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椭圆椭圆的标准方程．了解椭圆标准方程的推导．．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)．掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点、难点)[基础·初探]教材整理椭圆的定义阅读教材前自然段，完成下列问题．平面内与两个定点，的距离的和等于的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距．【答案】常数(大于) 两个定点两焦点的距离判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( ) ()在椭圆定义中，将“大于”改为“等于”的常数，其它条件不变，点的轨迹为线段．( )()到两定点(－)和()的距离之和为的点的轨迹为椭圆．( )【答案】()×()√()×教材整理椭圆的标准方程阅读教材第自然段～“思考与讨论”，完成下列问题.椭圆＋＝的焦点在轴上，焦距为，椭圆＋＝的焦点在轴上，焦点坐标为．【解析】由>可判断椭圆＋＝的焦点在轴上，由＝－＝，可得＝，故其焦距为.由>，可判断椭圆＋＝的焦点在轴上，＝－＝，故焦点坐标为(，)和(，－)．【答案】(，)和(，－)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()两个焦点的坐标分别为(－)和()，且椭圆经过点()；()焦点在轴上，且经过两个点()和()；()经过点(，－)和点(－，)．【自主解答】()由于椭圆的焦点在轴上，∴设它的标准方程为＋＝(＞＞)．∴＝，＝，∴＝－＝－＝.故所求椭圆的标准方程为＋＝.()由于椭圆的焦点在轴上，。
第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。
模块检测(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则1a< 1 b.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4解析命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真．答案 B2．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝12”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析当α＝π6＋2kπ(k∈Z)时，cos 2α＝cos(4kπ＋π3)＝cosπ3＝12.反之当cos 2α＝12时，有2α＝2kπ＋π3(k∈Z)⇒α＝kπ＋π6(k∈Z)，或2α＝2kπ－π3(k∈Z)⇒α＝kπ－π6(k∈Z)，故应选A.答案 A3．若直线l的方向向量为b，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是()．A．b＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．b＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．b＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．b＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)解析若l∥α，则b·n＝0.将各选项代入，知D正确．答案 D4．已知A 为椭圆x 216＋y 212＝1的右顶点，P 为椭圆上的点，若∠POA ＝π3，则P 点坐标为( )．A ．(2，3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫455，±4155 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±32D ．(4，±83)解析 由y ＝±3x 及x 216＋y 212＝1(x >0)得解． 答案 B5．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )．A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析 ∵|a|＝|b|＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹 角是90°. 答案 A6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )．A ．10B ．8C ．6D ．4解析 由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案 B7．如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )． A.63 B.255 C.155D.105解析 建立如图所示坐标系，得D (0，0，0)，B (2，2，0)，C 1(0，2，1)，B 1(2， 2，1)，D 1(0，0，1)，则DB →＝(2，2，0)，DD 1→＝(0，0，1)，BC 1→＝(－2，0，1)．设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1，0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝25·2＝105.答案 D8．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )．A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析 y 2＝ax 的焦点坐标为(a4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2(x －a 4)，令x ＝0得y ＝－a 2.∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案 B9．三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )．A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析 AB→·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 90°－2×2×cos 60°＝－2. 答案 A10．两个焦点在x 轴上的椭圆C 1：x 24＋y 23＝1和C 2：x 29＋y 2m ＝1，C 1比C 2要扁，则m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫274，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫332，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫274，9D.⎝ ⎛⎭⎪⎫332，9解析 因椭圆越扁其离心率越大， ∴9－m 9<12，化简得m >274.又∵椭圆C 2焦点在x 轴上， ∴m <9.因此274<m <9. 答案 C11．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )．A. 3B ．2C. 5D. 6解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a ＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案 C12．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是 ( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析 双曲线的离心率e 12＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 12e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m 2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2. 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知命题p：∀x∈R(x≠0)，x＋1x≥2，则綈p：________．解析首先将量词符号改变，再将x＋1x≥2改为x＋1x<2.答案∃x∈R(x≠0)，x＋1x<214．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为______________．解析连接虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两直角边分别是b，c(b是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30°，即得bc＝tan30°，所以c＝3b，a＝2b，离心率e＝ca＝32＝62.答案6 215．给出下列结论：①若命题p：∃x∈R，tan x＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧綈q”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是a b＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．解析对于①，命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧綈q为假命题，故①正确；对于②，当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③.答案①③16．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x225＋y29＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______．解析∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝4，∴⎩⎨⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， 解得|PF 1||PF 2|＝18.∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×18＝9. 答案 9三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(62，2)，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围． 解 若p 真，则有9－m >2m >0， 即0<m <3.若q 真，则有m >0，且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈(32，2)，即52<m <5.若p 、q 中有且只有一个为真命题， 则p 、q 一真一假． ①若p 真、q 假，则0<m <3，且m ≥5或m ≤52，即0<m ≤52； ②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52<m <5， 即3≤m <5.故所求范围为：0<m ≤52或3≤m <5.18．(12分)求以(1，－1)为中点的抛物线 y 2＝8x 的弦所在的直线方程． 解 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 12＝8x 1， ①y 22＝8x 2， ②由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝－1，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2， ③y 1＋y 2＝－2. ④又∵k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1.⑤由②－①，得(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝8(x 2－x 1)， ∴y 2－y 1x 2－x 1＝8y 2＋y 1， 将④⑤代入上式可得k AB ＝－4.故弦所在的直线方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0. 19．(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值． 解 (1)由⎩⎨⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎨⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a2＋1＝0，∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围． 故a ＝±1.20．(12分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD . (1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A -CD -E 的余弦值．解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，E (0，1，1)，F (0，0， 1)，M (12，1，12)．(1)BF→＝(－1，0，1)，DE →＝(0，－1，1)， 于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°. (2)证明 由AM→＝(12，1，12)，CE →＝(－1，0，1)，AD→＝(0，2，0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE→＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎨⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1，1，1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0，0，1)． 所以，cos 〈u ，v 〉＝u·v |u|·|v |＝0＋0＋13×1＝33. 因为二面角A -CD -E 为锐角，所以其余弦值为33.21．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大 值及此时点P 的坐标．解 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2. 由题意得⎩⎨⎧|CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎨⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∵|F 1F |＝25>4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为 x 24－y 2＝1.(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值 |MF |，且|MF |＝（355－5）2＋（455－0）2＝2.直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0. 解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－255)．22．(12分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．解 (1)因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6，a ＝3. 在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝|PF 2|2－|PF 1|2＝25， 故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．因圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，所以圆心M 的坐标为(－2，1)． 从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k 2＋36k －27＝0. 因为A ，B 关于点M 对称．所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k 4＋9k 2＝－2.解得k ＝89. 所以直线l 的方程为y ＝89(x ＋2)＋1， 即8x －9y ＋25＝0(经检验，符合题意)．。
高二数学 第二章 第3节 双曲线 人教实验B 版（理）选修2－1【本讲教育信息】一、教学内容：选修2－1：双曲线二、教学目标：1、掌握双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲线的几何性质，了解双曲线的初步应用。
2、了解双曲线的参数方程，能根据方程讨论双曲线的性质，掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。
三、知识要点分析： （一）双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF 1|－|PF 2||＝2a （2a ＜|F 1F 2|）。
此定义中，“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|，不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（二）双曲线的标准方程及几何性质1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的双曲线方程中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在y 轴上 标准方程22221(0,0)x y a b a b -=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 图形顶点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦距 )0(2||21>=c c F F 222b a c +=离心率 )1(>=e a ce （离心率越大，开口越大）准线c a x 2±=ca y 2±=渐近线 x ab y ±= x bay ±= 焦准距cb c a c p 22=-=2、判断椭圆方程中焦点位置的不同，是通过比较x 2，y 2系数的大小，而双曲线是看x 2，y 2的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”3、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。
双曲线
双曲线的标准方程
．了解双曲线的定义及焦距的概念．
．了解双曲线的几何图形、标准方程．(重点)
．能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程．(重点)
[基础·初探]
教材整理双曲线的定义
阅读教材前自然段，完成下列问题．
平面内与两个定点，的距离的等于常数(小于且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距．
【答案】差的绝对值两个定点两焦点的距离
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()在双曲线标准方程中，，，之间的关系同椭圆中，，之间的关系相同．( )
()点()，(－)，若－＝，则点的轨迹是双曲线．( )
()在双曲线标准方程－＝中，＞，＞，且≠.( )
【答案】()×()×()×
教材整理双曲线的标准方程
阅读教材第自然段～“思考与讨论”，完成下列问题.
若方程－＝表示双曲线，则实数满足( )
．≠且≠－ ．＞ ．＜－或＞
．－＜＜
【解析】因为方程－＝表示双曲线，而＋＞恒成立，所以－＞，解得＜－或＞，故选.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问： 解惑： 疑问： 解惑： 疑问： 解惑：
[小组合作型]
已知双曲线的方程是
－
＝，点在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为，点是的中点，求的大小(为坐
标原点)．
【精彩点拨】利用中位线定理，结合双曲线定义解题．。
