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a ,b是 整 数 0a b a0 ba
例1.3
设 a , b为 两 个 整 数 ， ab 0且 a b , b a
求 证 ： a b. 证 明： ab 0 a与 b同 为 正 整 数 或 同 为 负 整 数 。
（ 1） 若 a与 b同 为 正 整 数 ， a b , b a
解： A= 1 ； B= 2,3,6,9 C = 0,3,6,9,12,15
例1.2
已 知 ： a ,b是 整 数 ， 0 a b,且 b a
试 求 a的 值 。
解 ：
0 a b,
b a
存 在非 负 整 数 q， 使 得 a bq 但 是 a b , bq b
2.不 整 除 的 概 念
b a
b
a
如 果 a ,b是 两 个 整 数 ， 其 中 b 0,如 果 不 存 在 任 何 整 数 q,使 得 等 式 a =bq成 立 ， 我 们 就 说 b不 整 除 a , 记作： b a
3.整 除 与 除 尽 的 概 念 的 联 系 与 区 别 在整数范围内，整除与除尽是一致的。
（五）下列六种说法是等价的 （ 1） a能 被 b整 除 ； （ 2） b能 整 除 a； （ 3） b是 a的 约 数 ； （ 4） a是 b的 倍 数 ；
（ 5） a除 以 b的 商 是 整 数 （ 即 a=bq,q为 整 数 ） ； （ 6） 存 在 一 个 整 数 q， 使 a=bq。
（五）应用举例 例1.1 试用列举法写出下列各集合的元素。 A= 1的 正 约 数 ； B= 18的 正 真 约 数 C= 不 大 于15的 3的 非 负 倍 数
三 、 练 习 ： (1) P8-9
第6题
(2) P9
第 7题
7.解 ： 任 意 两 个 数 之 和 是 2的 倍 数 ，
所 求 的 数 是 2的 倍 数 ， 即 0 ,2,4,6,8 ，
又 任 意 三 个 数 之 和 是 3的 倍 数 ，
所 求 的 数 是 3的 倍 数 ， 即 0 ,3,6,9,12,
存 在 正 整 数 q1 , q 2 , 使 得 b aq1 , a bq 2 b a q1 b q 2） q1 b q1 q 2 q1 q 2 1 （ q1 1, q 2 1
a b
例1.3
设 a , b为 两 个 整 数 ， ab 0且 a b , b a 求 证 ： a b.
在除法中要排除商（如果存在）不是唯一的情况， 因此规定在除法中，除数不能为0
（二）倍数与约数
如 果 b a,那 么 a叫 做 b的 倍 数 ， b叫 做 a的 约 数 。
（三）当然约数和真约数 在 非 零 整 数 a的 约 数 中
（ 1） 当 然 约 数 ： 1， a （ 2） 真 约 数 ： 除 1， a 外 的 其 它 约 数
四、小结 （ 1） 整 除 里 的 数 是 指 整 数 ； （ 2） 区 别 整 除 与 除 尽 的 关 系
（ 3） 证 明 一 个 数 a 0的 方 法 ：
a ,b是 整 数 0a b a0 ba
（ 4） 证 明 两 个 数 相 等 的 一 种 方 法
a , b为 两 个 整 数 ab 0 a b a b ,b a
b ( q 1) 0
0 a b,
( q 1) 0
q 1 a bq 0
q是 非 负 整 数 ， q 0
例1.2
已 知 ： a ,b是 整 数 ， 0 a b,且 b a
试 求 a的 值 。
( a 0)
例 1.2 提 供 了 证 明 一 个 数 a 0的 方 法 ：
应 该 说 ：是 6是 约 数 ， 6是 3的 倍 数 。 3
（ 3） 非 零 整 数 (a 0） 的 约 数 个 数 是 有 限 的 ， 零的约数个数是无限的。
（ 4） 非 零 整 数 (a 0） 的 倍 数 的 个 数 是 无 限 的 。
（ 5） 0是 任 何 一 个 非 零 整 数 (a 0 ） 的 倍 数 ， 数 1是 任 何 整 数 的 约 数 。
（四）注意问题
（ 1） 整 除 概 念 ， 强 调 的 是 整 数 a与 整 数 b 之 间 的 一 种 关 系 --- 整 除 关 系 。
2 4 42
（ 2） 约 数 与 倍 数 是 相 互 依 存 的 ， 它 们 不 能 单独存在。
如： 6 3
不 能 说 3是 约 数 ，是 倍 数 。 6
第一章 整数的整除性
主讲教师：杨萃
§1.1 整除、约数与倍数
一、复习
• 什么叫做自然数？ 现在：自然数是：0，1，2，3，4，…… 过去：自然数是：1，2，3，4，5，……
二、新课
（一）整除的有关概念
1.整 除 的 概 念
设 a ,b是 任 意 两 个 整 数 ， 其 中 b 0,如 果 存 在 一 个 整 数 q ,使 得 等 式 a =bq成 立 ， 我 们 就 说 b整 除 a， 记 作 b a
在有理数域内，整除与除尽是不同的概念。
如： 3 5 15
（整除、除尽）
15.3 3 5.1（ 不 是 整 除 、 是 除 尽 ）
4.在除 法 中， 为 什么 要 规定 除 数不 能 为0？
令 a b q a bq
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若b 0
(1)当 a 0是 ， q是 任 意 数 (2)当 a 0是 ， q不 存 在
1
a c d 3q3 ,
b c d 3q 4
b d 3( q1 q 3 ) c d 3( q1 q 2 ), a b 3( q1 q 4 ), b c 3( q 2 q 3 ) a c 3( q q ), a b 3( q 3 q 4 ) 2 4 任 意 两 个 数 之 差 是 3的 倍 数 ， 要使这四个数之和尽可能地小， 这 四 个 数 为 ： 0 ,6,12,18。
要使这四个数之和尽可能地小，
这 四 个 数 为 ： 0 ,6,12,18。
这是错误的解法。
7.解 ： 设 这 四 个 不 同 的 自 然 数 为 a , b , c , d
任 意 两 个 数 之 和 是 2的 倍 数 ，
所求的数同为奇数或同为偶数
又 任 意 三 个 数 之 和 是 3的 倍 数 ， a b c 3q , a b d 3q 2
例 1.3 提 供了 证 明两个 数相 等 的一 种方 法
a , b为 两 个 整 数 ab 0 a b a b ,b a
• P9 • 7.有四个不同的自然数，它们中的任意两个 数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的 倍数，为使这四个数之和尽可能地小，这 四个数应该分别为多少？
存 在 正 整 数 q1 , q 2 , 使 得 b aq1 , a bq 2 b a q1 b q 2） q1 b q1 q 2 （ q1 1, q 2 1
a b
q1 q 2 1
（ 2） 若 a与 b同 为 负 整 数 ， a b , b a
