴f (2)·f (4)＝a 2·a 4＝4·42＝43＝64. 答案：644．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．解析：∵－1≤x ≤2，∴19≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤3.∴－89≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1≤2.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2 5．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． 解：(1)因为函数图象过点(2，12)，所以a2－1＝12，则a ＝12. (2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1， 于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0,2]．[课时达标检测]一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝(12)x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝(12)2x －1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝(3－1)x在R 上是( ) A ．增函数 B ．奇函数 C ．偶函数D ．减函数解析：选D 由于0<3－1<1，所以函数y ＝(3－1)x在R 上是减函数，f (－1)＝(3－1)－1＝3＋12，f (1)＝3－1，则f (－1)≠f (1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数y ＝(3－1)x 不具有奇偶性．3．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |< 2 B ．|a |<1 C ．|a |>1D ．|a |> 2解析：选D 依题意得a 2－1>1，a 2>2，∴|a |> 2.4．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )解析：选D 当x >0时，y ＝a x(0<a <1)，故去掉A 、B ，当x <0时，y ＝－a x，与y ＝a x(0<a <1，x <0)的图象关于x 轴对称，故选D.5．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限 解析：选A ∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．二、填空题6．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≥3，f x ＋1， x ＜3，则f (2)＝________.解析：f (2)＝f (3)＝23＝8. 答案：87.图中的曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数y ＝a x的图象，而a ∈{23，13，5，π}，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y 轴右侧，底大图高，在y 轴左侧，底大图低．则知C 2的底数<C 1的底数<1<C 4的底数<C 3的底数，而13<23<5<π，故C 1，C 2，C 3，C 4对应函数的底数依次是23，13，π， 5. 答案：23 13π 58．若x 1，x 2是方程2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1x ＋1的两个实数解，则x 1＋x 2＝________.解析：∵2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1x＋1，∴2x＝21x －1，∴x ＝1x－1，∴x 2＋x －1＝0. ∴x 1＋x 2＝－1. 答案：－1 三、解答题9．画出函数y ＝2|x |的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间． 解：当x ≥0时，y ＝2|x |＝2x ；当x <0时，y ＝2|x |＝2－x ＝(12)x .∴函数y ＝2|x |的图象如图所示，由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)． 10．如果函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值． 解：函数y ＝a 2x＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，x ∈[－1,1]．若a >1，则x ＝1时，函数取最大值a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3.若0<a <1，则x ＝－1时，函数取最大值a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13.综上所述，a ＝3或13.第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课)1．指数函数的定义是什么？2．指数函数的定义域和值域分别是什么？3．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)图象的位置与底数a 之间有什么关系？4．指数函数的单调性与底数之间有什么关系？利用指数函数的单调性比较大小[例1] (1)已知a ＝5－1，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．(2)比较下列各题中两个值的大小：①⎝ ⎛⎭⎪⎫57－1.8，⎝ ⎛⎭⎪⎫57－2.5；②⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0.5，⎝ ⎛⎭⎪⎫34－0.5；③0.20.3,0.30.2. (1)[解析] 因为a ＝5－12∈(0,1)，所以函数f (x )＝a x在R 上是减函数．由f (m )>f (n )得m <n .[答案] m <n(2)[解] ①因为0<57<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫57x在其定义域R 上单调递减，又－1.8>－2.5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫57－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫57－2.5.②在同一平面直角坐标系中画出指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x的图象，如图所示．当x ＝－0.5时，由图象观察可得⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫34－0.5.③因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y ＝0.2x 与y ＝0.3x在定义域R 上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y ＝0.2x 的图象在函数y ＝0.3x 的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.又根据指数函数y ＝0.2x 的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2. [类题通法]三类指数式的大小比较问题(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较a c 与b d 的大小，可取a d 为中间量，a c 与a d 利用函数的单调性比较大小，b d 与a d利用函数的图象比较大小．[活学活用]比较下列各题中两个值的大小： (1)3－1.8,3－2.5；(2)7－0.5,8－0.5；(3)6－0.8,70.7.解：(1)因为3>1，所以函数y ＝3x在定义域R 上单调递增，又－1.8>－2.5，所以3－1.8>3－2.5.(2)依据指数函数中底数a 对函数图象的影响，画出函数y ＝7x与y ＝8x的图象(图略)，可得7－0.5>8－0.5.(3)因为1<6<7，所以指数函数y ＝6x与函数y ＝7x在定义域R 上是增函数，且6－0.8<1,70.7>1，所以6－0.8<70.7.[例2] (1)x 0.5(2)已知0.2x<25，求实数x 的取值范围．[解] (1)因为3>1，所以指数函数f (x )＝3x在R 上是增函数． 由3x≥30.5，可得x ≥0.5，即x 的取值范围为[0.5，＋∞)． (2)因为0<0.2<1，所以指数函数f (x )＝0.2x在R 上是减函数．又25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－2＝0.2－2，所以0.2x <0.2－2，则x >－2，即x 的取值范围为(－2，＋∞)． [类题通法]解指数不等式应注意的问题(1)形如a x>a b的不等式，借助于函数y ＝a x的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如a x>b 的不等式，注意将b 转化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助于函数y ＝a x的单调性求解．[活学活用] 如果a－5x>ax ＋7(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．解：①当a >1时，∵a －5x>ax ＋7，∴－5x >x ＋7，解得x <－76.②当0<a <1时，∵a－5x>ax ＋7，∴－5x <x ＋7解得x >－76.综上所述，当a >1时，x ∈(－∞，－76)；当0<a <1时，x ∈(－76，＋∞).指数函数性质的综合应用[例3] 已知函数f (x )＝2x＋2ax ＋b，且f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并求f (x )的值域．[解] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧f1＝52，f2＝174，∴根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧f1＝2＋2a ＋b＝52，f2＝22＋22a ＋b＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.故a ，b 的值分别为－1,0.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋2－x，f (x )的定义域为R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝2－x＋2x＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)设任意x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1＋2－x 1)－(2x 2＋2－x 2)＝(2x 1－2x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(2x 1－2x 2)·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2.因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋x 2>1，所以2x 1＋x 2－1>0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数．当x ＝0时，函数取得最小值，为f (0)＝1＋1＝2，所以f (x )的值域为[2，＋∞)． [类题通法]解决指数函数性质的综合问题应关注两点(1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．[活学活用]已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求证：f (x )是奇函数；(2)用单调性的定义证明：f (x )在R 上是增函数．证明：(1)f (x )的定义域是R ，对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝2－x－12－x ＋1＝2－x－1·2x2－x ＋1·2x ＝1－2x1＋2x ＝－2x－12x＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)f (x )＝2x－12x ＋1＝2x＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1(可以不分离常数，但分离常数后计算较简单)．设x 1，x 2是R 上的任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1－22x 1＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1. 因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1＋1>1,2x 2＋1>1，所以2x 1－2x 2<0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．6.警惕底数a 对指数函数单调性的影响[典例] 若指数函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为________．[解析] 当0<a <1时，f (x )＝a x为减函数，最小值为a 2，最大值为a ，故a ＝2a 2，解得a ＝12.当a >1时，f (x )＝a x为增函数，最小值为a ，最大值为a 2.故a 2＝2a ，解得a ＝2. 综上，a ＝12或a ＝2.[答案] 12或2[易错防范]1．解决上题易忽视对a 的讨论，错认为a 2＝2a ，从而导致得出a ＝2的错误答案． 2．求函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在闭区间[s ，t ]上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s ，t ]上的增函数，最小值为a s，最大值为a t .当底数大于0小于1时，指数函数为[s ，t ]上的减函数，最大值为a s ，最小值为a t .[活学活用]f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a ＝________.解析：由于a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上是单调函数，故其最大值与最小值之和为a 2＋a ＝6，解得a ＝－3(舍去)，或a ＝2，所以a ＝2.答案：2[随堂即时演练]1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选D 不等式2x ＋1<1＝20，∵y ＝2x是增函数，∴x ＋1<0，即x <－1.2．已知三个数a ＝60.7，b ＝0.70.8，c ＝0.80.7，则三个数的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．a >c >b解析：选D a ＝60.7>60＝1，c ＝0.80.7>0.70.7>0.70.8＝b ，且c ＝0.80.7<0.80＝1，所以a >c >b . 3．不等式2x<22－3x的解集是________．解析：由2x <22－3x得x <2－3x ，即x <12，解集为{x |x <12}．答案：{x |x <12}4．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为。

对数函数图像及其性质的应用一、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）必修》（人教A版）第二章第一节第二课（）“对数函数及其性质”。

依据课时安排和学生的实际情况，我将“对数函数及其性质”分为两节课（探究图象及其性质；函数及其性质的综合应用），这节课是主要是“探究对数函数图象及其性质”。

对数函数是继指数函数又一重要的基本初等函数，对数函数的学习对第二章初等函数的学习起到承前启后的作用。

二、学情分析指数函数是学生在学习了函数的概念和性质（单调性和奇偶性等）的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的在再次次应用。

本节课设计两个简单的实际问题（实际上是前面讲指数的两个实际问题），通过所学的指对式互化来引出这节课的主要内容.我所教的学生基础比较差，要注重学生的动手能力，通过作图来感观对数函数。

三、设计思路1.函数及其图象是高中数学的重要知识，要让学生掌握好，就要将抽象的符号语言与直观的图象语言结合起来，通过设计一些问题让学生思考，主动参与探究过程。

本节课，通过问题引入的方式试图让学生从不同的角度去研究函数，总结出研究方法，将其应用到其他函数的研究中去。

2.结合“以教师为主导，以学生为主体”的教育理念，根据本校“431”课堂结构模式，在本课的教学过程中，通过学生合作来培养学生主动探索的学习方式，通过师生互动来培养学生的数学素养和研究数学的方法。

四、教学目标知识与技能目标：1.理解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象；2.通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质。

过程与方法目标：通过类比、归纳不同角度研究函数性质的方法，让学生加深对对数函数的认识，获得研究函数的规律并培养他们主动学习、合作交流的意识。

培养学生数形结合的思想及分析推理的能力。

情感态度与价值观目标：在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，体验从具体到一般的学习规律，感受研究数学的思想方法。

五、教学重点与难点重点：对数函数的概念、图象和性质。

第二章根本初等函数〔Ⅰ〕本章复习整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律重要数学模型，面对纷繁复杂变化现象，我们还可以根据变化现象懂得对不同特征进展分类研究．而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观世界变化规律三类重要且常用根本初等函数，本章学习了这三类根本初等函数概念与性质，因此我们对这一些根本知识与三类根本初等函数学完前提下，综合复习所学知识，进展知识梳理与整合，同时通过进展知识梳理与整合，使学生形成知识网络，强化数学思想与方法运用，通过复合函数与抽象函数复习，提高学生综合能力．三维目标1．理解指数与对数，指数函数与对数函数及幂函数概念与联系，通过提问，提高学生认知水平，为学生塑造良好数学认知构造．2．让学生熟悉，能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关问题，培养学生数形结合思想观念及抽象思维能力．3．对复合函数，抽象函数有一个新认识，培养学生分析、解决问题与交流以及分类讨论能力．重点难点教学重点：指数函数、对数函数及幂函数图象与性质．教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题．课时安排1课时教学过程应用例如思路11计算： (1)20.52130.25323435(0.008)(0.2)0.062 589---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅+÷÷ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；(2)2lg 5lg8000(lg 11lg 600lg 0.36lg 0.122⋅+--. 活动：学生观察、思考，学生观察式子特点，特别是指数与真数特点，教师引导学生考虑题目思路，对有困难学生及时提示，组织学生讨论交流，并对学生作及时评价．解：(1)原式＝()()()23()21133()()420.532437()0.20.20.523⨯-⨯--⨯⨯⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫49×73＋52÷5÷0.5＝5627＋105＝56＋270527. (2) 2lg 5lg8000(lg 11lg 600lg 0.36lg 0.122⋅+--221lg(2310)lg(0.6)lg1022-⨯⨯--＝223lg 5lg 3lg 53(lg 2)3[lg 5lg 2(lg 5lg 2)]15lg 2lg 32lg 0.6lg 6lg 0.622⋅++++=++-+-+＝67. 点评：在指数运算中，一定要注意运算顺序与灵活运用乘法公式，注意立方与立方差公式在分数指数幂当中应用.活动：学生思考，观察题目特点，教师引导学生考虑问题思路，从整体上看，应先化简，然后再求值，要有预见性，1n a 与1na -具有对称性，它们积是常数1，为我们解题提供了思路，必要时给予提示． x 2－1＝－1＝＝＝.这时应看到x 2－1111||2n n a a -=-. 解：将x ＝代入x 2－1，得x 2－1＝11112211()1()44n n n n a a a a --+-=-.所以x 2－1111||2n n a a -=-，x ＋x 2－1＝111111()||22n n n n a a a a --++-＝ 所以(x ＋x 2－1)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a >1，1a ，0<a <1.点评：运用整体思想与完全平方公式是解决此题关键，要深刻理解这种做法．3假设函数f (x )定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3，求f (log 3x )定义域． 活动：学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价．根据你学习经历，回忆求一个函数定义域方法．抽象函数f (x )定义域，求抽象函数f [g(x )]定义域，要借助于f (x )定义域来求，由于函数f(x )定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3，所以f (log 3x )中log 3x 范围就是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3，从中解出x ，即为f (log 3x )定义域．解：因为函数f (x )定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3，所以f (log 3x )中log 3x 范围就是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3， 即0.5＜log 3x ≤3，即3＜xf (log 3x )定义域为(3，27]． 点评：求函数定义域就是求使函数解析式有意义自变量取值范围，对复合函数定义域要严格注意对应法那么.例1 求函数y ＝1－2x4x 定义域、值域与单调区间． 活动：学生观察，思考交流，独立解题，教师要求学生展示自己思维过程．求函数定义域就是求使函数解析式有意义自变量取值范围；函数值域要根据定义域来求；求函数单调区间一般用定义法，有时也借助复合函数单调性．由于自变量处在指数位置上，分母是一个指数式，因此自变量取值无限制；值域转化为二次函数，单调区间用复合函数单调性确定．解：函数y ＝1－2x 4x 定义域是全体实数，因为y ＝1－2x 4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 2－12x ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －122－14≥－14，所以函数值域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－14，＋∞. 设u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，那么它在(－∞，＋∞)上单调递减， 而二次函数y ＝u －122－14在u ≤12时是减函数，在u ≥12时是增函数，令⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ≤12，那么x ≥1，令⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ≥12，那么x ≤1， 所以函数y ＝1－2x4x 在[1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1]上是减函数．点评：这里求函数值域方法是配方法，求单调区间是用复合函数单调性确定．例2 函数f(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －1＋12. (1)指出函数奇偶性，并予以证明；(2)求证：对任何x (x ∈R 且x ≠0)，都有f (x )＞0.(1)解：函数f (x )是偶函数，证明如下：因为f (x )定义域是不为0实数，关于原点对称，又f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－x －1＋12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2x －1－12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2x －1－1＋12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －1＋12＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)证明：当x ＞0时，2x ＞1，所以f (xx ＜0时，由f (x )为偶函数，有f (x )＝f (－x )＞0.所以对一切x ∈R ，x ≠0，恒有f (x )＞0.点评：利用函数奇偶性常可使解法简化，如此题，当x ＜0时，证明f (x )＞0较繁，假设注意到f (x )为偶函数，那么只需证明当x ＞0时，f (x )＞0，而这是显然．知能训练课本本章复习参考题A 组 1、3、4、6、8、10.拓展提升问题：过原点O 一条直线与函数y ＝log 8x 图象交于A 、B 两点，过A 作x 轴垂线，垂足为E ，过点B 作y 轴垂线，交EA 于C ，假设C 恰好在函数y ＝log 2x 图象上，试求A ，B ，C 三点坐标．活动：学生先仔细审题，理解题目含义，然后思考交流，教师适当时候提示指导．画出函数图象，设出点坐标，由图形间关系建立方程求解． 解：先画出函数图象如图．图1设A (x 1，log 8x 1)、B (x 2，log 8x 2)，那么C (x 1，log 8x 2)．因为C 在函数y ＝log 2x 图象上，所以log 8x 2＝log 2x 1，即13log 2x 2＝log 2x 1.所以x 2＝x 31.又OE EA＝OF FB ，即x 1log 8x 1＝x 2log 8x 2， 所以x 1log 8x 31＝x 31log 8x 1.所以3x 1log 8x 1＝x 31log 8x 1.由x 1＞1，所以log 8x 1≠0.从而有3x 1＝x 31.所以x 1＝3，x 2＝3 3.所以A ，B ，C 三点坐标分别为A (3，log 83)，B (33，log 833)，C (3，log 23)．课后作业课本本章复习参考题A 组 2,5,7,9.设计感想本堂课是对过去学过一章知识进展复习，目是构建知识体系，形成知识网络，总结解题方法规律与思想，以便综合运用这些知识，使学生能够见题想法，见题有法，能够做到一题多解，触类旁通，由于涉及知识点与方法思想较多，所以设计题目也较多，要注意解题方法总结与提炼，希望加快处理速度，提高课堂复习效果，做到以不变应万变，使全体同学在知识与技能上都有较大提高．备课资料【备用习题】1．函数y ＝log 2x －2定义域是( )A ．(3，＋∞) B．[3，＋∞)C ．(4，＋∞) D．[4，＋∞)2．函数f (x )＝a －12x ＋1，假设f (x )为奇函数，那么a ＝__________. 3．函数y ＝log 2x 2＋16值域是__________．4．函数y ＝2x 图象与y ＝f (x )图象关于直线y ＝x 对称，那么f (16)＝__________.5．假设函数y ＝log 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 2＋(a －1)x ＋14定义域为R ，那么a 取值范围是__________．参考答案：1．D 2．12 3．[2，＋∞) 4.4 5．3－52＜a ＜3＋52。

第二章基本初等函数（Ⅰ）一、课标要求：教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.5.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.7.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,y x y x y x y x-====的图象，了解它们的变化情况.二、编写意图与教学建议：1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.5.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ..6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.。