数学竞赛模拟试卷3

初中数学竞赛模拟试题(1)一、选择题（每小题6分，共30分）1．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）52．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且31=AB AD ．若在边AC 上取一点E ， 使四边形DECB 的面积为43，则EACE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）513．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。

设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于20051，20041，20031，20021，20011，20001，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式221xx +的值，将所得的结果相加，其和等于 ．7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜25，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ．8．方程02=++q px x 的两根都是非零整数，且198=+q p ，则p ＝ ．9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ．ABFCED·DCOBA10．设有n 个数1x ，2x ，…，n x ，它们每个数的值只能取0，1，－2三个数中的一个，且++21x x …5-=+n x ，++2221x x …192=+n x ，则++5251x x …5n x +的值是 ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．如图，凸五边形ABCDE 中，已知S △ABC ＝1，且EC ∥AB ，AD ∥BC ，BE ∥CD ， CA ∥DE ，DB ∥EA ．试求五边形ABCDE 的面积．12．在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程k x x kx x +=-++3132的解，求实数k 的取值范围．13．如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴与A ，交y 轴的正半轴与B ，求△AOB 面积的最小值．DA BCEF14．预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．参考答案一、选择题1．C 2．B 3．B 4．A 5．C 二、填空题6．6 7．8-<x 8．－202 9．116 10．－125 三、解答题11．∵ BE ∥CD ，CA ∥DE ，DB ∥EA ，EC ∥AB ，AD ∥BC ，∴ S △BCD ＝S △CDE ＝S △DEA ＝S △EAB ＝S △ACB ＝S △ACF ＝1． 设S △AEF ＝x ，则S △DEF ＝x -1，又△AEF 的边AF 与△DEF 的边DF 上的高相等， 所以，xxAF DE -=1，而△DEF ∽△ACF ，则有 x xx AF DF S S ACF DEF -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆1)1(222． 整理解得 215-=x ． 故S ABCDE ＝3S △ABC ＋S △AEF ＝255+． 12．原方程可化为0)3(322=+--k x x ，①（1）当△＝0时，833-=k ，4321==x x 满足条件；（2）若1=x 是方程①的根，得0)3(13122=+-⨯-⨯k ，4-=k ．此时方程①的另一个根为21，故原方程也只有一根21=x ；（3）当方程①有异号实根时，02321<+-=k x x ，得3->k ，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，3-=k ，另一个根为23=x ，此时原方程也只有一个正实根。

数学奥林匹克模拟试卷一、选择题1、以下哪个选项是质数？A. 14B. 19C. 21D. 28答案：B. 192、在一个等腰三角形中，下列哪个角度是锐角？A.顶角B.底角C.任意一个角度D.不能确定答案：D.不能确定3、下列哪个图形是轴对称图形？A.一个三角形B.一个圆形C.一个梯形D.一个正方形答案：D.一个正方形二、填空题4、在一个直角三角形中，已知一个锐角为30度，另一个锐角为__度。

答案：605、如果一个正方形的面积为16平方厘米，那么它的边长为__厘米。

答案：46、在一个等腰梯形中，对角线相等且互相平分，若已知上底为4厘米，下底为6厘米，则腰长为__厘米。

答案：5三、解答题7、一个多边形的内角和为1800度，求这个多边形的边数。

答案：根据公式，一个多边形的内角和为(n-2)×180度，其中n为边数。

因此，可以得出这个多边形的边数为12。

8、一个正方形的周长为8厘米，求它的面积。

答案：根据公式，正方形的周长为4×边长。

因此，这个正方形的边长为2厘米。

再根据公式，正方形的面积为边长的平方，得出面积为4平方厘米。

全国小学数学奥林匹克竞赛试卷一、填空题1、一个三角形有____个角。

2、钝角比直角____（大/小）。

3、1, 2, 3, 5, ___, ___（找规律填数）二、选择题1、下列哪个数字是偶数？____A. 11B. 19C. 17D. 92、下列哪个图形是正方形？____A. □B. △C. ○D. √3、一周有几天？____A. 30天B. 31天C. 28天D. 7天三、计算题1、1+2+3+5+8+13+21=____2、9+8+7+6+5+4+3+2+1=____3、3×4=____，4×3=____，比较这两个乘法算式，可以发现：两数相乘，交换因数的位置，积____。

四、解答题1、一个正方形的边长是5厘米，请计算出这个正方形的周长和面积。

小学四年级数学竞赛试卷(3)一、填空（48分）（1）找规律填数：1、2、4、7、11、16、22、（）198、297、396、（）（2）一个四位数4个数字都不相同，而且都不是0，这四个数字之和为12，那么这样的四位数共有（）个。

（3）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大1，把个位数字和十位数字交换位置后得到一个新的两位数，如果原数和新数的和是99，这个两位数是（）。

（4）一个三位数的数字重新排列后得到的最大的三位数减去最小的三位数得到的差正好等于原三位数，这个三位数是（）。

（5）一个数减去2487，小马虎计算时错把被减数百位和十位上的数互换了，结果得到8439，正确得数应是（）。

（6）时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推；从1点到12点这12个小时内时钟共敲了（）下。

（7）把50分成两个不同的单数的和，有（）种分法。

（8）有1、2、3、4、四个数字各用两次组成一个八位数，要求两个1之间有一个数字，两个2之间有2个数字，两个3之间有3个数字，两个4之间有4个数字，这个八位数是（）或（）。

（9）一座大楼上的彩灯按红、黄、蓝、绿、紫的顺序依次排列组装，一共有37个灯泡。

想一想：第20只灯泡的颜色是（），最后一只灯泡的颜色是（）。

（10）今年“六、一”儿童节是星期二，今年的“十、一”国庆节是星期（）。

（11）有甲、乙、丙三个数，已知甲、乙两数的和是168，丙数是甲、乙两数平均数的2倍，甲、乙、丙三个数的平均数是（）。

（12）数一数图中共有（）条线段。

A B C D E F G二、用简便算法计算（30分）（1）2772÷28＋34965÷35 （2）12÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）（3）625－（25－30）＋370 （4）76×98＋76×3－76（5）1+2+…+49+50 （6）19+21+23+…+49+51三、应用题解答（22分）（1）商店开展矿泉水“买5送1”活动。

初中数学竞赛模拟题50题含答案一、单选题1．下列说法正确的是（ ） A ．正有理数和负有理数统称有理数 B ．正整数和负整数统称整数 C ．整数和分数统称有理数D ．一个有理数不是正数就是负数2．在一年的某月里，周五、周六出现的天数比周日多，周一、周二、周三、周四出现的天数不超过周日，则该月份一定不是（ ） A ．三月B ．四月C ．六月D ．十一月3．当m 为自然数时，2(45)9m +-一定能被下列哪个数整除（ ） A ．5B ．6C ．7D ．84．定义运算()()()()()()12211221a a a a b a b a b b b b --⨯⋅⋅⋅⨯-+-+*=--⨯⋅⋅⋅⨯⨯，则107*=（ ）A ．720B ．120C ．240D ．805．已知()123123,,x x x x x x <<为关于x 的方程323(2)0x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．一个盒子中有红球m 个、白球10个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么,m n 的关系是（ ）． A ．10m n +=B ．5m n +=C ．10m n ==D ．2,3m n ==7．已知x ，y 为整数，且满足224411112113x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y +的可能的值有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若223894613M x xy y x y =-+-++（,x y 是实数），则M 的值一定是（ ）． A ．正数 B ．负数C ．零D ．整数9．若34567201520162017201820195N++++++++=，则N =（ ）A ．2015B ．2016C ．2017D ．201810．如图，在ABC 中，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，过点D 分别作DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ．连接EF 交线段CD 于点O ，若CO =CD =EO FO ⋅的值为（ ）．A ．B ．4C ．D ．611．锐角ABC 中，BC 边的中垂线和ABC ∠的角平分线相交于点P ．若72A ∠=︒，24ACP ，则ABP ∠=（ ）A ．24︒B ．28︒C ．30︒D ．36︒12．如果21x x --是31ax bx ++的一个因式，则b 的值是（ ）． A ．2-B ．1-C ．0D ．213．满足等式22(2)1m m m ---=的所有实数m 的和为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．614．点D 、E 、F 分别在ABC 的三边BC 、AB 、AC 上，且AD 、BF 、CE 相交于一点M ，若5AB AC BE CF+=，则AMMD =（ ） A ．72B ．3C ．52D ．215．矩形ABCD 中，5AD =，10AB =，E 、F 分别为矩形外的两点，4BE DF ==，3AF CE ==，则EF =（ ）A ．B ．15CD ．16．已知实数a ，b 满足()()330a b --≥2 ） A ．0B ．1C ．2D ．317．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成，如图为生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）．A ．120,180,60︒︒︒B ．108,144,108︒︒︒C ．90,180,90︒︒︒D ．72,216,720︒︒︒18．从正整数里取出k 个不同的数，使得这k 个数中任意两个数之差的绝对值是质数，则k 的最大值是（ ）． A ．3B ．4C ．5D ．619．若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均为整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个． A ．1B ．6C ．4D ．无数多二、填空题20．把7串葡萄放在6个盘子里，总有一个盘子里至少要放( )串葡萄． 21．如图，已知直角三角形ABC ，90A ∠=，4AB ＝cm ，5BC ＝cm ．将ABC 沿AC 方向平移1.5cm 得到A B C '''，求四边形BCC B ''的面积为________2cm ．22．若正整数n 有6个正约数（包括1和本身），称其为“好数”，则不超过50的好数有______个．23．已知ABC 的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =AM =__________．24．若a ，b ，c ，d 均为素数，且满足2a b d +=，32b c d -=，则d 的最小值是________．25．在一张冬景照片上，人们分别戴着帽子、系着围巾和戴着手套．只戴帽子的人数等于只系围巾和只戴手套的人数之和；只有4人没有戴帽子；戴着帽子和系着围巾，但没有戴手套的有5人；只戴帽子的人数两倍于只系围巾者；未戴手套有8人，未系围巾有7人；三样东西都用的人数比只戴帽子的人数多一个．那么： （1）有______人同时用上了帽子、围巾和手套； （2）有______人只戴了手套； （3）有______人只系了围巾；（4）有______人既戴了帽子，又戴了手套，但没有系围巾； （5）有______人戴着手套．26．若n n =______． 27．设x =a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则333a b ab ++=__________ ．28．军训基地购买苹果慰问学员．已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba ．那么，苹果的总数用十进位制表示为________． 29．方程1433x y+=有_________组正整数解． 30．已知函数(1)1kx k y ++=（k 为正整数）的图象与两坐标轴围成的图形面积为(1,2,,2000)k S k =⋅⋅⋅，则122000S S S ++⋅⋅⋅+=_______．31．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB ＝AC ＝5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG ＝FG 时，线段DE 长为______32．从1到2001连续的2001个自然数按某种顺序排列，然后每连续三项计算和数，得到1999个和，则这些和数中为奇数的个数最多是_________． 33．计算：239912232421002+⨯+⨯+⨯++⨯=________．（结果可用2的幂表示）34．如图所示，点A C 、都在函数0)y x =>的图象上，点B D 、都在x 轴上，且使得OAB ,BCD △都是等边三角形，则点D 的坐标是_______．35．已知正整数n 大于30，且使得41n -整除2002n ，则n 等于_______． 36．射线AB 绕点A 逆时针旋转a ︒，射线BA 绕点B 顺时针旋转b ︒，090a ︒︒＜＜，090b ︒︒＜＜，旋转后的两条射线交点为C ，如果将逆时针方向旋转记为“+”，顺时针方向旋转记为“-”，则称()a b -，为点C 关于线段AB 的“双角坐标”，如图1，已知ABC ∆，点C 关于线段AB 的“双角坐标”为(5060)-，，点C 关于线段BA 的“双角坐标”为(6050)-，．如图2，直线:AB y =x 轴、y 轴于点A 、B ，若点D 关于线段AB 的“双角坐标”为()m n -，，y 轴上一点E 关于线段AB 的“双角坐标”为()n m -，，AE 与BD 交点为F ，若ADE ∆与ADF ∆相似，则点F 在该平面直角坐标系内的坐标是________．37．如图，在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BC =，60BAC ∠=︒，若=5AB ，=2AD ，则线段AC 的长为______．38．某演艺公司将观赏厅分为上、中、下三大区位，同一区位包含若干个座位数相同的桌位（不同区位的单个桌位所含座位数不一定相同）．演艺公司对近三天的的上座情况进行统计发现，三天中每个区位坐有观众的桌位均刚好坐满．第一天上、中、下区的坐有观众的桌位数之比为3:2:1，中区的观众数占入场观众数的14，上座率为35；第二天上、中、下区的坐有观众的桌位数之比为1:1:2，上区的观众数占入场观众数的25，上座率为34；第三天上区的观众数与第二天上区的观众数相同，中区的观众数是第一天的中区的观众数的13，下区的观众数是当天上区和中区观众数的总和．则第三天的上座率为______．（上座率=入场观众数全场总座位数）三、解答题39．如图，在菱形ABCD 中，3AB =，60DBA ∠=︒，E 为线段BD 延长线的动点，连接AE 、CE ，AE 交CD 延长线于点F ．(1)求证：AE CE =； (2)若1DF =．①求点E 到CD 的距离； ①求EFED的值． 40．设,a b 是实数且422223a b a b =+，求22222010a b a b -+的值． 41．几何计算中，常利用面积法（等积法）构造方程来求线段的长，请利用这种面积法（等积法）解决下列两个问题：(1)如图①，ABC 中，13AB =，5AC =，=12BC ，求AB 边上的高；(2)在一张正方形纸张的四个角剪去四个相同的小正方形，得到如图①所示的图形，再将它分割成三块拼成如图①所示的长方形，已知m n 、满足：22818970m m n n -+-+=，求拼成新长方形的长m 、宽n 的值及被剪去的小正方形的边长．42．求证：若3|(4)x y -，则229472|()x xy y +-． 43．两位数ab 能整除十位数字为零的三位数0a b ，求ab ．44．如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，ABC 和CDE 都是等腰直角三角形，AB AC =，DE DC =．（1）证明：//AD BC ；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果30ACE ∠=︒，求DPPE． 45．从1，2，3，…，50这50个正整数中任取n 个数，在这n 个数中总能找到3个数，它们两两互质．求n 的最小值．46．已知m ，n 都是正整数，若130m n ≤≤≤，且mn 能被21整除，求满足条件的数对(,)m n 的个数．47．证明数列49，4489，444889，4448889，…的每一项都是一个完全平方数. 48．在元旦晚会上，学校组织了一次关于语文、数学、外语、奥运及日常生活常识的知识竞赛，设定每科满分为40分，以下依次为30分、20分、10分和0分，共5个评分等级，每个小组分别回答这五个方面的问题．现将A 、B 、C 、D 、E 五个小组的部分得分列表1如下： 表1表1中，（1）每一竖行的得分均不相同（包括单科和总分）；（2）C组有4个单科得分相同．求B、C、D、E组的总分并填表进行检验．参考答案：1．C【分析】根据有理数的含义和分类方法，逐一判断即可． 【详解】解：A 、正有理数、负有理数和0统称有理数， ∴选项A 不正确，不符合题意；B 、正整数与负整数、0统称为整数， ∴选项B 不正确，不符合题意；C 、整数和分数统称有理数 ∴选项C 正确，符合题意；D 、一个有理数不是正数，可能是负数或0， ∴选项D 不正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了有理数的含义和分类方法，解题的关键是要熟练掌握有理数的分类：①有理数可以分为正有理数，0，负有理数；正有理数可以分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数；①有理数可以分为整数和分数；整数分为正整数，0负整数；分数分为正分数和负分数；按两种分类一一判断即可． 2．A【详解】每个月的后28天，周一至周日出现的天数相同，因此在这28天之外只能出现周五和周六，故这个月有30天 3．D【分析】多项式利用平方差公式分解因式，变形后即可作出判断． 【详解】解：2(45)9m +-[][](45)3(45)3m m =+-++ (42)(48)m m =++ 8(21)(2)m m =++①无论m 为任何自然数，2(45)9m +-始终能被8整除， 故选：D ．【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 4．B【解析】略 5．A【详解】方程即()2(1)20x x x a --+=，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是21x =，132x x +=，故()()222112331311441x x x x x x x x x -++=+-++()()31131241215x x x x x =-++=++=．6．A【详解】盒中共有10m n ++个球，取得的是白球的概率是10m np m n +=++，取得的不是白球的概率为10m n p m n '+=++．依题意有101010m nm n m n +=++++，所以10m n +=．故应选A ．7．C【详解】由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=-⋅，显然x ，y 均不为0，所以0x y +=或()32xy x y =-．若()32xy x y =-，则()()32324x y +-=-．又x ，y 为整数，可求得12x y =-⎧⎨=⎩或2,1x y =-⎧⎨=⎩．所以1x y +=或1x y +=- 因此，x y +的可能的值有3个．【点睛】本题考查了等式的性质，分式的化简，解决此题的关键是熟练运用x 、y 是整数这个条件． 8．A 【详解】因为22222222(44)(44)(69)2(2)(2)(3)0M x xy y x x y y x y x y =-++-++++=--++≥+，并且2,2,3x y x y --+不能同时等于零，所以0M >．故选A ．9．C 【解析】略 10．B【分析】由题意易得出90DEC DFC ∠=∠=︒，即说明点C ，E ，D ，F 四点共圆，得出DEO FCO ∠=∠，从而易证DOE FOC ∽，得出EO DOCO FO=．由题意可求出DO CD CO =-4EO FO CO DO ⋅=⋅=．【详解】解：①DE AC ⊥，DF BC ⊥， ①90DEC DFC ∠=∠=︒， ①点C ，E ，D ，F 四点共圆，①DEF FCD ∠=∠，即DEO FCO ∠=∠． 又①DOE FOC ∠=∠， ①DOE FOC ∽， ①EO DOCO FO=， ①EO FO CO DO ⋅=⋅．①CO =CD = ①DO CD CO =-=①4EO FO CO DO ⋅=⋅==． 故选B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆的知识，圆周角定理．确定点C ，E ，D ，F 四点共圆，从而可得出证明DOE FOC ∽的条件是解题关键． 11．B【详解】①直线BP 为ABC ∠的角平分线，①ABP CBP ∠=∠．①直线PM 为BC 的中垂线，①BP CP =，①CBP BCP ∠=∠，①ABP CBP BCP ∠=∠=∠． 在ABC 中，三内角之和为180︒，①3180ABP A ACP ∠+∠+∠=︒， 即37224180ABP ∠++=°°°，解得28ABP ∠=°． 12．D【详解】（解法一）依题意可设32321(1)()()()ax bx x x ax c ax c a x a c x c ++=--+=+--+-，比较系数得(),0,1,b a c c a c =-+⎧⎪-=⎨⎪-=⎩所以1,2c a b ==-=．故选D ．（解法二）依题意21x x --是3221(1)()1ax bx ax x x ax b a x ++---=+++的因式， 所以1111a b a +==--， 解得1,2a b =-=．故选D ．（解法三）用长除法可得321(1)()(2)(1)ax bx x x ax a a b x a ++=--+++++，所以20,10,a b a +=⎧⎨+=⎩得1,2a b =-=．故选D ．13．A【详解】当21m -=即1m =时，满足所给等式；当21m -=-即3m =时，224(2)(1)1m m m ---=-=，满足所给等式；当21m -≠±即1m ≠且3m ≠时，由已知等式可得：220m m --=且20m -≠，解得1m =-． 因此，满足等式22(2)1m m m ---=的所有实数m 的和为()1313++-=．14．B【详解】设AM t MD =，由题设可得AMC DMC BMC BMC S tS AE EB S S ==△△△△，AMB BMD BMC BMC S tS AF FC S S ==△△△△，所以22DMC BMD BMC BMCtS tS AB AC AE AFBE CF EB FC S S ∆∆+=++=++△△ ()222DMC BMD BMC BMC BMCt S S tSt S S +=+=+=+△△△△△，又已知5AB AC BE CF +=，所以25t +=，所以3t =，即3AM MD=． 15．C【详解】易知90AFD BEC ∠=∠=︒，BEC DFA ≅△△，①DAF BCE ∠=∠. 延长FA ，EB 交于点G .①90GAB DAF ADF ∠=︒-∠=∠，90GBA CBE BCE DAF ∠=︒-∠=∠=∠， ①BGA AFD △△，且90AGB ∠=︒，①8AG =，6BG =， ①11GF =，10GE =，①EF ==16．B【详解】因为40b -≥，30b ->，所以3a ≥1，所以令3a =，8b =，得到最小值为1． 17．B【详解】解 设分配生产甲、乙、丙3种元件的人数分别为x 人，y 人，z 人，于是每小时生产甲、乙、丙三种元件的个数分别为50,30,20x y z ．为了提高效率应使生产出来的元件全部组成成品而没有剩余．设共可组成k 件成品，则503020504020x y zk ===，即4,,3x k y k z k ===，从而4::1::13:4:33x y z ==．设在扇形图中生产甲、乙、丙三种元件的圆心角分别为,,αβγ，则3336036036010834310x x y z α=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，4436036036014434310y x y z β=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，3336036036010834310z x y z γ=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++．故应选B ． 18．B【详解】解法一 首先4个数1，3，6，8满足题目要求，故所求k 的最大值4≥． 若5k ≥，记第n 个数为(1,2,,)n a n k =，且12 k a a a <<<，则分下列几种情形：（1）1a 为奇，2a 为奇，于是21a a -为偶数． 又21a a -为质数，故212a a -=，即212a a =+．若3a 为奇数，又32a a ≠，故31a a -为不等于2的偶数，即31a a -为不小于4的偶数，即31a a -为合数，矛盾．故3 a 为偶数，4a 也只能为偶数．那么，若5a 为奇，则51312a a a a ->-≥为偶数，即51a a -为不小于4的偶数，从而51a a -为合数，矛盾．若5a 为偶数，则53432a a a a ->-≥为偶数，从而53a a -为合数，矛盾． （2）1a 为奇，2a 为偶，于是21a a -为奇数，即213a a -≥． 若3a 为奇数，则31213a a a a ->-≥为偶数，故31a a -为合数，矛盾． 所以3a 为偶数，且322a a -=．若4a 为奇数，则41313a a a a ->-≥为不小于4的偶数，即41a a -为合数，矛盾． 若4a 为偶数，则42322a a a a -->=为不小于4的偶数，即42a a -为合数，矛盾． （3）1a 为偶，2a 为奇或偶，都类似于（1），（2）可导致矛盾． 综上得所求k 的最大值是4，故选B ．解法二 同解法一得4k ≥．若5k ≥，则将全体正整数分为4个不相交的子集1M ，2M ，3M ，4M ，其中i M 由全体被4除余i 的正整数组成(0,1,2,3)i =于是任取5k ≥个数，其中必有2个数a ，b （a b >）属于同一个子集i M ，于是a b -被4整除，a b -不是质数，矛盾．故所求k 的最大值等于4． 19．C【详解】选C ．理由：设12a =，c 为斜边，则有222144c b a -==． 因为4214423=⨯，所以， ()()722c b c b +-=⨯； ()()364c b c b +-=⨯； ()()188c b c b +-=⨯； ()()169c b c b +-=⨯； ()()483c b c b +-=⨯； ()()246c b c b +-=⨯．又因为c b +与c b -同奇偶，故符合题意条件的直角三角形有以下四个： 12.5.13;a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩12.9.15;a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩12,16,20;a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩12.35.37.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩20．2【分析】把6个盘子看作6个抽屉，7串葡萄看作7个元素，从最不利的情况考虑，每个抽屉先放一个，共需要6个，余下这一个无论放在哪个抽屉里，总有一个至少有1+1=2（个），据此解答． 【详解】解：761÷=（串）1（串）， 1+1=2（串），①总有一个盘子里至少要放2串葡萄． 故答案为：2．【点睛】本题考查了抽屉原理，解决本题的关键是掌握抽屉原理：如果有n 个抽屉，而每一个苹果代表一个元素，假如有n +1个元素放到n 个抽屉中去，其中必定有一个抽屉里至少有两个元素． 21．6【分析】根据题意，再结合平移的性质，可得AB A B =''， 1.5AA BB CC ===′′′cm ，BB CC ∥′′，ABC A B C S S '''=△△，然后再根据等量代换，得出=AA OB OCC B S S 四边形四边形′′′，然后再根据等量代换，得出BCC B AA B B S S =四边形四边形′′′′，然后再根据长方形的特征，得出四边形AA B B ''是长方形，然后再根据长方形的面积公式，算出长方形AA B B ''的面积，即可得出四边形BCC B ''的面积．【详解】解：如图，①ABC 沿AC 方向平移1.5cm 得到A B C '''，①A 的对应点为点A '，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点C '，①由平移的性质，可得：4AB A B =''=cm ， 1.5AA BB CC ===′′′cm ，BB CC ∥′′， 又①ABC 沿AC 方向平移1.5cm 得到A B C '''， ①ABC A B C S S '''=△△，又①ABC A OC AA OB S S S =+△△四边形′′， A B C A OC OCC B S S S =+△四边形′′′′′′，①=AA OB OCC B S S 四边形四边形′′′， ①=BOB BCC B OCC B S S S +△四边形四边形′′′′′， BOB AA B B AA OB S S S =+△四边形四边形′′′′，①BCC B AA B B S S =四边形四边形′′′′，①AB A B =''，AA BB '='，90A ∠=，①根据长方形的特征，可得：四边形AA B B ''是长方形， ①4 1.56AA B B S AB AA =⋅=⨯=长方形′′′2cm ， ①6BCC B AA B B S S ==四边形四边形′′′′2cm故答案为：6【点睛】本题考查了平移的性质，等量代换，根据长方形的特征判定长方形，长方形的面积公式，解本题的关键在熟练掌握平移的性质．平移的性质：1、形状大小不变；2、对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等；3、对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等． 22．8． 【详解】n 有6个正约数故n 的标准质因数分解式为5n P =或2n pq =（p 、q 为素数，(,)1p q =） 若5n p =，由50n ≤知52 若2n p q =⋅，则223n =⋅，225⋅ 232⋅，252⋅，253⋅，272⋅，2112⋅①“好数”共有8个． 23．2【详解】依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠，90ADB ADC ∠=∠=︒，故ABC ACB ∠≠∠． （1）若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ADB ≅△△，①12BD DM CM ==，又AM 平分DAC ∠，①12AD DM AC CM ==，在Rt DAC 中，即1cos 2DAC ∠=，①60DAC ∠=︒，从而90BAC ∠=︒，30ACD ∠=︒．在Rt ADC 中，tan tan 603CD AD DAC ⋅∠︒==，1DM =．在Rt ADM △中，2AM =． （2）若ABCACB 时，如答案图2所示．同理可得2AM =．综上所述，2AM =．24．17【分析】根据题意，求得的最小值，可将等式变形得到4a b c =-，则b c -是合数，且为4的倍数，以此为突破，求得a b c d ,,, 【详解】2a b d +=①,32b c d -=①①×2-①得：40a b c -+=， 即4a b c =-，求d 的最小值，则,a b 尽量小 当2a =时，8b c -=，根据20以内的素数可知，11,3b c ==，或者13,5b c == 此时241115d a b =+=+=，此时d 为合数，故不符合题意， 当13,5b c ==时，此时241317d a b =+=+=，经检验，a b c d ,,,皆为素数，满足题意， 故答案为：17．【点睛】本题考查了素数的定义，二元一次方程组的加减消元法，掌握20以内的素数是解题的关键．25． 3 1 1 4 10【详解】如图，按题目中条件顺序依次可列方程：（1）A C F =+；（2）4C E F ++=；（3）5B =；（4）2A C =；（5）8A B C ++=；（6）7A G F ++=；（7）1D A =+．可求出2,5,1,3,2,1,4A B C D E F G =======．于是，题目中各空白区应填入的数依次是①3，①1，①1，①4，①10．26．14-或7-或2-或5p =（p 为非负整数），则2222229304361204(29)394n n p n n p n p ++=⇒++=⇒++= 39(229)(229)p n p n ⇒=++--，2291102293914p n p p n n ++==⎧⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩ 或229391022915p n p p n n ++==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩ 或22934229137p n p p n n ++==⎧⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩ 或22913422932p n p p n n ++==⎧⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩ ①14n =-或7-或2-或5 27．1【详解】解 ①1x ==，而213<<， ①21a x =-=．又①1x -=，而312-<<-，①()33223()3++=+-++a b ab a b a ab b ab2223()1a ab b ab a b =-++=+=．28．220【详解】填220.理由：因1a ≤，b ，6c ≤，288a b c ⨯+⨯+=277c b a ⨯+⨯+，即63480a b c +-=，即3(1621)b c a =-，所以，0b =，3，6.经检验，3b =符合题意．故3b =，4c =，3a =．则238384220⨯+⨯+=． 29．5【详解】理由：因为133x ≥， 所以141833333x y =-≤-=，则1432184y ⨯≥=， 即6y ≥．原方程可化为429xy y +=， 则42(9)x y =-． 所以42能被y 整除．所以y 可取6，7，14，21，42．相应地得到五组解：112,6,x y =⎧⎨=⎩223,7,x y =⎧⎨=⎩336,14,x y =⎧⎨=⎩447,21,x y =⎧⎨=⎩558,42.x y =⎧⎨=⎩ 30．10002001【详解】解原函数关系化为111k y x k k -=+++．令0x =得11y k =+，令0y =得1x k，即直线111k y x k k -=+++与y 轴、x 轴的交点分别为10,1k A k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭和1,0k B k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以 11111(1,2,,2000)22(1)21k kk OA B k k S SOA OB k k k k k ⎛⎫==⨯⨯==-= ⎪++⎝⎭，于是122000111111111212223220002001S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1110001220012001⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 故填10002001． 注：本题中用到第一章§3-3中介绍的裂项抵消求和方法． 31【分析】连接DF ，EF ，过点F 作FN AC ⊥，FM AB ⊥，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A 、D 、F 、E 四点共圆，=90DFE ∠︒，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．【详解】解：如图，连接DF ，EF ，过点F 作FN AC ⊥，FM AB ⊥． ①在ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 中点， ①AG DG EG ==． ①AG =FG ，①A 、D 、F 、E 四点共圆，G 点为圆心，DE 为直径， ①90DFE ∠=︒．①在Rt ABC 中，5AB AC ==，①BC == 又①点F 是BC 中点，①12CF BF BC ===1522FN FM AB ===． ①四边形AMFN 是正方形， ①52AN AM FN FM =====． ①90NFD DFM ∠+∠=︒，90MFE DFM ∠+∠=︒， ①NFD MFE ∠=∠．①在NFD △和MFE 中90DNF EMF NF MF NFD MFE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①()NFD MFE ASA ≅， ①51222ME DN AN AD ==-=-=， ①51322AE AM MD =+=+=， ①在Rt DAE中，DE【点睛】本题考查直角三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键． 32．1998【详解】用0表示偶数，1表示奇数，则按如下方法排列时：5011500100100100100111A B C个个，仅有一个数为偶数：A B C ++，故所求和数个数的最大值不小于199911998-=．其次，我们证明对任意排列，都至少有一个和为偶数，分4种情形．情形①：第一项为奇数，第二项为偶数．为了使和不出现偶数，第3项只能是奇数，接下去只能是1001000…这样出现了500个100后，所有1000个偶数全都排出，余下只有501个奇数，这时只能是上述排列，其中有一个和：A B C ++为偶数．情形①：第一项是奇数，第2项也是奇数．为了使和不出现偶数，以后各项只能都是奇数，排完1001个奇数后，剩下1000个偶数，再排下去必出现偶数：奇+奇+偶=偶． 情形①和①：第一项是偶数，第二项是奇数或偶数，同样必会出现和为偶数的情形． 综上可知，所求和数个数的最大值是1998． 33．1009921⨯+【详解】解：设239912232421002S =+⨯+⨯+⨯++⨯，则23991002222329921002S =+⨯+⨯++⨯+⨯，于是，由公式①得 ()299100212221002S S S =-=-+++++⨯10010021100221-=-+⨯+1009921=⨯+．故答案为：1009921=⨯+．34．【详解】解 如图所示，分别过A C 、作x 轴垂线，垂足分别为E F 、．设,OE a BF b ==，则,AE CF ==，所以A C 、的坐标分别是(),(2)A a C a b +，代入xy =得2)a b b =+=解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，(22,0)D a b +的坐标为．35．36【详解】解 因为对正整数n ，41n -整除2002n ， 所以200241nn -是整数． 而20022(250)5004141n n n n +=+--， 又因为41n -是奇数，所以25041n n +-是整数． 则4(250)100114141n n n +=+--，可知1001能被41n -整除．因为30n >，100171113=⨯⨯，所以可得41n -只能是143．所以36n =． 故应填36．36．，-1）##（11）【分析】由y =x 轴、y 轴于点A 、B ，得到点B 的坐标是（0，OB ＝A 的坐标是（﹣1，0），OA ＝1，①ABO ＝30°，①OAB ＝60°，分别求得直线BF 的解析式为=-+y x AF 的解析式为2)2y x =，联立解方程组即可得到点F 在该平面直角坐标系内的坐标．【详解】解：①直线AB ：y =x 轴、y 轴于点A 、B 当x ＝0时，y①点B 的坐标是（0，OB当y ＝0时，0x ＝﹣1， ①点A 的坐标是（﹣1，0），OA ＝1①tan ①ABO ＝AO BO =①①ABO ＝30°，①OAB ＝90°－①ABO ＝60°如图所示，由题意得①EAB ＝①ABD ，①ABE ＝①BAD ， ①①ABE ①①BAD ①①AEB ＝①ADB①A 、E 、D 、B 四点共圆，如图所示， ①①ADE ＝①ABE ＝30°，①EAD ＝①EBD ①①F AB ＝①FBA ①①ADE ①①AFD①①F ＝①ADE ＝30°，①F AB ＝①FBA ＝75°①①F AO ＝①F AB －①BA 0＝15°，①FBE ＝①F AB －①ABO ＝45°， ①①OGB ＝90°－①FBE ＝45° ①①OGB ＝①OBG ①OG ＝OB①点G0），设直线BF 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入G 0），B （0b b +==⎪⎩ 解得1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩①直线BF 的解析式为=-+y x在线段AO 上取点H ，使得AH ＝EH ，则①HAE ＝①HEA ＝15°， ① ①OHE ＝①HAE ＋①HEA ＝30° 设OE ＝t ， 则OH＝tan 30OE=︒，22HE OE t AH ===①21OA AH OH t =+==①2t ==①点E 的坐标为（02）设直线AF 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，代入A （﹣1，0），E （02）得11102k b b -+=⎧⎪⎨⎪⎩解得1122k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ①直线AF的解析式为2)2y x =， 联立直线BF 和AF 的解析式得2)2y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩①点F，-1） 故答案为：，-1）【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、 解二元一次方程组、四点共圆等知识，综合性非常强，难度较大，利用待定系数法求解析式是关键． 37．2.5+【分析】连接BD ，过B 作BH ①AC 于H 点，根据①BCD 是直角三角形，可证明①BAC =①BDC ，则有A 、B 、C 、D 四点共圆，进而有BD 是该圆的直径，可得①BAD =90°，利用勾股定理可得BD =12CD BD ==BC ==，根据BH ①AC ，可得①ABH 、①BCH 是直角三角形，则有①ABH =30°，即1522AH AB ==，利用勾股定理可得BH =，再在①BCH 是直角三角形，可得CH 可得解．【详解】连接BD ，过B 作BH ①AC 于H 点，如图，①①BCD =90°，①①BCD 是直角三角形， ①222BD CD BC =+，①BC =，①2BD CD =， ①在Rt ①BCD 中，①DBC =30°， 即①BDC =60°， ①①BAC =60°， ①①BAC =①BDC ， ①A 、B 、C 、D 四点共圆， ①①BCD =90°， ①BD 是该圆的直径， ①①BAD =90°， ①AB =5，AD =2，①BD①12CD BD =BC ==， ①BH ①AC ，①①ABH 、①BCH 是直角三角形，①①BAC =60°， ①①ABH =30°， ①1522AH AB ==，即BH ===， ①①BCH 是直角三角形，①CH ==①52AC AH CH =+=故答案为：52+【点睛】本题考查了勾股定理、四点共圆、圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识，利用四点共圆是解答本题的关键． 38．710【分析】设上区的桌位数为x ，单个桌位座位数为a ，中区的桌位数为y ，单个桌位座位数为b ，下区的桌位数为z ，单个桌位座位数为c ，第一天下区的坐有观众的桌位数为m ，根据中区的观众数占入场观众数的14，上座率为35，可得3ma +2mb +mc ＝35（xa +yb +zc ），6b＝3a +c ①，设第二天上区的坐有观众的桌位数为n ，根据上区的观众数占入场观众数的25，上座率为34，可得na +nb +2nc ＝34（xa +yb +zc ），3a ＝2b +4c ①，联立①①可得b ＝54c ，a ＝136c ，进一步得到mc ＝350（xa +yb +zc ），nc ＝965（xa +yb +zc ），根据第三天上区的观众数与第二天上区的观众数相同，中区的观众数是第一天的中区的观众数的13，下区的观众数是当天上区和中区观众数的总和，可得第三天上区的观众数为na ＝136nc ，中区的观众数为13×2mb ＝23 mb ＝56mc ，下区的观众数为136nc +56mc ，依此可求第三天的上座率．【详解】解：设上区的桌位数为x ，单个桌位座位数为a ，中区的桌位数为y ，单个桌位座位数为b ，下区的桌位数为z ，单个桌位座位数为c ，第一天下区的坐有观众的桌位数为m ，∵中区的观众数占入场观众数的14，上座率为35，∴3ma+2mb+mc＝35（xa+yb+zc），2mb＝14（3ma+2mb+mc），∴6b＝3a+c①，设第二天上区的坐有观众的桌位数为n，∵上区的观众数占入场观众数的25，上座率为34，∴na+nb+2nc＝34（xa+yb+zc），na＝25（na+nb+2nc），∴3a＝2b+4c①，把①代入①得6b＝2b+4c+c，即b＝54 c，把b＝54c代入①得3a＝52c+4c，即a＝136c，∴3m×136c+2m×54c+mc＝35（xa+yb+zc），整理得mc＝350（xa+yb+zc），∴n×136c+n×54c+2nc＝34（xa+yb+zc），整理得nc＝965（xa+yb+zc），∵第三天上区的观众数与第二天上区的观众数相同，中区的观众数是第一天的中区的众数的13，下区的观众数是当天上区和中区观众数的总和，∴第三天上区的观众数为na＝136nc，中区的观众数为13×2mb＝23mb＝56mc，下区观众数为136nc+56mc，∴第三天的上座率为135266nc mcxa yb zc⎛⎫+⎪⎝⎭++()()135276610xa yb zc xa yb zcxa yb zc⎡⎤+++++⎢⎥⎣⎦==++．故答案为：710．【点睛】本题考查了应用类问题，不定方程的应用，解题的关键是正确读懂题意列出方程和代数式．39．(1)证明见解析【分析】（1）根据题意和菱形的性质，利用SAS 证明ADE CDE ≌△△，即可得出结论． （2）①首先根据题意，得到ABD △为等边三角形，然后过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ADH 中，依据30ADH ∠=︒，得到32AH =，然后利用勾股定理，得到DH 的长，然后再过点E 作EG DF ⊥于G ，依据1DF =，3CD =，得到3CDE FDE S S =△△，再由（1）得ADE CDE ≌△△，得到3ADE FDE S S =△△，进而得到2ADF FDE S S =△△，然后利用三角形的面积，算出EG 的长．即得到点E 到CD 的距离；①在Rt EDG 中，依据60EDG ∠=︒，得到30DEG ∠=︒，EG =DG x =，利用30︒所对的直角边等于斜边的一半，得到2DE x =，再利用勾股定理，解出x 的值，即可得到DE 的长，然后在Rt EFG 中，31144EF =-=，EG =EF 的长，即可得出EF ED 的值． （1）证明：①在菱形ABCD 中，60DBA ∠=︒， ①AD DC =，120ADE CDE ∠=∠=︒， 在ADE 和CDE 中， AD DCADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①ADE CDE ≌△△（SAS ）， ①AE CE =． （2）解：①依题意ABD △为等边三角形，过点D 作DH AB ⊥于H ， 在Rt ADH 中，60DAH ∠=︒，30ADH ∠=︒，3AD =，则32AH =，①DH ==过点E 作EG DF ⊥于G ， ①1DF =，3CD =，①3CDE FDE S S =△△，由（1）得，ADE CDE ≌△△， ①3ADE FDE S S =△△， ①2ADF FDE S S =△△， 由12ADF S DF DH =⋅△，12FDE S DF EG =⋅△，①12EG DH ==；①在Rt EDG 中，60EDG ∠=︒，则30DEG ∠=︒，EG = 设DG x =，则2DE x =，222(2)x x +=⎝⎭， 解得：34x =±（负值舍去）①34x =， ①32=DE ， 在Rt EFG 中，31144EF =-=，EG =①EF =①232EF ED == 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理、面积与等量代换、30︒所对的直角边等于斜边的一半等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关性质与定理． 40．135【详解】由422223a b a b =+得4224230a ab b --=，即2222(3)()0a b a b -+=． 但220a b +≠（否则22230a b +=，与已知条件矛盾）， 所以2230a b -=，即223a b ，22222222312010601035a b b b a b b b --==++． 41．(1)AB 边上的高为6013(2)4m =，9n =，被剪去的小正方形的边长为54【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形，然后再利用等面积法进行计算即可解答；（2）利用拆项配成两个完全平方式，然后求出m ，n 的值，再利用等面积法进行计算即可解答．【详解】（1）解：①2222512169AC BC +=+=，2213169AB ==， ①222AC BC AB +=， ①ABC 是直角三角形，过点C 作CD AB ⊥于点D ，如图①，①1122ABC S BC AC AB CD =⋅=⋅△， ①560121313AC CD BC AB =⋅=⨯=； （2）解：①22818970m m n n -+-+=， ①2281618810m m n n -++-+=， ①()()22490m n +-=-，①()240m -≥，()290n -≥，①40m -=，90n -=， ①4m =，9n =，设剪去的小正方形的边长x ， ①()2224m x x mn +-=， ①()2242449x x +-=⨯， 解得：54x =， 答：剪去的小正方形的边长为54．【点睛】本题考查了配方法的应用，勾股定理的逆定理，偶次方的非负性，剪纸问题，熟练掌握等面积法是解题的关键． 42．见解析【详解】因2(4)3()x y x y x y +=---，而3|(4)x y -，3|3()x y -，则3|(2)x y +． 又22472x xy y +-(2)(4)x y x y =+-，则()229|472x xy y +-．43．符合条件的两位数一共有12个：10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，90 【详解】设0a b n ab =⨯（n 为自然数），则 10010a b na nb +=+，所以10(10)(1)n a n b -=-．由于19,09a b ≤≤≤≤，因此可得110n ≤≤．分析n 取值从1到10，符合条件的两位数一共有12个：10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，90．44．（1）见解析；（2【详解】解 （1）由题意知45ACB DCE ∠=∠=︒，BC ，EC =， 所以DCA ECB ∠=∠，AC DCBC EC=，所以ADC BEC △△，故45DAC EBC ∠=∠=︒， 所以DAC ACB ∠=∠，所以//AD BC ．（2）设AE x =，因为30ACE ∠=︒，可得AC =，2CE x =，DE DC =．因为90EAP CDP ∠=∠=︒，EPA CPD ∠=∠，所以APE DPC △△， 故可得12APE DPC S S =△△．又2EPC APE ACE S S S +=△△△，2EPC DPC CDE S S S x +==△△△，于是可得2(2DPC S x =△，21)EPC S x =△．所以DPC EPC S DP PE S ==△△ 45．n 的最小值等于34． 【详解】记{1,2,3,,50}S =，i A 是S 中能被i 整除的正整数组成的集合(1,2, 3)i =，2A ，3A 分别2A ，3A 中数的个数，由容斥原理有23A A ⋃=2323A A A A +-⋂5050502323⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦2516833=+-=． 从23A A ⋃中任取3个数，其中至少有2个数属于2A 或3A 中同一个集合，它们不互质． 故所求n 的最小值34≥．其次，设1{1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47}B =，22222{2,3,5,7}B =，3{223,317,59}B =⨯⨯⨯，则1B ，2B ，3B 中共有164323++=个数，于是从S 内任取34个数，其中至少有34(5023)7--=个数属于123B B B ⋃⋃．由抽屉原理知，这7个数中至少有71133-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦个数属于1B ，2B ，3B 中同一个子集，它们两两互质． 综上所述，所求n 的最小值等于34． 46．57个【详解】因为正整数m ，n 满足mn 能被21整除，且130m n ≤≤≤，所以， （1）若21m =，则21n =，22，…，30．故满足条件的数对(,)m n 有10个． （2）若21m ≠，（①）当21n =时，1m =，2，…，20．满足条件的数对(,)m n 有20个． （①）当21n ≠时，因为2137=⨯，所以，1）如果3m a =,7n b =（a ，b +∈N ，且7≠a ，3b ≠），得13730a b ≤≤≤．1b =时，1a =，2； 2b =时，1a =，2，3，4；4b =时，1a =，2，3，4，5，6，8，9．故满足条件的数对(,)m n 有24814++=（个）．2）如果7m a =，3n b =（a ，b +∈N ，且3a ≠，7b ≠），得17330a b ≤≤≤． 3b =，4时，a 的值均为1；5b =，6，8，9时，a 的值均为1，2；10b =时，a 的值为1，2，4．故满足条件的数对(,)m n 有2142313⨯+⨯+=（个）． 综上，满足条件的数对(,)m n 共有1020141357+++=（个）． 47．见解析．【详解】利用开平方运算检验前几项均符合（必要时可多算几项）． 2222497,448967,444889667,444488896667====．由此我们猜想2144448889(66661)n nn+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+．事实上，可设2144448889(1){1,2,,},9n nnxx xx x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+∈⋅⋅⋅， 即24111110811111(1111)n nnnx ⨯⋅⋅⋅⨯+⨯⋅⋅⋅+=⨯⋅⋅⋅+．令1111nm⋅⋅⋅=，则1091111191n nm =⨯⋅⋅⋅+=+， 代入上式，得()()2491811m m m mx +++=+， 整理成关于x 的方程，得22(3612)0mx x m +-+=， 解此方程，得6x =（负根舍去了）．所以，2144448889(66661)n nn +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+．另证1 21111444488894108109n nkkk n k n n+=+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++∑∑()()221141101010411010n n +=+++++++++()()1221114101410199n n ++=+⋅-+⋅- ()221141041019n n ++=⋅+⋅+221121012110333n n ++⎛⎫⋅+⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21621101010933n +⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦()221610101076667n nn+⎡⎤=++++=⋅⋅⋅⎣⎦． 另证2144448889444488881n nnn+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1144400088881n n n++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+1141111081111n n n ++=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+1114111(91111)81111n n n +++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+21136(111)121111n n ++=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+21(61111)n +=⋅⋅⋅⋅+．48．本题有两种可能答案：情形1：B 组110分，C 组80分，D 组70分，E 组60分；情形2：B 组100分，C 组90分，D 组70分，E 组60分．填表进行检验见解析． 【详解】根据条件（1），每一竖行中，五组得分各不相同．对于一门单科，全部可能的不同得分是0，10，20，30和40，只有5种． 五门单科各组的分数总和是()5010203040500⨯++++=． 从500分中减去第1名A 组180分，其余四组总分之和是320分． 为了叙述简洁，约定B 组总分记为B ，C 组总分记为C ，其余类推． 那么，402060,E B C D E ≥+=>>>． 由此得60708090300E D C B +++≥+++=．这四组实际总分之和是320，只比最低可能限度多出20分．多出的20分，只有两种可能分配方案：或者都加给第2名B ，或者B 与第3名C 各加10分．因而，本题有两种可能答案：情形1：B 组110分，C 组80分，D 组70分，E 组60分； 情形2：B 组100分，C 组90分，D 组70分，E 组60分．为了满足条件（2），在情形1中，C 组应该有四门20分，一门0分；在情形2中，C 组有。

一、拓展提优试题1．a，b，c是三个互不相等的自然数，且a+b+c＝48，那么a，b，c的乘积最大是．2．（15分）二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方法如下：那么，将二进制数 11111011111 转化为十进制数，是多少？3．已知三个分数的和是，并且它们的分母相同，分子的比是2：3：4．那么，这三个分数中最大的是．4．从12点整开始，至少经过分钟，时针和分针都与12点整时所在位置的夹角相等．（如图中的∠1＝∠2）．5．如图，一个长方形的长和宽的比是5：3．如果长方形的长减少5厘米，宽增加3厘米，那么这个长方形边长一个正方形．原长方形的面积是平方厘米．6．一次智力测试由5道判断对错的题目组成，答对一道得20分，答错或不答得0分．小花在答题时每道题都是随意答“对”或“错”，那么她得60分或60分以上的概率是%．7．如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水．先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米．圆锥形铁块的高厘米．8．用1024个棱长是1的小正方体组成体积是1024的一个长方体．将这个长方体的六个面都涂上颜色，则六个面都没有涂色的小正方体最多有个．9．根据图中的信息计算：鸡大婶和鸡大叔买的花束中，玫瑰、康乃馨、百合各多少枝？10．小红买1支钢笔和3个笔记本共用了36.45元，其中每个笔记本售价的与每支钢笔的售价相等，则1支钢笔的售价是元．11．某日是台风天气，雨一直均匀地下着，在雨地里放一个如图1所示的长方体容器，此容器装满雨水需要1小时．请问：雨水要下满如图2所示的三个不同的容器，各需要多长时间？12．如图，由七巧板拼成的兔子图形中，兔子耳朵（阴影部分）的面积是10平方厘米，则兔子图形的面积是平方厘米．13．张强晚上六点多外出锻炼身体，此时时针与分针的夹角是110°；回家时还未到七点，此时时针与分针的夹角仍是110°，则张强外出锻炼身体用了分钟．14．请你想好一个数，将它加上5，其结果乘以2，再减去4，得到的差除以2，再减去你最初想好的那个数，最后的计算结果是．15．若（n是大于0的自然数），则满足题意的n的值最小是．16．小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码）．那么，这本书原来有页．17．已知两位数与的比是5：6，则＝．18．如图，将1个大长方形分成了9个小长方形，其中位于角上的3个小长方形的面积分别为9，15和12，由第4个角上的小长方形的面积等于．19．某项工程，开始由6人用35天完成了全部工程的，此后，增加了6人一起来完成这项工程．则完成这项工程共用天．20．从1，2，3，…，2016中任意取出n个数，若取出的数中至少有两个数互质，则n最小是．21．若算式（□+121×3.125）÷121的值约等于3.38，则□中应填入的自然数是．22．有2013名学生参加数学竞赛，共有20道竞赛题，每个学生有基础分25分，此外，答对一题得3分，不答题得1分，答错一题扣1分，则所有参赛学生得分的总和是数（填“奇”或“偶”）．23．若一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的2倍，所有棱长之和是56，则此长方体的体积是．24．某次数学竞赛，甲、乙、丙3人中只有一人获奖，甲说：“我获奖了．”乙说：“我没获奖．”丙说：“甲没有获奖．”他们的话中只有一句是真话，则获奖的是．25．某小学的六年级有学生152人，从中选男生人数的和5名女生去参加演出，该年级剩下的男、女生人数恰好相等，则该小学的六年级共有男生名．26．小红整理零钱包时发现，包中有面值为1分，2分，5分的硬币共有25枚，总值为0.60元，则5分的硬币最多有枚．27．如图，三个同心圆分别被直径AB，CD，EF，GH八等分，那么，图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是．28．老师让小明在400米的环形跑道上按照如下规律插上一些旗子做标记：从起点开始，沿着跑道每前进90米就插上一面旗子，直到下一个90米的地方已经插有旗子为止，则小明要准备面旗子．29．一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下部分的30%．若两次剪去的部分比余下的部分多0.4米，则这根绳子原来长米．30．甲、乙两家商店出售同一款兔宝宝玩具，每只原售价都是25元，为了促销，甲店先提价10%，再降价20%；乙店则直接降价10%．那么，调价后对于这款兔宝宝玩具，店的售价更便宜，便宜元．31．如图，边长为12cm的正方形与直径为16cm的圆部分重叠（圆心是正方形的一个顶点），用S1，S2分别表示两块空白部分的面积，则S1﹣S2＝cm2（圆周率π取3）．32．如图，正方形ABCD和EFGH分别被互相垂直的直线分为两个小正方形和两个矩形，小正方形的面积的值已标在图中，分别为20和10，18和12，则正方形ABCD和EFGH中，面积较大的正方形是．33．小强和小林共有邮票400多张，如果小强给小林一些邮票，小强的邮票就比小林的少；如果小林给小强同样多的邮票，则小林的邮票就比小强的少，那么，小强原有227张邮票，小林原有张邮票．34．对于一个多边形，定义一种“生长”操作：如图1，将其一边AB变成向外凸的折线ACDEB，其中C和E是AB的三等分点，C，D，E三点可构成等边三角形，那么，一个边长是9的等边三角形，经过两次“生长”操作（如图2），得到的图形的周长是；经过四次“生长”操作，得到的图形的周长是．35．已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是．36．李华在买某一商品的时候，将单价中的某一数字“7”错看成了“1”，准备付款189元，实际应付147元，已知商品的单价及购买的数量都是整数，则这种商品的实际单价是元，李华共买了件．37．如图，设定E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，线段CE，BF交于点D，若△CDF，△BCD，△BDE的面积分别为3，7，7，则四边形AEDF的面积是．38．如图所示的容器中放入底面相等并且高都是3分米的圆柱和圆锥形铁块，根据图1和图2的变化知，圆柱形铁块的体积是立方分米．39．如图是甲乙丙三人单独完成某项工程所需天数的统计图，根据图中信息计算，若甲先做2天，接着乙丙两人合作了4天，最后余下的工程由丙1人完成，则完成这项工程共用天．40．22012的个位数字是．（其中，2n表示n个2相乘）【参考答案】一、拓展提优试题1．解：48÷3＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，所以，a，b，c的乘积最大是：15×16×17＝4080．故答案为：4080．2．解：（11111011111）2＝1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20＝1024+512+256+128+64+0+16+8+4+2+1＝（2015）10答：是2015．3．解：＝＝，答：这三个分数中最大的一个是．故答案为：．4．解：设所走的时间为x小时．30x＝360﹣360x3x+360x＝360﹣30x+360390x＝360x＝小时＝55分钟．故答案为：55．5．解：先求出一份的长：（5+3）÷（5﹣3）＝8÷2＝4（厘米）长是：4×5＝20（厘米）宽是：4×3＝12（厘米）原来的面积是：20×12＝240（平方厘米）；答：原来长方形的面积是240平方厘米．故答案为：240．6．解：有答对一题，两题，三题，四题，五题，全错六种情况，答对三题是60分，四题是80分，五题是100分，她得60分或60分以上的概率是：＝50%．答：她得60分或60分以上的概率是50%．故答案为：50%．7．解：圆锥形铁块的体积是：3.14×（10÷2）2×3.2＝3.14×25×3.2＝251.2（cm3）铁块的高是：251.2×3÷[3.14×（）2]＝251.2×3÷50.24＝15（cm）答：铁块的高是15cm．8．解：因为1024＝210＝8×8×16（8﹣2）×（8﹣2）×（16﹣2）＝6×6×14＝504答：六个面都没有涂色的小正方体最多有504个．故答案为：504．9．解：依题意可知：玫瑰与康乃馨和百合的枝数化连比为：10：15：3；购买一份比例的价格为：3×20+15×6+15×10＝300；正好是1倍关系．答：购买玫瑰10枝，康乃馨15枝，百合3枝．10．解：36.45÷（3+）＝36.45＝5.45.4×＝20.25（元）答：1支钢笔的售价是 20.25元．故答案为：20.25．11．解：图1所示的长方体容器的容积：10×10×30＝3000（立方厘米）接水口的面积为：10×30＝300（平方厘米）接水口每平方厘米每小时可接水：3000÷300÷1＝10（立方厘米）所以，图①需要：10×10×30÷（10×10×10）＝3（小时）图②需要：（10×10×20+10×10×10）÷（10×10×20）＝1.5（小时）图③需要：2÷2＝1（厘米）3.14×1×1×20÷（3.14×1×10）＝2（小时）答：容器①需要3小时，容器②需要1.5小时，容器③需要2小时．12．解：10＝80（平方厘米）答：兔子图形的面积是80平方厘米．故答案为：80．13．解：依题意可知：分针开始落后时针共格；后来分针领先格，路程差为格．锻炼身体的时间为：＝40（分）；故答案为：40．14．解：设这个数是a，[（a+5）×2﹣4]÷2﹣a＝[2a+6]÷2﹣a＝a+3﹣a＝3，故答案为：3．15．解：当n＝1时，不等式左边等于，小于，不能满足题意；当n＝2时，不等式左边等于+＝＝，小于，不能满足题意；同理，当n＝3时，不等式左边大于，能满足题意；所以满足题意的n的值最小是3．故答案是：316．解：设这本书的页码是从1到n的自然数，正确的和应该是1+2+…+n＝n（n+1），由题意可知，n（n+1）＞4979，由估算，当n＝100，n（n+1）＝×100×101＝5050，所以这本书有100页．答：这本书共有100页．故答案为：100．17．解：因为（10a+b）：（10b+a）＝5：6，所以（10a+b）×6＝（10b+a）×560a+6b＝50b+5a所以55a＝44b则a＝b，所以b只能为5，则a＝4．所以＝45．故答案为：45．18．解：如图，设D的面积为x，9：12＝15：x9x＝12×15x＝x＝20答：第4个角上的小长方形的面积等于20．故答案为：20．19．解：总工作量看做单位“1”．剩余工作量为1﹣＝，一个人的工作效率为÷6÷35，（1﹣）÷[÷6÷35×（6+6）]＝÷（÷6÷35×12）＝÷＝35（天）35+35＝70（天）答：完成这项工程共用70天．故答案为：70．20．解：根据分析，1～2016数中，有奇数1008个，偶数1008个，因为偶数和偶数之间不能互质，故：①n＜1008时，有可能取的n个数都是偶数，就不能出现至少有两个数互质的情况；②n＝1008时，若取的数都是偶数，也不能出现至少有两个数互质的情况；③n≥1009时，则取的n个数里至少有一个为奇数，取出的这个奇数和它相邻的偶数一定互质，综上，n最小是1009．故答案是：1009．21．解：令□＝x，那么：（x+121×3.125）÷121，＝（x+121×3.125）×，＝x+121×3.125×，＝x+3.125；x+3.125≈3.38，x≈0.255，0.255×121＝30.855；x＝30时，x＝×30≈0.248；x＝31时，x＝×31≈0.255；当x＝31时，运算的结果是3.38．故答案为：31．22．解：每人答对x道，不答y道，答错z道题目，则显然x+y+z＝20，z＝20﹣x﹣y；所以一个学生得分是：25+3x+y﹣z，＝25+3x+y﹣（20﹣x﹣y），＝5+4x+2y；4x+2y显然是个偶数，而5+4x+2y的和一定是个奇数；2013个奇数相加的和仍是奇数．所以所有参赛学生得分的总和是奇数．故答案为：奇．23．解：长方体的高是：56÷4÷（1+2+4），＝14÷7，＝2，宽是：2×2＝4，长是：4×2＝8，体积是：8×4×2＝64，答：这个长方体的体积是64．故答案为：64．24．解：由分析可知：假设甲说的是真话，那乙说的也是真话，所以不成立；假设乙说的是真话，那甲说的也是真话，也不成立；所以只能是丙说的是真话，乙说的是假话，即：乙得奖了；故答案为：乙．25．解：设男生有x人，（1﹣）x＝152﹣x﹣5，x+x＝147﹣x+x，x＝147，x＝77，答：该小学的六年级共有男生77名．故应填：77．26．解：因为0.60元＝60分，设1分，2分，5分的硬币各有x枚、y枚和z枚，则有x+y+z＝25，x+2y+5z＝60，把上面的两个式子相减得出y+4z＝35，要使5分的硬币最大，即Z最大，y最小，因为35是奇数，所以y必须是奇数，当y＝1时，z的值不是整数，当y＝3时，z＝8，所以z＝8；答：5分的硬币最多有8枚；故答案为：8．27．解：由图可知，阴影部分的面积是图中最大圆面积的，非阴影部分的面积是图中最大圆面积的，所以图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是：：＝1：3；答：图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是1：3．故答案为：1：3．28．解：400和90的最小公倍数是3600，则3600÷90＝40（面）．答：小明要准备40面旗子．故答案为：40．29．解：第二次剪求的占全长的：（1）×30%＝＝，0.4÷[（1）]＝0.4÷[]＝＝0.4×15＝6（米）；答：这根绳子原来长6米．故答案为：6．30．解：甲商店：25×（1+10%）×（1﹣20%），＝25×110%×80%，＝27.5×0.8，＝22（元）；乙商店：25×（1﹣10%），＝25×90%，＝22.5（元）；22.5﹣22＝0.5（元）；答：甲商店便宜，便宜了0.5元．故答案为：甲，0.5．31．解：3×（16÷2）2﹣122＝192﹣144，＝48（平方厘米）；答：S1﹣S2＝48cm2．故答案为：48．32．解：小正方形的面积之和为30时，两正方形的面积差最小，则大正方形的面积越大，即EFGH的面积较大；故答案为：EFGH．33．解：（1﹣）：1＝13：19，13+19＝32；1：（1﹣）＝17：11，17+11＝28，32与28的最小公倍数是224，小强和小林共有邮票400多张，所以共有224×2＝448张，448÷32×13＝182，448÷28×17＝272．小强：（182+272）÷2＝227张小林：448﹣227＝221．故答案为：227，221．34．解：边长是9的等边三角形的周长是9×3＝27第一次“生长”，得到的图形的周长是：27×＝36第二次“生长”，得到的图形的周长是：36×＝48第三次“生长”，得到的图形的周长是：48×＝64第四次“生长”，得到的图形的周长是：64×＝＝85答：经过两次“生长”操作，得到的图形的周长是48，经过四次“生长”操作得到的图形的周长是85．故答案为：48，85．35．解：自然数N的个位数字是0，它一定有质因数5和2，要使N最小，5的个数应最少为1个，而求其它因数最好都是2和3，并且2的个数不能超过2个，其它最好都是3；设这个自然数N＝21×51×3a，根据约数和定理，可得：（a+1）×（1+1）×（1+1）＝8，（a+1）×2×2＝8，a＝1；所以，N最小是：2×3×5＝30；答：N最小是30．故答案为：30．36．解：189＝3×3×3×7＝27×7147＝3×7×7＝21×7正好是27×7＝189中把27看成21×7＝147所以这种商品的实际单价是21元，卖了7件．故答案为：21，7．37．解：连接AD，因△CDF和△BCD的高相等，所以FD：DB＝3：7，所△AFD和△ABD的面积比也是3：7，即可把△AFD的面积看作是3份，△ABD的面积看作是7份，S△BCD＝7，S△BDE＝7所以CD＝DE，S△ACD＝S△ADE，S△ACD+S△BDE＝S△ABD，S△ACD+S△BDE＝7份，S△AFD+S△CDF+S△BDE＝7份，3份+3+7＝7份，则1份＝2.5，S四边形AEDF＝10份﹣7＝10×2.5﹣7＝25﹣7＝18答：四边形AEDF的面积是18．故答案为：18．38．解：25.7÷（1+1+3）＝25.7÷5＝5.14（立方分米）5.14×3＝15.42（立方分米）答：圆柱形铁块的体积是15.42立方分米．故答案为：15.42．39．解：依题意可知：甲乙丙的工作效率分别为：，，；甲乙工作总量为：×2+×4＝；丙的工作天数为：（1﹣）＝3（天）；共工作2+4+3＝9故答案为：940．解：2012÷4＝503；没有余数，说明22012的个位数字是6．故答案为：6．。

2020年五年级数学竞赛模拟测试题（三）1.计算：12 - 22 + 32 - 42 + ... - 20122 + 20132 =( )【分析】平方差公式原式 = 20132 - 20122 + ... + 52 - 42 + 32 - 22 +12 - 02= (2013 + 2012) ⨯ (2013 - 2012) + ... + (5 + 4) ⨯ (5 - 4) + (3 + 2) ⨯ (3 - 2) + (1 + 0) ⨯ (1 - 0)= 2013 + 2012 + ... + 5 + 4 + 3 + 2 +1 + 0= 20270912.可用三根管向容器中注入液体,采用第一根管注满容器的时间为10 小时。

采用第二根管和第三根管注满容器的时间分别为12 小时和15 小时。

由于压力降低,每根管的输入能力仅为原来的一半。

因此决定用三根管同时向容器中注入液体,问这时注满空容器需要( )小时。

【分析】工程问题。

设容器的总量为1,那么三根管子原来的工作效率分别为1,1和1；10 12 15压力减半之后一起开动,工效之和( 1+1+1) ÷ 2 =1,那么现在需要1÷1= 8 (小时)。

10 12 15 8 83.如右图,长方形ABCD 被其内部的一些直线划分成了若干块。

已知S△AMD =13 , S△BNC = 39 。

则图中阴影部分的面积是( )。

【分析】蝴蝶模型。

如图,连接 EF ,因为 AB / /CD ,所以 S∆A D M 所以阴影部分的面积是13 + 39 = 52 。

=S∆MEF, S∆NBC=S∆NEF;4.德国数学康托尔构造的这个图形叫分形,称做康托尔集．从长度为1 的线段开始,康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段。

无限量地重复这一过程,余下的无穷点集就称做康托尔集。

图中是康托尔集的最初几个阶段,当达到第六个阶段时,余下的所有线段的长度之和为（）。

全国初中数学竞赛模拟试题〔三〕一、选择题〔此题总分值30分，每题5分〕 1．假设1))(())(())((＝＋＋＋＋＋＋＋＋y x z y zxx z y x yz z y x z xy ，那么x 、y 、z 的取值情况是〔 〕〔A 〕全为零 〔B 〕只有两个为零 〔C 〕只有一个为零 〔D 〕全不为零2．假设x ，y ，x －y 都是有理数，那么x ，y 的值是 〔 〕〔A 〕二者均为有理数〔B 〕二者均为无理数〔C 〕仅有一个为有理数〔D 〕以上均有可能3．设n 为自然数，那么n 2＋n ＋2的整除情况是〔 〕〔A 〕既不能被2整除，也不能被5整除 〔B 〕能被2整除，但不能被5整除 〔C 〕不能被2整除，但能被5整除〔D 〕既能被2整除，又能被5整除4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用一个半小时；假设往返都坐车，全部行程那么只需半个小时．如果往返都步行，那么需用的时间是 〔 〕〔A 〕1小时〔B 〕2小时〔C 〕2.5小时〔D 〕3小时5．如图，正方形ABCD 及正方形AEFG ，连接BE 、CF 、DG ．那么BE ∶CF ∶DG 等于 〔 〕〔A 〕1∶1∶1 〔B 〕1∶2∶1 〔C 〕1∶3∶1〔D 〕1∶2∶16．如果a ，b 是质数，且a 2－13a ＋m ＝0，b 2－13b ＋m ＝0，那么a b ＋ba的值为 〔 〕 〔A 〕22123〔B 〕22125或2 〔C 〕22125〔D 〕22123或2二、填空题〔此题总分值30分，每题5分〕1．实数x 满足x x x x －＝－132⋅，那么x 的取值范围是____________．2．如果对于一切实数x ，有f (x ＋1)＝x 2＋3x ＋5，那么f (x －1)的解析式是________________．3．实数x 、y 满足条件2x 2－6x ＋y 2＝0，那么x 2＋y 2＋2x 的最大值是____________． 4．方程332-＝3x －3y 的有理数解x ＝__________，y ＝__________． 5．如图，从直角△ABC 的直角顶点C 作斜边AB 的三等分点的连线CE 、CF ．CE ＝sin α，CF ＝cos α〔α为锐角〕，那么AB ＝__________．6．用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于______________．三、解答题〔此题总分值60分，每题20分〕1．如图，D 为等边△ABC 的BC 边上一点，BD ＝1，CD ＝2，CH ⊥AD 于点H ，连结BH ．试证：∠BHD ＝60º．ABCDEFG CAF AH2．函数y ＝－21x 2＋213的自变量在a ≤x ≤b 时，2a ≤y ≤2b ，试求a 、b 之值．3．一个自然数假设能表示成两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“聪明数〞．例如，16＝52－32就是一个“聪明数〞．试问： 〔1〕1998是不是“聪明数〞？说明理由．〔2〕从小到大排列，第1998个“聪明数〞是哪一个自然数？。

高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x+9x+12，则f(x)+g(x)=（。

）。

A。

-x+9x-12B。

x+9x-12C。

-x-9x+12D。

x-9x+122.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=sinxcosx④y=（空缺）其中在(x,y)上为单调增函数的是（。

）。

A。

①B。

②C。

①和③D。

②和④3.方程x+x-1=xπ2的解集为A（其中π为无理数，π=3.141…，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（。

）。

A。

B。

C。

1D。

44.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4（θ∈R），则点P(x,y)所在区域的面积为（。

）。

A。

36πB。

32πC。

20πD。

16π5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（。

）。

A。

9B。

12C。

15D。

186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于（。

）。

A。

807.已知曲线C：y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点，则m的取值范围是（。

）。

A。

(-2-1,2)B。

(-2,2-1)C。

[,2-1)D。

(,2-1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax/Smin的值为（。

）。

A。

B。

C。

D。

9.设x=.82,y=sin1,z=log2237，则x、y、z的大小关系为（。

）。

A。

x<y<zB。

y<z<xC。

z<x<yD。

z<y<x10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（。

初中数学竞赛模拟题50题含答案一、单选题1．已知2πx <，x 是整数，则符合条件的x 的值有（ ）A ．5个B ．6个C ．11个D ．13个 2．已知a ，b 为正整数，满足2240ab b a ---=，则a b +的最大值为（ ） A ．7 B ．18 C ．29 D ．30 3．若x a =，代数式22x x +的值为1-，则当x a =-时，代数式22x x +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3 4．在实数范围内，方程x 4﹣16＝0的实数根的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．若a ，b ，c ，d 为整数，且a ＜2b ，b ＜3c ，c ＜4d ，d ＜100，则a 可能取的最大值是（ ）A ．2367B ．2375C ．2391D ．2399 6．关于x的方程1x x -=的根的个数为（ ）． A ．0个 B ．1个C ．3个D ．4个 7．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根1x ，2x 满足()232311224x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为（ ）A ．0B ．34-C ．-1D ．54- 8．已知22211148()34441004A =⨯+++---，则3A 的整数部分[]3A 是（ ） A ．72 B ．73 C ．74D ．75 9．已知a ，b 满足（a +1）2﹣（b ﹣2c ﹣3|＝0，则a +b +c 的值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10．若2(3)(5)15x x x mx -+=+-，则m 的值为（ ）A ．-8B ．2C ．-2D ．-511x 的取值范围是（ ）A ．>4xB ．x ≥5x ≠C ．>4x 且5x ≠D ．45x << 12．已知a ，b 满足|a ﹣3|+（b +2）2＝0，则单项式﹣5axa ﹣by 的系数和次数分别是（ ）A ．﹣15，6B ．﹣15，5C ．﹣5，6D ．﹣5，5 13．已知333411112212221A =++++++-，则A 与1的大小关系是（ ）． A ．1A >B ．1A =C ．1A <D ．无法确定 14．111100011000100011000n n n n ---⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=个个个个（ ） A ．10n B ．210n + C ．210n D ．2210n +15．在11,,0.2020,722πn 是大于3的整数）这5个数中，分数的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．点D 、E 、F 分别在ABC 的三边BC 、AB 、AC 上，且AD 、BF 、CE 相交于一点M ，若5AB AC BE CF+=，则AM MD =（ ） A ．72 B ．3 C ．52 D ．217．计算=（ ）A 1B ．1CD ．218．有2014个数排成一行，其中任意相邻三个数中，中间的数等于它前后两数的和，若第一个数和第二个数都是1，则这2014个数的和等于（ ）A ．2014B ．1C ．0D ．-119．若p 为质数，33p +仍为质数，则3333p +的末位数字是（ ）．A ．5B ．7C ．9D ．不能确定 20．若1059，1417，2312分别被自然数x 除时，所得余数都是y ，则x y -=（ ）． A ．15 B ．1 C ．164 D ．179二、填空题21．能使2256n +是完全平方数的正整数n 的值为__________．22．在一张冬景照片上，人们分别戴着帽子、系着围巾和戴着手套．只戴帽子的人数等于只系围巾和只戴手套的人数之和；只有4人没有戴帽子；戴着帽子和系着围巾，但没有戴手套的有5人；只戴帽子的人数两倍于只系围巾者；未戴手套有8人，未系围巾有7人；三样东西都用的人数比只戴帽子的人数多一个．那么：（1）有______人同时用上了帽子、围巾和手套；（2）有______人只戴了手套；（3）有______人只系了围巾；（4）有______人既戴了帽子，又戴了手套，但没有系围巾；（5）有______人戴着手套．23．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，D 、E 分别在AC 、BC 边上，BE AD =，AE 、BD 相交于点F ，且4tan 3AFD ∠=，若13AE =，15BD =，则AD 的长为______．24．如图所示，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =，点P 在边CD 上运动，EP 与AB 的交点为F ．设cm DP x =，EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ，那么y 与x 之间的函数关系式是________．25．若方程219990x x a -+=有两个质数根，则=a ______．26．若实数,x y 满足333333331,134365456x y x y +=+=++++，则x y +=_____． 27．一组同学被分派去给1775棵小树苗浇水，每位同学每小时浇完30棵小树苗．1小时后，一些同学被分派去做其它工作；2小时后，相同数量的同学被分派去做其它工作；3小时后，又有相同数量的同学被分派去做其它工作；浇完这些小树苗共用3小时10分钟．则在开始的1.5小时内浇完的小树苗数为______．28．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球．按这种要求摆放，最多可以摆放____个球．29．如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和，就把这个数叫做“和谐数”那么，在1，2，…，2008中，和谐数的个数是_________．30．边长为整数，周长为12的三角形的面积的最大值是_________．31．如图，正方形ABCD 中，点E 在AB 边上且2AE BE =．连接CE ，取CE 边上中点G ，作GH CG ⊥且CG GH =，连接.CH 将CGH 绕着点C 逆时针旋转得到''.CG H当'H 恰好落在AH 的延长线上时，连接'.'HG CG 与'HH 交于F ，若AH =FH =______．32．有8个整数，它们都不是5的倍数，那么它们的4次方的和被5除，得到的余数是__________．33．4444412319901991+++++的个位数字是_________．34．已知k 为不超过50的正整数，使得对任意正整数n ，6312321n n k +⨯+⨯-都能被7整除．则这样的正整数k 有______个．35．如图，在△ABC 中，△B ＝△CAD ，32BD AC =，则ABD CADS S ∆∆=______36．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是__________岁．37．若a ，b ，c ，d 为非负整数，且()()22221993a b c d ++=，则a b c d +++=_________．38．已知19921991199031555522A =+⋅+⋅+为自然数，则A 被3除的余数为______． 39．已知整数13456ab （a ，b 各表示一个数字）能被198整除，那么=a ______，b =_____．三、解答题40．分解因式：222222()()x x a a x a x a ++++．41．某项工程，甲工程队先做20天后，由于另有任务不做，由乙工程队接替，结果乙队再做50天就恰好完成任务．已知乙队单独完成任务的时间是甲队的2.5倍．请问：(1)甲队单独做需要多少天才能完成任务？(2)若甲工程队先做x 天后，由乙工程队接替，结果乙队再做y 天就恰好完成任务．其中x ，y 都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么两队实际各做了多少天？42．如图（1），大正方形的面积可以表示为()2a b +，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即222a ab b ++．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：()2222a b a ab b +=++．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．(1)用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式：______；(2)如图（3），Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA =，4CB =，5AB =，CH 是斜边AB 边上的高．用上述“面积法”求CH 的长；(3)如图（4），等腰ABC 中，AB AC =，点O 为底边BC 上任意一点，OM AB ⊥，ON AC ⊥，CH AB ⊥，垂足分别为点M ，N ，H ，连接AO ，用上述“面积法”求证：OM ON CH +=．43．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=，求55ax by +的值．44．试比较1111(1)13521x n n =+++++-与1111()242y n n =+++的大小． 45．已知()1n n >个整数（可以相同）12,,,n x x x ，满足12129111n n x x x x x x +++==．求当n 取最小值时，12,,,n x x x 中的最大值． 46．计算：（1）2222123n +++⋯+；（2）3333123n +++⋯+．47．将8个数14，30，33，75，143，169，4445，4953分成两组，每组4个数，使一组中4个数的乘积与另一组中4个数的乘积相等，应该怎样分组？48．任给20个互不相等的正整数，每一个数都不大于100．证明：把这20个正整数两两相减（大减小）所得的差中至少有三个相等．49．如图．已知ABC 为等腰直角三角形，90A ∠=︒，D 、E 分别为AC BC 、上的两点，CD ，连接DE ，将DE 绕点E 逆时针旋转90︒得EF ，连接DF 与AB 交于点M ．(1)如图1，当30DEC ∠=︒时，若2BC =AD 的长；(2)如图2，连接CF ，N 为CF 的中点，连接MN ，求证：MN =； (3)如图3，连接AF ，将AF 绕点A 顺时针旋转60︒得AG ，连接FG 、BG 、CG ，若4AC =，当ACG 周长取得最小值时，直接写出BCG 的面积．参考答案：1．D【分析】利用去绝对值符号，得出关于x 的解集范围，再根据整数的定义，求出符合条件的值的个数．【详解】解：||2x π<，22x ππ∴-<<，3.14π≈，6.28 6.28x ∴-<<， x 是整数，x ∴可取6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6------有13个，故选：D ．【点睛】本题考查了去绝对值符号及无理数，解题的关键是：会去绝对值符号求解不等式的解集．2．D【详解】由2240ab b a ---=得2426122a b a a +==+--． a ，b 为正整数，226a ∴-∣． △3a =，27b = △4a =，14b = △15a =，3b = △28a =，2b =a b ∴+最大为30．3．D【分析】将等式变形可得()210a +，然后利用非负数性质得出12a n =-=，，然后将当1x =时，代入代数式求值即可．【详解】解：△x a =，代数式22x x +的值为1-，△221a a +=-，△()210a +=，△()210a +≥，△1020a n +=-=，，解得12a n =-=，， 当1x =时，代数式22123x x +=+=．故选择D ．【点睛】本题考查完全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求值，掌握完全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求值是解题关键．4．B【分析】先移项得出x 4=16，再根据四次方根的定义求出方程的解即可．【详解】解：x 4-16=0，x 4=16，x =±2，即方程x 4-16=0的实数根的个数是2，故选：B ．【点睛】本题考查了解高次方程，能求出x5．A【分析】需要根据题意确定d 的取值，然后依次可得出c 、b 、a 的最大值，继而可得出答案．【详解】解：△d ＜100，d 为整数，△d 的最大值为99，△4499396c d <=⨯=，c 为整数，△c 的最大整数为395，△333951185b c <=⨯=，b 为整数，△b 的最大整数为1184，△2211842368a b <=⨯=，a 为整数，△a 的最大整数为2367．故选：A【点睛】本题考查了整数问题，解答本题的关键是根据题意确定d 的值．6．B【详解】依题意0x ≥且2x ≥，故2x ≥，原方程化为1x x -1，所以3x =．故选B ．7．B【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p +=-，1232x x p ⋅=--．△()22221212122464x x x x x x p p +=+-⋅=++， ()()()23321212121232496x x x x x x x x p p p ⎡⎤+=++-⋅=-++⎣⎦． △()232311224x x x x +=-+得()223312124x x x x +=-+，△()2246442496p p p p p ++=+++， △(43)(1)0p p p ++=，△10p =，234p =-，31=-p ． 代入检验可知：以10p =，234p =-均满足题意，31=-p 不满足题意． 因此，实数p 的所有可能的值之和为1233044p p ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭． 故选B ．8．B 【详解】因211111()4(2)(2)422n n n n n ==---+-+， 所以11111111148()()()()415263798102A ⎡⎤=⨯-+-+-++-⎢⎥⎣⎦ 1111111112()123499*********=⨯+++----11125121001011021()99=-⨯+++． 若设111112()99100101102B =⨯+++，则4163312 1.59911B <⨯⨯=<，且4243312 1.410217B >⨯⨯=>，故375373.5A B =->，且375373.6A B =-<，所以[]373A =．故选B9．C【分析】根据完全平方和算术平方根以及绝对值都是非负数，列出方程求解即可．【详解】解：根据题意，得，2(1)|3|0a c +-=，△a +1＝0，2﹣b ＝0，c ﹣3＝0，解得a ＝﹣1，b ＝2，c ＝3，所以a +b +c ＝﹣1+2+3＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方和算术平方根以及绝对值都是非负数，非负数的性质：几个非负数的和为0，那么这几个数都为0，掌握非负数的性质是解题的关键．10．B【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可．【详解】解：△22(3)(5)21515x x x x x mx -+=+-=-+，△2m =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，恒等原理等，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，恒等的两个代数式对应项系数相等，是求解的关键．11．C【详解】依题意得270321544x x x x x x x x ⎧⎧-≥≤≥⎪⎪-≠⇒≠≠⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩且，4x ⇒>且5x ≠．故选C ． 12．A【分析】先根据绝对值和偶次方的非负数的性质得出a ﹣3=0，b +2＝0，解方程求出a 与b ，然后代入单项式得出单项式，根据单项式的系数与次数定义求解即可．【详解】解：△|a ﹣3|+（b +2）2＝0，|a ﹣3|≥0，（b +2）2≥0，△根据绝对值与偶次方非负数性质可得a ﹣3=0，b +2＝0，解得a =3，b =-2，△单项式﹣15x5y 的系数为-15，次数为5+1=6次．故选择A ．【点睛】本题考查绝对值与偶次方非负数性质，单项式的次数与系数，解一元一次方程，掌握非负数性质，和单项式相关定义是解题关键．13．C【详解】解 因11111818910158A =++++<⨯=．故选C 14．C 【详解】原式()()221011011010n n n n =+-+-= 15．B【分析】先把12【详解】解：1111222==-，当(3)n n >n 与2n -不可能同时取到完全平方数，设2n s =，22n t -=，有222s t -=，()()21s t s t +-=⨯， △2s t +=，1s t -=， △32s =，12t =不是整数解，不是分数． 2π是无理数，不是分数， 故分数有三个：17，0.2020，12． 故选：B ．【点睛】本题考查的是实数的分类，把12进行化简是解答此题的关键．16．B 【详解】设AM t MD =，由题设可得AMC DMC BMC BMC S tS AE EB S S ==△△△△，AMB BMD BMCBMC S tS AF FC S S ==△△△△， 所以22DMC BMD BMC BMC tS tS AB AC AE AF BE CF EB FC S S ∆∆+=++=++△△ ()222DMC BMD BMC BMC BMCt S S tS t S S +=+=+=+△△△△△， 又已知5AB AC BE CF +=，所以25t +=，所以3t =，即3AM MD=． 17．B【详解】1)(31=-+=．18．B【详解】由已知可知，前n 个数的排列顺序为1，1，0，-1，-1，0，1，1，0，…由此可见，从第7个数开始循环，即每隔6个数循环，这6个数的和等于0．又因为201463354=⨯+，所以这2014个数的和等于1，故选B ．19．A【详解】由33p +为质数可知p 为偶数，又p 为质数，则2p =．故()833334332332233p +=+=⨯+． 因为()842的末位数字为6，故()8422⨯的末位数字为2.因此，3333p +的末位数字为5． 20．A【详解】设三数除以x 的商分别为a ，b ，c ，则可得1059,1417,2312.ax y bx y cx y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③ △-△得()3582179b a x -==⨯，△-△得()8955179c b x -==⨯，△-△得()12537179c a x -==⨯．即179,164x y ==．故15x y -=．21．11【详解】当8n <时，()82256212n n n -+=+，若它是完全平方数，则n 必为偶数．若2n =，则22256265n +=⨯；若4n =，则42256217n +=⨯；若6n =，则6225625n +=⨯；若8n =，则8225622n +=⨯．所以，当8n ≤时，2256n +都不是完全平方数．当8n >时，()882256221n n -+=+，若它是完全平方数，则821n -+为一奇数的平方．设8221(21)n k -+=+（k 为自然数），则102(1)n k k -=+．由于k 和1k +一奇一偶，所以1k =，于是1022n -=，故11n =．22． 3 1 1 4 10【详解】如图，按题目中条件顺序依次可列方程：（1）A C F =+；（2）4C E F ++=；（3）5B =；（4）2A C =；（5）8A B C ++=；（6）7A G F ++=；（7）1D A =+．可求出2,5,1,3,2,1,4A B C D E F G =======．于是，题目中各空白区应填入的数依次是△3，△1，△1，△4，△10．23．【分析】作出辅助线，由AAS 证明△ADM ≅△BEH ，再由4tan tan 3DM BH AFD BFH FM FH ∠∠====，设DM =4x ，FM =3x ，BH =4y ，FH =3y ，利用勾股定理列式计算即可求解．【详解】解：过B 作BH △AE 交AE 的延长线于H ，过D 作DM △AE 于M ，△△ACB =△AHB =90︒，△A 、C 、H 、B 四点共圆，△△CAH =△CBH ，即△DAM =△EBH ，△BE =AD ，△DMA =△EHB =90︒，△△ADM ≅△BEH (AAS )，△DM =EH ，AM =BH ， △4tan tan 3DM BH AFD BFH FM FH ∠∠====， 设DM =4x ，FM =3x ，BH =4y ，FH =3y ，△DM =EH =4x ，AM =BH =4y ，EF =FH -EH =3y -4x ，AE =AM +MF +FE =4y +3x +(3y -4x )=7y -x =13，△BD =DF +BF 5515x y +=，△由△△解得：1x =，2y =，△DM =4，AM =8，△AD=故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，24．550(010)y x x =+<<【详解】解 由DP x =得10PC x =-． 又12BF BE PC EC ==，即11(10),10(10)22BF x AF BF x =-=-=+， 所以EFB AFPD y S S =+四边形11()22BE BF AF DP AD =⨯⨯++⨯ 111110(10)(10)102222x x x ⎡⎤=⨯⨯-+++⨯⎢⎥⎣⎦550(010)x x =+<<．故应填550(010)y x x =+<<．25．3994【详解】设219990x x a -+=的两根为12,x x ，则12121999,x x x x a +==．因1999必是一个偶数与一个奇数之和，且偶数中只有2为质数，故12,x x 中必有一个为2，另一个为199921997-=，所以219973994a =⨯=．故填3994．26．432【详解】解 因题目中条件去分母整理后可写为：()()()223323333346364460x y x y -+--⋅-+-⋅=， （()()()223323333546564460x y x y -+--⋅-+-⋅=，故依题目条件知33t =或35t =是关于t 的方程()()23333334664460t x y t x y -+---+-⋅=的两根．由韦达定理，得33333546x y +=+--，所以33333456432x y +=+++=．27．945【详解】设开始有n 位同学，每次有k 位同学被分派去做其它工作．因为每位同学浇完一棵小树苗需要2分钟，所以10分钟内每位同学浇完5棵小树苗．因此，3030()30(2)5(3)1775n n k n k n k +-+-+-=即21355.19k n +=． 因为n 和k 都是正整数，所以21355k +必须是19的倍数．并且使得n ，n k -，2n k -和3n k -也是正整数的k 值仅有一个，即3k =，从而22n =．故在开始的1.5小时内浇完的小树苗数为30221519945.⨯+⨯=28．15个球【详解】解：先画一个“初始图”：○ A B C D E ○ A B C D E ○按照题目要求，逐一确定各个字母的颇色，得到：○ ○ ○ ○ D ○ ○ ○ ○ ○ D ○显然，D 应为黑色．即：○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ● ○再按要求尝试增加小球，确定最后结果如下：○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○29．2007【详解】理由：注意到91713=⨯．数字和为1的数不是91的倍数．1001，10101，10011001，101011001，100110011001，1010110011001，…都是91的倍数，而它们的数字和依次是2，3，4，5，6，7，…因此，在1，2，…，2008中，能够表示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2007．故答案为：2007．30．【详解】设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a b c ≤≤，则12a b c ++=．可得312c ≥，即4c ≥．又因为a b c +>，所以212c <，即6c <．故46c ≤<，c 可取4或5．当4c =时，4,8a b a b ≤≤+=，所以4a b ==．此时三角形面积为214S == 当5c =时，7a b +=．当1a =时，6b =．此时a c b +=，不合题意．当2a =时，5b =．此时三角形面积为2122S =⋅ 当3a =时，4b =． 此时三角形为直角三角形，三角形面积为313462S =⋅⋅=．显然132S S S >>，所以所求最大面积为31【分析】连接BH ，EH ，设CG 、BH 交于点O ，证明B 、C 、H 、E 四点共圆，CBH △ABH ，求得BC 、AE 的长，过点E 作EM AH ⊥于点M ，作G 关于CH 的对称点J ，连接CJ 交AH 于点T ，过点T 作TN CH ⊥于点N ，则四边形CGHJ 是正方形，设AM a =，则HM AH a ==，由勾股定理及全等三角形的判定与性质即可得到答案．【详解】连接BH ，EH ，设CG 、BH 交于点O ，四边形ABCD 是正方形，90ABC ∴∠=︒，BA BC =，GH CG ⊥且CG GH =，CGH ∴是等腰直角三角形， G 是CE 边上的中点，CG GE ∴=，HC HE ∴=，CHE ∴是等腰直角三角形，B ∴、C 、H 、E 四点共圆，△CH CH =，45CBH CEH ∴∠=∠=︒，45HBA HBC ∴∠=∠=︒，在CBH 和ABH 中，CB AB CBH ABH BH BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CBH ∴≌()ABH SAS ，CH AH ∴=，正方形ABCD 中，点E 在AB 边上且2AE BE =，3BC BE ∴=，CE ∴，CHE △是等腰直角三角形，CH ∴==，CH AH ==，2BE ∴=，36BC BE ∴==，4AE =，过点E 作EM AH ⊥于点M ，作G 关于CH 的对称点J ，连接CJ 交AH 于点T ，过点T 作TN CH ⊥于点N ，则四边形CGHJ 是正方形，设AM a =，则HM AH a ==，在Rt AME 中，222EA AM EM -=，在Rt HME 中，222HE HM EM -=，2222EA AM HE HM ∴-=-，即22224)a a -=-，MA ∴=HM∴==EM∴==3tan4HMHEMEM∴∠==，3sin5HMHEMHE∠==，90CHE∠=︒，90CHJ EHM∴∠+∠=︒，90EHM HEM∠+∠=︒，CHJ HEM∴∠=∠，CJ AH⊥，EM AH⊥，90EMH HJC∴∠=∠=︒，在CJH和HME中，EMH HJCCHJ HEMCH HE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CJH∴≌()HME AAS，JH EM∴=，THN THC HEM∴∠=∠=∠，3tan4THN∴∠=，3sin5THN∠=，3tan4TNTHNNH∴=∠=，3sin5TNTHNTH=∠=，设3TN b=，则4NH b=，353sin5TN bTH bTHN===∠，45HCG∠=︒，四边形CGHJ是正方形，45TCN∴∠=︒，3CN TN b==，7CH b∴=，b∴=，JT JH TJ ∴=-== 将CGH 绕着点C 逆时针旋转得到''CG H ，'CH CH ∴=，'45HCG HCG ∠=∠=︒，45FCH TCH ∴∠=∠=︒，'CH CH =，'FH C THC ∴∠=∠，在THC 和'FH C 中，''FH C THC CH CH FCH TCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， THC ∴≌()'FH C ASA ，'H F HT ∴=，'CH CH =，'CJ HH ⊥，'JH JH ∴=，''JH TH JH FH ∴-=-，即FJ TJ JH =+==【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，添加辅助线并求得正方形的边长是解题的关键．32．3【详解】一个整数不是5的倍数，它的个位数字可能是1，2，3，4，6，7，8，9，把它们4次方后，研究它们的个位数字，分别是：444411;216;381;4256====；444461296;72401;84096;96561====．即它们的个位数字不是1就是6，并且6被5除也是余1．所以一个不是5的倍数的整数，它的4次方被5除一定余1．这8个整数，它们的4次方的和被5除所得余数为3．33．8【详解】理由：4444123101616561613(mod10)++++≡++++++++≡， 4441112203(mod10)+++≡，……4441981198219903(mod10)+++≡，从而4444123199031997(mod10)++++≡⨯≡，则4444412319901991718(mod10)+++++≡+≡． 所以4444412319901991+++++的个位数字是8．34．7 【详解】填7.理由：6312321n n k +⨯+⨯-2227281n n k =⨯+⨯-22(1)21n k ≡⨯-+-21(mod7)k ≡+．但63123210(mod 7)n n k +⨯+⨯-≡，则210(mod7)k +≡，即217k m +=（m 为奇数）．因为150k ≤≤，所以，37101m ≤≤． 故1,3,,13m =，相应的3,10,,45k =，共7个．35．3【分析】由题中条件可得△ACD △△BCA ，得出AC 2=CD •BC ，利用等式的性质进行恒等变式，可得221=0DC BD DC AC AC AC+⋅-，设DC x AC =，建立方程，解方程可求得1=2DC AC ，再根据相似三角形的性质，可求得1=4ADC ABC S S △△，可得3=4ABD ABC S S △△，据此即可求得． 【详解】解：△△B =△CAD ，△C =△C ， △△ACD △△BCA ， △=AC DC BC AC，即AC 2=DC •BC ，得()22==AC BD DC DC BD DC DC +⋅⋅+， 可得222=1BD DC DC AC AC⋅+， 得221=0DC BD DC AC AC AC+⋅-， 设DC x AC=， 32BD AC =， 23102x x ∴+-=， 解得112x =，22x =-(舍去)， 1=2DC AC ∴， 2==4ABC ADC S AC S DC ⎛⎫ ⎪⎝⎭△△， 1=4ADC ABC S S ∴△△， 3==4ABD ABC ADC ABC S S S S ∴-△△△△， 34314ABC ABDCAD ABC S S S S ∆∆==△△， 故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的恒等变式，利用方程求解，解题的关键是利用等式的性质进行恒等变式．36．18【详解】设某人出生于19xy 年，则他的年龄应为1910x y x y +++=++（岁）．所以19981910xy x y -=++，即981010x y x y --=++，得11288x y +=，则88112x y -=． 又易知x 只能取偶数取0,2,4,6,8x =，相应地，44,33,22,11,0y =．只有8,0x y ==满足条件．所以所求年龄为18岁．37．56【详解】因为1993是质数，22a b +与22c d +都是正整数，所以22a b +与22c d +分别取值1与1993．若22221,1993a b c d +=+=．（1）221a b +=．可知0,1a b ==或1,0a b ==．因此1a b +=．（2）221993c d +=．若31,31c d ≤≤，则22223119921993c d +≤⨯=<．所以c ，d 中至少有一个大于31．又由于24520251993=>．因此，若设c 为c ，d 中较大的一个，则3244c ≤≤．依次取32,33,,43,44c =，可得只有2199343-是完全平方数．所以43,12c d ==或12,43c d ==，则55c d +=．因此，15556a b c d +++=+=．当22221993,1a b c d +=+=，同样可得所求和为56．38．2【详解】填2.理由：199219901990199219903155555585522A =+⋅⋅+⋅+=+⋅+． 因为45被3除余数为1，所以199219905252A ≡+⋅+()()49849744252522≡+⋅⋅+498349712112≡+⋅⋅+5≡2(mod3)≡．所以A 被3除的余数为2.39． 8 0【详解】解 设13456n ab =．因为1982911=⨯⨯，所以n 被9整除，即1345619a b a b ++++++=++能被9整除，所以8a b +=或17a b +=．因为n 能被11整除，所以(146)(35)3a b a b +++-++=-+能被11整除．所以8a b -=或3a b -=-．联立方程组8,8a b a b +=⎧⎨-=⎩；8,3;a b a b +=⎧⎨-=-⎩17,8;a b a b +=⎧⎨-=⎩17,3.a b a b +=⎧⎨-=-⎩ 可得只有第1个和第4个方程组有整数解8,0,a b =⎧⎨=⎩和7,10.a b =⎧⎨=⎩ 而10b =不合题意，所以8,0a b ==．40．222()x ax a ++【详解】解法一 原式222222[()()]x x a a x a a x =++++22222()()x a x a a x ++=+222222()(2)x a x ax a a x =++++222222()2()()x a ax x a ax =++++222()x a ax =++222()x ax a =++．解法二 原式22222[()]()x x a a a x a =++++22222(22)()x x ax a a x a =++++2222()2()[()]x x a x a a x a =++++⋅22[()]x a x a =++222()x ax a =++．41．(1)甲队单独做需要40天才能完成任务；(2)甲队实际做了14天，乙队做了65天．【分析】（1）甲队单独做需要x 天才能完成任务，则乙队单独做需要2.5x 天才能完成任务，总任务量为1，根据题意列分式方程，求解即可得到答案；（2）根据题意列分式方程，整理得到51002y x =-，再根据x 、y 的取值范围得不等式，求整数解即可得到答案．【详解】（1）解：甲队单独做需要x 天才能完成任务，则乙队单独做需要2.5x 天才能完成任务，由题意得：11205012.5x x⨯+⨯=， 解得：40x =，2.5100x =， 经检验，40x =是原方程的解，答：甲队单独做需要40天才能完成任务；（2）解：由题意得：11140100x y +=， 整理得：51002y x =-，70y <，5100702x ∴-<， 12x ∴>，15x <且为整数，13x ∴=或14，当13x =时，51100136722y =-⨯=，不是整数，不符合题意，舍去，当14x =时，510014652y =-⨯=，答：甲队实际做了14天，乙队做了65天．【点睛】本题考查了分式方程的应用，不定方程求特殊解。

五年级数学竞赛试题01一、填空。

（10分）1．12个0.5是( )。

2．5个0.1是( )。

3．74个百分之一是( )。

4．6个千分之一和3个百组成的数是( )。

5．小明有故事书a 本，比李华多5本，李华有故事书( )本。

6．一个平行四边形是与它等底等高三角形面积的( )倍。

7．9.96保留一位小数是( )。

8．两个因数，一个因数扩大10倍，另一个因数缩小2倍，积( )倍。

9．0.3除3.8，商是12，余数是( )。

10．一个三位小数，精确到百分位是0.57，这个小数最大是( )。

二、选择题。

（12分）1．除数的小数点向右移动两位，要使商缩小10位，被除数的小数点应( )。

A ．向右移动两位 B ．向左移动两位 C ．向右移动一位D ．向左移动一位2．15÷7的商是( )小数。

A ．有限 B ．循环 C ．无限循环 3．下面各式中，( )是方程。

A ．7X ＋6>9B ．8X －7C ．X －3＝0 4．X 加上它本身的3倍，和是16，求X ，不正确的方程是( )。

A ．4X ＝16 B ．3X ＝16－X C ．3X ＝16＋X5．等底等高的两个三角形( )。

A ．形状完全相同B ．面积相等C ．形状相同，面积相等6．如图，一个正方体的六个面分别编写号1，2，3，4，5，6，根据图中提供的 三种摆放情况。

请你判断：1和( )相对，2和( )相对。

A ．3B ．4C ．5D ．6三、计算。

（能简算的要简算）（24分） [50.8－(20＋26)]÷0.9638.4×7.6－3.84×661 32 1 63 4 36(20＋9.774÷2.4)×0.5－1.427 [29.7－(6.2＋0.85)×3]÷4427÷2.68×16×26.8÷42.7×1610－10.5÷[5.2×14.6－(9.2×5.2＋5.4×3.7－4.6×1.5)]－(1.7＋1.9)÷0.225×70 (2000－1)＋(1999－2)＋(1998－3)＋……＋(1002－999)＋(1001－1000)四、列方程解答。