253利用频率估计概率2

25．3 用频率估计概率【教材分析】《利用频率估计概率》是人教版九年级上册第二十五章《概率初步》的第三节。

它是学习了前两节概率和用列举法求概率的基础上，即学习了理论概率后，进一步从试验的角度来估计概率，让学生再次体会频率与概率间的关系，通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解试验频率和理论概率的关系。

概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。

纵观近几年的中考题，概率已是考查的热点，同时，对此内容的学习，也是为高中深入研究概率的相关知识打下坚实基础。

【教学目标】根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。

因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识目标：1.理解当事件的试验结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率，进一步发展概率观念。

2.进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。

方法与过程目标：1.选择生活中的实例进行教学，使学生在解决实际问题过程中加强对概率的认识，突出用频率的集中趋势估计概率的思想，体现数学与生活的紧密联系.2.通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法.情感态度与价值观目标:1.利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。

2.结合试验的随机性和规律性，让学生理解试验频率和理论概率的关系。

【重点与难点】重点：1.体会用频率估计概率的必要性和合理性。

2.学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。

难点：1.理解频率与概率的关系，2.用频率估计概率解决实际问题。

【学生分析】学习统计概率的学生并不是难在用频率估计概率，而是难在多大程度上感受用频率估计概率的必要性以及体会用频率估计概率所蕴含的基本思想，然后自觉地运用到实际生活中。

所以，要发动学生积极参与，动手实验，在实践中感悟。

【教学方法】树立以学生为本的思想，通过创设问题情境，利用《问题生成评价单》，以多媒体为教学平台，通过精心设计的问题串和活动系列，采取精讲多练、讲练结合的方法来落实知识点并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。

第 1 页25.3用频率估计概率◇教学目标◇【知识与技能】理解每次试验可能的结果不是有限个或各种可能结果发生的可能性不相等时,利用统计频率的方法估计概率.【过程与方法】经历利用频率估计概率的学习,使学生明白在同样条件下,大量重复试验时,根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数,可以估计这个事件发生的概率.【情感、态度与价值观】通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习数学的兴趣,体验数学的应用价值.◇教学重难点◇【教学重点】通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.【教学难点】理解并应用频率估计概率.◇教学过程◇一、情境导入小明进行投币试验,他连掷三次,结果都是正面朝上,也就是说他的频率是1,那么我们是否可以说他投掷硬币正面朝上的概率是1呢? 二、合作探究第 2 页探究点利用频率估计概率典例1将一枚硬币的一面贴上号码1,另一面贴上号码2,掷硬币两次,观察掷出的两个号码的积,下表是对200次实验数据整理的结果.实次12468101214161820积是2出现的次数38252737536372788899积是2出现的频率(1)用计算器计算频率,并填表.(2)根据表中的数据绘制频率折线统计图.(3)当实验次数较少时,频率有什么特征?当实验次数逐渐增加时,频率有什么样的变化趋势? (4)根据频率估计出现“积是2”的概率的大小.[解析](1)依次填:0.3,0.4,0.63,0.45,0.46,0.53,0.53,0.51,0.49,0.49,0.5.(2)频率折线统计图如图所示.(3)当实验次数较少时,频率不稳定,波动较大;当实验次数逐渐增加时,频率波动较小,逐渐稳定在0.5附近.(4)根据实验频率可以估计出“积是2”的概率为0.5.用频率估计概率大小的一般步骤:先计算不同试验次数下的频率,再绘制频率折线统计图,通过观察、分析频率的稳定值,最后用稳定的频率值来估计概率的大小.典例2在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个,某学习小组做摸球实验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据.第 3 页摸到白球的次数5896116295484601摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.601(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近.(2)假如你去摸一次,你摸到白球的概率是,摸到黑球的概率是.(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个?(4)解决了上面的问题,小明同学猛然顿悟,过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是:在一个不透明的口袋里装有若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品．．．．．．．．．．．．．解决这个问．．．．．．．．．．．)?请你应用统计与概率的思想和方法题,写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.[解析]利用摸球次数最多1000次的频率去估计接近值,再用这个值代替概率值.(1)由表格知,当n≥500时,频率值稳定在0.6左右,由此,当n很大时摸到白球的频率将会接近0.6.(2)摸到白球的概率是0.6,摸到黑球的概率是1-0.6=0.4.(3)白球有20×0.6=12(个), 黑球有20×0.4=8(个).(4)方案一:①添加:向口袋中添加一定数目的黑球,并充分搅匀;②实验:进行大次数的摸球实验(有放回),记录摸到黑球和白球的次数,分别计算频率,由频率估计概率;③估算:黑球的个数摸到黑球的概率=球的总个数.方案二:①标记:从口袋中摸出一定数目的白球做上标记,然后放回口袋并充分搅匀;②实验:进行大数次的摸球实验(有放回),记录摸到标记球的次数,计算频率,由频率估计概率;第 4 页③估算:有标记球的个数摸到标记球的概率=白球的个数.变式训练如图,为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积,画一个边长为2 cm的正方形,使不规则区域落在正方形内,现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近,试估计不规则区域的面积是多少.[解析]设不规则部分的面积为s,则??4=0.25,解得s=1.则不规则部分的面积为1 cm2.三、板书设计用频率估计概率1.用频率估计概率在相同条件下,当大量重复试验时,随机事件A发生的频率????(这里n是总试验次数,m是在n次试验中事件A发生的次数)会稳定在某个常数p附近,于是,我们用p这个常数表示事件A发生的概率,即P(A)=p.2.方法用频率估计概率大小的一般步骤:先计算不同试验次数下的频率的大小,再绘制频率折线统计图,通过观察、分析频率的稳定值,最后用稳定的频率值来估计概率的大小.◇教学反思◇本节课是主要学习用频率去估计概率,侧重于从统计试验结果的角度来研究概率.通过本节课的学习,学生能从统计试验结果的角度来研究概率,即通过频率研究概率,理解频率与概率的区别与联系,同时对比前一节从理论的角度(即列举法)来计算概率,体会随机观念和概率思想.。

课题：25.3 用频率估计概率课时：2 备课时间：一、教学内容分析教科书这一节从统计试验结果频率的角度去研究一些随机试验中事件的概率．教科书设置了一个投币试验，一方面要求学生亲自动手试验获得数据，从数据中发现规律；另一方面还给出历史上投币试验的数据，为学生发现规律提供帮助。

二、教学目标(一)知识与技能知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值；在具体情境中了解概率的意义。

（二）、过程与方法让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型。

初步理解频率与概率的关系。

（三）情感态度与价值观在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣。

通过概率意义教学，渗透辩证思想教育。

三、学情分析通过学生的亲手试验和历史数据，学生能够用自己在统计中学过的频率知识来研究投掷一枚硬币时“正面向上”的频率的大小。

学生应该很感兴趣，又使学生明确，频率与概率是两个不同的概念，频率与试验的次数有关，而频率的稳定性又说明了概率是一个客观存在的数，是随机事件自身的一个属性，它与试验次数无关。

四、教学策略选择与设计教师引导---学生自学---小组互动---当堂检测五、教学重点及难点1.重点：能从频率值角度估计事件发生的概率；2.难点：对频率与概率关系的初步理解。

六、教学流程（一）、创设情境，引出问题教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁.学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，……教师追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大在学生讨论发言后，教师评价归纳.用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大.质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下.（二）动手实践，合作探究1．教师布置试验任务.（1）明确规则.把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行. （2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来..2．教师巡视学生分组试验情况.3.各组汇报实验结果.由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入.4．全班交流.把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P140要求填好25-2.并根据所整理的数据，在25.1-1图上标注出对应的点,完成统计图.想一想1：观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动.想一想2：随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小。

课题本节内容是继列举法求概率后又一种求随机事件概率的方法。

在本章的前两节中给出了概率的方法。

在本章的前两节中给出了概率的意义和概率的古典定义，并利用列举法求一些简单随机事件的概率。

本节将从统计实验结果的角度研究概率，即通过频率研究概率。

用频率估计概率不受试验结果种数有限和各种结果等可能条件的限制，因此适用的范围比用列举法更广。

频率是在相同条件下进行重复试验时时间发生的次数与试验总次数的比值，是随机的。

在试验前不能够确定。

而一个随机事件发生的概率是确定的数，是客观存在的，与试验无关。

频率与概率是有区别的。

但在做大量重复试验时，随机事件发生的频率会呈现出规律性，即随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。

因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。

本节课共设计了6个教学活动，难易程度由浅入深、层层递进，通过游戏的形式，学生在动手操作、观察分析、类比归纳中，通过自主探究、合作交流，在教师的启发指导下,学生在轻松愉快的环境中探求新知。

充分体现了“数学教学主要是数学活动教学”这一思想，体现了师生互动、生生互动的教学理念。

利用多媒体形象生动的特点，增加了课堂的趣味性和直观性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，激活学生思维能力，增大了教学容量，对解决重点、突破难点起到辅助作用。

三、教学目标经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，进一步发展统计意识和随机概念，探索和发现数据中隐藏的规律。

情感态度与价值观通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值。

用频率估计概率一、复习引入请同学们回答下列问题：用列举法求概率的条件是什么？用列举法求概率的方法是什么？A=事件，P(A)的取值范围是什么？列表法、树形图法是不是列举法，他在什么时候应用？二、探究新知1.历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，他们的试验结果见表：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势有何规律？可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5的左右摆动。

25.3 用频率估计概率1、频率：在试验中，某事件发生的次数与总次数的比值2、用频率估计概率（1）在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。

（2）一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率m稳定于某一个常数P，那么事件 An发生的频率P(A)=p.注：①用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大；②当试验次数很多时，一个事件发生的频率稳定在相应的概率附近；③频率是通过试验得到的一个数据结果，因试验次数的不同而有所改变，是一个实际的具体值；概率是一个事件发生的可能性大小的理论值，它不因试验次数的改变而变化，是一个常数。

题型一频率与概率的关系【例1】校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率，下表是小亮一次训练时的进球情况，其中说法正确的是（）A．小亮每投10个球，一定有8个球进B．小亮投球前8个进，第9、10个一定不进C．小亮比赛中的投球命中率一定为80%D．小亮比赛中投球命中率可能为100%【变式11】抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（）A．可能有50次反面朝上B．每两次必有1次反面朝上C．必有50次反面朝上D．不可能有100次反面朝上【变式12】小红把一枚硬币抛掷10次，结果有4次正面朝上，那么（）A．正面朝上的频数是0.4B．反面朝上的频数是6C．正面朝上的频率是4D．反面朝上的频率是6【变式13】下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有．①频率就是概率②频率是客观存在的，与试验次数无关③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率④概率是随机的，在实验前不能确定【变式14】下列说法正确的是（填序号）．①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%．②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%．③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是0.48和0.51．④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件．题型二求某事件的频率【例2】“鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有19个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______．【变式21】在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1，2，3，5小组的频数分别是2，8，15，5，则第4小组的频率是（）A．0.15B．0.2C．0.3D．0.4【变式22】期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（）A．0和4B．0和3C．2和4D．0和2、π、√5、√83、−2中，无理数出现的频率为．【变式23】数据13【变式24】我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为．题型三由频率估计概率【例3】已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（）A．5B．6C．7D．8【变式31】某农科所在相同条件下进行某作物种子发芽试验，结果（部分数据）如表所示：则任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为（精确到0.01）；【变式32】对某批KN95口罩的质量进行随机抽查，结果如下表所示：（2）根据上表，在这批口罩中任取一个，它是合格的概率大约是__________．（精确到0.01）【变式33】一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近．（1）估计摸到红球的概率是；（2）若袋中有12个红球，求袋中一共有多少个球？【变式34】某盒子中装有6张黑色卡片和若干张白色卡片，它们除颜色外其余都相同．某班级为估计盒子中白色卡片的张数，分15个组进行摸卡片试验．每一组做300次试验，汇总后，摸到白色卡片的次数为1500次．（1）估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率．（2）请你估计这个盒子中白色卡片接近多少张．题型四概率的实际应用【例4】如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是．【变式41】在“五·四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，（1）指针指到1的可能性是多少？（2）若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？【变式42】某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中．（1）该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？（2）在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由．【变式43】有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？【变式44】在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（）A．两次求助都用在第1题B．两次求助都用在第2题C．在第1第2题各用一次求助D．两次求助都用在第1题或都用在第2题。