第7讲 一元二次方程根的分布问题

a=0 时，不符合题意，所以 a≠0, 方程 f(x)=0 在[-1，1]上有解<=> f (1) f (1) 0
af ( 1) 0 af (1) 0 3 7 或 4 8a (3 a ) 0 1 a 5 或 a 或a5 2 1 [ 1.1] 2a
会解决二次方程区间根问题
二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的实根分布问题
b x1+x2=- a >0 c 1.方程 f(x)=0 有两正根 x1x2= a >0 △=b2-4ac≥0. b x1+x2=- a <0 c x1x2= a >0 2.方程 f(x)=0 有两负根 △=b2-4ac≥0. 记 f(x)=ax2+bx+c(a>0),
2
1.在讨论方程根的分布情况时，要写出它的充 要条件，注意观察方程对应的函数图象是避免 将充要条件写成必要条件的有效办法. 2.二次函数、一元二次不等式和一元二次方程 是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关 系，运用函数方程的思想方法将它们进行相互 转化，才是准确迅速答题的关键.
m (m 3) 2 4m 0 3 m ②都在原点右侧，则 x1 x2 0 m x x 1 0 1 2 m 解得 0 m 1 综上可得 m∈(-∞,1]
1 2
例2．已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至 少有一个在原点的右侧，求实数 m 的取值范围. 【解题回顾】①在本题解题过程中，容易将f(x)=mx2+(m3)x+1看成是二次函数，从而忽视对m=0的讨论 ②实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实根异号的充要条件 0 b c 为 0 ；有两正实根的充要条件是 0 ；有两负实 a a 0 c 0 b a 根的充要条件是 0 a c 0 a
【解析】(1)若方程 f(x)＝0 有两根，即 x2＋2mx＋2m＋ 1＝0 有两根分别在(－1,0)和(1,2)内，
f－1>0 f0<0 则 f1<0 f2>0 2>0 2m＋1<0 ⇒ 4m＋2<0 6m＋5>0
5 1 ⇒－ <m<－ ， 6 2
[例 3]已知 a 是实数，函数 f ( x) 2ax 2 x 3 a ，如果函数 y f ( x)
2
， 在区间 11 上有零点，求 a 的取值范围．
解析 1：函数 y f ( x) 在区间[-1，1]上有零点，即方程
f ( x) 2ax 2 2 x 3 a =0 在[-1，1]上有解，
2
若 f(x)＝－3x2＋(6－a)x＋3＝0 一根大于 1，另一根小于 1，由其图象可知，f(1)>0，即 6－a>0， 所以 a<6，所以 a 的取值范围是(－∞，6)．
【点评】与二次函数、二次方程相关综合问题要充分利用 二次函数性质、图象特点、二次方程根与系数关系及方程与函 数之间的联系综合应用处理问题．
△=b2-4ac≥0或
b - 2a >k
二
二次函数的性质及二次方程根的分布
【例 1】已知函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1. (1)若方程 f(x)＝0 有两根， 其中一根在区间(－1,0) 内，另一根在区间(1,2)内，求 m 的范围； (2)若函数 f(x)有两个零点均在区间(0,1)内，求 m 的范围．
7 t2 7 设 g (t ) t .g '(t ) 2 ， t [1, 7) 时， g '(t ) 0 ，此函数 g(t)单调递减， t ( 7,5] 时， t t
g '(t ) >0,此函数 g(t)单调递增，∴y 的取值范围是 [ 7 3,1] ，
3 7 1 ∴ f ( x) 2ax 2 x 3 a =0 在[-1，1]上有解 ∈ [ 7 3,1] a 1 或 a 2 a
3 7 3 7 或 a≥1.，所以实数 a 的取值范围是 a 或 a≥1. a 2 2
解析 2：a=0 时，不符合题意，所以 a≠0,又 ∴ f ( x) 2ax2 2 x 3 a =0 在[-1，1]上有解， (2 x2 1)a 3 2 x 在[-1，1]上有解
5 1 所以 m 的范围是(－ ，－ )． 6 2
(2)若函数 f(x)有两个零点均在(0,1)内， 则函数 y＝f(x)的图 象与 x 轴的交点有两个，其横坐标在区间(0,1)内，由二次函数 图象性质，则需满足：
Δ＝4m2－42m＋1>0 2m 0<－ <>0 m<1－ 2或m>1＋ 2 ⇒－1<m<0 1 m>－ 2
△=b2-4ac≥0
b - 2a >0
f(0)>0. b - 2a <0 △=b2-4ac≥0 f(0)>0.
3.方程 f(x)=0 有一正根一负根 c<0. b 0 - 2a <k 4.方程 f(x)=0 的两实根都小于 k △=b2-4ac≥0或( x k ) ( x k ) 0 ( x k )( x k ) 0 f(k)>0.
1 2 x2 1 2 x2 1 在[-1，1]上有解，问题转化为求函数 y [-1，1]上的值域； a 3 2x 3 2x 1 (t 3)2 2 1 7 设 t=3-2x，x∈[-1，1]，则 2x 3 t ，t∈[1,5], y (t 6) ， 2 t 2 t
1 ⇒－ <m<1－ 2， 2 1 所以 m 的取值范围是(－ ，1－ 2)． 2
【点评】一元二次方程根的分布，即二次函数零点的分布， 关键在于作出二次函数的草图，由此列出不等式组，要注意 二次函数的对称轴与 Δ 与方程根的关系．
练习1
已知 f(x)＝－3x ＋(6－a)x＋3. 若方程 f(x)＝0 有 一根小于 1，另一根大于 1，求 a 的取值范围.
例2．已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至 少有一个在原点的右侧，求实数 m 的取值范围. 解：若m=0，则f(x)=-3x+1, 显然满足要求. 解题分析：函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少 若m≠0，有两种情况： 有一个在原点的右侧，就是表明关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0 1 至少有一个正根，可借助根与系数的关系来解。 得 m 0 ①原点的两侧各有一个，则 x x 0
1 1 2 2
5.方程 f(x)=0 的两实根一个大于 k, 另一个小于 k f(k)<0或.
6.方程 f(x)=0 的两实根都大于 k
b f(k)>0. m< - 2a <n △=b2-4ac≥0 7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内 f(m)>0 f(n)>0. 8.方程 f(x)=0 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内. f(m)=0 f(n)=0 f(m)f(n)<0, 或 b < m+n , 或 m+n m< - 2a b 2 < - 2a < n. 2 思考 方程的两根有且只有一个在区间[m, n]上时等价于? 9.方程 f(x)=0 的两根分别在区间(m, n)和(p, q)(n<p)内. 注 涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分 f(m)>0 布问题, 一般情况下要从四个方面考虑: f(n)<0 ① f(x) 图象的开口方向; f(p)<0 f(q)>0. ②方程 f(x)=0的判别式; ③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系; ④区间端点处函数值的符号.